2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)、湘江新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)、湘江新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共計10個小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.，與-2B.-1與-（+1）C.-（-3）與-3D.2與|-2|

2

2.（3分）2023年湖南湘江新區(qū)以高質(zhì)量項目有效支撐經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展，共鋪排項目1956

個，計劃總投資超過10100億元.將數(shù)據(jù)10100用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.01X105B.1.01X104C.10.1X103D.0.101X105

3.（3分）下列運算正確的是（）

A.（-2a）3=-St?B.（a-b）2=（^-b2

C.3■+y=4/D.3。3?2。2=6/

4.（3分）將“非志無以成學(xué)”六個字分別寫在一個正方體的六個面上，這個正方體的平面

展開圖如圖所示，那么在這個正方體中，和“志”相對的字是（）

5.（3分）如圖，過三角形A8C頂點C作NACE=65°,ZB=30°,則乙4c8

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，s,=2.3，s5=1.8,則甲組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定

B.如果明天降水的概率是50%,那么明天有半天都在降雨

C.為了解全國中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用全面調(diào)查

D.數(shù)據(jù)4,3,5,5,2的中位數(shù)是4,眾數(shù)是5

7.（3分）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分100元錢，每人分得

若干，若再加上5人，平分150元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第二次分錢

的人數(shù).設(shè)第二次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程為（）

A.100x=150（x+5）B.100（x-5）=150x

C.100=150D100=150

xx+5x-5x

8.（3分）如圖是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的A,8兩點，

并使A8與車輪內(nèi)圓相切于點。，已知。為車輪外圓和內(nèi)圓的圓心，連接。。并延長交

外圓于點C.測得CQ=10cm,AB=60cm,則車輪的外圓半徑是（）

A.1OcmB.30cmC.50cmD.60cm

9.（3分）如圖，已知AB是。。的直徑，D4與。。相切于點A,。。與相交于點E,C

是弧8E的中點，現(xiàn)有如下幾個結(jié)論：?BALDA,?OC//AE,③NCOE=2NCAE,④

NB=NBAC,其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.（3分）甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁

判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次

進行.半天訓(xùn)練結(jié)束時，發(fā)現(xiàn)甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在

這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共進行的比賽局數(shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

11.（3分）方程/-3x=0的解是.

12.（3分）在平面直角坐標系中，將點（-1,3）向右平移3個單位得到的點的坐標

為.

13.（3分）已知扇形的半徑是3a”，圓心角是60°,則該扇形的弧長為cm（結(jié)果

保留TT）.

14.（3分）某商場舉行有獎競猜活動，有A,B,C,。四個問題，其中A,8為體育類問

題，C,。為文化類問題，小華從四個問題中不重復(fù)地選擇兩個，則兩個問題類型相同的

概率為_____________________.

15.（3分）如圖，矩形A8CZ）中，點E在邊AB上，將矩形ABCQ沿直線OE折疊，點A

恰好落在邊3c的點F處.若AE=3,BF=2,則CD的長是___________________.

BFc

=4,

16.（3分）如圖，在△ABC中，ZC=90",ACtanZBAC^,以點B為圓心，BC

4

長為半徑畫弧，與AB交于點。，再分別以B,。為圓心，大于/BD長為半徑畫弧，兩弧

交于點M,N,作直線MN,分別交AB,BC于點E,F,則4BE尸的面積

為____________________.

k

三、解答題（本大題共9個小題第17、18、19題,每小題6分，第20、21題每小題6分，

第22、

17.（6分）計算：6cos30°-V12+(^：-i)0-1-VsI,

18.（6分）先化簡，再求值::(3+1).即+2,其中m八歷+1.

m-lm-2m+l

19.（6分）如圖，點A,C,D,七在同一條直線上，BC±AE,FD1AE,ZF=ZB,且AB

=EF.

(1)求證：AABC@AEFD；

(2)若AE=13,CD=3,求OE的長.

20.（8分）“交通安全，人人有責(zé)”，為喚起人們關(guān)注交通事故正在奪去大量生命這一事實,

我國把每年的4月30日定為全國交通安全反思日.希望有更多的市民來關(guān)注交通安全，

認真審視并改正不文明的交通習(xí)慣.某校開展了“交通安全”知識競賽，根據(jù)競賽活動

的成績劃分了四個等級：A.合格，B.良好，C.優(yōu)秀，D.非常優(yōu)秀.現(xiàn)隨機抽查部分

競賽成績的數(shù)據(jù)進行了整理、繪制成不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中信息，解答下列問題:

（1）填空：“=%,b=%，“優(yōu)秀”對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)

為;

（2）請你補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若全校有2000名學(xué)生參加活動，請你估計其中競賽成績等級為“優(yōu)秀”和“非常

優(yōu)秀”的學(xué)生共有多少人？

人痂

各等級人數(shù)扇形圖

21.（8分）甲、乙兩旅游愛好者從點8出發(fā)到點D,甲沿8-C-O的路線，乙沿

的路線.經(jīng)測量，點C在點B的正北方向，點。在點C的北偏西60°,點A在點B的

正西方向，點。在點A的北偏東45°,AB=7000米，CD=2000?米.

（1）求點。到直線3c的距離；

（2）為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對講機，對講機信號覆蓋半徑是6000米，當

甲在點D,乙在點A時，乙能否收到甲的呼叫信號？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：

414,V3^1.732)

北

22.（9分）某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準備從體育用品商店一次性購買若干個足球和

籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買30個足球和20個籃球共需

4800元，購買10個足球和30個籃球共需4400元.

（1）求購買一個足球、一個籃球各需多少元.

（2）學(xué)校準備購買足球和籃球共50個，且籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的工.請設(shè)計出最

3

省錢的購買方案，并說明理由.

23.（9分）如圖，點P是菱形A8C3的對角線8。上一點，連接CP并延長，交AO于E,

交BA的延長線于F.

（1）求證：AP=CP；

(2)若AB=2,DP：PB=1：2,且雨_L3F,求P2的長.

24.（10分）在平面直角坐標系中，給出如下定義：已知兩個函數(shù)，如果對于任意的自變量

x,這兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值記為yi，”，恒有點（x,加）和點（x,”）關(guān)于點（x,1x）

成中心對稱（此三個點可以重合），則稱這兩個函數(shù)互為“友好函數(shù)”.例如：y-|x和

y十X互為“友好函數(shù)二

（1）判斷：①丫=-彳和y=2x；②y得*+3和y=/x-3；③y蔣x’MDyn/x1，

其中互為“友好函數(shù)”的是（填序號）.

(2)若函數(shù)y^2x-4的“友好函數(shù)”與反比例函數(shù)m(m#0)的圖象在第一象限內(nèi)

有兩個交點點C和點D.

①求〃7的取值范圍；

②若△C。。的面積為5d5，求加的值.

(3)若M(1,機)，N(3,”)，P(6m)三個不同的點均在二次函數(shù)y=-4/+(1-6)

x-c(a,b,c為常數(shù)，且“>0)的''友好函數(shù)”的圖象上，且滿足相<〃<c,若存在常

數(shù)w，使得肝2〉」t2-t+2恒成立，求叩的取值范圍.

54

25.(10分)如圖，ZVIBC中，/BAC為直角，點尸為AC邊上一動點(不與A,C重合)，

以PB為直徑作0。，QO與BC交于點D,過點D作DELAD交AB的延長線于點E.AD

與PB交于點F.

(1)求證：NPBA=NBDE；

(2)如果NPBD=2NPBA,求證：BD=BF；

(3)如果AB=6,AC=8,

①令4P=x,BD—y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

②若PB〃DE,求理的值.

FB

2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)、湘江新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共計10個小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.」與-2B.-1與-（+1）C.-（-3）與-3D.2與|-2|

2

【解答】解：A、二與-2互為倒數(shù)，不符合題意；

2

B、-（+1）=-1與-1相同，不符合題意；

C、-（-3）=3與-3是相反數(shù)，符合題意；

。、|-2|=2與2相同，不符合題意；

故選：C.

2.（3分）2023年湖南湘江新區(qū)以高質(zhì)量項目有效支撐經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展，共鋪排項目1956

個，計劃總投資超過10100億元.將數(shù)據(jù)10100用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.01X105B.1.01X104C.10.1X103D.0.101X105

【解答】解：10100=1.01X1（）4,

故選:B.

3.（3分）下列運算正確的是（）

A.（-2a）3=-St?B.（a-b）2—cr-b1

C.3b2+b1=4b4D.3a3?2/=646

【解答】解：A、（-2”）3=-8?3,故4符合題意；

B、Ca-b）2—a2-2ab+b2,故B不符合題意；

C、3/+房=4必，故C不符合題意；

D>3/?2o2=6a5,故。不符合題意；

故選：A.

4.（3分）將“非志無以成學(xué)”六個字分別寫在一個正方體的六個面上，這個正方體的平面

展開圖如圖所示，那么在這個正方體中，和“志”相對的字是（）

A.無B.以C.成D.學(xué)

【解答】解：在這個正方體中，和“志”相對的字是成，

故選：C.

5.（3分）如圖，過三角形A8C頂點C作E/〃48,/ACE=65°,ZB=30°,則/ACB

A.105°B.85°C.80°D.75°

【解答】解：ZACE=65Q,

.?./A=/ACE=65°,

VZB=30°,

AZACB=180°-ZA-ZB=180°-65°-30°=85°.

故選:B.

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，5番=23s好1.8,則甲組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定

B.如果明天降水的概率是50%,那么明天有半天都在降雨

C.為了解全國中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用全面調(diào)查

D.數(shù)據(jù)4,3,5,5,2的中位數(shù)是4,眾數(shù)是5

【解答】解：A、若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，s,=2.3，s5=1.8,則乙組數(shù)據(jù)

較穩(wěn)定，故A不符合題意；

B、如果明天降水的概率是50%,那么明天降雨的可能性是50%,故B不符合題意；

C、為了解全國中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用抽樣調(diào)查，故C不符合題意；

D、數(shù)據(jù)4,3,5,5,2的中位數(shù)是4,眾數(shù)是5,故。符合題意；

故選：D.

7.（3分）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分100元錢，每人分得

若干，若再加上5人，平分150元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第二次分錢

的人數(shù).設(shè)第二次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程為（）

A.100x=150(x+5)B.100(x-5)=150x

c100150D.100_150

xx+5x_5x

【解答】解：設(shè)第二次分錢的人數(shù)為x人，則第一次分錢的人數(shù)為（x-5）人，

依題意得：%=15°

x-5x

故選：D.

8.（3分）如圖是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的4,8兩點，

并使A3與車輪內(nèi)圓相切于點D,已知。為車輪外圓和內(nèi)圓的圓心，連接。。并延長交

外圓于點C測得CD=10cm,AB=60cm,則車輪的外圓半徑是（）

A.\QctnB.30cmC.50cmD.60cm

【解答】解：如圖，連接04,

■:CD—10cmfAB=60c/n,

VCD1AB,

:.OC±AB,

：.AD=lAB^30cm,

2

二設(shè)半徑為r,則OC=r-10,

根據(jù)題意得：尸=(r-10)2+302,

解得：r=50.

???這個車輪的外圓半徑長為50a%.

故選：C

9.（3分）如圖，已知A3是OO的直徑，D4與。0相切于點A,。。與。0相交于點2C

是弧BE的中點，現(xiàn)有如下幾個結(jié)論：①84J_D4,?OC//AE,③NCOE=2NCAE,④

/B=NBAC,其中正確的個數(shù)為（)

D.4個

【解答】解：??,A8是。。的直徑，OA與。。相切于點A,

??.直徑A8_LOA,

故①正確；

是弧BE的中點，

；?NCOE=NCOB,

?：OE=OB,

：.OCLBE,

TAB是圓的直徑，

：.AE1.BE,

：.OC//AE,

故②正確；

???。是弧8E的中點，

:.ZEAC=ZCAO9

?：OC〃AE,

：.ZCOB=ZEAO,

：.ZCOE=ZEAO=2ZCAEf

故③正確；

若NB=NBAC,

'：ZCAE=ZBAC,ZAEB=90°,

AZCAE+ZBAC+B=90°,

ZB=30°,

但N3不一定等于30°,

???N8不一定等于N3AG

故④錯誤.

...正確的結(jié)論是①②③，共有3個.

故選：C.

10.（3分）甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁

判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次

進行.半天訓(xùn)練結(jié)束時，發(fā)現(xiàn)甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在

這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共進行的比賽局數(shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

【解答】解：???甲共當裁判9局，

二乙、丙之間打了9局，

又；乙、丙分別進行了14局、12局比賽，

，乙與甲打了：14-9=5（局），丙與甲打了：12-9=3（局），

甲、乙、丙三人共打了：5+3+9=17（局），

故選：C.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

11.（3分）方程x2-3x=0的解是xi=0,X2=3.

【解答】解：原式為--3x=0,x（x-3）=0,x=0或x-3=0,xi=0,也=3.

...方程/-3x=0的解是xi=0,X2=3.

12.（3分）在平面直角坐標系中，將點（-1,3）向右平移3個單位得到的點的坐標為（2,

3）.

【解答】解：將點（-1,3）向右平移3個單位長度，

得到坐標是（-1+3,3）,即（2.3）.

故答案為：（2,3）.

13.（3分）已知扇形的半徑是3c/n,圓心角是60°,則該扇形的弧長為ITcm（結(jié)果保

留TT）.

【解答】解：..?扇形的半徑是3cm圓心角是60°,

???該扇形的弧長是：60XKX3=n（C%）.

180

故答案為：n.

14.（3分）某商場舉行有獎競猜活動，有A,B,C,。四個問題，其中A,8為體育類問

題，C,。為文化類問題，小華從四個問題中不重復(fù)地選擇兩個，則兩個問題類型相同的

概率為1.

一3一

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

小小小小

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩個問題類型相同的結(jié)果有：AB,BA,CD,DC,共4

種，

???兩個問題類型相同的概率為

123

故答案為：1.

3

15.（3分）如圖，矩形ABCC中，點E在邊AB上，將矩形A8CQ沿直線OE折疊，點A

恰好落在邊的點F處.若AE=3,BF=2,則8的長是3+.

【解答】解：???△OEF由翻折而成,

：.EF=AE=3,

在RtZiBE尸中,

V￡F=3,BF=2,

BE=ylEp2_Bp2=yl32_22=^,

.?.A8=AE+8E=3+&,

?；四邊形A8CD是矩形,

:.CD=AB=3+疾.

故答案為：3+^/5?

16.（3分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,tanZBAC^以點B為圓心，BC

4

長為半徑畫弧，與AB交于點￡）,再分別以B,。為圓心，大于/BD長為半徑畫弧，兩弧

交于點M,N,作直線MN,分別交AB,BC于點E,F,則△BEF的面積為3.

—2-

k【解答】解：?.?NC=90°,AC=4,tanNB4C=3,

4

二tanNBAC=^=2，

AC4

:.BC=3,

由作圖可知：

k?.?直線MN為線段BD的垂直平分線，

:.BD=BC=3,

BE=LBD=3,

22

:NB=NB,NBEF=NBCA=90°,

3.

?BEEF用5EF

BCAC34

解得：EF=2.

11oo

???S3EF=與XBEXEF=與XyX2=1"

三、解答題（本大題共9個小題第17、18、19題，每小題6分，第20、21題每小題6分,

第22、

17.(6分)計算：6cos30。W12+(7l-l)0-|-V3|-

【解答】解：6cos30。-V12+(7l-l)°-I-V3|

=6X與-2V5+1-V3

=3A/3-2V3+1-V3

-V3+1-V3

=V3-V3+1

=1.

18.(6分)先化簡，再求值：(N-+i)+孕生一,其中m=&+L

m-1m-2m+l

【解答】解：(N-+1)+件+2

m-1m-2m+l

—2+m~1：(m-1)2

m-12(m+1)

=m+l,(m-1)2

m-l2(m+1)

2_

當m=V2+l時，原式=&+1-1=亞.

22

19.(6分)如圖，點A,C,D,E在同一條直線上，BC±AE,FDLAE,NF=NB,且AB

=EF.

(1)求證：△ABgAEFD；

：.ZACB=ZEDF=90°,

在△ABC和△EF￡>中,

ZACB=ZEDF

,NB=NF，

AB=EF

A^XABC^/XEFD(AAS)；

⑵解：V/\ABC^/\EFD,

：.AC=DE,

VAE=13,CD=3,

：.AC+DE=13-3=10,

：.DE=5.

20.(8分)“交通安全，人人有責(zé)”，為喚起人們關(guān)注交通事故正在奪去大量生命這一事實,

我國把每年的4月30日定為全國交通安全反思日.希望有更多的市民來關(guān)注交通安全，

認真審視并改正不文明的交通習(xí)慣.某校開展了“交通安全”知識競賽，根據(jù)競賽活動

的成績劃分了四個等級：A.合格，B.良好，C.優(yōu)秀，D.非常優(yōu)秀.現(xiàn)隨機抽查部分

競賽成績的數(shù)據(jù)進行了整理、繪制成不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中信息，解答下列問題:

(1)填空：a=12%,b=36%,“優(yōu)秀”對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為108°；

(2)請你補全條形統(tǒng)計圖；

(3)若全校有2000名學(xué)生參加活動，請你估計其中競賽成績等級為“優(yōu)秀”和“非常

優(yōu)秀”的學(xué)生共有多少人？

A人數(shù)

80-----------------------------------

72

_____60---------------------------\I—

24

等級

___I_I_______>

合格良好優(yōu)秀非常優(yōu)秀

各等級人數(shù)扇形圖各等級人數(shù)條形圖

【解答】解：(I總?cè)藬?shù)為：44+22%=200(人),

100%=12%，

b-^X100%=36%-

“優(yōu)秀”對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為30%X360°=108°,

故答案為:12；36；108°；

（2）“優(yōu)秀”的人數(shù)為30%X200=60（人）；

補全統(tǒng)計圖如下：

各等級人數(shù)條形圖

（3）2000X（30%+36%）=1320（人）.

答：估計其中競賽成績等級為“優(yōu)秀”和“非常優(yōu)秀”的學(xué)生共有大約1320人.

21.（8分）甲、乙兩旅游愛好者從點3出發(fā)到點甲沿2-C-。的路線，乙沿B-A-D

的路線.經(jīng)測量，點C在點8的正北方向，點。在點C的北偏西60°,點A在點8的

正西方向，點。在點A的北偏東45°,48=7000米，CD=2000?米.

（1）求點O到直線BC的距離；

（2）為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對講機，對講機信號覆蓋半徑是6000米，當

甲在點D,乙在點A時，乙能否收到甲的呼叫信號？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：

72^1.414,73^1.732）

北

【解答】（1）如圖，過點。作DE，8c的延長線于點E,

則NC￡）F=90°-60°=30°,

DE=CD'sin60°=200/X亨=3000（米），

答：點D到直線BC的距離為3000米；

（2）乙能收到甲的呼叫信號，理由如下：

過點D作DF1.AB于點F.

，四邊形BEQF是矩形，

.?.BF=Z）E=3000米，

VZDAF=9O°-45°=45°,

：.AF=DF=AB-BF=7000-3000=4000（米），

AD=V2AF=4000V2^5656（米），

???對講機信號覆蓋半徑是6000米，

6000>5656,

二能收到.

22.(9分)某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準備從體育用品商店一次性購買若干個足球和

籃球(每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同)，若購買30個足球和20個籃球共需

4800元，購買10個足球和30個籃球共需4400元.

(1)求購買一個足球、一個籃球各需多少元.

(2)學(xué)校準備購買足球和籃球共50個，且籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的2?請設(shè)計出最

3

省錢的購買方案，并說明理由.

【解答】解：(1)設(shè)購買一個足球需要x元，一個籃球需要y元，

根據(jù)題意得：(3°x+20y=4800,

\10x+30y=4400

解得」乂詼，

|y=120

，購買一個足球需要80元，一個籃球需要120元；

(2)設(shè)購買籃球，"個，則購買足球(50-利)個，

V籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的2，

3

(50-m),

3

解得：力,義_,

2

設(shè)所需總費用為W元，

根據(jù)題意得：停=120加+80(50-/n)=40〃?+4000,

V40>0,

隨機的增大而增大，

?.?加為正整數(shù)，

當〃?=13時，卬取得最小值，此時50-，"=50-13=37,

...最省錢的購買方案為：購買籃球13個，足球37個.

23.(9分)如圖，點P是菱形ABCD的對角線BO上一點，連接CP并延長，交AO于E,

交BA的延長線于F.

(1)求證：AP=CP；

(2)若AB=2,DP：PB=1：2,且必_LBF,求PB的長.

【解答】(1)證明：???四功形ABCQ為菱形，

：.CD=AD,ZCDP=ZADP,

：./\CDP^/\ADP(SAS),

：.AP=CP；

(2)解：???四邊形ABC。為菱形，

：.CD//BA,CD=BA,

：.NCDP=NFBP,NBFP=NDCP,

:.ACPI's△FPB,

???D-P::--C-D=—1?

PBBF2

.1

??CD^-BF-

；.A為BF的中點，

'：PALBF,

：.PB=PF,

由(1)可知，PA=CP,

PA-|PB)

?'-PB2=22+(yPB)2>

解得：PB等/§?

24.(10分)在平面直角坐標系中，給出如下定義：已知兩個函數(shù)，如果對于任意的自變量

x,這兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值記為yi，”，恒有點（x，w）和點（方”）關(guān)于點（x,-^x）

成中心對稱（此三個點可以重合），則稱這兩個函數(shù)互為“友好函數(shù)”.例如：和

y勺X互為“友好函數(shù)二

;

（1）判斷：Qy=-x和y=2x；?y=yx+3^y=^-x-3③y蔣x2+l和y=/x1，

其中互為“友好函數(shù)”的是①②（填序號）.

（2）若函數(shù)y=2r-4的“友好函數(shù)”與反比例函數(shù)y*（m戶0）的圖象在第一象限內(nèi)

x

有兩個交點點C和點。.

①求〃?的取值范圍；

②若△CO。的面積為5加，求根的值.

（3）若M（1,M,N（3,n）,P（t,m）三個不同的點均在二次函數(shù)y=-ax1+（1-8）

x-c（a,b,c為常數(shù)，且a>0）的“友好函數(shù)”的圖象上，且滿足若存在常

數(shù)w,使得w2〉」t2-t+2恒成立，求卬的取值范圍.

54

【解答】解：（1）y=-x圖象上的點（x,-x）和y=2x圖象上的點（x,2x）關(guān)于（x,

Ax）成中心對稱，

2

.?.y=-x和y=2x是“友好函數(shù)”；

y=L+3圖象上的點（x,-kx+3）和y=L-3圖象上的點（x,」二4-3）關(guān)于（x,-kr）

22222

成中心對稱，

二產(chǎn)1+3和尸工-3是“友好函數(shù)”；

22

產(chǎn)工，+1圖象上的點（x,-k^+l）和y=L?-1圖象上的點（x,Xx2-1）不關(guān)于（X,

2222

工）成中心對稱，

2

丫得*2+1和y=/x2-l不是“友好函數(shù)”；

互為“友好函數(shù)”的是①②，

故答案為：①②；

7

（2）①根據(jù)“友好函數(shù)”的定義得：d三

22

.2x-4+y*

??---------2二—，

22

??.”=-尤+4,即函數(shù)y=2x-4的“友好函數(shù)”解析式為y=-x+4,

??,反比例函數(shù)y*(m六0)的圖象與直線y=-x+4在第一象限內(nèi)有兩個交點,

x

???方程-x+4二四有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均為正數(shù)，

x

整理得：/-4X+〃2=0,

???△=(-4)2-4/n>0且m>0,

解得：0VmV4；

②記直線y=-x+4與坐標軸的交點為A,B,如圖，

在y=-x+4中，令％=0得y=4,令y=0得x=4,

???4(0,4),B(4,0),

設(shè)C,。的橫坐標分別為XI，X2，

Axi，X2是方程/-4元+機=0的兩根，

=

?*.xi+x2—4,Xi*X2mf

**S/sCOD=5y[2，

S^AOB-S^AOC-S^BOD=

???JLX4X4-AX4*XI-JLX4?旦=5企，

222x2

將x\X2=fn代入上式得：

8-2xi-2x1111=542,

x2

解得：xi=2-見

4

Vxi+x2—4,

...2-jV2+%2=4)

4_

解得：X2=2+且巨，

2_

.,.m=x\*X2=(2-殳反)X(2+必應(yīng))=—,