不等式知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)

不等式

一、知識(shí)點(diǎn)：

1.實(shí)數(shù)的性質(zhì)：

a>boa-b>0;a<boa-b<0;a=b<^>a-b=O.

2.不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)內(nèi)容

對(duì)稱性a>h<^>h<a?a<boh>a.

傳遞性a>h^h>c=>a>c.

加法性質(zhì)人=>a+c'>Z?+c;a>b^c>d=a+?

乘法性質(zhì)a>b,c>0=>ac>be;a>b>0?且c>d>0=>ac>Z?d>0.

乘方、開方檔a>b>0,nsN*na">b";a>Z?>0,〃￡N*=>標(biāo)>y[b.

a>b,ab>0=>—<—,

倒數(shù)性質(zhì)ab

3.常用基本不等式:

條件結(jié)論等號(hào)成立的條

aeRa2>0a=0

27277//。+久2Cl~-\-b~a+b2

aeR,bGRa+b->lab,ab<(------)，--------->(-------)a=b

222

基本不等式：a+b>2\[ab

a>0,b>0a=b

常見變式：-+^>2;a+—>2

aba

方+//

a>0,Z?>0a=b

乙---1---”;飛

ab

4.利用重要不等式求最值的兩個(gè)命題:

命題1：已知a,b都是正數(shù)，若是實(shí)值P,則當(dāng)1時(shí)，和a+b有最小值2斤.

2

命題2：已知a,b都是正數(shù)，若a+b是實(shí)值S,則當(dāng)工時(shí)，積有最大值二.

24

注意：運(yùn)用重要不等式求值時(shí)，要注意三個(gè)條件：一“正”二“定”三“等”,

即各項(xiàng)均為正數(shù)，和或積為定值，取最值時(shí)等號(hào)能成立，以上三個(gè)條件缺一不可.

5.一元二次不等式的解法：設(shè)a>0iX2是方程2。的兩個(gè)實(shí)根，且X1WX2,則有

△>0△=0△<0

▲y,

象\.y\L/

。/X2與1，4X『

?x

的解2a,實(shí)數(shù)解

{x|xWxi

解集IX<X］或x>x2}R

解集IX1<X<X2}①G

結(jié)論：或”0檢驗(yàn)；或"0檢驗(yàn)

[b-4ac<0-<4C<U

6.絕對(duì)值不等式

(1)IxI<a(a>0)的解集為：｛xI—a<x<a｝；

IxI>a(a>0)的解集為：｛xIx>a或xV—a｝。

(2)\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\

7.不等式證明方法：

基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法

輔助方法：換元法(三角換元、均值換元等)、放縮法、構(gòu)造法、判別式法

特別提醒：不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答

題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，最常用的思路是用分析法探求證明途徑，再用綜

合法加以敘述。我們?cè)诶貌坏仁降男再|(zhì)或基本不等式時(shí)要注意等號(hào)、不等號(hào)成立

的條件。

例：解下列不等式：

2

(1)X-7X+12>0;⑵-尤2-2X+3N0;

(3)x~—2x+1<0;(4)x2—2x+2<0.

解：(1)方程7x+12=0的解為西=3,%=4.根據(jù)y=f—7x+12的圖象,可得原

不等式X?-7x+12>0的解集是{x|x<3或x>4}.

(2)不等式兩邊同乘以一1,原不等式可化為f+2x_3W0.

方程f+2x—3=0的解為王=-3,超=1.

根據(jù)y=Y+2x-3的圖象，可得原不等式-%2一2%+320的解集是{x|-3WxWl}.

(3)方程*2-2x+l=0有兩個(gè)相同的解百=%=1.

根據(jù)^=/-2%+1的圖象，可得原不等式f—2x+l<0的解集為0.

⑷因?yàn)椤?lt;(),所以方程/一2%+2=0無實(shí)數(shù)解，根據(jù)y=/—2x+2的圖象，可得原不等

式/_2丹2<0的解集為。.

練習(xí)1.(1)解不等式號(hào)<。；(若改為土口40呢？)

(2)解不等式生三<1；

X+1

解：⑴原不等式=廣；>：或廣；<：,{+70<3}

[x-3<0[x-3>0

(該題后的答案：{x|-7<x<3}).

⑵上!2<o即...{x|_7<x<10}.

x+7

8、最值定理

設(shè)X、y都為正數(shù)，則有

2

⑴若x+y=s(和為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積.取得最大值一.

4

⑵若9=，(積為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2).

即：“積定，和有最小值；和定，積有最大值”

注意：一正、二定、三相等

幾種常見解不等式的解法

重難點(diǎn)歸納

解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則

向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下

面幾個(gè)問題：

(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.

(2)掌握用零點(diǎn)分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方

法

(3)掌握無理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類

型的解法.

(4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法.

(5)在解不等式的過程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)

化為易解的不等式,

(6)對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論

典型題例示范講解

例1:如果多項(xiàng)式/⑴可分解為〃個(gè)一次式的積，則一元高次不等式/（x）〉0（或

/W<0）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況.

當(dāng)分式不等式化為型<0（或40）時(shí)，要注意它的等價(jià)變形

...........g(x)

②&24001/（*>8（用<°或四2<00/（幻=0的（幻遭（幻<0

g(x)豐0

用“穿根法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：①各一次項(xiàng)中x的系數(shù)必為正；②對(duì)于偶次

或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不

穿”，其法如下圖.

不等式左右兩邊都是含有x的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0

再解.

例：解不等式：(1)2x3-x2-15x>0;(2)(X+4)(X+5)2(2-X)3<0.

解：(1)原不等式可化為

x(2x+5)(x—3)>0

把方程x（2x+5）（%-3）=0的三個(gè)根內(nèi)=0,%=-|,9=3順次標(biāo)上數(shù)軸.然后從右上開

始畫線順次經(jīng)過三個(gè)根，其解集如下圖的陰影部分.

，原不等式解集為卜卜'|<X<0或無〉3

(2)原不等式等價(jià)于

(x+4)(x+5)2(x-2)3>0

x+5wO[x^-5

V<、

[(x+4)(x-2)>0[%<-4或%>2

?,?原不等式解集為[xjx<-5^,-5<x<-4gJU>2}

解下列分式不等式:

-1，x-4x+1,

例：⑴(2)--------<1

x—2x+23X2-7X+2

（1）解:原不等式等價(jià)于

2_<上3

x—2,x+20三一號(hào)°

3(x+2)——2)—f+5x+6

<=>--------------(<0<=>-----------<0

(x—2)(%+2)(x-2)(x+2)

0-1)200(x-6)(x+l)(x-2)(x+2)>0

(x-2)(x+2)(x+2)(x-2)00

用“穿根法”

?,?原不等式解集為(-<?,-2)u[-l,2)u[6,+oo)0

(2)解法一：原不等式等價(jià)于

3x~-7x+2

=(2x2-3x+1)(3尤2-7x+2)>0

2x2-3x+\>0j2x2-3x+l<0

=2或2

3X2-7X+2>0[3X2-7X+2<0

=x<-§￡—<x<1或無>2

32

*,?原不等式解集為(-8,g)5；,1)52,+8)O

解法二：原不等式等價(jià)于寧一1)意—1)>0

<=>(2%-l)(x-l)(3x-l)-(x-2)>0

用“穿根法”

原不等式解集為(-8,：)u(pl)n(2,+oo)

例2：絕對(duì)值不等式，解此題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕對(duì)值符號(hào)有兩種

方法：一是根據(jù)絕對(duì)值的意義

二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：a<^>—a<x<aJR.a0]>?；蚬?lt;一。，因此本題有如下

兩種解法.

例：解不等式,_4]<*+2

解：原不等式等價(jià)于-(X+2)<X2_4<X+2

artx2_4<X+2?f-2<X<3.,

即《一故1<X<3.

X2-4>-(x+2)[x>1或x<-2

例3：已知f(x)是定義在[—1,1]上的奇函數(shù)，且若勿、但[-

1,1],70時(shí)/(M+"〃)>0

m+n

(1)用定義證明F(x)在[—1,1]上是增函數(shù)；

(2)解不等式〃<)<「(，)；

2x-1

(3)若21對(duì)所有[-1,1],[—1,1]恒成立，求實(shí)數(shù)方

的取值范圍

技巧和方法：(1)問單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式

是關(guān)鍵，(3)問利用單調(diào)性把/'(*)轉(zhuǎn)化成“1”是點(diǎn)睛之筆.

⑴證明：任取為〈為，且為，涇￡[—1,1],則F(xi)—「(也)(為)(一

尼）"）+/（『）?（用—題）

占一占

「一1WX1<及W1,

...為+（—用）￡0,由已知〃再）+，（1）>0,又為一照<0,

X|-x2

?,"（%）—/WV0,即F（x）在［-1,1］上為增函數(shù)

（2）解:'"（x）在［-1,1］上為增函數(shù)，

-1<X+—<1

2

--1<-^—<1解得：{——1,x￡R}

x-12

⑶解:由(1)可知Mx)在［—1,1］上為增函數(shù)，且/'(1)=1,

故對(duì)［-1,1］,恒有F(x)Wl,

所以要2i對(duì)所有xe［-1,1］,ae［-1,1］恒成立，即要t1

一2121成立，

故22—220,記-a)?—2,對(duì)E—1,1］,g(a)，0,

只需g(a)在［—1，1］上的最小值大于等于0,g(—1)20,g(l)20,

解得，1W—2或0或122

：.t的取值范圍是：{W—2或?；?22}

例5：解關(guān)于x的不等式幺0>l(aWl)

x-2

解：原不等式可化為:(”T)x+(2i)>o,

x-2

①當(dāng)a>l時(shí)，原不等式和(x—土匚)(x—2)>0同解

a-i

由于巴2=1__L<I<2

。一1d-\

???原不等式的解為（-8,j）U（2,+8）

a-1

②當(dāng)aVl時(shí)，原不等式和（x—佇匚）（x—2）<0同解

a-\

由于佇

CI—1Q—1

若a<0,*=i一J-<2,解集為（小，2）；

a-\。一1a-\

若。時(shí)，巴2=1_」_=2,解集為0;

a-\a-1

若0<?<1,巴2=1一」—>2,解集為（2,厘）

a-1a-1a-\

綜上所述：當(dāng)a>l時(shí)解集為（-8,j）U（2,+8）；當(dāng)0<&<1時(shí)，解集

a-\

為（2,土匚）；當(dāng)0時(shí)，解集為0；當(dāng)&V0時(shí)，解集為（T,2）

a-la-1

例6設(shè)/72￡穴，解關(guān)于X的不等式租2%2+2如一3co.

分析：進(jìn)行分類討論求解.

解：當(dāng)相=0時(shí)，因-3<0一定成立，故原不等式的解集為R.

當(dāng)〃?wO時(shí)，原不等式化為（/nr+3）（/nr-l）<0;

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，解得-2<x<L

mm

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，解得—<x<.

mm

???當(dāng)機(jī)>0時(shí)，原不等式的解集為[丫-2<%<口；

[mmJ

當(dāng)機(jī)<。時(shí)，原不等式的解集為「

說明：解不等式時(shí)，由于由R,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因

為當(dāng)他=0時(shí)，原不等式化為-3<0,此時(shí)不等式的解集為R,所以解題時(shí)應(yīng)分〃7=0和加工0

兩種情況來討論.

的解是x>l.

例8解關(guān)于X的不等式--(4+/)犬+/>0.

分析：不等式中含有字母〃，故需分類討論.但解題思路和一般的一元二次不

等式的解法完全一樣：求出方程--3+/口+/=0的根，然后寫出不等式的解，但由

于方程的根含有字母a,故需比較兩根的大小，從而引出討論.

解：原不等式可化為(x-a)(x-a2)>0.

⑴當(dāng)(即a〉]或"0)時(shí)，不等式的解集為:

{x|或卜

(2)當(dāng)2/(即0<。<1)時(shí)，不等式的解集為：

{x|xca2或x>a};

(3)當(dāng)”/(即，=o或1)時(shí)，不等式的解集為：

{x|xeR且xwa}.

說明：對(duì)參數(shù)進(jìn)行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就

對(duì)參數(shù)加以分類、討論.比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根玉="，

因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根.但“和/兩根的大小不能確定，因此

需要討論”/，a=/三種情況.

例9不等式加+版_2<0的解集為{x|-l<x<2},求a和6的值.

分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為卜|-1-<2},不等式

加+云-2<()需測(cè)足條件a>0,A>0,ar?+〃x-2=()的兩根為X]=-1,x2=2.

解法一'：設(shè)52+法-2=()的兩根為』，*2，由韋達(dá)定理得:

h

%)+與=---

a由題意:

2

X\，X2=----

a

2

=1,A=—1,此時(shí)滿足a>0,A=Z?-4?X(-2)>0.

解法二：構(gòu)造解集為—｝的一元二次不等式：

(x+l)(x-2)<0,即此不等式和原不等式52+法_2<()應(yīng)為同解不等式,

故需滿足：

例10解關(guān)于x的不等式4ax2-(a+l)x+l<0.

分析：本題考查一元一次不等式和一元二次不等式的解法，因?yàn)楹凶帜赶?/p>

數(shù)，所以還考查分類思想.

解：分以下情況討論

(1)當(dāng)a=O時(shí)，原不等式變?yōu)椋?X+l<0,，X>1

(2)當(dāng)4/0時(shí)，原不等式變?yōu)椋?7)(X-1)<0①

①當(dāng)a<0時(shí)，①式變?yōu)?x」)(x-l)>0,.,.不等式的解為x>l或

aa

②當(dāng)a>0時(shí)，①式變?yōu)?x」)(x-l)<0.②

a

?"一1=旦，當(dāng)0<a<l時(shí),1>1,此時(shí)②的解為l<x<L當(dāng)°=1時(shí),1=1,此

aaaaa

時(shí)②的解為.

說明：解本題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本

題來說有三級(jí)分類：

a=0

a<0

ae[0<a<l

aw

a>O<a=i

a>\

分類應(yīng)做到使所給參數(shù)〃的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不

漏.另外，解本題還要注意在討論4<0時(shí)，解一元二次不等式以2一(a+l)x+l<0應(yīng)首選

做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解.

例11解不等式Jx2_3x_io>8-x.

分析：無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條

件，一般情況卜，"(x)Zg(x)可轉(zhuǎn)化為"(x)>g(x)或"(x)=g(x),而"(X)>g(x)等價(jià)于:

/W>0

/(x)>0

或\g(x)>0

g(幻<0

J(X)>[g(X)]2

解：原不等式等價(jià)于下面兩個(gè)不等式組:

8-x>0

，8-x<0②

①X2-3X-10>0

X2-3X-10>0

%2-3X-10>(8-X)2

x>8?

由①得、，??x>8

x>5^x<-2

x<8

74

由②得x>5x<-2—<x<8，

13

74

x>—

13.

所以原不等式的解集為卜|^|<xW8或x>8，即為卜|x>￡

說明：本題也可以轉(zhuǎn)化為"而氣⑴型的不等式求解，注意:

/(x)>0

df(x)<g(x)<=><g(x)>0

y(x)<[g(x)]2

例12.已知關(guān)于x的不等式％2-+的解集是｛x|-54x41｝,求實(shí)數(shù)機(jī)〃之值.

解：不等式￡-mx+n?0的解集是｛%|-5<%<1｝

%)=-5,X2=1是f一7nx+〃=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

???由韋達(dá)定理知：-5+1=mm=-4

-5xl=〃n=-5

練習(xí).已知不等式辦2+bx+c>o的解集為｛x[2<x<3｝求不等式cd_法+?！?的解

集.

2+3=--

ab=-5a

解：由題意V2X3=￡,即＜C=6〃.

a八

代入不等式c/一〃x+q>0得：6ax2+5ax+a>0（。<0）.

即6/+5x+1<0,所求不等式的解集為{%|_1<X<_1}.

1).恒成立問題

若不等式〃x)>A在區(qū)間。上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間。上

若不等式/(x)<B在區(qū)間。上恒成立，則等價(jià)于在