高考數(shù)學(xué)B版真題及模擬：數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入高考理數(shù)

(北京市專用)A組

自主命題·北京卷題組1.(2018北京,2,5分)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)

的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限五年高考答案

D本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運算和幾何意義.∵

=

=

+

i,∴其共軛復(fù)數(shù)為

-

i,又

-

i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

在第四象限,故選D.2.(2017北京,2,5分)若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是

()A.(-∞,1)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)答案

B本題考查復(fù)數(shù)的運算.∵復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,∴

∴a<-1.故選B.3.(2015北京,1,5分,0.99)復(fù)數(shù)i(2-i)=

()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案

A

i(2-i)=2i-i2=1+2i,故選A.4.(2013北京,2,5分,0.95)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(2-i)2對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

D(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,對應(yīng)的點為(3,-4),位于第四象限,故選D.5.(2011北京,2,5分)復(fù)數(shù)

=

()A.iB.-iC.-

-

iD.-

+

i答案

A解法一:

=

=

=i,故選A.解法二:

=

=

=i,故選A.錯因分析運算過程中弄錯符號而錯選B.評析本題考查了復(fù)數(shù)的基本運算,解題關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),另外,形如

(a,b∈R)的運算,往往是分子、分母同乘i或-i,可簡化運算.本題屬容易題.6.(2016北京,9,5分)設(shè)a∈R.若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上,則a=

.答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上,∴a+1=0,∴a=

-1.7.(2014北京,9,5分,0.95)復(fù)數(shù)

=

.答案-1解析

=

=

=-1,故填-1.解后反思對于復(fù)數(shù)運算中一些常見的代數(shù)式,(1+i)2,(1-i)2,

,

應(yīng)該熟記,方便計算.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.(2018浙江,4,4分)復(fù)數(shù)

(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是

()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案

B本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和運算.∵

=

=1+i,∴

的共軛復(fù)數(shù)為1-i.思路分析(1)利用復(fù)數(shù)的運算法則把

化為a+bi(a,b∈R)的形式;(2)由共軛復(fù)數(shù)的定義得出結(jié)論.2.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)m的取

值范圍是

()A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-3)答案

A

由已知可得

?

?-3<m<1.故選A.3.(2016山東,1,5分)若復(fù)數(shù)z滿足2z+

=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=

()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案

B設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則2z+

=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故選B.4.(2015湖北,1,5分)i為虛數(shù)單位,i607的

為

()A.iB.-iC.1

D.-1答案

A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共軛復(fù)數(shù)為i.5.(2013課標(biāo)全國Ⅰ,2,5分,0.703)若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為

()A.-4

B.-

C.4

D.

答案

D∵|4+3i|=

=5,∴z=

=

=

+

i,虛部為

,故選D.6.(2018江蘇,2,5分)若復(fù)數(shù)z滿足i·z=1+2i,其中i是虛數(shù)單位,則z的實部為

.答案2解析本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算.∵i·z=1+2i,∴z=

=

=2-i.∴復(fù)數(shù)z的實部為2.一題多解設(shè)z=x+yi,x,y∈R,∵i·z=1+2i,∴i(x+yi)=1+2i,即-y+xi=1+2i,∴x=2,y=-1,∴復(fù)數(shù)z的實部為2.7.(2017天津,9,5分)已知a∈R,i為虛數(shù)單位,若

為實數(shù),則a的值為

.答案-2解析本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和運算.因為

=

=

為實數(shù),所以-

=0,解得a=-2.1.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,1,5分)設(shè)z=

+2i,則|z|=

()A.0

B.

C.1

D.

考點二復(fù)數(shù)的運算答案

C本題主要考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的四則運算.∵z=

+2i=

+2i=i,∴|z|=1,故選C.2.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,1,5分)

=

()A.-

-

iB.-

+

iC.-

-

iD.-

+

i答案

D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算.

=

=

=-

+

i,故選D.3.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,2,5分)(1+i)(2-i)=

()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案

D本題考查復(fù)數(shù)的運算.(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故選D.4.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,1,5分)

=

()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案

D本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算.

=

=

=2-i.故選D.5.(2017課標(biāo)全國Ⅲ,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|=

()A.

B.

C.

D.2答案

C本題考查復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)的模.∵(1+i)z=2i,∴z=

=

=

=1+i.∴|z|=

=

.一題多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即

·|z|=2,∴|z|=

.6.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,2,5分)設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實數(shù),則|x+yi|=

()A.1

B.

C.

D.2答案

B∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴

∴|x+yi|=|1+i|=

=

.故選B.評析本題考查復(fù)數(shù)相等的條件,屬容易題.7.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,則

=

()A.1

B.-1

C.iD.-i答案

C∵z

=(1+2i)(1-2i)=5,∴

=

=i,故選C.8.(2015課標(biāo)Ⅰ,1,5分,0.844)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足

=i,則|z|=

()A.1

B.

C.

D.2答案

A由已知

=i,可得z=

=

=

=i,∴|z|=|i|=1,故選A.9.(2015課標(biāo)Ⅱ,2,5分,0.939)若a為實數(shù),且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

B∵(2+ai)(a-2i)=-4i?4a+(a2-4)i=-4i,∴

解得a=0.10.(2014課標(biāo)Ⅰ,2,5分,0.853)

=

()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案

D

=

·(1+i)=

·(1+i)=-1-i,故選D.11.(2014課標(biāo)Ⅱ,2,5分,0.597)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,z1=2+i,則z1z2=

(

)A.-5

B.5

C.-4+iD.-4-i答案

A由題意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故選A.12.(2018天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)

=

.答案4-i解析本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算.

=

=

=4-i.C組

教師專用題組考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.(2015安徽,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

B∵

=

=-1+i,∴復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點是(-1,1),它位于第二象限.2.(2014重慶,1,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1-2i)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A

i(1-2i)=i-2i2=2+i,對應(yīng)復(fù)平面上的點為(2,1),在第一象限.選A.3.(2016天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若(1+i)(1-bi)=a,則

的值為

.答案2解析由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,則

解得

所以

=2.4.(2015天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為

.答案-2解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i為純虛數(shù),∴

解得a=-2.5.(2015重慶,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為

,則(a+bi)(a-bi)=

.答案3解析復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為

=

,則a2+b2=3,則(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.1.(2015山東,2,5分)若復(fù)數(shù)z滿足

=i,其中i為虛數(shù)單位,則z=

()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i考點二復(fù)數(shù)的運算答案

A

=i(1-i)=1+i,則z=1-i.2.(2015四川,2,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i3-

=

()A.-iB.-3iC.iD.3i答案

C

i3-

=-i+2i=i.故選C.3.(2014山東,1,5分)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2=

()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案

D∵a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.4.(2014遼寧,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=

()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案

A由(z-2i)(2-i)=5,易得z=

+2i=2+i+2i=2+3i,故選A.5.(2014江西,1,5分)

是z的共軛復(fù)數(shù),若z+

=2,(z-

)i=2(i為虛數(shù)單位),則z=

()A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案

D令z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,所以z+

=2a=2,得a=1,(z-

)i=2bi2=-2b=2,得b=-1,∴z=1-i,故選D.6.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,2,5分,0.896)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2i,則z=

()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案

A由題意得z=

=

=-1+i,故選A.7.(2014湖南,1,5分)滿足

=i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z=

()A.

+

iB.

-

iC.-

+

iD.-

-

i答案

B由

=i,得z=

=

=

-

i,故選B.8.(2014廣東,2,5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(3+4i)z=25,則z=

()A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i答案

D

z=

=

=3-4i,故選D.9.(2014安徽,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,

表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z=1+i,則

+i·

=

()A.-2

B.-2iC.2

D.2i答案

C

+i·

=

+i(1-i)=

+i+1=2.故選C.10.(2017江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的模是

.答案

解析本題考查復(fù)數(shù)的運算.∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,∴|z|=

=

.11.(2017浙江,12,5分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=

,ab=

.答案5;2解析本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)模的運算,解二元二次方程組,考

查運算求解能力.解法一:∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,b∈R,∴

?

?

∴a2+b2=2a2-3=5,ab=2.解法二:由解法一知ab=2,又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,∴a2+b2=5.12.(2016江蘇,2,5分)復(fù)數(shù)z=(1+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位,則z的實部是

.答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的實部為5.13.(2015江蘇,3,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為

.答案

解析設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi,由復(fù)數(shù)相等的定義得

解得

或

從而|z|=

=

.14.(2014上海,2,4分)若復(fù)數(shù)z=1+2i,其中i是虛數(shù)單位,則

·

=

.答案6解析

∵z=1+2i,∴

=1-2i.∴

·

=z·

+1=5+1=6.A組

2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時間:40分鐘分值:115分)一、選擇題(每題5分,共60分)1.(2018北京海淀期末,1)復(fù)數(shù)

=

()A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i答案

A

=

=

=2-i.2.(2018北京延慶一模,2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)

的對應(yīng)點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

C

=

=-1-i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是(-1,-1),位于第三象限,故選C.3.(2018北京石景山期末,2)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A

=

=

=

+

i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

,位于第一象限.故選A.4.(2018北京朝陽一模,2)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=i,則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A由(1+i)z=i得z=

=

=

,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

,位于第一象限,故選A.5.(2018北京東城一模,2)復(fù)數(shù)z=

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

B

z=

=

=

=-

+

i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

,位于第二象限,故選B.6.(2018北京東城二模,2)復(fù)數(shù)(1+i)(2-i)=

()A.3+iB.1+iC.3-iD.1-i答案

A(1+i)(2-i)=(2-i)+i(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故選A.7.(2018北京海淀二模,2)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-1),則

()A.z+1是實數(shù)

B.z+1是純虛數(shù)C.z+i是實數(shù)

D.z+i是純虛數(shù)答案

C因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-1),所以z=1-i,所以z+1=2-i,z+i=1,故z+1既不是

實數(shù)也不是純虛數(shù),z+i為實數(shù).故選C.8.(2017北京西城二模,1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點是(1,-2),則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

=

()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案

A易得z=1-2i,故復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

=1+2i,故選A.9.(2017北京朝陽二模,1)已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=i(1+2i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

B

z=i+2i2=-2+i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-2,1),位于第二象限,故選B.10.(2016北京西城二模,2)若復(fù)數(shù)z滿足z+z·i=2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

A

z=

=

=

+

i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

,位于第一象限.故選A.11.(2016北京朝陽二模,2)復(fù)數(shù)z=

(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

B

z=

=-

+

i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

,位于第二象限.故選B.12.(2016北京東城一模,1)已知復(fù)數(shù)i·(1+ai)為純虛數(shù),那么實數(shù)a的值為

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

B由于i·(1+ai)=-a+i為純虛數(shù),所以a=0.13.(2018北京朝陽二模,9)計算

=

.二、填空題(每題5分,共55分)答案-

i解析

=

=

=

=-

i.14.(2018北京海淀一模,9)復(fù)數(shù)

=

.答案1+i解析

=

=

=1+i.15.(2018北京通州摸底,9)已知復(fù)數(shù)

的實部與虛部相等,那么實數(shù)a=

.答案2解析復(fù)數(shù)

=

=2+ai,由復(fù)數(shù)

的實部與虛部相等,得a=2.16.(2018北京通州一模,9)已知復(fù)數(shù)(1-i)(1+ai)是純虛數(shù),那么實數(shù)a=

.答案-1解析(1-i)(1+ai)=1+a+(a-1)i,由題意知a+1=0,且a-1≠0,所以a=-1.17.(2017北京東城二模,9)復(fù)數(shù)i(2-i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為

.答案(1,2)解析∵i(2-i)=1+2i,∴復(fù)數(shù)i(2-i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,2).18.(2017北京海淀二模,10)已知復(fù)數(shù)z=

,則|z|=

.答案

解析因為z=

=

=-i-1,所以|z|=

.19.(2017北京房山一模,9)已知

=-1+i,其中i是虛數(shù)單位,那么實數(shù)a=

.答案2解析由已知得ai=(1-i)(-1+i)=2i,∴a=2.20.(2017北京豐臺二模,9)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)

對應(yīng)的點的坐標(biāo)為

.答案(4,-3)解析

=

=4-3i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(4,-3).21.(2017北京順義二模,9)已知z=(a-2)+(a+1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)a的取值

范圍是

.答案(-1,2)解析由題意可得

所以-1<a<2.22.(2017北京海淀零模,9)復(fù)數(shù)z=i(1+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為

.答案(-1,1)解析

z=i(1+i)=-1+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,1).23.(2017北京石景山一模,9)若復(fù)數(shù)

是純虛數(shù),則實數(shù)a=

.答案1解析∵

=

=

為純虛數(shù),∴a+1≠0且a-1=0,∴a=1.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時間:25分鐘分值:60分)一、選擇題(每題5分,共20分)1.(2018北京門頭溝一模,2)復(fù)數(shù)z滿足

=2-3i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A由

=2-3i,得z=i(2-3i)=3+2i,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(3,2),故選A.2.(2018北京朝陽期末,2)已知i為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3,則|z|=

()A.3

B.4

C.

D.10答案

C由z+i=3得z=3-i,故|z|=

=

.3.(2018北京西城二模,2)若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)·z=1,則z=

()A.

+

B.-

+

C.-

-

D.

-

答案

A

z=

=

=

=

+

,故選A.解題關(guān)鍵能夠熟練準(zhǔn)確地進(jìn)行分母實數(shù)化是解決這類問題的關(guān)鍵.4.(2017北京海淀一模,2)已知復(fù)數(shù)z=i(a+bi)(a,b∈R),則“z為純虛數(shù)”的充分必要條件為

(

)A.a2+b2≠0

B.ab=0C.a=0,b≠0

D.a≠0,b=0答案

D復(fù)數(shù)z=i(a+bi)=ai-b(a,b∈R),則“z為純虛數(shù)”的充分必要條件為a≠