人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.38 圓中的幾何模型-隱形圓（專項(xiàng)練習(xí)）

專題24.38圓中的幾何模型-隱形圓專題（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，P為等邊△ABC外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)與A點(diǎn)分別在BC所在直線的不同側(cè)），且∠APB＝60°，AB＝1，則PB＋PC的最大值為（

）A． B． C． D．2．如圖，△ABC中．∠C＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合）．以CD為直徑的圓交AD于點(diǎn)P．若AC＝6．線段BP長度的最小值是2．則AB的長為（）A．8 B．2 C．4 D．23．如圖，在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，滿足，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．8 D．134．如圖，在中，，，，D是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，交直線BD于點(diǎn)P，交邊BC于點(diǎn)E，若，則AD的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．5．如圖，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長度為（

）A．2 B． C． D．6．如圖，等邊中，，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊BC，CA上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接AD、BE交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑的長度為（

）A． B． C． D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點(diǎn)E，則BE的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，點(diǎn)D是BC邊上動(dòng)點(diǎn)，連接AD交以CD為直徑的圓于點(diǎn)E，則線段BE長度的最小值為___．9．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是正方形外一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E在CD的右側(cè)，，P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PE的最大值為_______．10．如圖，在中，，，，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作于點(diǎn)D，連接BD，則BD的最小值為______．11．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為_____．12．如圖，在中，，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙為的外接圓，⊙交直線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則的最小值為______________．13．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），以B點(diǎn)為圓心，2長為半徑的圓交軸于C、D兩點(diǎn)，若P是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為一直角邊作Rt△PAQ，使得，連接DQ，則DQ的最小值為_____14．如圖，在△ABC中，，過點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為___．15．中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓交于點(diǎn)O，最小=___________．16．如圖，四邊形中，，，平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，，，則______.17．如圖，將繞斜邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，已知，，則________．18．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為______．19．在中，，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，連接．則線段的最小值為_________．20．如圖，在△ABC中，，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作交BD的延長線于點(diǎn)E，則的最小值為________．21．如圖，邊長為4的正三角形ABC，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BN，CM交于點(diǎn)P．若BN＝CM，當(dāng)點(diǎn)M由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長為______．三、解答題22．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；(2)探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC；(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求直線BC的解析式；(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，求△BCE面積的最大值；(4)以AB為直徑，M為圓心作圓M，試判斷直線CD與圓M的位置關(guān)系，并說明理由24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P，Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于點(diǎn)Q到兩坐標(biāo)軸的距離之和，則稱P，Q兩點(diǎn)為同族點(diǎn)．如圖P，Q兩點(diǎn)即為同族點(diǎn)．(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，1），點(diǎn)B在x軸上，且A，B兩點(diǎn)為同族點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)直線l：y＝x﹣3，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，①M(fèi)為線段CD上一點(diǎn)，若在直線x＝n上存在點(diǎn)N，使得M，N兩點(diǎn)為同族點(diǎn)，求n的取值范圍；②M為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以（m，0）為圓心，為半徑的圓上存在點(diǎn)N，使得M，N兩點(diǎn)為同族點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．25．如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著BD以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)沿著DB以2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為xs，△AQP的面積為ycm2，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）a＝．（2）當(dāng)x為何值時(shí)，APQ的面積為6cm2；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ為直徑的圓與APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)．26．如圖，中，O為圓心，圓上兩點(diǎn)分別是定點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)B，連接，．以，和分別為半徑作半圓C、半圓D和半圓E．（1）若，求證：半圓C與半圓D面積之和等于半圓E的面積．（2）若F是半圓D上的中點(diǎn)，且半徑為5，求F運(yùn)動(dòng)路徑長．（3）在（2）的條件下，連接，當(dāng)與其運(yùn)動(dòng)路線相切時(shí)，求的長，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F為BC延長線上一點(diǎn)，連接EF交AC于G．(1)如圖1，若點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，，，求菱形ABCD的面積；(2)如圖2，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，．求證：；(3)如圖3，在（2）問的條件下，將線段CG繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)得線段，點(diǎn)M為中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求HM的最大值．28．點(diǎn)E為正方形ABCD的AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=3，如圖1，將正方形ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為MN．思考探索(1)如圖2，將正方形ABCD展平后沿過點(diǎn)C的直線CE折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在MN上，折痕為EC．①點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，的長為半徑的圓上；②B'M=______；拓展延伸(2)當(dāng)AB=3AE時(shí)，正方形ABCD沿過點(diǎn)E的直線l（不過點(diǎn)B）折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在正方形ABCD內(nèi)部或邊上，連接AB'．①△ABB'面積的最大值為______；②點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在AB'上，連接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，A（0，6），C（8，0）．(1)如圖1，D是OC的中點(diǎn)，將△AOD沿AD翻折后得到△AED，AE的延長線交BC于F．①試判斷線段EF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)如圖2，點(diǎn)M、N分別是線段AB、OB上的動(dòng)點(diǎn)，ON＝2MB，如果以M、N、B三點(diǎn)中的一點(diǎn)為圓心的圓恰好過另外兩個(gè)點(diǎn)（M、N、B三點(diǎn)不在同一條直線上），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．30．如圖，點(diǎn)P在射線的上方，、，點(diǎn)M是射線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），現(xiàn)將點(diǎn)P繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，將點(diǎn)M繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)N，連接，作直線．(1)求證：；(2)直線與以點(diǎn)P為圓心，的長為半徑的圓是否存在相切的情況？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)和的關(guān)系，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若，當(dāng)以點(diǎn)P為圓心，長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，直接寫出劣弧與兩條半徑所圍成的扇形的面積．31．蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)第94頁第19題，小明在學(xué)過圓之后，對(duì)該題進(jìn)行重新探究，請(qǐng)你和他一起完成問題探究．【問題探究】小明把原問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)問題，如圖1，在邊長為6cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接CF、BE交于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)問為t秒．(1)【問題提出】如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在方形ABCD中的邊AD、AB上，且，連接BE、CF交于點(diǎn)M，求證：．請(qǐng)你先幫小明加以證明．(2)如圖1，在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長cm．(3)如圖2，連接CE，在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中．①試說明點(diǎn)D在△CME的外接圓O上；②若①中的O與正方形的各邊共有6個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．32．如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長度的最小值是多少？33．已知⊙C的半徑為，點(diǎn)P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)的定義如下：若點(diǎn)在射線CP上，滿足，則稱點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)．圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)的示意圖．（1）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為6，⊙O與軸的正半軸交于點(diǎn)A．①如圖2，∠AOB＝135°，OB＝18，若點(diǎn)，分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)．則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是；②如圖3，點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在正比例函數(shù)位于第一象限內(nèi)的圖象上，△的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是二次函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)的坐標(biāo)是，請(qǐng)直接寫出的取值范圍34．【選一選，填一填】（1）⊙O的直徑為20，圓上兩點(diǎn)M、N距離為16，⊙O上一動(dòng)點(diǎn)A到直線MN距離的最大值為（

）A．16

B．18

C．24

D．32（2）等腰△ABC中，頂角∠ABC=45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM與BN交于點(diǎn)P，則的值為．【畫一畫，算一算】（3）如圖是某百姓休閑廣場(chǎng)的部分平面示意圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD長60米，BC長80米，點(diǎn)E在CD邊上，且CE長40米．根據(jù)規(guī)劃，要在直角梯形ABCD內(nèi)確定一點(diǎn)F，AF長25米，同時(shí)建造展示區(qū)△FDE和休閑區(qū)△FBC．已知展示區(qū)造價(jià)每平方米200元，休閑區(qū)造價(jià)每平方米100元，建造好展示區(qū)和休閑區(qū)最少需要多少元？35．如圖，為的外接圓，，點(diǎn)D是上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)分別位于的兩側(cè)．（1）求的半徑；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（3）設(shè)的中點(diǎn)為M，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，線段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．36．綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作利用正方形紙片的折疊開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．探究體會(huì)在正方形折疊過程中，圖形與線段的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，點(diǎn)為正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，將正方形對(duì)折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．思考探索（1）將正方形展平后沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為，連接，如圖2．①點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，_________的長為半徑的圓上；②_________；③為_______三角形，請(qǐng)證明你的結(jié)論．拓展延伸（2）當(dāng)時(shí)，正方形沿過點(diǎn)的直線（不過點(diǎn)）折疊后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部或邊上．①面積的最大值為____________；②連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，則的最小值為____________．37．問題提出：（1）如圖1，已知是邊長為2的等邊三角形，則的面積為______．問題探究：（2）如圖2，在中，已知，，求的最大面積．問題解決：（3）如圖3，某校學(xué)生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬米，長米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角．請(qǐng)你通過所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．38．如圖1，正方形ABCD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別為正方形ABCD邊AB、AD上的點(diǎn)，交于點(diǎn)M，且，N為BF中點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出ON與OM的關(guān)系；(2)若將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若，E為AB中點(diǎn)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)C的最大距離和最小距離的差．39．如圖是邊長為2的等邊三角形，D為內(nèi)（包括的邊）一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的長度m的取值范圍為_________．40．【問題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E為AB延長線上一點(diǎn)，連接EC并延長，交AD的延長線于點(diǎn)F，則的度數(shù)為______°；【問題探究】（2）如圖2，在Rt△ABC中，，點(diǎn)D、E在直線BC上，連接AD、AE，若，，求△ADE面積的最小值；【問題解決】（3）近日，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》，此次修訂中增加的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，突破學(xué)科邊界，鼓勵(lì)教師開展跨學(xué)科教研，設(shè)計(jì)出主題鮮明、問題真實(shí)的跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)．為此，某校欲將校園內(nèi)一片三角形空地ABC（如圖3所示）進(jìn)行擴(kuò)建后作為跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)中心，在AB的延長線上取一點(diǎn)D，連接DC并延長到點(diǎn)E，連接AE，已知，米，，為節(jié)約修建成本，需使修建后△ADE的面積盡可能小，問△ADE的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．41．問題提出（1）如圖1，在中，點(diǎn)D在BC上，連接AD，，則與的面積之比為______；問題探究（2）如圖2，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中始終有，求面積的最大值；（結(jié)果保留根號(hào)）問題解決（3）如圖3，某市欲規(guī)劃一塊形如平行四邊形ABCD的休閑旅游觀光區(qū)，點(diǎn)A為觀光區(qū)的人口，并滿足，要求在邊BC上確定一點(diǎn)E為觀光區(qū)的南門，為了方便市民游覽，修建一條觀光通道AE（觀光通道的寬度不計(jì)），且，米，為了容納盡可能多的游客，要求平行四邊形ABCD的面積最大，請(qǐng)問是否存在滿足上述條件的面積最大的平行四邊形ABCD？若存在，求出平行四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）42．如圖，⊙A和⊙B是外離的兩圓，兩圓的連心線分別交⊙A、⊙B于E、F，點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與E、F重合），PC切⊙A于點(diǎn)C，PD切⊙B于點(diǎn)D（C、D均在直線AB上方），已知⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為1，AB＝5．(1)設(shè)線段BP的長為x，線段CP的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(2)分別延長AC、BD，交于點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PQ，如果PQ平分∠AQB，求PB的長；(3)若⊙O與⊙A、⊙B都外切，且OP為直角三角形OAB的角平分線，請(qǐng)直接寫出OP的長．參考答案1．C【分析】∠APB＝60°，則點(diǎn)P一定在△ABC的外接圓⊙O的劣弧上，取PD＝PC，連接CD，再證明△CDP也是等邊三角形，即可證明△BPC≌△ADC（SAS），得到AP＝AD＋PD＝BP＋PC，所以當(dāng)AP為⊙O的直徑時(shí)，PB＋PC的值最大，再求出△ABC的外接圓⊙O的直徑，即可得到答案．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°∵∠APB＝60°∴∠APB=∠ACB=60°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)P四點(diǎn)共圓，∵點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線BC兩側(cè)，∴點(diǎn)P一定在△ABC的外接圓⊙O的劣弧上，如圖，取PD＝PC，連接CD，∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，BC＝AC＝AB＝1∴△CDP也是等邊三角形∴PC＝DC，∠PCD＝60°∴∠PCD－∠BCD＝∠ACB－∠BCD∴∠BPC＝∠ACD在△BPC和△ADC中，∴△BPC≌△ADC（SAS）∴AD＝BP∴AP＝AD＋PD＝BP＋PC當(dāng)AP為⊙O的直徑時(shí)，PB＋PC的值最大，連接OB，OC，作OH⊥BC于點(diǎn)H，則∠BOC＝2∠BAC＝120°∵OB＝OC∴△OBC是等腰三角形∴∠OBC＝（180°－∠BOC）＝30°，BH＝CH＝BC＝∴OB＝即⊙O的半徑為，直徑為，∴PB＋PC的最大值為．故選：C【點(diǎn)撥】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的外接圓、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，找到當(dāng)AP為⊙O的直徑時(shí)，PB＋PC的值最大是解答此題的關(guān)鍵．2．D【分析】利用圓周角定理得到∠CPD＝90°，則可判斷點(diǎn)P在以AC為直徑的⊙O上，如圖，連接OB交⊙O于P′，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到BP′＝2，再利用勾股定理計(jì)算出BC，然后在Rt△ABC中利用勾股定理可計(jì)算出AB．【詳解】解：∵CD為直徑，∴∠CPD＝90°，∵∠APC＝90°，∴點(diǎn)P在以AC為直徑的⊙O上，如圖，連接OB交⊙O于P′，∵線段BP長度的最小值是2，∴BP′＝2，∴OB＝2+3＝5，在Rt△OBC中，BC＝，在Rt△ABC中，AB＝．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】如圖，取中點(diǎn)，連接．則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，最短，此時(shí)為最短．所以，即為的最小值．【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接．，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，最短，此時(shí)為最短．在中，，，則，，即的最小值是8．故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了兩點(diǎn)之間最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造圓和運(yùn)用勾股定理．4．C【分析】由，可推出，即可求出，即說明點(diǎn)D在以BC為弦，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)其圓心為點(diǎn)G，連接AG、DG．根據(jù)圖形易證為等邊三角形，從而得出，又可間接證明，即可利用勾股定理求出AG的長，最后利用三角形兩邊之差小于第三邊即可求出答案．【詳解】∵，∴，即．∴．即說明點(diǎn)D在以BC為弦，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)其圓心為點(diǎn)G，連接AG、DG．∴，∴為等邊三角形，∴，，∴．∴在中，．∵，即．∴當(dāng)點(diǎn)A、D、G三點(diǎn)共線時(shí)AD最小，最小值為．故選C．【點(diǎn)撥】本題為圓的綜合題．考查圓周角定理，圓的外接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及三角形三邊關(guān)系等知識(shí)．根據(jù)題意判斷出點(diǎn)D在以BC為弦，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，并作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．5．D【分析】由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因?yàn)椤螦ED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四點(diǎn)共圓，推出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，利用弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=90°，∴A、C、G、D四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，∵AB=4，AB=AC，∴AC=2，∴OA=OC=，∵DA=DC，OA=OC，

∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、軌跡、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確探究點(diǎn)G的軌跡，屬于中考常考題型．6．B【分析】如圖，作過A、B、F作⊙O，為點(diǎn)F的軌跡，然后計(jì)算出的長度即可．【詳解】解：如圖：作過A、B、F作⊙O，過O作OG⊥AB∵等邊∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°∵∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同側(cè)的圓周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB，OA=OB∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°，BG=AB=∴∠OBG=30°設(shè)OB=x，則OG=x∴，解得x=或x=-（舍）∴的長度為．故選B【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及圓周角定理，根據(jù)題意確定點(diǎn)F的軌跡是解答本題的關(guān)鍵．7．B【分析】連接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，從而知點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙Q上，繼而知點(diǎn)Q、E、B共線時(shí)BE最小，根據(jù)勾股定理求得QB的長，即可得答案．【詳解】解：如圖，連接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，當(dāng)點(diǎn)Q、E、B共線時(shí)BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問題．8．1【分析】作AC為直徑的圓，圓心為O，即可得當(dāng)O、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，BE是最短，根據(jù)勾股定理求OB的長度即可求．【詳解】解：如圖，作以AC為直徑的圓，圓心為O，連接CE，OE，OB，∵E點(diǎn)在以CD為直徑的圓上，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°，∴點(diǎn)E也在以AC為直徑的圓上，∵AC＝8，∴OE=OC＝4，∵BC＝3，∠ACB＝90°，∴OB=，∵點(diǎn)E在⊙O上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，∴BE+OE≥OB，∴當(dāng)點(diǎn)B、E、O三點(diǎn)共線時(shí)OB最短，∵OE定值，∴BE最短＝OB﹣OE＝5﹣4＝1，故答案為：1【點(diǎn)撥】本題考查直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)軌跡，勾股定理，最短路徑，掌握直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)軌跡，勾股定理，最短路徑是解題關(guān)鍵．9．2+2【分析】連接AC，設(shè)正方形ABCD的外接圓為⊙O，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ACD=∠AED=45°，進(jìn)而得到點(diǎn)E在正方形ABCD的外接圓⊙O上，PE≤OP+OE，當(dāng)點(diǎn)P、O、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE最大，即PE最大值為OP+OE，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出OP，利用勾股定理求出AC，得到OE，即可得到答案．【詳解】解：連接AC，設(shè)正方形ABCD的外接圓為⊙O，如圖，∵ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∵∠AED=45°，∴點(diǎn)E在正方形ABCD的外接圓⊙O上，∴PE≤OP+OE，當(dāng)點(diǎn)P、O、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE最大，即PE最大值為OP+OE，∵P是AB的中點(diǎn)，O是AC中點(diǎn)，∴OP=BC=×4=2，在Rt△ABC中，由勾股定理，得，∴OE=OA=AC=2，∴PE最大值=OP+OE=2+2，故答案為：2+2．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．【分析】由題意可知，點(diǎn)D在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取AC中點(diǎn)O，△ABC的外接圓⊙O．連接OD、OB．當(dāng)O、D、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，DB取最小值，此時(shí)DB=OB-OD．由此解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴點(diǎn)D在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取AC中點(diǎn)O，的外接圓．連接OD、OB．當(dāng)O、D、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，DB取最小值，此時(shí)．∵，，，∴，∴，在中，，∴，即BD的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是確定BD取最小值的位置．11．【分析】如圖，由EG＝2，確定在以G為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，連接AE，再證明（SAS），可得可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，則最短，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，由EG＝2，可得在以G為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，連接AE，∵正方形ABCD，∴∴∵DE=DF，∴（SAS），∴∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，則最短，∵位BC中點(diǎn)，∴此時(shí)此時(shí)所以CF的最小值為：故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，熟練的利用圓的基本性質(zhì)求解線段的最小值是解本題的關(guān)鍵．12．【分析】先求出∠ACB=∠CDP=30°，得到∠BDC=150°，則點(diǎn)D在以BC為弦，∠BDC=150°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的圓弧所在圓的圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，則∠BNC=30°，當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最小值，再證明△BMC是等邊三角形，得到∠MCB=60°，MC=BC=6，推出∠ACM=90°，利用勾股定理求出AM的長即可求出AD的長．【詳解】解：∵AE=CP，∴∠ACB=∠CDP=30°，∴∠BDC=150°，∴點(diǎn)D在以BC為弦，∠BDC=150°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的圓弧所在圓的圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，∴∠BNC=30°，當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最小值，∴∠BMC=60°，又∵M(jìn)B=MC，∴△BMC是等邊三角形，∴∠MCB=60°，MC=BC=6，∵∠ACB=30°，∴∠ACM=90°，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．13．##【分析】由題意根據(jù)“瓜豆原理-主從聯(lián)動(dòng)”可得Q的點(diǎn)軌跡也是一個(gè)圓，找到此圓即可解決問題．【詳解】解：如圖，取點(diǎn)M（2，-2），連接AM，MQ、PB，∵∠MAB=∠QAP=90°，∴∠MAQ=∠BAP，∵，∴△MAQ∽△BAP，∴MQ=PB=1，∴Q點(diǎn)在以M為圓心，以1為半徑的圓上，由圖象可得：DQ的最小值為：DM-MQ，AD=OD-OA=6+2-2=6，由勾股定理可得：DM=，∴DQ的最小值等于：?1.故答案為：?1．【點(diǎn)撥】本題考查軌跡圓問題，熟悉掌握利用相似三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)的軌跡是快速解題的關(guān)鍵．14．1【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交于E′，此時(shí)AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CE．∵APBC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交于E′，此時(shí)AE′的值最?。藭r(shí)⊙O與⊙O'交點(diǎn)為E'．∵∠BE'C＝120°∴所對(duì)圓周角為60°，∴∠BOC＝2×60°＝120°，∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，∴O′B＝O′C＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A＝，∴AE′＝O'A?O'E′＝5?4＝1．故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題．15．【分析】首先證明∠AOB=90°，得到點(diǎn)O在以AB為直徑的圓Q上，從而推斷出點(diǎn)O在線段QC上時(shí)，CO最小，再利用QC-QE求出OC的最小值即可．【詳解】解：連接AO，如圖1，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=，∵AP為直徑，∴∠AOP=90°，∴∠AOB=90°，∴點(diǎn)O在以AB為直徑的圓Q上，∵圓Q的半徑為1，連接QO，QC，∴QO=AB=1，在Rt△AQC中，∵QA=1，AC=2，∴QC=，由于QC=，QO=1是定值，點(diǎn)O在線段QC上時(shí)，CO最小，如圖2，∴CO=QC-QE=，即線段CE長度的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長．解決本題的關(guān)鍵是確定O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問題．16．【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先根據(jù)，證明、、、四點(diǎn)共圓，證明，設(shè)，，表示的長，根據(jù)列方程可得結(jié)論．【詳解】過作，交的延長線于，連接，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，平分，，，，，，，，，，設(shè)，，則，中，，，，，，，中，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．17．【分析】如圖，連接，，作于，于．先證，根據(jù)勾股定理求出AB，利用旋轉(zhuǎn)求出EF，然后證明四邊形OMCH為矩形，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，作于，于．由題意：，，，，，共圓，，，，，，∵，，，，，，∵△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△FEH，∴AE=CB，F(xiàn)E=AB=，∴，∴∠BAC=∠ACE，∴，∴于，于．∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，∴四邊形是矩形，，∵OE=,，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形，圓周角定理，矩形判定與旋轉(zhuǎn)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時(shí)，三角形ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點(diǎn)軌跡圓，該軌跡與BH交點(diǎn)即為所求最小值時(shí)的G點(diǎn)，利用面積法求出BH、GH的長，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當(dāng)G在BH上時(shí)，△ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點(diǎn)，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及矩形中的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．19．-4【分析】如圖，以AC為邊作等邊三角形OAC，再以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓O，交BC于D2，由圓周角定理可得點(diǎn)D是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，AD2為直徑，利用勾股定理可求得CD2，連接OB交圓O于D1，當(dāng)點(diǎn)D在D1位置時(shí)，BD最小，過O作OE⊥BC于E，根據(jù)垂徑定理和三角形的中位線性質(zhì)求得OE、CE、BE，利用勾股定理求解OB即可解答．【詳解】解：∵∠ADC=30°，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，AC=4，∴點(diǎn)以AC為邊作等邊三角形OAC，再以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓O，交BC于D2，由∠AOC=60°=2∠ADC可知點(diǎn)D是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，∵∠ACB=90°，∴AD2為直徑，則AD2=2OA=2AC=8，∴CD2==，連接OB交圓于D1，當(dāng)點(diǎn)D位于D1位置時(shí)，BD最小，過O作OE⊥BC于E，則CE=ED2=CD2=，∴BE=BC-CE=，∴OE為△ACD2的中位線，∴OE=AC=2，在Rt△OEB中，OB===，∴BD最小值為-4．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形的中位線，借助隱形圓解決最值問題是解題的關(guān)鍵．20．3【分析】連接OE，作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，先證明△EDF∽△BDC，得出當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，EF的值最大，則值的最小，此時(shí)E，F(xiàn)，O共線．再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OE，作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，∵∠C=90°，AE⊥BE，∴∠C=∠AEB=90°，∴A，B，E，C四點(diǎn)共圓，∵∠C=∠AEB=90°，∠EDF=∠BDC，∴△EDF∽△BDC，∴，當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，EF的值最大，則值的最小，此時(shí)E，F(xiàn)，O共線．∵AC=4，BC=3，∴AB=，∴OE=，∵OE⊥AC，∴AF=AC=2，∴OF=，∴EF=OE-OF=，∴，∴的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，知道當(dāng)OE⊥BC時(shí)，EF有最大值是解題的關(guān)鍵．21．或【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)AN=BM時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，求得∠BPC=120°，點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑是以O(shè)為圓心，OB為半徑的一段弧，繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．②當(dāng)BM=CN時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)A向BC做的垂線段．【詳解】解：若BN=CM，則有AN=BM或BM=CN兩種情況：①當(dāng)AN=BM時(shí)，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠A=∠CBM=60°，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN=∠BCM，∴∠NPC=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABN=∠CBM=60°，∴∠BPC=180°-∠NPC=180°-60°=120°；如圖，點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑是以O(shè)為圓心，OB為半徑的一段弧，此時(shí)∠BOC=120°，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則∠OBD=30°，BD=CD=BC=2，∴OB=，∴點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長=；②當(dāng)BM=CN時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)A向BC作的垂線段AE，因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長為4，∴AE=2，所以點(diǎn)P的路徑長AE為：2．故答案為：2或．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，弧長公式的運(yùn)用，分AN=BM或BM=CN兩種情況討論是關(guān)鍵，解答本題時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．22．(1)，(2)等腰直角三角形，理由見解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位線得出，，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出，得出，，最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大值是，即可得出結(jié)論．（1）解：點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，．（2）解：是等腰直角三角形．理由如下：，，即，，，，，，由三角形的中位線得，，，，，，，是等腰三角形，，，，，，是等腰直角三角形．（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，則面積為，最大時(shí)，面積最大，如圖，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，最大，最大值為，所以面積的最大值為．【點(diǎn)撥】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．23．(1)(2)(3)16(4)直線與圓M相交，理由見解析【分析】（1）利用配方法將一般式解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式；（2）先解得，再利用待定系數(shù)法，代入點(diǎn)B、C的坐標(biāo)即可解答；（3）根據(jù)中點(diǎn)公式解得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式解得CM，MD的長，比較MD<CM，得到直線與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此解答．(1)解：即頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)由（1）知令得解得設(shè)直線BC的解析式：，代入點(diǎn)B、C(3)如圖，設(shè)（0<x<8），過點(diǎn)E作于H，即當(dāng)x=4時(shí)，△BCE面積的最大值為16；(4)直線與圓M的位置是相交，理由如下，如圖，M為BC的中點(diǎn)，即直線CD與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)，即直線與圓M的位置是相交．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及配方法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理、中點(diǎn)公式、兩點(diǎn)距離公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．24．(1)（﹣4，0）或（4，0）(2)①﹣3≤n≤3；②m≤﹣1或m≥1【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸上，所以設(shè)B（x，0），則|x|＝4，可得結(jié)論；（2）①首先證明點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和為定值3，然后畫出圖形即可解決問題；②如圖，設(shè)P（m，0）為圓心，為半徑的圓與直線y＝x﹣3相切，求出此時(shí)P的坐標(biāo)，即可判斷．(1)解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，1），∴3+1＝4，∵點(diǎn)B在x軸上，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為0，設(shè)B（x，0），則|x|＝4，∴x＝±4，∴B（﹣4，0）或（4，0）；故答案為：（﹣4，0）或（4，0）；(2)①由題意，直線y＝x﹣3與x軸交于C（3，0），與y軸交于D（0，﹣3）．點(diǎn)M在線段CD上，設(shè)其坐標(biāo)為（x，y），則有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣3．∴x﹣y＝3．點(diǎn)M到x軸的距離為|y|，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為|x|，則|x|+|y|＝x﹣y＝3．∴點(diǎn)M的同族點(diǎn)N滿足橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和為3．即點(diǎn)N在右圖中所示的正方形CDFE上．∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)N在直線x＝n上，∴﹣3≤n≤3；②如圖，設(shè)P（m，0）為圓心，為半徑的圓與直線y＝x﹣3相切，∵PN＝，∠PCN＝∠CPN＝45°，∴PC＝2，∴OP＝1，觀察圖形可知，當(dāng)m≥1時(shí)，若以（m，0）為圓心，為半徑的圓上存在點(diǎn)N，使得M，N兩點(diǎn)為同族點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性可知，m≤﹣1也滿足條件，∴滿足條件的m的范圍：m≤﹣1或m≥1．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)綜合題、同族點(diǎn)的定義、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考?jí)狠S題．25．（1）9；（2）x或x＝4；（3）x＝0或x＜2或2＜x≤3【分析】（1）由題意可得Q運(yùn)動(dòng)3s達(dá)到B，即得BD=6，可知，從而a=AB?AD=9；（2）連接AC交BD于O，可得OA=AC=BD=3，根據(jù)△APQ的面積為6，即得PQ=4，當(dāng)P在Q下面時(shí)，x=，當(dāng)P在Q上方時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)3s到B，x=4；（3）當(dāng)x=0時(shí)，B與P重合，D與Q重合，此時(shí)以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，同理t=6時(shí)，以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到BD中點(diǎn)時(shí)，以PQ為直徑的圓與AQ相切，與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，x=，當(dāng)P、Q重合時(shí)，不構(gòu)成三角形和圓，此時(shí)x=2，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到B，恰好P運(yùn)動(dòng)到BD中點(diǎn)，x=3，以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，即可得到答案．【詳解】解：（1）由題意可得：Q運(yùn)動(dòng)3s達(dá)到B，∴BD=3×2=6，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴a=AB?AD=9，故答案為：9；（2）連接AC交BD于O，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=AC=BD=3，∵△APQ的面積為6，∴PQ?OA=6，即PQ×3=6，∴PQ=4，而BP=x，DQ=2x，當(dāng)P在Q下面時(shí)，6-x-2x=4，∴x=，當(dāng)P在Q上方時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)3s到B，此時(shí)PQ=3，∴x=4時(shí)，PQ=4，則△APQ的面積為6；綜上所述，x=或x=4；（3）當(dāng)x=0時(shí)，如圖：B與P重合，D與Q重合，此時(shí)以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，同理，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到B，P運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=6，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到BD中點(diǎn)時(shí)，如圖：此時(shí)x=，以PQ為直徑的圓與AQ相切，故與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)P、Q重合時(shí)，如圖：顯然不構(gòu)成三角形和圓，此時(shí)x=2，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到B，恰好P運(yùn)動(dòng)到BD中點(diǎn)，如圖：此時(shí)x=3，以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述，以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，x=0或t=6或≤x＜2或2＜x≤3．【點(diǎn)撥】本題考查正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及函數(shù)圖象、三角形面積、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題關(guān)鍵是畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，分類思想的應(yīng)用．26．（1）見解析；（2）；（3）的長為0或【分析】（1）設(shè)半圓C和半圓D的半徑為r，設(shè)半圓E的半徑為R，利用勾股定理推出，代入半徑依據(jù)等式的性質(zhì)變形計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)F為圓心的圓，根據(jù)勾股定理求出OF的值即可得到F的運(yùn)動(dòng)路徑的長；（3）根據(jù)相切的關(guān)系求出AF的值，確定點(diǎn)B的位置，即可求出弧AB的長．【詳解】解（1）設(shè)半圓C和半圓D的半徑為r，設(shè)半圓E的半徑為R，∵，∴，∴，∴，∴，∴半圓C與半圓D面積之和等于半圓E的面積．（2）根據(jù)題意得出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)F為原心的圓，如下圖，連接DF、OF，∵F是半圓D上的中點(diǎn)，∴，即△FDO是等腰直角三角形，∵的半徑為5，∴FD=OD=，∴，∴F的運(yùn)動(dòng)路徑長為（3）∵AF與其運(yùn)動(dòng)路線相切，∴OF⊥AF，由（2）知OF=，OA=5，∴即△AOF為等腰直角三角形，根據(jù)題意可知，F(xiàn)的位置存在，如圖中F和兩種情況：①當(dāng)位置在F點(diǎn)時(shí)，∵△AOF為等腰直角三角形，F(xiàn)是半圓的中點(diǎn)，∴此時(shí)B點(diǎn)與A點(diǎn)重合，即長為0；②當(dāng)位置在點(diǎn)時(shí)，∵△AOF為等腰直角三角形，F(xiàn)是半圓的中點(diǎn)，∴此時(shí)，∵OA=5，∴的長為，綜上，長為0或．【點(diǎn)撥】此題考查了圓的綜合知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理，圓的面積公式，弧長的計(jì)算公式，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)定理，切線的性質(zhì)定理，熟記各知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．27．(1)16(2)見解析(3)【分析】（1）點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，構(gòu)造△ABC的中位線EH，2CF＝BC，證△EHG≌△FCG，AG＝3CG，利用等高三角形面積關(guān)系和S△AEG＝3依次求△EHG、△GCF、△BGC、△BGA、△BCA的面積，最后求菱形ABCD的面積；（2）過點(diǎn)F作AB的平行線，交AC的延長線于Q，得到等腰三角形，由三線合一得，結(jié)合GHAC，得到AG＝QG，證△AGE≌△QGF，得AE＝QF＝CF；（3）C′點(diǎn)的軌跡（路徑）是G為圓心，半徑為的圓，取GF的中點(diǎn)O，OM是△GFC′的中位線，OM，M點(diǎn)的軌跡（路徑）是O為圓心，半徑為的圓，HM≤OH+OM，HM的最大值是當(dāng)H、O、M共線時(shí)HM＝OH+OM，HM．（1）解：如圖1，取AC中點(diǎn)H，連接EH，連接BG．∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴EH是△ABC的中位線，∴，EHBC，∴∠GEH＝∠F，∠EHG＝∠FCG，∵2CF＝BC，∴EH＝CF，∴△EHG≌△FCG（ASA），∴GH＝GC，∴AG＝3GH＝3CG，∵△AEG和△GEH分別選AG和GH為底，高相同，∴S△AEG＝3S△GEH，∵S△AEG＝3，∴S△GEH＝1，∴S△FCG＝1，∵2CF＝BC，∴同理S△BGC＝2S△FGC＝2，S△ABG＝3S△BGC＝6，∴S△ABC＝8，∵菱形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴S△ADC＝S△ABC＝8，∴菱形ABCD的面積是16；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)F作AB的平行線，交AC的延長線于Q．∴∠BAC＝∠Q，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠QCF＝∠BCA，∴∠QCF＝∠Q，∴CF＝FQ，∵FH⊥AC于點(diǎn)H，∴CH＝QHCQ，∵GHAC，QG＝GH+QH，∴GQACCQAQ，∴GQ＝AG，又∵∠AGE＝∠QGF，∠EAG＝∠Q，∴△AGE≌△QGF（ASA），∴AE＝QF，∴AE＝CF；（3）解：如圖3，∵GC′＝GC，∴點(diǎn)C′的軌跡（路徑）是G為圓心，半徑為的圓，取GF的中點(diǎn)O，∵點(diǎn)M為C'F中點(diǎn)，∴OM是△的中位線，∴OMGC′，∴點(diǎn)M的軌跡（路徑）是O為圓心，半徑為的圓，∵HM≤OH+OM，∴HM的最大值是當(dāng)H、O、M共線時(shí)HM＝OH+OM，∵∠FHG＝90°，GF的中點(diǎn)是O，∴OHGF，∵△AGE≌△QGF，∴GF＝EG＝7，∴HM的最大值為．【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．28．(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值為．【分析】（1）①由折疊的性質(zhì)知，點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上，②由折疊的性質(zhì)得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，進(jìn)而求解；（2）①△ABB'面積的最大時(shí)，只要AB邊上的高最大即可，故當(dāng)B′E⊥AB時(shí)，△ABB'面積的最大，進(jìn)而求解；②證明PQ是△AEB′的中位線，故E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值為CE，即可求解．(1)解：由折疊的性質(zhì)知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，①由題意得，點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上；②MB′=MN-NB′=MN-；故答案為：①BE；②；(2)解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，∵點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上，如圖1，∴△ABB'面積的最大時(shí)，只要AB邊上的高最大即可，∴當(dāng)B′E⊥AB時(shí)，△ABB'面積的最大，∴△ABB'面積=×AB×B′E=×3×2=3，故答案為：3；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中點(diǎn)，∴PQ是△AEB′的中位線，如圖2，∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值為CE，則CE=，即B'C+2PQ的最小值為．【點(diǎn)撥】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．(1)①EF＝CF，理由見解析；②(2)【分析】（1）①連接DF，證明△DEF≌△DCF，即可得出結(jié)論；②證明△AOD∽△DCF，得到＝，化簡得CF＝，代入即可求得；（2）根據(jù)勾股定理得出OB＝＝10，設(shè)BM＝x，以M、N、B分別為圓心分情況討論，列出等式求解即可．（1）①連接DF，由題意，∴AED＝AOD＝90°，∴DEF＝90°，∴DEF＝DCF，∵D是OC的中點(diǎn)，∴OD＝DC，∵OD＝DE，∴DE＝DC，又DF＝DF，∴△DEF≌△DCF，∴EF＝CF；②∵△DEF≌△DCF，∴EDF＝CDF，∴ADF＝90°，∴ADO+CDF＝90°，又∵ADO+OAD＝90°，∴OAD＝CDF，又AOD＝DCF，∴△AOD∽△DCF，∴＝，∴CF＝，∵A（0，6），C（8，0），D是OC的中點(diǎn)，∴AO＝6，OD＝DC＝4，∴CF＝＝，∴F（8，）．（2）∵BC＝6，OC＝8，∴OB＝＝10，設(shè)BM＝x，①當(dāng)點(diǎn)B為圓心時(shí)，則BM＝BN，∵ON＝2MB，∴10－2x＝x，∴x＝，∴AM＝8－＝，∴M（，6）；②當(dāng)點(diǎn)M為圓心時(shí)，則MB＝MN，過N作NG⊥AB于G，則△BGN∽△BAO，∴＝＝，∴＝＝，∴GN＝(10－2x)＝6－x，BG＝(10－2x)＝8－x，GM＝8－x－x＝8－x，∴x2＝(8－x)2＋(6－x)2，解得x1＝5（舍去），x2＝,∴AM＝8－＝，∴M（，6）；③當(dāng)點(diǎn)N為圓心時(shí)，則MN＝BN，∴BG＝BM，∴8－x＝x，解得x＝，∴AM＝8－＝，∴M（，6）；綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為M（，6），（，6），（，6）．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用和圓的性質(zhì)，是個(gè)綜合題，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．30．(1)見解析(2)存在，(3)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)判斷出△APQ為等邊三角形，再判斷出∠APM=∠QPN，從而得出△APM≌△QPN即可；(2)由直線和圓相切得出∠AMP=∠QNP=90°，即可求出結(jié)論；(3)先判斷出PA=PQ，再判斷出PQ=PN=PM，進(jìn)而求出∠QPM=20°，即可求出∠QPN=80°，最后用扇形的面積公式即可．(1)證明：如圖1，連接，由點(diǎn)P繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，可得，，∴為等邊三角形，∴，由點(diǎn)M繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)N，可得，，∴，則，∴．(2)存在，如圖2，由（1）中的證明可知，，∴，∵直線與以點(diǎn)P為圓心，的長為半徑的圓相切，∴，∵，∴．∴(3)，如圖3，由（1）知，是等邊三角形，∴，∵以點(diǎn)P為圓心，的長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)Q，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴劣弧與兩條半徑所圍成的扇形的面積是扇形的面積，而此扇形的圓心角，半徑為，∴劣弧與兩條半徑所圍成的扇形的面積．【點(diǎn)撥】此題是圓的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，扇形的面積公式，解(1)的關(guān)鍵是得出PA=PQ，解(2)的關(guān)鍵是得出PN⊥QN，解(3)的關(guān)鍵是得出PN=PQ=PA，解本題的難點(diǎn)是畫出符合題意的圖形．31．(1)見解析(2)(3)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及動(dòng)點(diǎn)的路程相等，證明，根據(jù)同角的余角相等，即可證明，即；（2）當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)隨之停止，求得運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）①根據(jù)（2）可得△CME的外接圓的圓心O是斜邊CE的中點(diǎn)，繼而判斷點(diǎn)D、C、M、E在同一個(gè)圓（）上；②當(dāng)與AB相切時(shí)，與正方形的各邊共有5個(gè)交點(diǎn)，如圖5則有6個(gè)交點(diǎn)，所以“當(dāng)與AB相切時(shí)”是臨界情況．如圖4，當(dāng)與AB相切（切點(diǎn)為G），連接OG，并延長GO交CD于點(diǎn)H，在Rt△CHO中求得半徑,進(jìn)而勾股定理求得，即可求得當(dāng)時(shí)，與正方形的各邊共有6個(gè)交點(diǎn)．(1)四邊形是正方形，，又的運(yùn)動(dòng)速度都是2cm/s，即(2)∵．∴點(diǎn)M在以CB為直徑的圓上，如圖1，當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合；如圖2，當(dāng)t＝3時(shí)，點(diǎn)M為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為圓，其路徑長．故答案為：(3)①如圖3．由前面結(jié)論可知：∴△CME的外接圓的圓心O是斜邊CE的中點(diǎn)，則在Rt△CDE中，，O是CE的中點(diǎn)．∴，∴∴點(diǎn)D、C、M、E在同一個(gè)圓（）上，即點(diǎn)D在△CME的外接圓上；．②．如圖4，當(dāng)與AB相切時(shí)，與正方形的各邊共有5個(gè)交點(diǎn)，如圖5則有6個(gè)交點(diǎn)，所以“當(dāng)與AB相切時(shí)”是臨界情況．如圖4，當(dāng)與AB相切（切點(diǎn)為G），連接OG，并延長GO交CD于點(diǎn)H．∵AB與相切，∴，又∵，∴，設(shè)的半徑為R．由題意得：在Rt△CHO中，，解得∴∴，即∴如圖5，當(dāng)時(shí)，與正方形的各邊共有6個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題考查了求弧長，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形的外心，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．32．【分析】根據(jù)題意，可得根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，點(diǎn)在以為直徑的上，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，勾股定理求得，進(jìn)而即可求得的最小值【詳解】解：連接，如圖2，為直徑點(diǎn)在以為直徑的上的半徑為當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，如圖3在，即的最小值為【點(diǎn)撥】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是90°，點(diǎn)到圓上的距離，找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．33．（1）①（6，0）；（，）；②（，）；（2）【分析】（1）①根據(jù)反演點(diǎn)的定義求出OB＇的長即可解決問題；②過點(diǎn)作E⊥x軸于點(diǎn)E，如圖中，求出OF、PF即可解決問題；（2）①當(dāng)點(diǎn)P是拋物線頂點(diǎn)(1，-4)時(shí)，作PE⊥x軸于E，過反演點(diǎn)作F⊥x軸于F，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，5)時(shí)，求出反演點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可解決問題．【詳解】解：（1）①如下圖中，∵OA·OA＇=62，∵OA=6，∴OA＇=6，∴A＇(6，0)，∵OB·OB＇=62，∵OB＝18，∴OB＇=2，∵∠AOB=135°，∴∠COB=45°，∴作CB＇⊥CO，∴CB＇=CO=2×sin45°=，∵點(diǎn)B＇在第二象限，∴B＇(，)，故答案為：A＇(6，0)，B＇(，)．②過點(diǎn)P＇作P＇E⊥x軸于點(diǎn)E，如下圖中，∵S△OAP＇=·OA·P＇E=6，∴P＇E=2，∵點(diǎn)P＇在正比例函數(shù)y=x位于第一象限內(nèi)的圖象上，∴yP＇=2，∴xP＇=2∴OP＇=4，∠P＇OE=60°

∵點(diǎn)P關(guān)于O的反演點(diǎn)是P＇點(diǎn)，∴OP＇OP=62，∴OP=9過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，∴OF=，PF=∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．（2）如下圖：當(dāng)點(diǎn)P是拋物線頂點(diǎn)(1，-4)時(shí)，作PE⊥x軸于E，過反演點(diǎn)P＇作P＇F⊥x軸于F，∵OP=，r=，∴OP＇=，∵PE//P＇F，∴∴=1，∴n=-1，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，5)時(shí)，同法可得反演點(diǎn)的縱坐標(biāo)n=綜上所述，-1≤n≤．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)綜合題、圓、勾股定理，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．34．（1）A；（2）；（3）元【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)直徑AB⊥MN時(shí)，點(diǎn)A到直線MN距離的最大，結(jié)合垂徑定理和勾股定理，即可求解；（2）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，先證明是等腰直角三角形，PQ=PM，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)D作DM⊥BC，取AD的中點(diǎn)N，則AN=25米，以點(diǎn)A為圓心，AN為半徑，作，則點(diǎn)F在上，設(shè)總造價(jià)為y元，，連接CF，過點(diǎn)E作EH⊥BC，過點(diǎn)A作AG⊥BE，交于點(diǎn)，此時(shí)最小值=，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示，當(dāng)直徑AB⊥MN時(shí)，點(diǎn)A到直線MN距離的最大.∵⊙O的直徑為20，∴ON=10，∵AB⊥MN，∴PN=MN=8，∴OP=,∴AP=10+6=16，即：點(diǎn)A到直線MN距離的最大值為：16，故選A；（2）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，∵在等腰中，BN⊥AC，AB=AC，∴BN平分∠ABC，∵AM⊥BC，∴PQ=PM，∵∠ABC=45°，∴∠BAM=45°，即是等腰直角三角形，∴AB=，∴=，故答案是：；（3）過點(diǎn)D作DM⊥BC，∵直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD長60米，BC長80米，∴∠BCD=180°-120°=60°，∠CDM=30°，四邊形ABMD是矩形，∴CM=米，AD=BM=80-30=50米，DM=30米，取AD的中點(diǎn)N，則AN=25米，以點(diǎn)A為圓心，AN為半徑，作，則點(diǎn)F在上，∵CD=60米，CE=40米，∴DE=60-40=20米，∴，設(shè)總造價(jià)為y元，連接CF，過點(diǎn)E作EH⊥BC，則EH=，米，BH=BM+MH=60米，則=，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，最小，從而y的值最小，過點(diǎn)A作AG⊥BE，交于點(diǎn)，此時(shí)最小值=，∵∠BAG+∠ABG=∠ABG+∠EBH=90°，∴∠BAG=∠EBH，∴tan∠BAG=tan∠EBH=，即：∠BAG=∠EBH=30°，∴AG=AB×cos30°=DM×cos30°=米，BE=2EH=米，∴最小值==（平方米），∴y最小值=100×()=．【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，把總造價(jià)表示為，是解題的關(guān)鍵．35．（1）4；（2）15°；（3）存在，【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可．（2）連接OC，OD，證明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得結(jié)論．（3）如圖2中，連接OM，OC．證明OM⊥AD，推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡以AO為直徑的⊙J，連接CJ，JM．求出CJ．JM，根據(jù)CM≤CJ+JM＝22，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1中，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝4，∴AB8，∴⊙O的半徑為4．（2）如圖1中，連接OC，OD．∵CD＝4，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如圖2中，連接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊥AD，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡以AO為直徑的⊙J，連接CJ，JM．∵△AOC是等邊三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊥OA，∴CJ2，∵CM≤CJ+JM＝22，∴CM的最大值為22．【點(diǎn)撥】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是尋找特殊三角形解決問題，正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考?jí)狠S題．36．（1）①；②；③等邊，證明見解析；（2）①3；②．【分析】（1）①利用圓的基本性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，即可求解；③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由題意知點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，半徑長為2的圓上，△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長即可，此時(shí)當(dāng)B'E⊥AB時(shí)，△ABB'的面積最大；②當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，∠B=∠EB′C=90，①點(diǎn)B′在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上；②B′M=MN-B′N===；③B′D=，∴△DB'C為等邊三角形；故答案為：①BE，②，③等邊；（2）①∵AB=3=3AE，∴AE=1，BE=2，故點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，半徑長為2的圓上，∴△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長即可，∴當(dāng)B'E⊥AB時(shí)，△ABB'的面積最大，如圖：△ABB'的面積最大值；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B'E，∵P為AE的中點(diǎn)，∴Q為AB'的中點(diǎn)，∴PQ為△AEB'的中位線，∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，∴B'C+2PQ=B'C+EB'，當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長，∴EC=，∴B'C+2PQ的最小值為．故答案為：①；②．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、圖形的折疊、等腰三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中，其中（2）①當(dāng)B'E⊥AB時(shí)，△ABB'的面積最大；②當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值，是解本題的關(guān)鍵．37．（1）；（2）；（3）存在，MC的長度為8米或12米．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的長，即可求出面積；（2）作△ABC的外接圓⊙O，可知點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A'O⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，求出A'H的長，從而得出答案；（3）以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，過O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出OA，OG的長，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，從而⊙O上存在點(diǎn)M，滿足∠AMB=45°，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)M，過M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題．【詳解】】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴BD=1，∴AD==，∴△ABC的面積為，故答案為：；（2）作△ABC的外接圓⊙O，∵∠BAC=120°，BC=，∴點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A'O⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，∴∠BOA'=60°，BH=CH=，∴OH=3，OB=6，∴A'H=OA'-OH=6-3=3，∴△ABC的最大面積為；（3）存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，過O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=10米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵10＞14，∴以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，∴⊙O上存在點(diǎn)M，滿足∠AMB=45°，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)M，過M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，∴EF=OH=10米，OM1=10米，∴EM1=14米，∴OE==2米，∴CM1=BF=8米，同理CM2=BH+OE=10+2=12（米），∴MC的長度為8米或12米．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理圓周角定理等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．38．(1)(2)成立，證明見解析(3)【分析】（2）如圖1，連接，由正方形的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，，，由可知為的中點(diǎn)，是等腰直角三角形，則，由N為BF中點(diǎn)，可知和分別為和的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，，在中，由勾股定理可求得；（2）如圖2，連接，連接、交于點(diǎn)，證明，則，，在中，由三角形內(nèi)角和求得，則，和分別為和的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，，在中，由勾股定理可求得；（3）由題意知，，，可知在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖3，由題意知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最大與最小值，根據(jù)二者的差為的直徑計(jì)算求解即可．(1)解：．如圖1，連接，由正方形的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，，，∵，∴為的中點(diǎn)，且，∴是等腰直角三角形，∴，，∵N為BF中點(diǎn)，∴和分別為和的中位線，∴，，，，