第2講 有理數(shù)綜合運算（知識講練）（教師版）

有理數(shù)綜合運算知識導航③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.倒數(shù)的妙用：在四則混合運算中，有時會用倒數(shù)（2023春?杜爾伯特縣期末）怎樣簡便就怎樣算：0.23×85+15×0.23÷6+×【思路點撥】直接利用乘法分配律以及有理數(shù)的混合運算法則計算得出答案．【完整解答】解：0.23×85+15×0.23＝0.23×（85+15）＝0.23×100＝23；÷6+×＝×+×＝×（+）＝×6＝1．【考點提示】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，正確運用相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．7．（2023?蘭陵縣二模）計算：﹣16÷（﹣2）3﹣22×|﹣|+（﹣1）2023．【思路點撥】根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則計算即可．【完整解答】解：＝＝2﹣2﹣1＝﹣1．【考點提示】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，掌握相應(yīng)的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．（2022秋?鞍山期末）計算：（1）；（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．【思路點撥】（1）先把除法轉(zhuǎn)為乘法，再利用乘法的分配律進行運算，最后算加減即可；（2）先算乘方，再算括號里的運算，接著算乘法與除法，最后算加減即可．【完整解答】解：（1）＝（）×（﹣）+（﹣）＝﹣＝﹣2+1+＝；（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）＝﹣8﹣3×（16+2）﹣9÷（﹣2）＝﹣8﹣3×18﹣9×（﹣）＝﹣8﹣54+4.5＝﹣57.5．【考點提示】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．（2022秋?定陶區(qū)期末）隨著手機的普及，微信的興起，許多人抓住這種機會，做起了“微商”，很多農(nóng)產(chǎn)品也改變了原來的銷售模式，實行了網(wǎng)上銷售．剛大學畢業(yè)的李明把自家的冬棗產(chǎn)品也放到了網(wǎng)上實行包郵銷售，他原計劃每天賣100斤冬棗，但實際每天的銷售量與計劃量相比有出入，下表是某周的銷售情況（超額記為正，不足記為負．單位：斤）；星期一二三四五六日與計劃量的差值+4﹣2﹣5+10﹣9+23﹣7（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知前三天共賣出多少斤？（2）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售多少斤？（3）若冬棗每斤按7元出售，每斤的運費平均2元，那么李明本周共收入多少元？【思路點撥】（1）根據(jù)前三天銷售量相加計算即可；（2）將銷售量最多的一天與銷售量最少的一天相減計算即可；（3）將總數(shù)量乘以價格差解答即可．【完整解答】解：（1）4﹣2﹣5+100×3＝297（斤）．答：根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知前三天共賣出297斤．（2）23﹣（﹣9）＝23+9＝32（斤）．答：根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售32斤．（3）[（+4﹣2﹣5+10﹣9+23﹣7）+100×7]×（7﹣2）＝714×5＝3570（元）．答：小明本周一共收入3570元．【考點提示】此題考查正數(shù)和負數(shù)以及有理數(shù)的混合運算，解答此題的關(guān)鍵是讀懂題意，列式計算．知識導航常用數(shù)列計算：①分組求和；②連鎖約分；③裂項相消；④整體換元；⑤錯位相減（2022秋?鄒城市校級期末）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為；（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復進行，例如，取n＝26．則：若n＝49，則第2020次“F運算”的結(jié)果是（）A．152 B．19 C．62 D．31【思路點撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于將新運算轉(zhuǎn)化為學過的數(shù)的有關(guān)運算法則進行計算，只有轉(zhuǎn)化成功，才能有的放矢．【完整解答】解：本題提供的“F運算”，需要對正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計算，由于n＝49為奇數(shù)應(yīng)先進行F①運算，即3×49+5＝152（偶數(shù)），需再進行F②運算，即152÷23＝19（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×19+5＝62（偶數(shù)），再進行F②運算，即62÷21＝31（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×31+5＝98（偶數(shù)），再進行F②運算，即98÷21＝49，再進行F①運算，得到3×49+5＝152（偶數(shù)），…，即第1次運算結(jié)果為152，…，第4次運算結(jié)果為31，第5次運算結(jié)果為98，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運算結(jié)果為49，第7次運算結(jié)果為152，則6次一循環(huán)，2020÷6＝336…4，則第2020次“F運算”的結(jié)果是31．故選：D．【考點提示】本題考查了有理數(shù)的混合運算，既滲透了轉(zhuǎn)化思想、分類思想，又蘊涵了次數(shù)、結(jié)果規(guī)律探索問題，檢測學生閱讀理解、抄寫、應(yīng)用能力．（2021秋?北侖區(qū)期末）“轉(zhuǎn)化”是一種解決問題的常用策略，有時畫圖可以幫助我們找到轉(zhuǎn)化的方法．例如借助圖①，可以把算式1+3+5+7+9+11轉(zhuǎn)化為62＝36．請你觀察圖②，可以把算式轉(zhuǎn)化為．【思路點撥】根據(jù)圖形觀察發(fā)現(xiàn)，把正方形看作單位“1”，即算式可以轉(zhuǎn)化成1﹣，再求出答案即可．【完整解答】解：＝1﹣＝，故答案為：．【考點提示】本題考查了有理數(shù)的混合運算和數(shù)據(jù)分析能力，同時還考查了數(shù)據(jù)的推理能力．（2022秋?長沙期末）觀察下列三個等式：，，，我們稱使等式a﹣b＝ab成立的一對有理數(shù)a，b為“有趣數(shù)對”，記為（a，b），例如數(shù)對，，都是“有趣數(shù)對”，請回答下列問題：（1）數(shù)對是“有趣數(shù)對”嗎？試說明理由．（2）若是“有趣數(shù)對”，求a的值．（3）若（2，m2+2m）是“有趣數(shù)對”，求10﹣6m2﹣12m的值．【思路點撥】（1）根據(jù)“有趣數(shù)對”的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)“有趣數(shù)對”的定義列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)“有趣數(shù)對”的定義列方程化簡可得m2+2m＝，利用整體思想即可得到結(jié)論．【完整解答】解：（1）數(shù)對不是“有趣數(shù)對”，理由如下：∵5﹣＝，5×＝，∴（不是“有趣數(shù)對”；（2）∵（a，）是“有趣數(shù)對”，∴a＝a﹣，解得：a＝；（3）∵（2，m2+2m）是“有趣數(shù)對”∴2﹣（m2+2m）＝2（m2+2m），解得：m2+2m＝，∴10﹣6m2﹣12m＝10﹣6（m2+2m）＝10﹣6×＝10﹣4＝6．【考點提示】本題考查了有理數(shù)的混合運算，一元一次方程，一元二次方程的解，正確地理解題意列出方程解方程是解題的關(guān)鍵．（2021秋?紅花崗區(qū)期末）類比推理是一種重要的推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上相似，得出它們在其他特征上也可能相似的結(jié)論．閱讀感知：在異分母的分數(shù)的加減法中，往往先化作同分母，然后分子相加減，例如：，我們將上述計算過程倒過來，得到，這一恒等變形過程在數(shù)學中叫做裂項．類似地，對于可以用裂項的方法變形為：．類比上述方法，解決以下問題．【類比探究】（1）猜想并寫出：＝；【理解運用】（2）類比裂項的方法，計算：；【遷移應(yīng)用】（3）探究并計算：．【思路點撥】（1）根據(jù)題目中的例子，可以寫出相應(yīng)的猜想；（2）根據(jù)式子的特點，采用裂項抵消法可以解答本題；（3）將題目中的式子變形，然后裂項抵消即可解答本題．【完整解答】解：（1）＝，故答案為：；（2）由（1）易得：＝＝＝；（3）+＝﹣×（++++…+）＝﹣×（1﹣++…+）＝﹣×（1﹣）＝﹣×＝﹣．【考點提示】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用裂項抵消法解答問題．一．選擇題（共6小題）1．（2023?肇東市三模）現(xiàn)定義一種新運算“*”，規(guī)定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，則（﹣2）*（﹣3）等于（）A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7解：∵a*b＝b2﹣a，∴（﹣2）*（﹣3）＝（﹣3）2﹣（﹣2）＝9+2＝11，故選：A．2．（2022秋?高碑店市期末）如圖是一個“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”，按下面的運算過程輸入一個數(shù)x，若輸入的數(shù)x＝﹣1，則輸出的結(jié)果為（）A．15 B．13 C．11 D．﹣5解：當x＝﹣1時，（﹣1）×（﹣2）+1＝2+1＝3＜10，當x＝3時，3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5＜10，當x＝﹣5時，（﹣5）×（﹣2）+1＝10+1＝11＞10，輸出11．故選：C．3．（2023?鎮(zhèn)江模擬）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結(jié)果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．利用以上規(guī)律計算：f（2022）﹣f（）等于（）A．2021 B．2022 C． D．解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，由（2）知f（）＝2022，∴f（2022）﹣f（）＝4044﹣2022＝2022，故選：B．4．（2022秋?泊頭市期中）下列等式中，正確的是（）A． B．﹣34＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3） C． D．解：A、原式＝，故該選項正確，符合題意；B、原式＝﹣（3×3×3×3），故該選項錯誤，不符合題意；C、原式＝，故該選項錯誤，不符合題意；D、原式＝，故該選項錯誤，不符合題意，故選：A．5．（2021秋?鄂城區(qū)校級期末）“24點”游戲規(guī)則是：從一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4張牌，用上面的數(shù)字進行混合運算，使結(jié)果為24或﹣24．其中紅色代表負數(shù)，黑色代表正數(shù)，A，J，Q，K分別代表1，11，12，13．例如張毅同學抽取的4張牌分別為紅桃4、紅桃3、梅花6、黑桃2，于是張毅同學列出的算式為（﹣4）×（﹣3﹣6÷2）＝24，現(xiàn)在張毅同學想挑戰(zhàn)“36點”，將這四張牌中的任意一張換成其它牌，使結(jié)果為36或﹣36．下列方法可行的有幾種：①將紅桃4換成黑桃6；②將紅桃3換成紅桃6；③將梅花6換成黑桃Q；④將黑桃2換成黑桃A．（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種解：①6×（﹣3+2）×（﹣6）＝6×（﹣1）×（﹣6）＝36，符合題意；②（﹣4）×[6﹣（﹣6÷2）]＝（﹣4）×（6+3）＝﹣4×9＝﹣36，符合題意；③（﹣4）×（﹣6﹣6÷2）＝（﹣4）×（﹣6﹣3）＝（﹣4）×（﹣9）＝36，符合題意；④（﹣4）×（﹣3﹣6÷1）＝（﹣4）×（﹣3﹣6）＝（﹣4）×（﹣9）＝36，符合題意．故選：D．6．（2022秋?永春縣期中）設(shè)，利用等式（n≥3），則與A最接近的正整數(shù)是（）A．18 B．20 C．24 D．25解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故選：D．二．填空題（共5小題）7．（2023春?寶安區(qū)校級期中）現(xiàn)定義運算“⊕”，對于任意有理數(shù)a，b，都有a⊕b＝a2﹣ab+b．例如：3⊕5＝32﹣3×5+5＝﹣1，由此可知x⊕（2+x）＝﹣x+2．解：根據(jù)題中的新定義得：x⊕（2+x）＝x2﹣x（2+x）+（2+x）＝x2﹣2x﹣x2+2+x＝﹣x+2．故答案為：﹣x+2．8．（2022秋?如皋市校級期末）規(guī)定如下兩種運算：x?y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2?3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a?（4⊕5）的值為79，則3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是7．解：∵x?y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1，a?（4⊕5）的值為79，∴a?（4+2×5﹣1）＝a?（4+10﹣1）＝a?13＝2a×13+1＝26a+1，∴26a+1＝79，解得a＝3，∴3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]＝3a+2（3a﹣4a+2）＝3a+6a﹣8a+4＝a+4＝3+4＝7，故答案為：7．9．（2022秋?安岳縣期末）定義新運算：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作：a?，讀作“a的圈n次方”．特別地，規(guī)定：a①＝a．通過以上信息，請計算：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝3．解：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+＝1×4+（﹣1）＝3．故答案為：3．10．（2021春?梅州校級期中）為了求1+2+22+23+…+2100的值，可令m＝1+2+22+23+…+2100，則2m＝2+22+23+…+2101，因此，2m﹣m＝2101﹣1，所以m＝2101﹣1．仿照以上推理計算：1+3+32+33+…+3100的值．解：令m＝1+3+32+33+…+3100，則有3m＝3+32+33+…+3101，因此2m＝3101﹣1，所以m＝，則1+3+32+33+…+3100＝，故答案為：11．（2021春?武侯區(qū)校級期中）如圖，定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如，取n＝26，第三次“F運算”的結(jié)果是11．若n＝449，則第449次“F運算”的結(jié)果是8．解：本題提供的“F運算”，需要對正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計算，由于n＝449為奇數(shù)應(yīng)先進行F①運算，即3×449+5＝1352（偶數(shù)），需再進行F②運算，即1352÷23＝169（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×169+5＝512（偶數(shù)），再進行F②運算，即512÷29＝1（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×1+5＝8（偶數(shù)），再進行F②運算，即8÷23＝1，再進行F①運算，得到3×1+5＝8（偶數(shù)），…，即第1次運算結(jié)果為1352，…，第4次運算結(jié)果為1，第5次運算結(jié)果為8，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運算結(jié)果為1，第7次運算結(jié)果為8，從第4次運算結(jié)果開始循環(huán)，且奇數(shù)次運算的結(jié)果為8，偶數(shù)次為1，而第499次是奇數(shù)，這樣循環(huán)計算一直到第449次“F運算”，得到的結(jié)果為8．故答案為：8．三．解答題（共9小題）12．（2023?章貢區(qū)校級模擬）計算：（1）﹣12008﹣[5×（﹣2）﹣（﹣4）2÷（﹣8）]；（2）（5﹣﹣）÷（﹣1）．解：（1）﹣12008﹣[5×（﹣2）﹣（﹣4）2÷（﹣8）]＝﹣1﹣[（﹣10）﹣16÷（﹣8）]＝﹣1﹣[（﹣10）+2]＝﹣1﹣（﹣8）＝﹣1+8＝7；（2）（5﹣﹣）÷（﹣1）＝（﹣﹣）×（﹣）＝×（﹣）﹣×（﹣）﹣×（﹣）＝﹣3++＝﹣＝﹣．13．（2022秋?泗水縣期末）解密數(shù)學魔術(shù)：魔術(shù)師請觀眾心想一個數(shù)，然后將這個數(shù)按以下步驟操作：魔術(shù)師能立刻說出觀眾想的那個數(shù)．（1）如果小玲想的數(shù)是﹣5，請你通過計算幫助她告訴魔術(shù)師的結(jié)果；（2）如果小明想了一個數(shù)計算后告訴魔術(shù)師結(jié)果為2023，魔術(shù)師立刻說出小明想的那個數(shù)，你知道小明說的那個數(shù)是多少嗎？解：（1）（﹣5×3﹣6）×3+7＝﹣56；（2）設(shè)這個數(shù)為x，（3x﹣6）×3+7＝2023，解得，x＝226．∴小明想的那個數(shù)是226．14．（2023?阜城縣校級模擬）定義新運算“@”與“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）計算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比較A和B的大?。猓海?）3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）＝﹣＝+＝1；（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝+＝3b﹣1，B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝+＝3b+1，則A＜B．15．（2023?宣州區(qū)三模）請先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題：因為：所以：＝＝＝問題：計算：①；②．解：①＝＝＝；②＝＝＝＝＝．16．（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）2022年卡塔爾世界杯期間，某電商平臺直播間從開幕式第一天起開啟了為期一周的直播公益活動，活動如下：每銷售一只世界杯吉祥物“拉伊卜”，就從銷售額里拿出一部分作為慈善基金捐贈給某希望中學用于購買學生體育用品．規(guī)定當天吉祥物銷售量超過300只的部分記為“+”，低于300只的部分記為“﹣”，下表是公益活動一周的銷售量：時間11.2111.2211.2311.2411.2511.2611.27銷售量超過部分（單位：只）200180220﹣50﹣10016090（1）求這一周公益活動期間的“拉伊卜”總銷售量？（2）吉祥物“拉伊卜”的銷售單價是120元，捐贈方案如下：每天銷售量中不超過300只的部分，按每只銷售價的1%捐贈；每天銷售量中超過300只的部分，按每只銷售價的2%捐贈．求直播公益活動期間一共捐贈了多少錢？解：（1）300×7+（200+180+220﹣50﹣100+160+90）＝2100+700＝2800（只）．故這一周公益活動期間的“拉伊卜”總銷售量是2800只；（2）（300×7﹣50﹣100）×（120×1%）+（200+180+220+160+90）×（120×2%）＝1950×1.2+850×2.4＝2340+2040＝4380（元）．故直播公益活動期間一共捐贈了4380元錢．17．（2022秋?鄭州期末）概念學習：現(xiàn)規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）寫作a?，讀作“a的圈n次方”．初步探究：（1）直接寫出計算結(jié)果：3②＝1；（﹣）③＝﹣3；（2）下列關(guān)于除方說法中，錯誤的有D；（在橫線上填寫序號即可）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)C．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)D．圈n次方等于它本身的數(shù)是1或﹣1．深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，那么有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？（3）歸納：請把有理數(shù)a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為：a?＝；（4）比較：（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩；（填“＞”“＜”或“＝”）（5）計算：﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④．解：（1）由題意可得，3②＝3÷3＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3，故答案為：1，﹣3；（2）任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，故選項A正確，不符合題意；任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)，故選項B正確，不符合題意；負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)，故選項C正確，不符合題意；圈n次方等于它本身的數(shù)是1，﹣1的圈偶數(shù)次方等于1，﹣1的圈奇數(shù)次方等于﹣1，故選項D錯誤，符合題意；故選：D；（3）有理數(shù)a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為：a?＝a÷a÷a÷…÷a＝a???…?＝，故答案為：；（4）（﹣2）⑩＝（﹣）8＝，（﹣4）⑩＝（﹣）8＝，∵＞，∴（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩，故答案為：＞；（5）﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④＝﹣1+196÷（﹣）×（﹣）4+48÷72＝﹣1+196×（﹣2）×+48÷49＝﹣1﹣+＝﹣．18．（2022春?東方校級期中）觀察下列等式：＝1﹣，＝，＝三個等式兩邊分別相加得：＝1﹣＝1﹣＝（1）猜想并寫出：﹣；（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果：+++…+＝；（3）探究并計算：+++…+．解：（1）根據(jù)題意得：＝﹣；（2）原式＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）原式