平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)

3.2平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)定理3.1（相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)）設(shè)

Rx(τ)是平穩(wěn)過(guò)程{X(t),-∞<t<∞}的相關(guān)函數(shù)ⅰ)Rx(0)≥0;ⅱ)Rx(-τ)=Rx(τ),即Rx(τ)是偶函數(shù);ⅲ)|Rx(τ)|≤Rx(0);ⅳ)R(τ)

具有非負(fù)定性，即對(duì)任意的n,任意的t1,t2...tn，任意的復(fù)數(shù)l1,l2…ln.總有證明：（ⅰ）由相關(guān)函數(shù)的定義知道，Rx(0)=EX2(t)=ψ2x≥0即平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)在τ=0處是非負(fù)值（ⅱ）根據(jù)相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)具有對(duì)稱(chēng)性的推論可得：Rx(-τ)=EX(t)X(t-τ)=EX(t-τ)X(t)（令s=t-τ）=EX(s)X(s+τ)=Rx(τ)即自相關(guān)函數(shù)是變量τ的偶函數(shù)隨機(jī)變量X、Y，總有(E(XY))2≤E(X2)E(Y2)

（ⅲ）根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式可推出：自相關(guān)函數(shù)在τ=0處有最大值思考：是不是只有在0處才取得最大值？（ⅳ）這是相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)具有非負(fù)性（定理3.1（ⅱ））的直接推論，定理可推廣到復(fù)平穩(wěn)過(guò)程Z(t)中：只需將（

ⅱ

）改成證明如下：

對(duì)協(xié)方差函數(shù)CX（τ），不難得到類(lèi)似的性質(zhì)：協(xié)方差和相關(guān)函數(shù)在τ=0處取得最大值

復(fù)平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù),具有共軛對(duì)稱(chēng)性定義3.4設(shè){X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程.如果互相關(guān)函數(shù)對(duì)一切t,t+τ∈T與t無(wú)關(guān)，那么,稱(chēng)X(t)與Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的，也稱(chēng)X(t)與Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的.在X(t)與Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的情形下，通常記互相關(guān)函數(shù)定義3.4也可以推廣到復(fù)隨機(jī)過(guò)程上去，這里就不再詳細(xì)敘述了。當(dāng)X(t)與Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)，互協(xié)方差函數(shù)與t無(wú)關(guān)。兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)不再具有定理3.1中給出的那些性質(zhì)。定理3.2（互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)）設(shè)RXY(τ)是兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過(guò)程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)。（?。㏑XY(-τ)=RYX

(τ)（ⅱ）|RXY(τ)2|≦RX(0)RY(0)證明（ⅰ）由互相關(guān)函數(shù)的定義知道，

RXY(-τ)=EX(t)Y(t-τ)=EY(t-τ)X(t)(記s=t-τ)=EY(s)X(s+τ)

=RYX(τ)證明（ⅱ）由柯西—許瓦茲不等式推得

|RXY(τ)|2=|EX(t)Y(t+τ)|2

≦E(X2(t))E(Y2(t+τ))=RX(0)RY(0)對(duì)于互協(xié)方差函數(shù)CXY(τ),也有類(lèi)似的兩條性質(zhì)。例3.7設(shè)X(t)是雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)，遇目標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號(hào)（即回波信號(hào)）時(shí)aX(t-τ0),其中，a是近于0的正數(shù)，τ0是信號(hào)返回所需時(shí)間。由于回波信號(hào)必然伴有噪聲，記噪聲為N(t),于是，接收機(jī)收到的全信號(hào)為Y(t)=aX(t-τ0)+N(t).

假定雷達(dá)發(fā)射信號(hào)X(t)與噪聲N(t)是平穩(wěn)相關(guān)的Y(t)的均值函數(shù)為常數(shù)aμX+μN(yùn)，且相關(guān)函數(shù)RY(t,t+τ)=EY(t)Y(t+τ)

=E[aX(t-τ0)+N(t)][aX(t+τ-τ0)+N(t+τ)]

=a2RX(τ)+RN(τ)+aRXN(τ+τ0)+aRXN(τ-τ0)=RY(τ)與t無(wú)關(guān)，因此，Y(t)也是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。X(t),Y(t)的互相關(guān)函數(shù)RXY(t,t+τ)=EX(t)Y(t+τ)=EX(t)(aX(t+τ-τ0)+N(t+τ))=aEX(t)X(t+τ-τ0)+EX(t)N(t+τ)=aRX(τ-τ0)+RXN(τ)=RXY(τ)與t無(wú)關(guān)，因此，X(t),Y(t)也平穩(wěn)相關(guān)。如果噪聲N(t)的均值μN(yùn)=0，且N(t)與X(t)相互獨(dú)立，那么，由RXN(τ)=EX(t)N(t+τ)=EX(t)EN(t+τ)=μXμN(yùn)=0推得，X(t)與Y(t)的相互函數(shù)RXY(τ)=aRX(τ-τ0)

這是利用互相關(guān)函數(shù)從全信號(hào)中檢測(cè)小信號(hào)