《數(shù)學(xué)歸納法》第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)學(xué)歸納法》第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

第一篇：《數(shù)學(xué)歸納法》第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)學(xué)歸納法》第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析：

本節(jié)課是人教A版4-5第四講第一節(jié)數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)，

主要是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法原理，并能夠用數(shù)學(xué)歸納法證

明一些與正整數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題。它將一個(gè)無(wú)窮歸納過程轉(zhuǎn)

化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展

到無(wú)限思維，并培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力和抽象思維能力的

重要載體。

學(xué)情分析：

由于此前數(shù)列和推理與證明兩部分的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)歸納推

理有了一定的認(rèn)知。

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：

1.了解數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的根源及其無(wú)窮遞推的本質(zhì)，認(rèn)清

“奠基”和“遞推”兩者缺一不可。

2.體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的思想，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的

命題。

過程與方法目標(biāo)：

1.親身感悟數(shù)學(xué)歸納法原理發(fā)現(xiàn)和提出的過程，體會(huì)其由無(wú)

限問題化為有限問題這一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.精心創(chuàng)設(shè)積極思考、大膽質(zhì)疑的課堂愉悅情境，提高學(xué)習(xí)

興趣和課堂效率。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

1.通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，

并形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

2.認(rèn)識(shí)有限與無(wú)限的辯證關(guān)系。

教學(xué)重點(diǎn)：

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析及其適用范圍，掌握數(shù)學(xué)歸納法

證題的基本步驟。

教學(xué)難點(diǎn)：

認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的證明思路，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理

解。

教具準(zhǔn)備：

傳統(tǒng)板書與多媒體輔助教學(xué)相結(jié)合。

教學(xué)過程：

一、情景設(shè)置

問題1:通過計(jì)算下面的式子，你能猜想出-1+3-5+…+(-1)

n(2n-1)的結(jié)果嗎？證明你的結(jié)論。

-1+3=

-1+3-5=

-1+3-5+7=

-1+3-5+7-9=

問題2：多米諾骨牌是怎樣全部倒下的？

二、探究新知

問題1中，要證明等式在n為正整數(shù)時(shí)都成立，雖然可以驗(yàn)

證n=1,2,3,4...甚至10000000時(shí)等式(★)成立，但是

正整數(shù)有無(wú)限多個(gè)，我們無(wú)法對(duì)它們——驗(yàn)證，所以，通過

驗(yàn)證是無(wú)法完成證明的。

下面我們先來(lái)看看多米諾骨牌的視頻(多媒體播放視頻材

料)，討論問題2。

如果不推倒起始的第一張骨牌，而從其后的第二張或某一張

開始推倒，那么其前面的骨牌會(huì)倒嗎？如果因?yàn)槌槿ブ虚g的

某一張或某一張牌擺放不標(biāo)準(zhǔn)等原因，使得此處前一張骨牌

倒下后不能碰倒下一張，那么骨牌會(huì)全部倒下嗎？顯然，以

上的情況都不能使得全部骨牌倒下，可見讓所有的多米諾骨

牌全部倒下，應(yīng)具備如下條件：

條件一：第一張骨牌倒下。

條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張

倒下。

其中條件一是前提、是基礎(chǔ)，條件二是持續(xù)遞推的保障，二

者缺一不可。

通過以上合作交流，師生共同探究得到解決問題的方法：第

一塊骨牌倒下相當(dāng)于證明當(dāng)n=1時(shí)，等式（★）成立；對(duì)于

任一塊骨牌倒下相鄰的后一塊也倒下，相當(dāng)于當(dāng)n=k時(shí)，等

式（★）成立，推出當(dāng)n=k+1時(shí)等式（★）也成立?？梢越?/p>

立一種像多米諾骨牌那樣的“由前到后”的遞推關(guān)系，即由

n=1時(shí)等式（★）成立為起點(diǎn)，遞推出n=2時(shí)等式（★）成立;

再由n=2時(shí)等式（★）成立，遞推出n=3時(shí)等式（★）成立...

依次自動(dòng)遞推下去，就可以說，對(duì)于任意正整數(shù)n,等式（★）

成立。

按照上述思路可具體證明等式（★）成立。

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，式（★）⑴左右兩邊都等于T,即這時(shí)

等式（★）成立。

⑵假設(shè)當(dāng)n=k（k21）時(shí)等式（★）成立，即

-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）kk

當(dāng)n-k+1時(shí)，左邊=-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1

[2(k+1)-1]

二(-1)kk+(-1)k+1[2(k+1)-1]

=(-1)k+1[-k+2(k+1)-1]

=(-1)k+1(k+1)=右邊

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式(★)成立。

由(1)(2)可知，-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn(nGN+)

三、明確概念

(板書)“數(shù)學(xué)歸納法”

一般地，證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)nO的所有正整數(shù)

n都成立時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值nO(nOGN+)時(shí)命題

成立。

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k￡N+,且k'nO)時(shí)命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。

只要完成以上兩個(gè)步驟，就可以判定命題對(duì)從nO開始的所有

正整數(shù)n都成立。

上述方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點(diǎn)：

(1)第一步是基礎(chǔ)，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣,

是不可靠的。

(2)第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能

是不完全歸納法。

(3)nO不一定取1,也可取其它一些正整數(shù)，nO是使命題成

立的最小正整數(shù)。

(4)第二步的證明必須利用歸納假設(shè)，否則不能稱作數(shù)學(xué)歸

納法。

四、鞏固應(yīng)用

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)12+22+...+n2=(n￡N+)

(2)當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),1+3+5+-+(2n-1)=n2

五、回顧總結(jié)

1.本節(jié)課學(xué)到了什么？

2.這些知識(shí)是怎樣得出的？

3.你有什么體會(huì)與感悟？

(責(zé)任編輯史玉英)

第二篇：“數(shù)學(xué)歸納法”(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)(修改稿)

“數(shù)學(xué)歸納法”(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)(修改稿)

浙江省衢州高級(jí)中學(xué)何豪明

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

“數(shù)學(xué)歸納法”是人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書

數(shù)學(xué)（選修2-2）》中的內(nèi)容，它可以完成通過有限個(gè)步驟的

推理，證明取所有正整數(shù)都成立的命題的證明.

在等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們用不完全歸

納法推出了它們的通項(xiàng)公式，其中正確性的嚴(yán)格證明需要用

數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行.因此，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的

深化和拓展，也是歸納推理的具體應(yīng)用.

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法（證明某些與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)常常采用

的方法）證明命題的步

驟：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值（2）（歸納遞推）假設(shè)

當(dāng)

命題也成立；

根據(jù)（1）和（2）,可知命題對(duì)于從

開始的所有正整數(shù)都成立.

是正整數(shù)的一

是全體正

時(shí)命題成立；

時(shí)命題成立，證明當(dāng)

時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是皮亞諾公理，皮亞諾公理中第五

條：設(shè)個(gè)子集，且它具有下列性質(zhì)：①整數(shù)的集合，即使

;②若

,則

.那么

）也叫做歸納公理.設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，我們把

對(duì)于所有正整數(shù)都成立，只（數(shù)學(xué)歸納法中的第一步，則

（數(shù)學(xué)歸納法，從而證明了成立的所有正整數(shù)組成的集合記

為，如果要證明要證明即可.為此，根據(jù)歸納公理，首先證

明“歸納奠基”正是進(jìn)行這樣的證明）；其次證明若中的第二

步“歸納遞推”正是進(jìn)行這樣的證明）.這樣即可得到命題對(duì)

于一切正整數(shù)都成立.不難看出歸納公理是數(shù)學(xué)歸納法的理

論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)證明步驟恰是驗(yàn)證這條公理所說

的兩個(gè)性質(zhì).

數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正

整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)出當(dāng)

時(shí)命題成立，利用這個(gè)假設(shè)，如果能推

，時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有的正整數(shù)”””，

命題都成立.也就是說，當(dāng)

時(shí)命題成立，可以推時(shí)命題成立，可以推出出時(shí)命題成立，

當(dāng)

時(shí)命題成立，"".

即命題真

命題

真

命題.

因此可知命題對(duì)于從

開始的所有正整數(shù)都成立.

真

命題

真數(shù)學(xué)歸納法的思維模式是：“觀察——?dú)w納——猜想——

證明”.

數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點(diǎn)是借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基

本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)（取

無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課的目標(biāo)是:

1.借助具體實(shí)例歸納出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟；2.了

解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的命題.

數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的命題，在證明

過程中，要分“兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論”.其中第一步是歸納

奠基，只需驗(yàn)證取第一個(gè)值

（這里

是使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，它不一定是1,可以是2,

或取別的正整數(shù)）時(shí)命題成立；第二步是歸納遞推，就是要

證明命題的傳遞性.把第一步的結(jié)論和第二步的結(jié)論聯(lián)系起

來(lái)，才可以斷定命題對(duì)所有的正整數(shù)都成立.因此，用數(shù)學(xué)

歸納法證明命題時(shí)，完成了上述兩個(gè)步驟后，還應(yīng)該有一個(gè)

總的結(jié)論.否則，還不能算是已經(jīng)證明完畢.所以，嚴(yán)格地

說，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的完整過程應(yīng)該是“兩個(gè)步歌和

一個(gè)結(jié)論”.應(yīng)用類比的方法，類比多米諾骨牌游戲和數(shù)學(xué)

歸納法，將一塊“骨牌”對(duì)應(yīng)一個(gè)“命題”，某塊骨牌“倒

下”對(duì)應(yīng)某個(gè)命題“成立”，從而培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力.

三、教學(xué)問題診斷分析

教學(xué)的難點(diǎn)：（1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具

體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出

證明；（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)

現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系.因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)

鍵在第二步，而第二步的關(guān)鍵在于合理利用歸納假設(shè).如果

不會(huì)運(yùn)用“假設(shè)當(dāng)命題成立”這一條件，直接將

時(shí)，

代入命題，便說命題成立，實(shí)質(zhì)上是沒有證明.為突破以上

教學(xué)難點(diǎn)，課堂教學(xué)中兩條線索交替進(jìn)行.一條是主線：”提

出問題——分析問題——解決問題”；另一條是暗線：“課

堂提問的規(guī)則——根據(jù)學(xué)號(hào)提問，并依次從小號(hào)到大號(hào)”.在

這個(gè)過程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證明命題的第一步的第

一個(gè)值不一定是1,就如同第一個(gè)被提問到的學(xué)生不一定是1

號(hào)的學(xué)生一樣.若是2號(hào)，

則下一個(gè)被提問的學(xué)生一定是3號(hào).

另外，設(shè)計(jì)命題：已知

時(shí)，命題成立，求證：

時(shí)命題成立.從而突破數(shù)學(xué)歸納法第二步中證明命題的難點(diǎn).

四、教學(xué)支持條件分析

在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在必修5中學(xué)習(xí)了不完全

歸納法（推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式）；在本章的合情推

理中已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理，在演繹推理中學(xué)習(xí)了“三段

論”.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解推理思想和證明方法的重

要基礎(chǔ).因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)該充分注意這一教學(xué)條件，通過類

比的方法，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

利用flash軟件，動(dòng)態(tài)地演示多米諾骨牌游戲，從中體會(huì)并

理解“歸納奠基”和“歸納遞推”，知道只有把“歸納奠

基”與“歸納遞推”結(jié)合起來(lái)，才能完成數(shù)學(xué)歸納法的

證明過程，理解數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟.

另外，在課堂練習(xí)時(shí)，選擇學(xué)生中有代表性的解法，利用實(shí)

物投影進(jìn)行分析講解，

增強(qiáng)課堂教學(xué)效果.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.從思考題中引入課題

思考題：已知數(shù)列的第1項(xiàng)此推測(cè)計(jì)算

,且

的公式，并給出證明.

,計(jì)算由分析：逐一驗(yàn)證是不可能的.那么，我們應(yīng)該思考

“怎樣通過有限個(gè)步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立”

的問題.引出課題“這就是我們今天要研究的直接證明數(shù)學(xué)

問

題的一種方法——數(shù)學(xué)歸納法”.

【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用歸納推理，發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，這

是數(shù)學(xué)歸納法的先行組織者；該思考題出現(xiàn)在本章第一節(jié)的

合情推理中，是課標(biāo)教材“螺旋式”上升的具體體現(xiàn)，其思

維模式就是“觀察——?dú)w納——猜想——證明”.

2.體會(huì)多米諾骨牌游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

游戲：在多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下

的條件是什么？【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)多米諾骨牌游戲的分

析，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的歸納和

概括過程，從而理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).思考游戲1:擺放好

多米諾骨牌，推倒第1塊骨牌，觀察發(fā)生的結(jié)果？思考游戲

2：擺放好多米諾骨牌，推倒第2塊骨牌，觀察發(fā)生的結(jié)果？

【設(shè)計(jì)意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，體會(huì)所有骨牌都倒

下，第1塊骨牌必須

倒下，這是基礎(chǔ)，也是前提條件.思考游戲3：擺放好多米諾

骨牌，先抽走第塊骨牌，然后推倒第塊骨牌，觀察發(fā)

生的結(jié)果？

【設(shè)計(jì)意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，第塊骨牌不能拿走,

因?yàn)榈趬K骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保證，這就是多

米諾骨牌游戲的連續(xù)性.問題1:為什么會(huì)有這些結(jié)果的發(fā)

生？如果我們想要確保所有的多米諾骨牌都倒下，

那

么必須滿足哪些條件？

問題2：從多米諾骨牌游戲中，抽象出解決與正整數(shù)有關(guān)的命

題的方法？

【設(shè)計(jì)意圖】在類比的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法.分析1:根

據(jù)“第一塊骨牌倒下”抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第一步，即（1）

（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值

（

，例如

二1或

）時(shí)，命題成立.分析2:根據(jù)“任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊

倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下”，抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第二步，

即（2）（歸納遞推）假設(shè)

明當(dāng)

時(shí)命題也成立.

時(shí)命題成立，證分析3：從完成“多米諾骨牌游戲”中，抽象

出數(shù)學(xué)歸納法證明命題的結(jié)論，即由（1）,（2）可知，命題

對(duì)于從

開始的所有正整數(shù)都成立.【設(shè)計(jì)意圖】抽象出“多米諾骨

牌游戲”的本質(zhì).

3.數(shù)學(xué)歸納法概念的形成

數(shù)學(xué)歸納法：對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)

的數(shù)學(xué)命題，我們常采

用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)取第一個(gè)值

(

，例如

=1或

)時(shí)，命題

成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)

也成立；

根據(jù)(1)和(2),可知命題對(duì)于從

立？

⑵為什么在證明命題時(shí)“兩個(gè)步歌和一個(gè)結(jié)論”缺一不

可？【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步理解“通過有限個(gè)步驟的推理，

證明取所有正整數(shù)都成立”

的情形.分析：缺了第(1)步，就沒有了歸納奠基；缺了第

(2)步，就喪失了歸納遞推的過程；缺了結(jié)論，整個(gè)數(shù)學(xué)歸

納法的過程就不能順利完成兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論”缺一

不可.其思維過程是，當(dāng)時(shí)命題成立，當(dāng)

時(shí)命題成立，可以推出

時(shí)命題成立，可以推出

時(shí)命題

開始的所有正整數(shù)都成立.時(shí)命題成立，證明當(dāng)

時(shí)命題問題3:(1)為什么完成了“兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論”就

說明命題對(duì)所有的正整數(shù)都成

成立，””.4.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

例1:已知數(shù)列的第項(xiàng)，且，求證：.【設(shè)計(jì)意圖】因?yàn)閺?/p>

“n=k到n=k+1”的一般性遞推，可以看成一個(gè)獨(dú)立的命題，

所以設(shè)計(jì)這一例題，有利于突破數(shù)學(xué)歸納法第二步中證明命

題的難點(diǎn).

例2：已知數(shù)列的第1項(xiàng)

推測(cè)計(jì)算

,且

的公式，并給出證明.

,計(jì)算由此

【設(shè)計(jì)意圖】在應(yīng)用的過程中理解數(shù)學(xué)歸納法.

5.課堂練習(xí)

練習(xí)1:已知數(shù)列

計(jì)算

,由此推測(cè)計(jì)算

的公式，并

給出證明.

解：

猜想：證明：（1）當(dāng)（2）假設(shè)當(dāng)么，

想也成立.

根據(jù)（1）和（2）,可知猜想對(duì)任何

都成立.

時(shí)，左邊二

,右邊二1,所以猜想成立.

,那

,所以，當(dāng)

時(shí)猜

時(shí)猜想成立，即問題4：請(qǐng)看練習(xí)1的三個(gè)變式，請(qǐng)問它們的

分析過程合理嗎？請(qǐng)問它的三個(gè)變式

正確嗎？

變式1:等式

分析：假設(shè)當(dāng)

對(duì)任意的正整數(shù)都成立嗎？時(shí)命題成立，即，那么，

,所以，當(dāng)

命題也成立.

時(shí)所以等式0成立.

【設(shè)計(jì)意圖】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，只有歸納遞推，沒

有歸納奠基是不行的.變式2：等式

分析：當(dāng)所以等式

時(shí)，左邊二

對(duì)任意的正整數(shù)都成立嗎？，右邊二

(

9

)成立.

【設(shè)計(jì)意圖】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，只有歸納奠基，沒

有歸納遞推也是不行的.

變式3：等式分析：（1）當(dāng)（2）假設(shè)當(dāng)那么，

時(shí)，等式也成立，

所以等式

對(duì)任何

都成立.

時(shí)，左邊二

對(duì)任意的正整數(shù)都成立嗎？，右邊二

,所以等式成立.

,所以當(dāng)

時(shí)等式成立，即【設(shè)計(jì)意圖】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，不

能沒有歸納遞推的過程（即證明命題時(shí)歸納假設(shè)一定要用

上），因?yàn)樗沁\(yùn)用“有限”手段，解決“無(wú)限”問題的關(guān)鍵.

練習(xí)2：用數(shù)學(xué)歸納法證明

練習(xí)3：已知數(shù)列

計(jì)算

明.

,由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步熟練

數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟，加深對(duì)數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的理

解.6.課堂小結(jié)

(1)數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？

一般被用于證明某些與正整數(shù)n(n取無(wú)限多個(gè)值)有關(guān)的數(shù)學(xué)

命題.

(2)數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？

兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可.(3)數(shù)學(xué)歸納法證明命

題的關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用上，解題

目標(biāo)要明確(也就是人們常說的“雙湊”：

湊假設(shè)和湊結(jié)論).

(4)數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？

數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用

命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段，來(lái)解決“無(wú)

限”的問題.它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，

又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識(shí)到事

情由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般、由有限到無(wú)窮.其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)

思想方法有歸納的思想，遞推的思想，特殊到一般的思想，

有限到無(wú)限的思想方法.等等.

【設(shè)計(jì)意圖】回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，提高學(xué)生對(duì)本

節(jié)課知識(shí)的整體認(rèn)識(shí).

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：①②首項(xiàng)是，

公差是

的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是

,前項(xiàng)和的公

式的.

【設(shè)計(jì)意圖】通過數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，體會(huì)其思維模式:

“觀察----歸納一

一猜想——證明”.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：

其證明方法是否正確？并說明理由.證明：假設(shè)那么，當(dāng)

時(shí)命題成立，就是時(shí)，

，這就是說，當(dāng)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，

時(shí)命題也成立.

成立.

9

的步驟如下，【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)不能沒有

第一步，因?yàn)樗菤w納奠基.

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明.【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)歸納法證明命

題時(shí)，兩個(gè)步歌和一個(gè)結(jié)論，缺一不可.同時(shí)，

歸納假設(shè)一定要用上.

(4)已知數(shù)列

計(jì)算

式，并給出證明.

,由此推測(cè)計(jì)算的公【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的思維模

式：“觀察——?dú)w納——猜想——證明”.這

就是數(shù)學(xué)歸納法的核心思想.

(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明.【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)歸納法證明命

題時(shí)，第一步中的第一個(gè)值不一定是1.

第三篇：數(shù)學(xué)歸納法(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)

6.3數(shù)學(xué)歸納法(第一課時(shí))

一、教學(xué)目標(biāo)：

(―)知識(shí)目標(biāo)：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)

學(xué)命題.

(二)情感目標(biāo)：

進(jìn)一步培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維品質(zhì)，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)有限與無(wú)

限的辯證關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，欣賞數(shù)學(xué)的美與理.

（三）能力目標(biāo)：

培養(yǎng)“大膽猜想，小心求證”的科學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問

題與提出問題的數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的合作交流的能

力，使學(xué)生初步掌握由歸納到猜想再到證明的數(shù)學(xué)思想方法.

二、教學(xué)重點(diǎn)

掌握數(shù)學(xué)歸納法證明題目的步驟，掌握數(shù)學(xué)歸納法的一些應(yīng)

用.

三、教學(xué)難點(diǎn)

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法第二個(gè)步驟中從k到k+1的變化情況分析.

四、教學(xué)過程

（一）引入課題

將課前準(zhǔn)備好的多米諾骨牌擺好并進(jìn)行演示，觀察其中出現(xiàn)

的“多米諾現(xiàn)象”：推倒頭一塊骨牌，它會(huì)帶倒第二塊，再

帶倒第三塊，，，”，直到所有骨牌全部倒下.

假設(shè)多米諾骨牌有無(wú)窮多塊，在擺多米諾骨牌時(shí)，怎樣才能

保證所有的骨牌一塊接一塊地倒下？

學(xué)生：首先必須推倒第一塊，接著是假如前面一塊倒下，要

保證它倒下時(shí)會(huì)撞倒下一塊.這兩個(gè)條件滿足了，全部的骨

牌都將倒下.

教師：生活中還有許多現(xiàn)象與“多米諾現(xiàn)象”類似，也都可

以提出同樣的問題并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮時(shí)

怎樣才能保證所有的鞭炮逐個(gè)地全部燃爆？在一列隊(duì)伍中傳

達(dá)口令，怎樣才能保證口令能從第一個(gè)士兵開始逐個(gè)傳遍整

個(gè)隊(duì)伍？

（二）傳授新知：

教師：現(xiàn)在我們把骨牌想象為一系列無(wú)窮多個(gè)編了號(hào)的命題:

P1,P2,P3,，假定我們能夠證明最初的一個(gè)命題P1正確（奠

基）；由每一個(gè)命題Pk的正確性都可以推出它的下一個(gè)命題

Pk1的正確性（過渡）.那么我們便證明了這一系列命題的

正確性.請(qǐng)將這個(gè)過程與多米諾現(xiàn)象進(jìn)行類比.

在數(shù)學(xué)中這種證明問題的方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.在數(shù)學(xué)中采

用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，有以下兩個(gè)步歌:

第一步，證明n1時(shí)命題成立；

第二步，證明：如果nk時(shí)命題成立，那么nk1時(shí)命題

也成立.

根據(jù)以上兩步可以斷定，命題對(duì)任何正整數(shù)n都成立.

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果｛an｝是一個(gè)等差數(shù)列，那么

ana1(n1)d對(duì)一切nN都成立.

【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊=a1,右邊=a10da1,

等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即

aka1(k1)d,那么

ak1akd[a1(k1)d]da1[(k1)1]d,這

表明，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.根據(jù)(1)、(2)可以斷

定，等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.

n1時(shí)等式成立；n112教師：在例1解題過程中，根

據(jù)(1),再根據(jù)(2),

13時(shí)等式也成立.這時(shí)等式也成立.由于n2時(shí)等成

立.再根據(jù)(2),n2樣遞推下去，就知道n4,5,6,?時(shí)

等式都成立，即等式對(duì)任何nN都成立.請(qǐng)歸納出以上的

證明步驟.

學(xué)生：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟是：

(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值nO(例如nO1或2等)時(shí)結(jié)論正

確；

(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，且knO)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)

nk1時(shí)結(jié)論也正確.

在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對(duì)于從nO開始的

所有正整數(shù)n都正確.

正確使用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是在第二個(gè)步

驟，只有應(yīng)用了假設(shè)條件去推理，證明過程才是有效的，沒

有應(yīng)用假設(shè)條件的證明過程并不是在使用數(shù)學(xué)歸納法.

教師：數(shù)學(xué)歸納法的思想可以遠(yuǎn)推至歐幾里得〔前330-前

275〕.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納法是在16世紀(jì)后期才引入的.1575

年意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家莫洛克斯(1494-1575J在他的

《算術(shù)》一書中明確提出了這一方法，并且用它證明了

“135(2n1)n2”等；法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡

[1623-1662)承認(rèn)莫洛克斯引用了這方法，并在他的著作

《三角陣算術(shù)》中運(yùn)用了這一方法.因此，一般認(rèn)為帕斯卡

是數(shù)學(xué)歸納法的主要發(fā)明人.由于帕斯卡還沒有表示任意自

然數(shù)的符號(hào)，因此組合公式及證明只能用敘述的方法，1686

年J伯努利首先采用了表示任意自然數(shù)的符號(hào)，在他的名著

《猜度術(shù)》〔1713〕中包含運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的出色例

子.“數(shù)學(xué)歸納法”這個(gè)名稱及數(shù)學(xué)歸納法的證題形式是德

?摩根(1806-1871〕所提出的.皮亞諾(1858-1932J的自

然數(shù)公理中包含了歸納原理.

(三)講解例題：

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：123n12n(n1).

【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊=1,右邊=1,等式成立；(2)

假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即123k那么

123k(k1)12(k1)(k2)112k(k1)

(k1)

12k(k1),

2這表明，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.

(k1)[(k1)1],

根據(jù)(1)、(2)可以斷定，等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.2.求

證對(duì)于任何非負(fù)整數(shù)n,都有2nn1.【證明】(1)當(dāng)

n0時(shí)，20XX01,不等式成立.(2)設(shè)當(dāng)nk時(shí)，

2kk1.貝Ink1時(shí)，

2k122k2(k1)(k1)1.

n綜上所述，對(duì)于任何非負(fù)整數(shù)n,都有2n1.

3.證明，其中n￡N*.

【評(píng)析】用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵

是第二步，要注意當(dāng)n=k+1時(shí)，等式兩邊的式子與n=k時(shí)等

式兩邊的式子的聯(lián)系，或增加了哪些項(xiàng)，或減少了哪些項(xiàng)，

問題就容易解決.

【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+1=2,右邊2112,等

式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立,即當(dāng)n=k+1時(shí)，

.則

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.

由(1)、(2)可知，對(duì)一切n￡N*,等式成立.

教師：數(shù)學(xué)歸納法只能在有了問題結(jié)論時(shí)才能使用，獲取問

題的結(jié)論需借助合情推理，所以，“觀察一分析一歸納一猜

想一證明”才是從發(fā)現(xiàn)問題至解決問題的完整過程.如果問

題與自然數(shù)有關(guān)，一般可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法去證明.

教師：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義，利用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，上

述兩步驟缺一不可.如果只有第一步?jīng)]有第二步的證明，則

它是屬于不完全歸納法，作出的結(jié)論就不一定真實(shí)可靠，而

有了第二步的證明，在數(shù)學(xué)歸納原理的保證下，才使得結(jié)論

是完全可靠的.但要注意，僅有第二步而無(wú)第一步的證明，

結(jié)論也是不一定真實(shí)的.同時(shí)要注意，數(shù)學(xué)歸納法有別于上

面提到的完全歸納法和不完全歸納法，它是根據(jù)歸納原理綜

合運(yùn)用歸納、演繹推理的一種特殊的數(shù)學(xué)證明方法.

利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明某些與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，核

心問題是用“nk時(shí)命題成立”的假設(shè)條件證明“nk1

時(shí)命題成立"，證明時(shí)要通過比較找出二者之間的差異，才

能實(shí)現(xiàn)中間的過渡.數(shù)學(xué)歸納法證較多地使用在關(guān)于恒等式、

不等式、數(shù)列、幾何以及整除類等問題中.

第四篇：《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)

“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)設(shè)計(jì)山西省平遙中學(xué)李英【教學(xué)內(nèi)容

剖析】

《數(shù)學(xué)歸納法》是人教版選修教材2—2第二章第三節(jié)內(nèi)容，

本節(jié)課是第一課時(shí)。前面學(xué)生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和其它

相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般

結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。但由于有限多個(gè)特殊事

例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證

方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法——數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法亮點(diǎn)就在于，通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取

無(wú)限多個(gè)正整數(shù)的情形，這也是無(wú)限與有限辨證統(tǒng)一的體現(xiàn)。

并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?、?xùn)練學(xué)生的抽

象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的很好的素材?！窘虒W(xué)目標(biāo)確

定】

1、知識(shí)和技能

(1)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；

(2)掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論的模式；(3)

會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。

2、過程與方法

通過多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)引出數(shù)學(xué)歸納法的原理，使學(xué)生體驗(yàn)由

實(shí)踐向理論過度的過程。在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)問題、

提出問題的意識(shí)，解決問題和數(shù)學(xué)交流的能力，學(xué)會(huì)用總結(jié)、

歸納、演繹類比探求新知識(shí)。3.情感態(tài)度價(jià)值觀

通過對(duì)問題的探究活動(dòng)，親歷知識(shí)的構(gòu)建過程，領(lǐng)悟其中所

蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想；體驗(yàn)探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感

悟“數(shù)學(xué)美”，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)多思勤練的好習(xí)慣和勇

于探索的治學(xué)精神。進(jìn)一步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識(shí)和

科學(xué)精神。【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

根據(jù)教學(xué)大綱的要求、本節(jié)課內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平，

本節(jié)課知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)制定如下：教學(xué)重點(diǎn)：

(1)使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)。

(2)掌握數(shù)學(xué)歸納法證題步驟，尤其是遞推步驟中歸納假設(shè)

和恒等變換的運(yùn)用教學(xué)的難點(diǎn)：

(1)學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了

解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；

(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體

問題的遞推關(guān)系.

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在第二步，而第二步的

關(guān)鍵在于合理利用歸納假設(shè).如果不會(huì)運(yùn)用“假設(shè)當(dāng)時(shí)，命

題成立”這一條件，那實(shí)際上就是不會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。為

突破以上教學(xué)難點(diǎn)，通過問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而把無(wú)限的驗(yàn)證轉(zhuǎn)

化為對(duì)兩個(gè)命題：“(1)當(dāng)時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)時(shí)，命

題成立，求證：當(dāng)時(shí)命題成立”的證明，而且在第二個(gè)命題

的分析中強(qiáng)調(diào)條件的存在與用途，從而突破數(shù)學(xué)歸納法第二

步中證明命題的難點(diǎn).【教學(xué)條件支持】

利用視頻動(dòng)態(tài)地演示多米諾骨牌游戲，從中體會(huì)并理解“歸

納奠基”和“歸納遞推”，知道只有把“歸納奠基”與“歸

納遞推”結(jié)合起來(lái)，才能完成數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，理解

數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟.

另外，在課堂練習(xí)時(shí)，選擇學(xué)生中有代表性的解法，利用實(shí)

物投影進(jìn)行分析講解，增強(qiáng)課堂教學(xué)效果.

【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】

一、問題導(dǎo)入

1、思考題：已知數(shù)列滿足，且，我們已經(jīng)計(jì)算出，并由此猜

想通項(xiàng)公式為，那么如何證明我們的猜想是正確的呢？

分析：逐一驗(yàn)證是不可能的.那么，我們應(yīng)該思考“怎樣通

過有限個(gè)步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立”的問題.引

出課題“這就是我們今天要研究的一種特殊的直接證明方法

——數(shù)學(xué)歸納法”.

【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用歸納推理，發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，這

是數(shù)學(xué)歸納法的先行組織者；該思考題的類型出現(xiàn)在本章第

一節(jié)的合情推理中，是課標(biāo)教材“螺旋式”上升的具體體現(xiàn)，

其思維模式就是“觀察——?dú)w納——猜想——證明”.2.體

會(huì)多米諾骨牌游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

游戲：在多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下

的條件是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)多米諾骨牌游戲的分析，讓學(xué)生經(jīng)歷從

具體到抽象的歸納和概括過程，從而理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

思考游戲1:多米諾骨牌游戲的最大特點(diǎn)是什么？（牽一發(fā)而

動(dòng)全身）思考游戲2：擺放好多米諾骨牌，推倒第2塊骨牌,

觀察發(fā)生的結(jié)果？

【設(shè)計(jì)意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，體會(huì)所有骨牌都倒

下，第1塊骨牌必須倒下，這是基礎(chǔ)，也是前提條件.思考

游戲3:擺放好多米諾骨牌，存在一塊骨牌倒下后沒有砸倒下

一塊骨牌，觀察發(fā)生的結(jié)果？

【設(shè)計(jì)意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，第塊骨牌倒下，是

后一塊骨牌倒下的保證，這就是多米諾骨牌游戲的連續(xù)性和

傳遞性.

問題1:要確保所有的多米諾骨牌都倒下，那么必須滿足哪些

條件？

問題2：從多米諾骨牌游戲中，抽象出解決與正整數(shù)有關(guān)的命

題的方法？【設(shè)計(jì)意圖】在類比的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法.

分析1:根據(jù)“第一塊骨牌倒下”抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第一

步，即（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)，命題成立.（歸納奠基）

分析2：根據(jù)“假設(shè)某一塊骨牌倒下，那么必定導(dǎo)致后一塊骨

牌倒下?！?，抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第二步，即（2）假設(shè)時(shí)命

題成