新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 平面向量的線性運(yùn)算（含解析）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第第頁(yè)參考答案1．D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖象即可得解.【詳解】解：∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴．故選：D．2．A【解析】【分析】由向量的加法運(yùn)算結(jié)合三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】，顯然當(dāng)為斜邊中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最小為，即的最小值為.故選：A.3．C【解析】【分析】由向量加減法運(yùn)算法則，得到所求向量為，再由向量減法的三角形法則，以及向量數(shù)乘運(yùn)算，計(jì)算答案.【詳解】由題意得，故選：C.4．D【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法的三角形法則及平行四邊形的性質(zhì)即可求解.【詳解】由向量減法的運(yùn)算可得，又因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?故選：D.5．C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的相反向量、加減法法則，即可求解．【詳解】解：由題意可得，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，所以．故選：C．6．B【解析】【分析】依題意可得，，根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算可得.【詳解】由已知可得，，所以．故選：B．7．B【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】依題意得：，故選：B.8．C【解析】【分析】利用圖形進(jìn)行向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，求出答案【詳解】連接AC，BD相交于點(diǎn)O，則故選：C9．D【解析】【分析】利用平面向量共線定理進(jìn)行求解【詳解】不妨設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，則，故選：D10．C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：C.11．A【解析】【分析】依題意可得，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所?故選：A12．D【解析】【分析】根據(jù)已知有是的重心，由重心的性質(zhì)及向量加法、數(shù)乘的幾何意義，用、表示，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，是的重心，=，，故.故選：D13．C【解析】把，代入中化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：．故選：C14．A【解析】【分析】利用平面向量的加法和減法以及平面向量的基本定理求解.【詳解】，，，，故選：A.15．A【解析】【分析】由向量的加減運(yùn)算法則即可求解.【詳解】解：，故選：A.16．B【解析】【分析】根據(jù)向量加法法則即可計(jì)算.【詳解】.故選：B.17．D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，由，得，從而可得與共線，得直線與直線重合，進(jìn)而得結(jié)論【詳解】解：取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以與共線，即直線與直線重合，所以直線一定過的重心，故選：D18．C【解析】【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：.故選：C.19．B【解析】【分析】直接由求解即可.【詳解】由已知必有，則所求的取值范圍是．故選：B.20．D【解析】【分析】利用向量的加、減以及數(shù)乘運(yùn)算即可求解.【詳解】.故選：D21．C【解析】【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，，?故選：C.22．A【解析】【分析】分析：首先將圖畫出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.23．A【解析】先用向量，表示向量，再轉(zhuǎn)化為用，表示即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意做出圖形，如圖，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題24．C【解析】由非零向量，滿足，推導(dǎo)出“”“”，從而得到“”是“”的充分必要條件．【詳解】非零向量，滿足，“”，“”，“”，，，，“”是“”的充分必要條件．故選：C.．【點(diǎn)睛】該題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目．25．C【解析】由平面向量的線性運(yùn)算可得，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算即可得解.【詳解】由題意作出圖形，如下圖，所以.故選：C.26．B【解析】由題意分析可知，四邊形為菱形且，然后求解.【詳解】，則平分，則四邊形為菱形.且，由，則,故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是要注意為上的單位向量，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.27．A【解析】【分析】利用向量知識(shí)可得，兩邊平方可得，再利用不等式知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?所以的最大值為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將向量條件化為，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算得到是解題關(guān)鍵.28．A【解析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解.【詳解】.故選：A29．D【解析】【分析】根據(jù)相反向量的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；與方向相反，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.30．B【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及向量模的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】已知非零平面向量，，，（1）若，則，所以或，即（1）錯(cuò)；（2）若，則與同向，所以，即（2）正確；（3）若，則，所以，則；即（3）正確；（4）若，則，所以，不能得出向量共線，故（4）錯(cuò)；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量有關(guān)的判定，屬于基礎(chǔ)題型.31．B【解析】【分析】根據(jù)給定圖形，利用平面向量的加法法則列式求解作答.【詳解】因“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，且，，，則，解得，所以.故選：B32．B【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線有，使、，由平面向量基本定理列方程組求參數(shù)，即可確定答案.【詳解】，，由，P，M共線，存在，使①，由N，P，B共線，存在，使得②，由①②，故.故選：B.33．D【解析】【分析】由平面向量的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意得，，所以.故選：D.34．B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則計(jì)算，逐一判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】對(duì)于①：，對(duì)于②：，對(duì)于③：，對(duì)于④：，所以結(jié)果為的個(gè)數(shù)是，故選：B35．B【解析】【分析】先根據(jù)向量等式推導(dǎo)出甲中P為△ABC的重心，乙中△ABC為直角三角形，丙中P為△ABC的外心，丁中P為△ABC的垂心，故得到當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【詳解】甲：，則，故P為△ABC的重心；乙：，則，故，即△ABC為直角三角形；丙：點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故P為△ABC的外心；丁：，則，同理可得：，即P為△ABC的垂心，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，滿足要求，當(dāng)乙成立時(shí)，其他三個(gè)均不一定成立.故選：B．36．B【解析】由，是邊，的中點(diǎn)，得，由可得答案.【詳解】連接，如下圖所示.因?yàn)椋沁?，的中點(diǎn)，所以，且，所以，所以，解得.又因?yàn)?，所?則向量與的夾角大小為120°，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積.37．C【解析】【分析】利用向量加法和減法的三角形法則計(jì)算即可.【詳解】故選：C.38．BCD【解析】【分析】依次代入四個(gè)選項(xiàng)的坐標(biāo)，求出每種情況下四邊的長(zhǎng)度，結(jié)合對(duì)邊是否平行即可選出正確答案.【詳解】解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)為．對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，，，．∵，，∴四邊形不是平行四邊形．A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)?，即且，故是平行四邊形，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)椋辞?，故是平行四邊形，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，因?yàn)?，即且，故是平行四邊形，D正確；故選：BCD．39．BD【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算，即可得正確答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.40．AC【解析】【分析】若可判斷A；將已知條件兩邊平方再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算可判斷B；求出的坐標(biāo)，根據(jù)且與不共線求出的取值范圍可判斷C；取的中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：若滿足，則實(shí)數(shù)不唯一，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：兩個(gè)非零向量，，若，則，所以，可得，，因?yàn)?，所以，所以與共線且反向，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：已知，，所以，若與的夾角為銳角，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與的夾角為，不符合題意，所以，所以的取值范圍是，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：在中，取的中點(diǎn)，由，得，故垂直平分，所以為等腰三角形，故選項(xiàng)D正確．故選：AC．41．AC【解析】【分析】可畫出圖形，根據(jù)條件可得出為邊的中點(diǎn)，從而得出選項(xiàng)A正確；由可得出，進(jìn)而可得出，從而得出選擇B錯(cuò)誤；可設(shè)，進(jìn)而得出，從而得出，進(jìn)而得出選項(xiàng)C正確；由即可得出，從而得出選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】如圖，，為的中點(diǎn)，，A正確；，，，B錯(cuò)誤；設(shè)，且，，三點(diǎn)共線，，解得，，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：AC42．3【解析】【分析】由已知條件可得，令，則可得，從而可得為上靠近的三等分點(diǎn)，由，得∥，從而有，進(jìn)而可求得答案【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，則，所以，所以為上靠近的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，所以?所以，所以，故答案為：343．【解析】【分析】利用向量加減法的幾何意義可得、，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件求即可.【詳解】由題意，.故答案為：44．【解析】【分析】利用平面向量基本定理分別把向量，用基底{，}表示出，結(jié)合得到含有系數(shù)，的的基底表示，與直接根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到的的基底表示比較，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，不共線，所以，兩式相加得，顯然,所以，故答案為：．45．【解析】【分析】先將已知的向量關(guān)系式化為，設(shè)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，再根據(jù)平面向量的平行四邊形法則的加法運(yùn)算得出，從而可知三點(diǎn)共線，且，進(jìn)而得出，，最后利用三角形中位線的性質(zhì)和三角形面積公式，即可確定面積比.【詳解】解：因?yàn)椋?，設(shè)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為三角形的中位線，則，因?yàn)?，可得，所以三點(diǎn)共線，且，則，，分別設(shè)，由圖可知，，，則，所以，而，所以，所以，，所以，即的面積之比等于.故答案為：.46．【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值即可解決問題.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，所以時(shí)，取最小值.故答案為：.47．0【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出的值即可．【詳解】，，，，，.故答案為：0．48．(1)見詳解(2)3(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量加減法運(yùn)算，即可證明；（2）根據(jù)題意，用和表示，結(jié)合，，三點(diǎn)共線，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合（1）（2）用和分別表示出和，進(jìn)而可以表示出，再結(jié)合均值不等式與二次函數(shù)的最值，即可求解.(1)證明：因，所以，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.(2)因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點(diǎn)共線，所以，即.(3)設(shè)，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，令，因，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.因此，又因，所以，所以.49．（1）；（2），2.【解析】【分析】（1）由即得解；（2）由即得解.【詳解】（1）；（2）.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加法法則，考查向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.50．(1)(2)【解析】【分析】（1）平面向量基本定理，利用向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行求解；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行解答.(1).(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)榫匦闻c矩形全等，且，所以，則，，，，，所以，，，故.51．（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）延長(zhǎng)交于D，則D為BC中點(diǎn)，可得，，即可求出；（2）設(shè)，可得，，可得，即可建立關(guān)系求得；（3）可得，再根結(jié)合的范圍求出.【詳解】（1