第5.4.2講 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（解析版）-2023-2024學(xué)年新高一數(shù)學(xué)同步精講精練寶典（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第五章三角函數(shù)第5.4.2講正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助函數(shù)的圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值、零點(diǎn)．重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2.通過實(shí)際應(yīng)用理解函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象應(yīng)用分析、解決實(shí)際問題能力。二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、周期性、單調(diào)性和奇偶性2、定義域、值域和最值3、綜合應(yīng)用三、核心知識(shí)1.函數(shù)的周期性：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).叫做這個(gè)函數(shù)的周期.2.最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.3.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)圖象定義域周期最小正周期奇偶性三、核心例題題型1、周期性、單調(diào)性和奇偶性1．函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是（）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，由，可得函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是.故選：A.2．下列函數(shù)，最小正周期為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)的最小正周期為，故A不符合；函數(shù)，其最小正周期為，故B不符合；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C符合；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故D不符合.故選：C.3．在下列函數(shù)中，既是上的嚴(yán)格增函數(shù)，又是以為最小正周期的偶函數(shù)的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】選項(xiàng)ABC中函數(shù)的最小正周期都是，而選項(xiàng)D中函數(shù)不是周期函數(shù)，其圖象如下所示：

排除D；易知函數(shù)是奇函數(shù)，排除A；時(shí)，，則是減函數(shù)，排除B；根據(jù)函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，且其最小正周期為，則在在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，其最小正周期為，且，又因?yàn)槠涠x域?yàn)?，則其為偶函數(shù)，故C正確，故選：C．4．函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【詳解】選項(xiàng)A:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是奇函數(shù)，故C正確；選項(xiàng)D:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，∵，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)是奇函數(shù)，最小正周期，故D正確．故選：D.題型2、定義域、值域和最值6．函數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，所以的最大值?，故選：C7．已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，解得，?dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)，由，得，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，解得，故選：C8．函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，上遞減，又，，，所以即.故選：A．9．下列對(duì)的圖象描述錯(cuò)誤的是（）A．在和上的圖象形狀相同，只是位置不同B．介于直線與直線之間C．關(guān)于軸對(duì)稱D．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】C【詳解】解：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知：為周期函數(shù)，最小正周期為，值域?yàn)?，?duì)稱軸為，對(duì)稱中心為所以，ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C10．定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知，函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，的最小正周期是，當(dāng)時(shí)，，所以.故選:D題型3、綜合應(yīng)用11．令，，判斷a與b的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法判斷【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B12．使函數(shù)為奇函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，可得，所以，令，可得.故選：D.13．若函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的一個(gè)周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)為D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，把代入，則，所以關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，，把代入，則，故C正確；對(duì)于D，由，，當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：D.14．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】函數(shù)有意義，則，即，因此，解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：D15．當(dāng)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的取值范圍為，故選：B當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．函數(shù)，，則y的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由的單調(diào)性知，在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上函數(shù)單調(diào)遞減，又，，，故.故選：B2．當(dāng)時(shí)，函數(shù)（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上分別單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間，上分別單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【詳解】函數(shù)，，，為減函數(shù)，，為增函數(shù)，，為減函數(shù)，故選：B3．函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，在中，在中，，對(duì)稱軸：，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在處取最小值，，故選：B.4．若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，取得最值，所以，得，對(duì)于A，若，則，解得，不合題意，對(duì)于B，若，則，解得，不合題意，對(duì)于C，若，則，解得，題意，對(duì)于D，若，則，解得，不合題意，故選：C5．函數(shù)的最小值和最小正周期分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】三角函數(shù)，所以其最小值為，周期.故選：B6．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題知，即，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B7．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù).B．若，則的最小值為.C．函數(shù)在上單調(diào)遞增.D．當(dāng)?shù)闹涤蚴?【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)椋粤?，，?對(duì)于A選項(xiàng)：，顯然為奇函數(shù)，因此本選項(xiàng)不正確；對(duì)于B選項(xiàng)：若，因?yàn)?，所以最小值為半個(gè)周期，即，因此本選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以本選項(xiàng)不正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以有，因此的值域是，所以本選項(xiàng)不正確，故選：B8．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三條對(duì)稱軸?兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)，其中，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有三條對(duì)稱軸?兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以的取值范圍為.故選：C.二、多選題9．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在單調(diào)遞減【答案】ABC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以它的一個(gè)周期為，故A正確；令，求得為最小值，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于，令，可得，故的一個(gè)零點(diǎn)為，故C正確；當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上沒有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤．故選：ABC10．關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的有（

）A．函數(shù)最小正周期為 B．表達(dá)式可寫成C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【詳解】對(duì)于A，函數(shù)最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：BC.三、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【詳解】函數(shù)的定義域滿足：，解得且.故答案為：.12．函數(shù)的對(duì)稱中心為.【答案】，.【詳解】令，解得故函數(shù)的對(duì)稱中心為，.故答案為：，.四、解答題13．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.【詳解】（1）由題意可得，即，解得.因?yàn)榈膱D像經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.因?yàn)?，所?故.（2）因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，則在上的值域?yàn)?14．已知函數(shù).(1)求函數(shù)圖像的對(duì)稱中心；(2)求函數(shù)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）令，解得，所以函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為.（2）令，解得，所以函數(shù)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間為.15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最大值和最小值