人教A版選擇性必修第一冊(cè)251第2課時(shí)直線與圓的方程的應(yīng)用課件

第2課時(shí)直線與圓的方程的應(yīng)用第二章2023內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能正確理解直線與圓的方程.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.3.體會(huì)坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”.4.達(dá)成直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)直線與圓的方程的應(yīng)用1.用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素,如點(diǎn)、直線、圓,把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;第二步:通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問(wèn)題;第三步:把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.一輛卡車寬2.7米,要經(jīng)過(guò)一個(gè)半徑為4.5米的半圓形隧道(雙車道,不得違章),則這輛卡車的平頂車篷篷頂距離地面的高度不得超過(guò)(

)A.1.4米 B.3.0米

C.3.6米 D.4.5米解析:根據(jù)題意,畫出示意圖,如圖所示.答案:C【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)利用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí),可以隨意建立坐標(biāo)系.(×)(2)在實(shí)際問(wèn)題中,應(yīng)注意變量的取值范圍.(√)(3)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí),把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,直接解決代數(shù)問(wèn)題就是所求的幾何問(wèn)題.(×)(4)用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題共有三步:建系;求解;還原.(√)合作探究釋疑解惑探究一直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用【例1】

已知臺(tái)風(fēng)中心從A地以20千米/時(shí)的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市B在A的正東40千米處,求B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間.分析:將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交求弦長(zhǎng)問(wèn)題.解:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.射線AC為∠xAy的角平分線,則臺(tái)風(fēng)中心沿射線AC方向移動(dòng).反思感悟

1.解決直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用題的步驟:2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個(gè)原則:(1)若曲線是軸對(duì)稱圖形,則可選它的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸.(2)常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).(3)盡量使更多的已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.【變式訓(xùn)練1】

有一種大型商品,A,B兩地均有出售且價(jià)格相同,某地居民從兩地之一購(gòu)得商品運(yùn)回來(lái),每千米的運(yùn)費(fèi)A地是B地的兩倍.如果A,B兩地相距10km,顧客選擇A地或B地購(gòu)買這種商品的運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低,那么不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)買此商品的地點(diǎn)?解:以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(-5,0),則B(5,0).在坐標(biāo)平面內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),設(shè)從A地運(yùn)貨到P地的運(yùn)費(fèi)為2a元/km,則從B地運(yùn)貨到P地的運(yùn)費(fèi)為a元/km.若P地居民去A地購(gòu)買此商品的總費(fèi)用較低,即P地居民去A地購(gòu)買的運(yùn)費(fèi)較低,也就是說(shuō),圓C內(nèi)的居民應(yīng)選擇去A地購(gòu)物,總費(fèi)用較低.同理可推得圓C外的居民應(yīng)選擇去B地購(gòu)物,總費(fèi)用較低.圓C上的居民可任意選擇A,B兩地之一購(gòu)物.探究二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例2】

已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.分析:本題可將

和y-x轉(zhuǎn)化成與直線斜率、截距有關(guān)的問(wèn)題,x2+y2可看成是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)間的距離的平方,然后結(jié)合圖形求解.解:方程x2+y2-4x+1=0可化為(x-2)2+y2=3,(2)設(shè)y-x=b,則y=x+b表示經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)(x,y),斜率為1,在y軸上的截距為b的直線.當(dāng)直線與圓相切時(shí),b取得最大、最小值.(3)x2+y2表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,由平面幾何知識(shí)知,在原點(diǎn)和圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處,圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離取得最大值和最小值.若把例2中實(shí)數(shù)x,y滿足的方程改為“(x-3)2+(y-3)2=6”,則

的最大值與最小值分別為

.

解析:設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P的軌跡就是已知圓C:(x-3)2+(y-3)2=6.反思感悟

求與圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí),常常根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,尋找它的幾何意義,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成與圓的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題解決,其中構(gòu)造斜率、截距、距離是最常用的方法.【變式訓(xùn)練2】

圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是

.

解析:圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-2)2=18.探究三過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程【例3】

求過(guò)直線2x+y+4=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn),且面積最小的圓的方程.分析:本題求面積最小的圓即求以兩交點(diǎn)間的距離為直徑的圓,可由過(guò)圓與直線交點(diǎn)的圓系方程求解.解:設(shè)過(guò)圓x2+y2+2x-4y+1=0與直線2x+y+4=0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,其中λ∈R.整理得x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.要使圓的面積最小,只需半徑r最小.反思感悟

解答此類問(wèn)題一般有如下兩種方法:(1)聯(lián)立方程組,求出交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求方程.(2)設(shè)圓系方程確定參數(shù),一般地,過(guò)直線l:Ax+By+C=0與圓O:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,注意系數(shù)λ一定要寫在直線方程之前.【變式訓(xùn)練3】

一圓過(guò)圓x2+y2-2x=0與直線x+2y-3=0的交點(diǎn),且圓心在y軸上,則這個(gè)圓的方程是

.

解析:設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,λ∈R,即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.故圓的方程為x2+y2+4y-6=0.答案:x2+y2+4y-6=0探究四由直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程【例4】

設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上,且直線x-y+1=0被圓截得的弦長(zhǎng)為2,求圓的方程.分析:由對(duì)稱點(diǎn)在圓上,可得圓心與直線的關(guān)系,再由弦長(zhǎng)得到方程組,即可求解.解:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意知,直線x+2y=0過(guò)圓心,故a+2b=0.①∵點(diǎn)A在圓上,∴(2-a)2+(3-b)2=r2.②故所求圓的方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)+(y+7)2=244.反思感悟

圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上,說(shuō)明直線一定經(jīng)過(guò)圓心.【變式訓(xùn)練4】

已知圓C和y軸相切,圓心在直線x-3y=0上,且被直線y=x截得的弦長(zhǎng)為2,則圓C的方程為

.

解析:設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m,m).∵圓C和y軸相切,由半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)的關(guān)系,得9m2=7+2m2,解得m=±1.∴圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.答案:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9【易錯(cuò)辨析】

忽略方程中未知量的取值范圍致誤以上解題過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?防范措施

有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,要看清運(yùn)動(dòng)中的不變量,例如本例中直線的平行關(guān)系,并注意方程中變量的取值范圍.【變式訓(xùn)練】

上例中,改為直線l:y=x+b,與曲線C:y=有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為

.

解析:由例題圖知,當(dāng)直線與半圓相切時(shí),b=,符合題意;當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí),b=-1,直線記為l3;當(dāng)直線在l1與l3之間(包含l3),直線l與半圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).因此,-1≤b<1或b=.隨堂練習(xí)1.將直線x+y=1繞點(diǎn)(1,0)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與圓x2+(y-1)2=r2(r>0)相切,則r的值是(

)解析:將直線x+y=1繞點(diǎn)(1,0)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后,所得直線的方程為x-y=1.圓的圓心坐標(biāo)為(0,1),∵旋轉(zhuǎn)后的直線與圓相切,答案:B2.直線y=x-1上的點(diǎn)到圓x2+y2+4x-2y+4=0的最近距離為(

)答案:C3.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為

.

故圓C的方程為(x-2)2+y2=4,即x2+y