淺析數(shù)學建模思想在中學數(shù)學教學中應用

PAGEPAGE7淺析數(shù)學建模思想在中學數(shù)學教學中應用四川省宜賓市翠屏區(qū)沙坪中學毛澤勝摘要：在新一輪的課程改革中，數(shù)學知識的應用是數(shù)學教育的重要內容。呼喚數(shù)學應用意識，提高數(shù)學應用教學質量，已成為廣大數(shù)學教育工作者的共識，開展中學數(shù)學建模教學與應用的研究，對提高學生數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生靈活的思維能力，分析問題、解決問題的能力，促進中學數(shù)學教學改革，全面推進中學數(shù)學素質教育有十分重要的意義。本文在對數(shù)學模型、數(shù)學建模和數(shù)學建摸思想研究的基礎上，開展對中學數(shù)學建模教學活動的理論依據(jù)和教學原則的探討，并對中學的方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計、三角等教學內容進行數(shù)學建模教學進行了一些研討。因此本文認為數(shù)學建模的教學將為中學數(shù)學課堂教學改革提供一條新路，將為培養(yǎng)更多更好的“創(chuàng)造型”人才提供一個全新的舞臺。關鍵詞：數(shù)學模型、數(shù)學建模、數(shù)學建模思想、課程改革、中學數(shù)學教學隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學教學轉變了傳統(tǒng)的觀念，教材編寫背景結合了生活實際和社會實踐，突出了理論與知識結合，理論與實踐結合，強調學生對數(shù)學知識的應用，呼喚數(shù)學應用意識。而中學學數(shù)學最常用和最有效的教學方法之一是探索法，這一方法與數(shù)學建模有很多共同特征，本文擬通過數(shù)學模型、數(shù)學建模和數(shù)學建模思想的研究，探討數(shù)學建模思想應用于中學數(shù)學教學的可行性，為中學數(shù)學課堂教學改革尋找一條可行之路。一、數(shù)學模型、數(shù)學建模和數(shù)學建模思想的定義所謂數(shù)學模型，是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關系，采用形式化的數(shù)學語言，概括地或近似地表述出來一種數(shù)學結構。廣義的解釋：凡是一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種方程（代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、……）以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)等等都稱之為數(shù)學模型。而創(chuàng)建一個數(shù)學模型的全過程稱為數(shù)學建模，即用數(shù)學的語言、方法去近似地刻畫該實際問題，并加以解決的全過程?？傊瑪?shù)學模型與數(shù)學建模較為嚴格的定義是，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)對象特有的內在規(guī)律，在做出問題分析和一些必要、合理的簡化假設后，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構就稱為該特定對象的數(shù)學模型。數(shù)學建模的過程，可以用如下框圖來說明：數(shù)學模型（例如方程、不等式、函數(shù)）實際問題（現(xiàn)實原型）數(shù)學模型（例如方程、不等式、函數(shù)）實際問題（現(xiàn)實原型）數(shù)學化（用數(shù)學理論研究解決數(shù)學問題）（得解）數(shù)學模型的解答原始問題的解答數(shù)學模型的解答原始問題的解答 回到實際問題數(shù)學建模的思想就是用數(shù)學模型的思路、方法去數(shù)學建模，解決實際生產(chǎn)、生活當中所遇到的問題在的思想和方法的統(tǒng)稱。二．數(shù)學建模思想應用于中學數(shù)學教學的理論依據(jù)對于高等教育中的數(shù)學模型、數(shù)學建模以及數(shù)學建模思想能否應用于中學數(shù)學教學呢？能得到那些教育理論支撐呢？1．理論聯(lián)系實際。數(shù)學學科的特征之一是它高度的抽象性，但是數(shù)學的高度抽象性決定了數(shù)學應用的廣泛性，這種廣泛性被越來越發(fā)達的科學技術所證實，同時數(shù)學的應用又推動了數(shù)學的新的發(fā)展。數(shù)學學科的這一特征決定了數(shù)學學習必須堅持理論聯(lián)系實際的原則，通過數(shù)學教學活動讓學生認識到數(shù)學來源于實際，數(shù)學無處不在，我們所學的數(shù)學知識是有用的，許多生產(chǎn)生活中的問題都可以用我們所學的數(shù)學知識給予解決。數(shù)學理論只有與實際相結合為實踐服務才有生命力。而學數(shù)學是為了用數(shù)學，數(shù)學學習只有堅持理論與實際相結合的原則才能真正理解并掌握數(shù)學知識。在中學教學進行數(shù)學建模，就是為學生創(chuàng)設一個學數(shù)學、用數(shù)學的環(huán)境。學生通過親自參與探究、發(fā)現(xiàn)、分析、學習、求解、檢驗這樣一個問題解決的全過程，得到學數(shù)學用數(shù)學的實際體驗，不但增強了用所學數(shù)學知識來觀察、分析身邊的事物和現(xiàn)象的數(shù)學應用意識，而且受到“理論聯(lián)系實際”、“實踐是檢驗真理的唯一標準”等馬克思主義實踐論與認識論的重要觀點的教育，因為數(shù)學建模的過程實際就是實踐—理論—實踐的過程，就是從實踐中來再回到實踐中去的過程。2．建構主義的學習觀。建構主義認為知識并非主體對客觀實在的簡單的被動的反映，而是學習者以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎的一個主動的建構過程，也就是說，所有的知識都是建構出來的。在建構過程中，主體已有的認知結構發(fā)揮了特別重要的作用，并且這個認知結構處于不斷的發(fā)展中。建構主義的學習觀認為：知識不能簡單地由教師或其他人傳授給學生而只能由每個學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構。學習活動是一個“順應”的過程，是認知框架的不斷變革或重組的過程。學生的學習活動是在一個特定的環(huán)境——學校里，在教師的直接指導下進行的。因此，學生的學習活動就成為了一種特殊的建構活動，一種高度組織化的社會行為。學生在數(shù)學知識應用和建模教學活動中，通過調查研究自己發(fā)現(xiàn)問題；將問題數(shù)學化制定解決方案；遇到問題自己去收集、查找資料；向書本學習向內行人士學習，最終解決問題。這個過程是一個學習的過程，是一個做數(shù)學的過程，更是一個主動建構自己認知結構的過程。當然存在學生的個體差異，不同的學生就會有不同的建構。學生要接受教師的指導和幫助，進行師生的交流，學生之間的交流和相互質疑。從而在數(shù)學建模教學中，更要發(fā)揮教師的主導作用，更要注意開展好師生、生生之間的交流與合作，使環(huán)境因素對學生的學習建構活動帶來充分的積極影響。3．創(chuàng)新教育的觀點?！皠?chuàng)新是一個民族的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不竭動力”，基礎教育階段的創(chuàng)新教育是面對全體學生，著重于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新情感，為創(chuàng)新人格的形成、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)打下基礎的。因此教育的重心是啟發(fā)引導學生探索，啟發(fā)引導學生創(chuàng)新。建模思想應用于數(shù)學教學是以學習和掌握科學的思維規(guī)律為前提，以所學數(shù)學知識為基礎，讓學生在對自然界的數(shù)學過程進行科學探索和研究中學習數(shù)學，是提高學生綜合素質、開發(fā)學生潛在創(chuàng)造力的極好方式。三．數(shù)學建模思想應用于中學數(shù)學教學的教學原則數(shù)學知識應用的教學，主要研究的是具有實際背景的例子，多是經(jīng)過加工的實際問題，但突出的是數(shù)學，所要達到的教學目的是加深對所學知識的理解，鞏固所學數(shù)學知識和數(shù)學方法，解決數(shù)學知識“有用”的認識問題。數(shù)學建模運用的是數(shù)學工具，解決的是來自生產(chǎn)生活中的非數(shù)學問題。盡管受知識和能力所限，中學數(shù)學建模問題較多的還帶有應用的性質。但是仍需經(jīng)歷：采集信息，建構數(shù)學模型、對數(shù)學模型求解、實踐檢驗的全過程。因此數(shù)學知識與數(shù)學建模的教學模式，必須體現(xiàn)以下教學原則。1.“再創(chuàng)造”原則。數(shù)學知識應用與建模課堂教學為學生提供了一個自己學習、自己探索、自己提出問題、自己解決問題的可能和機會。所以數(shù)學建模的核心是在學生的積極參與前提下進行的“再創(chuàng)造”活動。2.“數(shù)學化”原則。學生是在將實際問題抽象成純數(shù)學問題，也就是將實際問題數(shù)學化的過程中學習數(shù)學。我們所看重的是幫助學生學會數(shù)學的思考，學會數(shù)學的觀察世界。因此整個教學過程印證了著名的荷蘭數(shù)學家弗賴登塔的名言：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”。3.“數(shù)學現(xiàn)實性”原則。教學中我們充分肯定并強調學生個體的特殊性，對不同能力的學生開展不同層次的數(shù)學應用與建?；顒?，盡量為不同的學生提供不同的但是能展現(xiàn)他們創(chuàng)造力的舞臺，讓他們在不同程度上都能用數(shù)學，在用數(shù)學的過程中獲得不同程度的數(shù)學應用的體驗。實現(xiàn)每個學生在自己“數(shù)學現(xiàn)實”基礎上的數(shù)學能力、應用意識與實踐能力的提高。進而獲得“學然后之不足”的感悟，從而更刻苦的去學習數(shù)學。4．“嚴謹性”原則。中學數(shù)學建模不應刻意追求建模過程的復雜和完美，不應要求模型推證計算的絕對嚴謹，而是在學生的“數(shù)學現(xiàn)實”條件下的嚴謹。因此對學生建模結論執(zhí)有的應是一種特定的評價標準。由于現(xiàn)實是，當今社會科學技術的飛速發(fā)展與中學生有限知識之間存在著很大的差異。必須認識到科學的“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)新”也是有高低不同層次的。一名中學生要想提出一個新概念、要想發(fā)現(xiàn)人們從來不知道的新定理、新方法、新理論是幾乎不可能的。但是通過他們自己的努力和踏踏實實的工作，去發(fā)現(xiàn)可能別人早已知道而只對他們來說是未知的知識、規(guī)律卻是完全可能的。從這個意義上講，中學生也完全可以獲得數(shù)學的發(fā)現(xiàn)。這就是一名中學生創(chuàng)新能力的表現(xiàn)。開發(fā)并扶植它正是數(shù)學建模教學的目的。此外，數(shù)學建模的教學還應遵循：具體與抽象相結合；歸納與演繹相結合；數(shù)與形相結合；理論與實踐相結合；探索與論證相結合的一般教學原則．同時做到目的與手段的辯證統(tǒng)一；間接經(jīng)驗與直接經(jīng)驗的有機統(tǒng)一；理論與應用的有機統(tǒng)一；學習與創(chuàng)造的有機統(tǒng)一。四.數(shù)學建模思想應用于中學數(shù)學教學的舉隅數(shù)學建模思想可應用于中學數(shù)學教學那些地方呢？根據(jù)課標要求和現(xiàn)行教材內容，主要有：不等式的應用，函數(shù)的應用，三角函數(shù)的應用，幾何的應用等．結合時代發(fā)展的特點，教材和習題中涉及現(xiàn)代生活的經(jīng)濟統(tǒng)計圖表(識別、分析、繪制)，動態(tài)規(guī)劃(生產(chǎn)計劃問題等)，網(wǎng)絡規(guī)劃(繪制、計算、優(yōu)化)，股票、彩票發(fā)行模型，風險決策，市場預測，存貯原理，供求模型，廣告與稅款等等，還有跨學科的生態(tài)平衡、環(huán)境保護、人口生命等方面的問題等等?，F(xiàn)做一些舉例。（一）、建立或化歸為方程或不等式模型,解決實際生產(chǎn)生活的“等量或不等關系”問題現(xiàn)實世界中廣泛存在著數(shù)量之間的相等或不等關系，如，投資決策、人口控制、資源保護、生產(chǎn)規(guī)劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的有關數(shù)量問題，常歸結為方程或不等式求解．例如字母符號是基本的數(shù)學語言，在應用問題中用x表示實際問題中的未知量，通過分析問題中已知量與未知量的相等或大小關系，“翻譯”成表示未知數(shù)x和已知數(shù)之間相等或大小關系的方程或不等式，即得到刻畫實際問題的相等或大小關系的數(shù)學模型。例如某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利潤1200元，按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請你給設計出來。我們可以用建模的思想方法，建立或化歸為不等式模型,設安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品為（50－x）件，根據(jù)題意得9x＋4（50－x）≤360，3x＋10（50－x）≤290，解得30≤x≤32而x為整數(shù)所以x只能取30、31、32，相應的（50－x）的值為20、19、18。因而我們得到了方案有三種：第一種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件、B種產(chǎn)品20件；第二種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件、B種產(chǎn)品19件；第三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件、B種產(chǎn)品18件；（二）、建立或化歸為函數(shù)模型，解決實際生產(chǎn)生活的“動態(tài)變化”問題現(xiàn)實生活中普遍存在著最優(yōu)化問題——最佳投資、最小成本、設計最佳等，常常歸結為函數(shù)的最值問題（盈利最大、用料最?。ㄟ^建立相應的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法解決。例如：某商場將進價40元一個的商品按50元一個售出時能賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺得最大利潤，售價應定為多少？最大利潤為多少？在教學中引導分析：①利潤的含義②在研究利潤問題時，常用的一個關系式：利潤=（每件商品所獲利潤）×（銷售件數(shù)），數(shù)學建模，問題求解：設每個售價為(50+x)元（x≥0且為整數(shù)），總利潤為y元，則y=(50+x-40)(500-10x),y=10[-(x-20)2+9000](0≤x≤50,x為整數(shù)）故當x=20時，y最大，最大值為9000。所以，每個售價為70元時，最大利潤為9000元。這里就是把最大利潤問題通過數(shù)學建模轉化成二次函數(shù)的最大值問題，再回到實際問題中去使問題得已解決。（三）、建立或化歸為統(tǒng)計型模型，解決實際生產(chǎn)生活的“信息處理”問題當今是信息時代，我們廣泛的與數(shù)字打交道，要學會如何收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)，深刻理解用樣本估計整體的基本統(tǒng)計思想，掌握描述數(shù)據(jù)集中趨勢和離散程度的兩類基本統(tǒng)計量，建立或化歸為統(tǒng)計型模型。例如，為估計一次性木質筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0通過對樣本的計算，估計該縣1999年消耗多少一次性筷子（每年按350個營業(yè)日計算）；2001年又對該縣一次性木質筷子的用量以同樣的方式作出了抽樣調查，調查結果是10個樣本飯店每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求該縣2000年、2001年這兩年一次性筷子用量平均每年增長的百分率（2001年該縣飯店數(shù)，全年營業(yè)天數(shù)均與1999年相同）對于這類問題，我們可以化歸為數(shù)學模型：（1）x＝（0.6＋3.7＋2.2＋1.5＋2.8＋1.7＋1.2＋2.1＋3.2＋1.0）＝2.0，故該縣1999年消耗一次性筷子為：2×600×350＝420000（盒）（2）設平均每年增長的百分率為x，則，得到x1＝0.1＝10﹪x2＝－2.1（不合題意，舍去），故平均每年增長率為10﹪。（四）建立或化歸為幾何模型，解決實際生產(chǎn)生活的“數(shù)形統(tǒng)一”問題現(xiàn)實世界中涉及一定圖形屬性的應用問題，如航行、建筑、測量、人造衛(wèi)星運行軌道等，常需建立相應的幾何模型，應用幾何知識，轉化為用方程或不等式，或三角知識求解．例如：海上高200米的燈塔上，測得A船在其正東方向B船在其南偏東60°方向，且B船在A船的西南方向，在燈塔上測得A船的俯角是45°，求A、B兩船的距離。此題進行數(shù)學建模，化歸到兩個直角三角形中去求解，再回到實際問題中去使問題得已解決。