HPM視角下的二項式定理的教學(xué)設(shè)計

HPM視角下的二項式定理的教學(xué)設(shè)計普通高中數(shù)學(xué)課程將二項式定理作為選修內(nèi)容,要求學(xué)生“能用計數(shù)原理證明二項式定理;會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題”或“經(jīng)歷導(dǎo)出二項式定理的過程,掌握二項式定理;通過歸納楊輝三角形并展開研究,發(fā)展探究能力”,并不要求學(xué)生掌握二項式定理復(fù)雜形式.在進行教學(xué)設(shè)計二項式定理時,介紹我國古代數(shù)學(xué)成就—楊輝三角,以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)文化價值的認識.”1二項式定理的教學(xué)設(shè)計1.1學(xué)生基礎(chǔ)情況分析這是一堂高二年級學(xué)生的課，這一階段的學(xué)生已經(jīng)初步具備了乘方、多項式運算、數(shù)列，組合相關(guān)的知識儲備同時能夠在教師的組織引導(dǎo)下進行對二項式定理探究學(xué)習(xí)與運用。本節(jié)課對學(xué)生的探究學(xué)習(xí)、歸納分析能力的提升有一定的幫助。1.2教材內(nèi)容分析本節(jié)課是選修2---3第一章第三部分第五節(jié)的內(nèi)容，這節(jié)課內(nèi)容上只有一個二項式定理但它卻是前面內(nèi)容的繼續(xù)，也是后面內(nèi)容的開始。在計數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項式定理，一方面是因為它的證明要用到計數(shù)原理，可以把它看做為計數(shù)原理的一個應(yīng)用。另一方面也是為后面學(xué)習(xí)隨機變量及分布做準(zhǔn)備。同時二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，有二項式定理可推導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，這對深化組合數(shù)的認識起到了很好的促進作用。可見二項式定理是一個承上啟下的內(nèi)容，問題類型具有較強的綜合性，可以連接不同內(nèi)容的知識。1.3教學(xué)目標(biāo)的確定知識與技能目標(biāo)：掌握二項式定理及其推導(dǎo)方法、二項展開式、通項公式的特點，并能運用二項式定理解決相關(guān)問題.過程與方法目標(biāo)：在二項式定理推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納的能力和發(fā)現(xiàn)問題、探求問題的能力，體會數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想以及類比思想。情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過探究學(xué)習(xí)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中養(yǎng)成獨立思考的好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。1.4教學(xué)重點、難點重點探究二項式定理的推導(dǎo)過程；正確運用二項式定理解決相關(guān)問題;難點探究二項式系數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系；二項展開式的應(yīng)用及一些易混淆的概念.2二項式定理的教學(xué)過程2.1問題情境活動1試將下列各式展開：探究1展開式各項次數(shù)有什么特點?學(xué)生自主探究出上述兩式展開時每項的次數(shù)與兩式的次數(shù)相同。設(shè)計意圖：由于學(xué)生具備了乘方、多項式運算的能力，因此活動1對學(xué)生而言輕而易舉，繼而能夠發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。探究1結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)問題情境、創(chuàng)設(shè)興趣點使學(xué)生對新學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生疑惑，有利于學(xué)生進一步探究問題、主動發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建新知識。探究2探究能否運用組合知識解釋各項系數(shù)的由來?這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生自主探究，合作交流各項系數(shù)的由來。問題2中涉及組合知識這樣學(xué)生就能夠從組合的角度探究系數(shù)的由來，在合作探究過程中：學(xué)生1：從的個數(shù)來看從中可以看出有2個2個，說明從2個里選2個從2個里選0個，所以的系數(shù)是,說明從2個里選0個從2個里選2個，所以的系數(shù)是，現(xiàn)在有一個問題是這一項說明從明從2個里選1個從2個里選1個，所以的系數(shù)是不等于2，這是為什么呢？學(xué)生1的問題引起了大家的興趣，于是教師讓學(xué)生繼續(xù)探究討論，討論很激烈。討論完后學(xué)生2提出學(xué)生1沒有注意到每項次數(shù)的問題，每項次數(shù)是2次說明從從2個括號各取1個字母；每項次數(shù)是3次說明從從3個擴號各取1個字母；中說明從2個括號里都取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1，說明從2個括號里取1個的情況有2種即種，所以的系數(shù)是=2，,說明從2個括號里都不取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1。學(xué)生2說獲得了全班熱烈的掌聲，學(xué)生1也被學(xué)生2說得心服口服。接著我讓按照學(xué)生2的說法驗證，學(xué)生很快就驗證出結(jié)果完全正確。剛驗證完學(xué)生3立馬舉手說：老師，學(xué)生2剛剛是以每個括號取的個數(shù)來討論，那我也可以以每個括號取的個數(shù)來討論，如，說明從3個括號里都不取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1，說明從3個括號里取1個的情況有3種即種，所以的系數(shù)是=3，說明從3個括號里取2個的情況有3種即種，所以的系數(shù)是=3，說明從3個括號里都取的情況有1種即種，所以的系數(shù)是=1。即。學(xué)生3的回答贏得了大家默默贊許。接著教師問學(xué)生：學(xué)生2是以每個括號取的個數(shù)來討論，學(xué)生3每個括號取b的個數(shù)來討論,這兩種做法都可以，那么你們打算選哪種做法呢？學(xué)生紛紛表示會選擇學(xué)生3的做法，因為按照學(xué)生3做法展開式具有對稱美，組合上標(biāo)從小到大排列。設(shè)計意圖：探究2引導(dǎo)學(xué)生運用組合知識解釋系數(shù)的由來，引發(fā)學(xué)生探究，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑，特別是學(xué)生1自主提出了問題，激起了學(xué)生的探討興趣，點燃了學(xué)生思維的火花，促進了學(xué)生思維的發(fā)展，繼而有了學(xué)生2的討論成果，由此看出學(xué)生思維層次的發(fā)展。在驗證過程中學(xué)生3發(fā)現(xiàn)了另一做法，由此看出學(xué)生思維品質(zhì)在層層遞進。最后讓學(xué)生自己比較兩種做法，學(xué)生能夠自主選擇出最佳做法，這比傳統(tǒng)課中教師硬塞給學(xué)生效果好很多。從探究2可以看出探究學(xué)習(xí)過程是個不斷發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的動態(tài)化過程，教師精心設(shè)計問題情境是培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力，探究問題意識的關(guān)鍵，同時也是調(diào)動學(xué)生思維發(fā)展，構(gòu)建思維課堂的前提條件?；顒?教師PPT介紹數(shù)學(xué)史--楊輝三角與二項式定理的聯(lián)系設(shè)計意圖通過借鑒數(shù)學(xué)史中的證明方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將具體的取球模型與抽象的二項式定理相聯(lián)系，有利于學(xué)生加深對二項式定理的理解，形成對定理蘊含數(shù)學(xué)思想的意義構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等．2.2新課講解活動2類比上述規(guī)律試寫出下列各式的展開式:_______________________;_______________________.這一環(huán)節(jié)中學(xué)生都能很快地將的展開。對于大部分學(xué)生都能寫出來，部分學(xué)生存在的問題是中間某項想不知道如何表示，于是教師引導(dǎo)學(xué)生：若中間某項系數(shù)是，請你們探究一下他后面的項是什么。學(xué)生根據(jù)很快類比歸納出組合數(shù)的上標(biāo)與的指數(shù)相同，而每項的次數(shù)都是次，所以中間某項可表示為。接著教師又問學(xué)生這一項是該展開式的第幾項？問題剛一出口，學(xué)生脫口而出是第項，因為第一項組合數(shù)上標(biāo)是從0開始。教師給出概念：二項式定理：.其中稱為該定理的通項用表示即，這里的稱為該項的二項式系數(shù)。設(shè)計意圖：讓學(xué)生對該式展開是為了檢驗學(xué)生是否真的理解探究2中的解決問題的辦法，也培養(yǎng)了學(xué)生的類比思想。讓學(xué)生對該式展開是為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想。在教師的引導(dǎo)下學(xué)生的類比思想有了進一步的提升，探究能力也逐步加強?；顒?試歸納二項式定理的特點.設(shè)計意圖：該活動能夠培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納能力。學(xué)生自己去歸納探究，自己去合作交流，自己去切身體驗，這樣能夠有助于學(xué)生對該定理得記憶、理解與運用，同時也能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)中的對稱美與簡潔美。2.3數(shù)學(xué)運用例1利用二項式定理展開下列各式:;.設(shè)計意圖：例1的設(shè)計是為了檢驗學(xué)生是否真的會運用二項式定理進行展開，事實證明大部分學(xué)生能夠?qū)⒏膶懗珊笤龠M行展開，說明學(xué)生具有一定的運用類比思想進行解題的能力同時也說明學(xué)生能夠熟練運用二項式定理。例1是為了引出下面問題中二項式系數(shù)與項的系數(shù)做鋪墊。探究3試求第三項的二項式系數(shù)。學(xué)生根據(jù)自己的展開式不加思考說出是6，只有個別學(xué)生在小聲嘀咕說二項式系數(shù)是3，于是教師請出這些學(xué)生大膽說出自己的想法，學(xué)生疑惑地說二項式系數(shù)不應(yīng)該是怎么會是6呢？該學(xué)生的疑惑引發(fā)了其他學(xué)生的討論，討論之后學(xué)生一致給出答案：二項是系數(shù)與項的系數(shù)是不同的，二項式系數(shù)就是組合數(shù)，項的系數(shù)是該項最終化簡的結(jié)果的數(shù)字。設(shè)計意圖：二項式系數(shù)與項的系數(shù)是二項式定理中學(xué)生比較容易出錯混淆的問題，在這一設(shè)計中我讓學(xué)生自己去探究、自己去感受、自己去發(fā)現(xiàn)這兩者的區(qū)別，在這一過程中引發(fā)了學(xué)生的討論，激起了學(xué)生思維的碰撞，最后得出了一致答案，這樣探討過程必會有助于學(xué)生對該問題的深刻理解。例2已知二項式，(1)求展開式第3項的二項式系數(shù);(2)求展開式第3項的系數(shù);(3)求第3項;設(shè)計意圖：該例題是對前面知識的鞏固即對二項式定理運用以及要知道二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別。2.4課堂小結(jié)教師與學(xué)生共同回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，總結(jié)如下：(1)二項式定理的推導(dǎo)、記憶、理解；(2)會運用二項式定理，會求二項式系數(shù)以及項的系數(shù)；(3)能夠提煉出整個課堂內(nèi)容中的類比思想、特殊到一般的思想。3教學(xué)反思HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，注重知識的自然發(fā)生過程，注重課堂的