二元函數(shù)的極值

一、二元函數(shù)的極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法第六節(jié)二元函數(shù)的極值12/24/20231實例：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品1與2，出售單位分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品1與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品2的總費用是求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大利潤求最大利潤即為求二元函數(shù)的最大值.I、問題的提出12/24/20232一.二元函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(x,y)都有(或)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極大值(或極小值).12/24/20233設(shè)函數(shù)z=f(x,y

)在點P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.稱為極大值點(或極小值點)，使函數(shù)取得極大值的點(或極小值的點)(x0,y0)，定理1(極值存在的必要條件)且在點P0

處有極值，則在該點的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即存在，12/24/20234

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點極值點Problem：如何判定一個駐點是否為極值點？注意在點(0,0)有極大值,(0,0)不是駐點12/24/20235設(shè)P0(x0,y0)是函數(shù)z=f

(x,y)的駐點，且函數(shù)在點P0

的某個鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，定理2(極值存在的充分條件)令則，(1)

當(dāng)P<0且A<0時,f(x0,y0)是極大值，當(dāng)P<0且A>0時，

f(x0,y0)是極小值；12/24/20236也可能沒有極值.函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)可能有極值，(3)

當(dāng)P=0時，(2)

當(dāng)P>0

時，不是極值；12/24/20237(1)先求偏導(dǎo)數(shù)(2)解方程組求出駐點；(3)確定駐點處據(jù)此判斷出極值點，并求出極值.若函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：及的符號，的值12/24/20238例

1求函數(shù)的極值.解(1)

求偏導(dǎo)數(shù)(2)

解方程組得駐點(0,0)及(2,2).12/24/20239(3)列表判斷極值點.駐點(x0,y0)(0,0)(2,2)結(jié)論極大值f(0,0)=1

f(2,2)不是極值A(chǔ)4B22C+12/24/202310例2.求函數(shù)解:

第一步

求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步

判別.(1)在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/202311(3)在點(3,0)處不是極值;(4)在點(3,2)處為極大值.(2)在點(1,2)處不是極值;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/202312二、最大、最小值應(yīng)用問題(Applications)最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/202313例3：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品1與2，出售單位分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品1與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品2的總費用是求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大利潤12/24/20231412/24/202315例4.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/202316實例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實質(zhì)：求在條件下的極值點．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法12/24/202317條件極值(ConditionalMaximumandMinimumValues

)極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/202318第一步：引入輔助函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,第二步：解方程組在條件得駐點.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三步：判別是否為極值方法2

拉格朗日乘數(shù)法(LagrangeMultipliers).12/24/202319Extension拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,

求函數(shù)下的極值.在條件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/202320例6.要設(shè)計一個容量為2單位則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/202321得唯一駐點由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為相等時，所用材料最省.因此,當(dāng)高機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/24/20232212/24/20232312/24/202324Conclusions1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步利用充分條件

判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘