2023屆湖北省武昌市高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z=三，則5的虛部為()

1-2

A.iB.1C.-1D.-i

B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)共舸復(fù)數(shù)概念求出虛部.

55(i+2)

【詳解】z===：」=-2T,故5=—2+i,乞的虛部為1.

1-2(1-2)0+2)

故選：B

2.若命題P：現(xiàn)C(Y0,1],x()<0,則力為()

2

A.Vxg(-oo,l],x>oB.比《(-<?/],>0

2

C.Vxe(-oo,l],%>0D.Hxye(-oo,l],x()>0

C

根據(jù)含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，直接得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閜：叫e(Yo,l],x；<0,所以「p:VXW(YO/],X220,

故選：C.

3.在(2/-白)的展開式中，含丁的項(xiàng)的系數(shù)是()

A.60B.160C.180D.240

D

【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式計算可得答案.

=(-|)'26飛"嗎,

【詳解】\2x2-2展開式的通項(xiàng)為2=晨2/2

令12T=7,則廠=2,則含X，的項(xiàng)的系數(shù)為(-1)224*240.

故選：D.

X

4.己知函數(shù)/(x)=2{:x>4二、一則Al+log?9的值為

/(x+2),x<4

A.6B.11C.24D.36

C

【詳解】1+log23￡(2-3)，所以

3109:33093

f（l+log23）=f（3+|Og23）-2*-2?Z*"-8x3-24，選C

點(diǎn)睛：（1）求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式

求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值。）求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在

分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否

滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.

5.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2:1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車為0.01,

今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.3

A

【分析】設(shè)A表示該汽車是貨車，&表示該汽車是客車，即得P（A）,設(shè)片表示貨車中途停

車修理，層表示客車中途停車修理，則P田）=002,P（B;）=0.01,利用條件概率計算公式能求出今

有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率.

21

【詳解】設(shè)4表示該汽車是貨車，&表示該汽車是客車，則p（4）=§,P（A）=-,

設(shè)與表示貨車中途停車修理，為表示客車中途停車修理，則P（4）=0.02,P（B2）=O.OI,

3表示一輛汽車中途停車修理，則23）=尸（44）+尸（人&）,

今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為：

2

0.02x-

P(43)尸（40

尸(4|8)=_________3=0.8.

P(B)P（A4）+P（A24）0.02x2+0.01x1

33

故選：A

6.已知數(shù)據(jù)看,々，不，…，Xoo是某市100個普通職工2018年8月份的收入（均不超過0.8萬元），設(shè)這

100個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為y,方差為z,如果再加上某人2018年8月份的收入x/o/（約100

萬元），則相對于羽y,z,這101個數(shù)據(jù)（）

A.平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變

B.平均數(shù)變大，中位數(shù)可能不變，方差也不變

C.平均數(shù)變大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變

D.平均數(shù)變大，中位數(shù)可能不變，方差變大

D

【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)以及方差的含義分析數(shù)據(jù)變化趨勢即可判斷.

【詳解】不妨設(shè)該組數(shù)據(jù)從小到大依次為西，々，孫…，為00，即。<西4*24毛4<x100<0.8,

則4="50+%1,丫=1+占+》3+…+X1Go《os

2100

2=而[(不_)')~+(&-,)-+(%3_,)-++(X|00_y)"]<l,

設(shè)加上2018年8月份的收入x/冰約100萬元)后的中位數(shù)為x'=%，

所以X—*'=玉1一天產(chǎn)用玉1，而*5。4%，

所以x'NX,當(dāng)尤50=%時，中位數(shù)不變；

設(shè)加上2018年8月份的收入XW(約100萬元)后的平均數(shù)為y',則

4+々+工++7。1=X1+X2+X3++100e(02)

-101-101''八

所以y'_y=%+±+-+0]+內(nèi)??+10°_y

100y+100-y+100-0.8+100八「一,十以*,-

=—:----------y=-............>------------->0,所以平均數(shù)變大；

101101101

設(shè)加上2018年8月份的收入x/水約100萬元)后的方差為z',則

2，=擊[(%-行+(々-行+(&-行++(^IOO-/)2+(loo-y)2]

>-^x(100-y)2>l,數(shù)據(jù)的集中程度受到玉。|比較大的影響，變得更加離散，所以方差變大.

故選：D.

7.已知直線/:工+沖+3"7-\/^=0與圓工2+,2=12交于48兩點(diǎn)，過A8分別作/的垂線與y軸交于

C,。兩點(diǎn)，若|A3|=2逐，則|CO|=

A.4B.3C?GD.4g

A

【詳解】如圖，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心0(0,。)到直線/:x+my+3機(jī)-G=o的距離為

4=1=又依據(jù)圓的半徑r=2后、半弦長;|4邳=6及圓心距d之間的關(guān)系

也十而2

3+卜:-丁]=12可得d=3,即色EL3,也即3+3/=(瘋〃-1丫，解之得機(jī)=一立，故直

+"V1W''3

線/:x+my+3m-6=0的斜率為4=-'=6，即該直線的傾斜角為60°,依據(jù)題設(shè)及圖形可得

m

|CD|=^L=4,應(yīng)選答案A.

11sin60

點(diǎn)睛：解答本題的思路是先依據(jù)題設(shè)條件建立方程求出直線/中的參數(shù)機(jī)=-立，再確定直線/的斜

3

率為左=一1=6,即該直線的傾斜角為60°,進(jìn)而借助幾何圖形中的解直角三角形，求出該直線/在

m

y軸上交點(diǎn)的之間|8|的長度.

8.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為/"),滿足/(x)</(x)且〃x+3)為偶函數(shù)，

/(x+D為奇函數(shù)，若/(9)+〃8)=1,則不等式/(x)<e、的解集為()

A.(一3,+so)B.(1,-KO)C.(0,+a))D.(6,-Hx)

C

【分析】先證明出為周期為8的周期函數(shù)，把〃9)+/⑻=1轉(zhuǎn)化為"0)=1.記鼠犬卜望，利

用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上單調(diào)遞減，把原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)<g(。)，即可求解.

【詳解】因?yàn)椤▁+3)為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，

所以〃X+3)=〃T+3),/(X+1)+/(-X+1)=0.

所以〃x)=/(-x+6),f(x)+/(—x+2)=0,所以f(—x+6)+/(—x+2)=0.

令f=—x+2,則/Q+4)+f(f)=0.

令上式中」取f-4,則/(f)+/(f-4)=0,所以〃f+4)=/("4).

令f取什4,則/⑺=/(f+8),所以/(x)=f(x+8).

所以/(x)為周期為8的周期函數(shù).

因?yàn)?(x+1)為奇函數(shù)，所以/(x+D+/(-x+l)=0,

令x=0,得：/⑴+/⑴=0,所以川)=0,所以/(9)+/⑻=1,即為))+/(0)=1,所以"0)=1.

記g(x)=qa，所以g，(x)=/^p?.

因?yàn)閞(x)</*),所以g'(x)<0,所以g(x)=〃a在R上單調(diào)遞減.

不等式“W可化為更<1,即為g(亦g(：).

e

所以x>0.

故選：C

解不等式的常見類型：

(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；

(2)指對數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；

(3)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性.

二、多選題

jr

9.己知函數(shù)/(x)=cosx+asinx的圖象關(guān)于直線x=§對稱，則()

A.7(x-4)是偶函數(shù)B.7(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(-J,。)對稱

C.f(x)=2cos(x-y)D.f(x)=2cos(x+夸)

ABC

結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的對稱軸可得；+興a=11

+",從而解得。的值，得"X)的解析式,

根據(jù)誘導(dǎo)公式對/卜-會)進(jìn)行化簡，可判斷選項(xiàng)A；由.(4)=0,判斷選項(xiàng)8；利用誘導(dǎo)公式

對/(.*)進(jìn)行變形可判斷選項(xiàng)C和。.

［詳解］/(x)=cosx+asinx=Jl+a?sin(x+0)

〃X)的圖象關(guān)于直線x=g對稱，且/⑶=1+且a

二〈+曰”=Jl+”2,解得〃=若，.,./(x)=2sinfx+m

22\07

=2sinf%--+—1=2sinfx--^=-2cosx,

I3JI36jI2)為偶函數(shù)，叩選項(xiàng)A正確；

:/-。=0,.?.選項(xiàng)8正確；

/(x)=2sin^x+-^j=2cos^x+^-yj=2cos^x-yj,即選項(xiàng)c正確；

對于選項(xiàng)O,/(x)=2cos(x+爺)=2cos(x+?+g)=-2sin(x+^),即選項(xiàng)￡)錯誤.

故選：ABC.

10.已知數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和為5?,且q=p,2S?-S?,,=2p(w>2,P為常數(shù)),則下列結(jié)論正

確的有()

A.｛4｝一定是等比數(shù)列B.當(dāng)°=1時，5,=?

O

C.當(dāng)時，%?%=%+”D.同+同=同+同

ABC

【分析】對于A,利用數(shù)列的遞推關(guān)系得生=與和當(dāng)時，^-=1,再利用今=；，結(jié)合等比數(shù)

列的概念對A進(jìn)行判斷；對于B,利用A的結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得q=P｛；J，當(dāng)。=1

時，利用等比數(shù)列的求和，計算出邑；對于C,當(dāng)p=g時，利用指數(shù)嘉的運(yùn)算，對C進(jìn)行判斷；

對于D,利用=計算得同+闖>同+同，對D進(jìn)行判斷.

【詳解】對于A,在數(shù)列｛%｝中，因?yàn)閝=P，2S,,-S,T=2p(“N2)(0為非零常數(shù))①,

所以當(dāng)〃=2時，2(%+〃)-〃=2/?,解得生=勺

當(dāng)〃23時，2S?_1-5?_2=2p@,

由①一②得2%-%=0,即2-二),又因?yàn)?=1，

%2q2

所以數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為〃，公比為g的等比數(shù)列，故A正確；

n-l

對于B,由A得，因此當(dāng)。=1時，a?

2

故B正確;

對于C,由A得a“=p｛g),因此當(dāng)p時，，

對于D,由A得%J,

因此同+悶=加的+加（￡）=加段’

1%|+同=加|{；）+H{3）=陲荔’

所以同+同〉同+同，故D錯誤.

故選：ABC.

11.在一ABC中，設(shè)A3=c，BC=a，CA=b,則下列命題正確的是（）

A.若〃必<0,則一ABC為鈍角三角形

B.ab+bc-^ca<0

C.若a,b>b，c,則卜卜卜|

D.若卜-*卜-0,則M=H

BCD

【分析】對于A直接化筒表達(dá)式即可，知三角形一個角為銳角，所以無法判斷三角形形狀；對于B

通過逆推法化簡不等式，得出一個恒成立的式子，可知原不等式一定成立；對于C運(yùn)用余弦定理角

化邊即可得出不等式：對于D先化簡所給條件，再通過三角形中線向量公式與其聯(lián)系起來，在兩個

三角形中分別運(yùn)用余弦定理即可.

【詳解】對于A,因?yàn)椤傲?lt;0,所以4kos（萬-C）<0,所以cosC>0,所以Ce（0,、）,C為

銳角，無法判斷43c是鈍角三角形，故A錯誤；

對于B,若a力+:若+3￡<0,|?|?|^|-cos（^--Q+|fe|?|c|?cos（^-A）+|c|-p|-cos（^-B）<0,即

|a|-|z?|-cosC+|6|-|c|-cosA+|c|-|a|-cosB>0,在_43C中，由余弦定理得

cosC='+1——」cos4+?———.cosg=6<+C———,代入上式化簡得a?+b2+c2>0顯然成

2ab2bc2ac

立，以上過程均可逆，故a/+4c+c-a<0成立，故B正確；

對于C因?yàn)?b>b6,所以忖忡85（萬-。）>忡卜卜05（乃一4）,即忖忡^^明出cosA,在

中，由余弦定理得cosC=、+"—,ssA=U,代入化簡得”2<c2,故同<口，故

2ah2hc1111

C正確；

對于D,如下圖所示，取A3中點(diǎn)M,BC中點(diǎn)N,根據(jù)三角形中線向量公式得

CM=^(CA+CB\AN=^(AB+AC),因?yàn)?一耳=’-0，所以,C-CA]=卜^一⑦],即

|BC+AC|=|AB+AC|,所以|CM|=|AN|.在“ABN中，由余弦定理得

AN2=AB2+BC)2-2AB-^BC-cosB■在△BMC中，由余弦定理得

6/2=改'2+(；&4)2-2圓3a43S5,化簡得比'2=452,故忖=『|,故D正確.

故選:BCD

12.如圖，在棱長為2的正四面體P-ABC中，。、￡分別為48、AC上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）,

為PC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.￡坦+燈的最小值為后:

B.OF的最小值為應(yīng);

C.若四棱錐F-8DEC的體積為手，則DE的取值范圍是卜

D.若BEFE」,則CE=1

2

BC

【分析】A將平面R1C和平面A4C沿AC邊展開為平面四邊形B4BC即可求解；

B設(shè)/＞。=根26，又有△PW三△C4D易得OFLPC,根據(jù)勾股定理即可求解:

C由VF-BDEC=TxP°xS得S=~~，又SADE=SABC~BDEC得A0?AE=1,又0cAE<2得

oBD4ECBDEC

g<A。<2,再利用余弦定理及均值不等式即可求DE的取值范圍；

D由底產(chǎn)E=（BC+CE）（尸C+CE）即可求解.

【詳解】A：如下展開圖，尸為PC的中點(diǎn)，易知的_L/W,

B

則OE+￡y2AF=6，又2E不能是端點(diǎn)，故。E+EF>退，沒有最小值，錯誤;

B：設(shè)P￡>=〃?NJL又有△PAD2CAD,所以8=9="，

連接。凡則有OF,PC,故DF=d府-12叵，正確；

R

C：設(shè)等邊△ABC的中心為0,連接P0,

B

易知P。，平面ABC,則P0=1=手，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，

所以匕-QEC=gxgxPOXSBDEC=SBDEC=^-W：SBDEC=,

所以sM=SABC-SBDEC專又S,小=：W-s嗚，

則有AQAE=1,,又0<AE,AZ)<2,可得,<AD<2,

2

結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可得由荷許心++…

所以,正確;

2111

D：設(shè)CE=r,BEFE=(BC+CE)(FC+CE]=l+t2--t=~,解得/=一或1,即CE=—或1,錯

'八,2222

誤;

故選：BC.

三、填空題

,、jj..sin(9(l+sin2(9)

13.右taan0=-2,則.----

sin，+cos”

2

5

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式先化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解即可.

【詳解】解：若tang=—2,

sin6(l+sin2。)_sin0(sin/9+cos0)2

則

sinO+cos。sinO+cos。

s療O+sinOcos。

=sin9(sin6+cos。)=

sirr0+cos20

tatrO+lmO_2

tairO^X5

故答案為"I

【點(diǎn)評】本題考查二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)〃x)=lgx+￡.若〃。)=2,則/(￡)=.

-2

【分析】找到/(x)和的關(guān)系，由此得出/(j的值.

【詳解】/f-l=lg-+—f=Tgx+^4，/("+./｛工]=年》+^~^一母工+^4=0,

X]+，x+1\x)1+xx+1

X

”")+/(20“升一2

故-2

22

15.已知橢圓］+方=1(〃>6>0),左、右焦點(diǎn)分別為F1,K，設(shè)以線段E居為直徑的圓和此橢圓

在第一象限和第三象限內(nèi)的公共點(diǎn)分別為M，N,四邊形的面積為S,周長為/,若

則該橢圓的離心率.

正

2

【分析】由橢圓的定義知/=4"，由圓的性質(zhì)以及橢圓的對稱性知四邊形M4N名為矩形，則有

|M耳耳瑪『求|例用再由S=|M與”"J求面積，結(jié)合及橢圓參數(shù)關(guān)系

即可求離心率.

【詳解】由題意知：l=\MFl\+\MF2\+\NFi\+\NF2\=4a,且M序Nf；，N6,由對稱性知：

四邊形6為矩形,

.,.設(shè)|岬|=加＞|“瑪|=2。一/?,即(2a-⑼2+M=4c，得病一2明+2匕2=0,

???解得：m=a+y/a2-2b2^m=a-y/a2—2b2（舍），

221

'■\MFx\=a+\la-2b,\MF2\=a-da-2b。,有S=1A/耳I-IMF?1=，

2

pS2b1o..Cl"-C21rn.l也

又方即一L=l-e-=-,則e=>-.

22

I16a-32a42

故答案為正

2

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圓的性質(zhì)，桶圓的對稱性及定義求出焦點(diǎn)相關(guān)的四邊形的周長和面積，根據(jù)它們

的比例關(guān)系以及橢圓參數(shù)關(guān)系，列齊次方程求離心率.

四、雙空題

16.如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓。上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形ABC。(頂點(diǎn)A與P

重合)沿圓周逆時針滾動.若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點(diǎn)A再次回到圓周上為

止，稱為正方形滾動了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時，正方形滾動了輪，此時

點(diǎn)A走過的路徑的長度為.

3(萬+2)%

【分析】將問題化為4和6的最小公倍數(shù)問題求A第一次回到點(diǎn)P的位置正方形滾動的輪數(shù)，再求

滾動1輪點(diǎn)A走過的路徑長度，即可求此時A走過的路徑的長度.

【詳解】正方形滾動一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點(diǎn)為C-A,

頂點(diǎn)兩次回到點(diǎn)P時，正方形頂點(diǎn)將圓周正好分成六等分，

由4和6的最小公倍數(shù)：3x4=2x6=12,

所以到點(diǎn)月首次與P重合時，正方形滾動了3輪.

■jr

這一輪中，點(diǎn)A路徑AfA是圓心角為「半徑分別為2,2亞，2的三段弧，故路徑長

6

/=生?(2+2&+2)=(衣+2",

63

點(diǎn)4與P重合時總路徑長為(72+2)%.

故3,(也+2)%.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將A第一次回到點(diǎn)尸的位置所滾的輪數(shù)轉(zhuǎn)化為求4和6的最小公倍數(shù)，注意滾動一輪

A的圓周運(yùn)動特點(diǎn)求路徑長.

五、解答題

17.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=1,前〃項(xiàng)和S“滿足%=病+6:(“N2).

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列」一的前〃項(xiàng)和為7.，若對任意的〃wN*,不等式47；a恒成立，求實(shí)數(shù)”的取

值范圍.

⑴4=2〃-1；

(2)a<-la￡?>2.

【分析】(1)化簡數(shù)列的遞推公式，得瘋-卮=1,進(jìn)而可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)利用裂項(xiàng)法，求解，，列出不等式，即求.

【詳解】(1)當(dāng)〃22時，4=卮+卮，

反，即瘋一卮=1,又6=1,

所以數(shù)列｛底｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，故底=",

又由％=7^+7^7=〃+"-1=2"-1(n>2),

當(dāng)〃=1時，4=1也適合，

所以/=2九一1.

⑵-44+|一(2〃一1)(2幾+1)一夏(2〃-1-2/+J，

,111111"，111

“213352〃-12/?+1)212n+l)2

又：對任意的“€N",不等式47“<”2-〃恒成立，，

.'.2<a2-a,解得或aN2.

即所求實(shí)數(shù)”的范圍是或。22.

A+r

18.已知“ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為“、b、c,acos---=6sinA,8￡)平分/ABC交

AC于點(diǎn)。，且B￡>=2,2AD=3CD.

(1)求B；

⑵求ABC的面積.

(1)—；(2)至叵.

36

44-C

【分析】(1)本題首先可以根據(jù)正弦定理邊角互化得出sinAcossinBsinA,然后根據(jù)A、B、

C是ABC的內(nèi)角得出sing=sin8,最后通過計算即可得出結(jié)果；

(2)本題首先可以繪出“AfiC的圖像并設(shè)AD=3x、CD=2x,然后根據(jù)正弦定理得出

3sin?A2sin?C,再然后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系計算出sin?A叵以及x=叵,最后根據(jù)余弦

193

定理求出AB=5、BC=y,利用SAABc=gA8-8CsinNA8c即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閍cosAAW-C*=bsinA,

A+C

所以sinAcos-------=sinBsinA,

2

因?yàn)閟inA/O,A+B+C=18O.

所以cos(^■-,)=sin8,sin

-=sinB,

2

故B+?『'解得匹弓

（2）如圖，繪出一ABC,

7T

因?yàn)?0平分NA3C,所以NA3O=NO3C=；,

因?yàn)?45=38,所以可設(shè)A￡)=3x,CD=2x,

3x_2

ADBD

故在△ABO中，有即sin71sinDA;

sinZABZ)sinNA

3

2x_2

DCBD

在38。。中，有即出口三-sinDC，

sin彳［CBDsinC

.3

兩式聯(lián)立，可得3sin?A2sin?C,

因?yàn)椋緼?C兀-?Bp所以3sin?A2sin;J-?A,

即3sin?A2:|inycos?Acossin?A,化簡得4sin?4Geos?4,

聯(lián)立

心丈解得2f

I—3x_2i—

將sin?A吏二代入.兀sinBA中，可得x二」

19華3

故4￡>=3X=M，CD=2X=,

3

在△ABO中，cos?ABDAB'+BD''AD',

2AB^BD

化簡得（A8-11=16,解得AB=5或-3（舍去）；

在‘8OC中，cos?CBDCB+BD-CD,

2CBxBD

化簡得，解49得BC=葭10或一］4（舍去）,

故S讖BC=1AB期Csin?ABC1倉市—?—.

△由22326

本題考查通過正弦定理以及余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，考查誘導(dǎo)公式以及兩角差

的正弦公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查推理能力與計算能力，是難題.

19.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面A8CD為梯形，PA=PD=2^，DC=AD=2AB=4,

AB±AD,AB!/CD,平面PAD_L平面ABC。，E為棱PB上一點(diǎn)、.

（1）在平面F4B內(nèi)能否作一條直線與平面PAD垂直？若能，請畫出直線并加以證明；若不能，請

說明理由；

PE1

（2）若筋=彳時，求直線AE與平面PBC所成角的正弦值.

rB3

（1）答案見解析；（2）巫.

7

【分析】（1）過E作EF//4},交棱始于F,由平面PAD可知EF平面尸AD；

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4所在直線為*軸，OM所在直線為y軸，0P所在直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.

【詳解】（1）過E作瓦7/43,交棱P4于尸，EF為所求作的直線，

因?yàn)槠矫鍭M）_L平面ABC。，且AB_LA￡）,

所以4?上平面PAO,

又因?yàn)镋F〃AB,所以平面A4Z）.

(如證明平面PA。、或?qū)ふ襊B上任意一點(diǎn)作平行線、垂線都可)

(2)取AD中點(diǎn)O,BC中點(diǎn)M,連接OM,則OM_L平面E4O,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4所在直線為x軸，QM所在直線為丫軸，0P所在直線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系.

則可得A(2,0,0),8(2,2,0),C(—2,4,0),P(0,0,2),則P8=(2,2,-2),BC=(-4,2,0).

n-PB=x+y-z=0

設(shè)平面PBC的法向量為"=(x,y,z),易得

n-BC=-2x+y-0

不妨取“=(1,2,3).

因?yàn)槠?,所以嗚彳,{|，所以醺=(翡

AE-fiJ]4

設(shè)AE與平面PBC所成角為6,則sind=,

所以AE與平面PBC所成角的正弦值為恒.

7

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求線面角，二面角時，根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量，求

解線面角，二面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

20.2019年10月，工信部頒發(fā)了國內(nèi)首個5G無線電通信設(shè)備進(jìn)網(wǎng)許可證，標(biāo)志著5G基站設(shè)備將

正式接入公用電信商用網(wǎng)絡(luò).某4G手機(jī)生產(chǎn)商擬升級設(shè)備生產(chǎn)5G手機(jī)，有兩種方案可供選擇，方案

1：直接引進(jìn)5G手機(jī)生產(chǎn)設(shè)備；方案2：對己有的4G手機(jī)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)改造，升級到5G手機(jī)生

產(chǎn)設(shè)備.該生產(chǎn)商對未來5G手機(jī)銷售市場行情及回報率進(jìn)行大數(shù)據(jù)模擬，得到如下統(tǒng)計表：

市場銷售狀態(tài)暢銷平銷滯銷

市場銷售狀態(tài)概率2P1-3pP

方案17040-40

預(yù)期年利潤數(shù)值（單位：億元）

方案26030-10

（1）以預(yù)期年利潤的期望值為依據(jù)，求。的取值范圍，討論該生產(chǎn)商應(yīng)該選擇哪種方案進(jìn)行設(shè)備升

級？

（2）設(shè)該生產(chǎn)商升級設(shè)備后生產(chǎn)的5G手機(jī)年產(chǎn)量為x萬部，通過大數(shù)據(jù)模擬核算，選擇方案1所

生產(chǎn)的5G手機(jī)年度總成本X=0.0002/+0.2x+50（億元），選擇方案2所生產(chǎn)的5G手機(jī)年度總成

為8=0.0001/+0.卜+60（億元）.已知p=0.2,當(dāng)所生產(chǎn)的5G手機(jī)市場行情為暢銷、平銷和滯銷

時，每部手機(jī)銷售單價分別為0.8萬元，0.8-O.OOlx（萬元），0.8-0.002X（萬元），根據(jù)（1）的決

策，求該生產(chǎn)商所生產(chǎn)的5G手機(jī)年利潤期望的最大值？并判斷這個年利潤期望的最大值能否達(dá)到預(yù)

期年利潤數(shù)值.

（1）0<p<1；選擇方案見解析（2）最大值40億元；這個年利潤期望的最大值可以達(dá)到預(yù)期年利

潤數(shù)值

【分析】（1）根據(jù)概率的性質(zhì)可得。的取值范圍，根據(jù)期望公式求出兩種方案下的期望，再通過對。

進(jìn)行討論可得答案；

（2）根據(jù)p=0.2可知選擇方案1,利用期望公式求出手機(jī)生產(chǎn)商年銷售額的期望，接著求出年利潤

期望值的最大值，再與方案1的預(yù)期平均年利潤期望值進(jìn)行比較可得答案.

0<2p<l

【詳解】（1）由，0W1-3P41,可得。的取值范圍為

0<p<l

方案1的預(yù)期平均年利潤期望值為

E、=2px70+（l-3p）x40+px（-40）=40-20p億元.

方案2的預(yù)期平均年利潤期望值為

E2=2px60+（l-3p）x30+px（-10）=30+20〃億元.

當(dāng)時，E>E,該手機(jī)生產(chǎn)商應(yīng)該選擇方案1；

4t2

當(dāng)p=J時，￡,=E2,該手機(jī)生產(chǎn)商可以選擇方案1,也可以以選擇方案2；

當(dāng);時，E\<E2,該手機(jī)生產(chǎn)商應(yīng)該選擇方案2；

（2）因?yàn)閜=0.2e該手機(jī)生產(chǎn)商將選擇方案1,此時生產(chǎn)的5G手機(jī)的年度總成本為

乂=0.0002/+0.2x+50(億元).

設(shè)市場行情為暢銷、平銷和滯銷時的年銷售額分別為X-X2)X3(億元),

22

那么X|=0.8x,X2=0.8x-0.00lx,X3=0.8X-0.002X.

因?yàn)閜=0.2,所以手機(jī)生產(chǎn)商年銷售額X的分布列為

X0.8%0.8X-0.001J:20.8x-0.002x2

P0.40.40.2

所以E(X)=0.4x0.8x+0.4x(0.8x-0.00lx2)+0.2x(0.8x-0.002x2)

=-O.OOO&d+0.8x.y,=0.0002X2+0.2x+50

年利潤期望值/(x)=E(X)-M=-0.0008x2+0.8x-0.0002%2-0.2x-50=-0.001x2+0.6x-50(億元).

當(dāng)x=300時，年利潤期望〃x)取得最大值40億元.

方案1的預(yù)期平均年利潤期望值為40-20x0.2=36(億元).

因?yàn)?0>36,因此這個年利潤期望的最大值可以達(dá)到預(yù)期年利潤數(shù)值.

本題考查了概率的性質(zhì)，考查了離散型隨機(jī)變量的期望公式，屬于中檔題.

21.已知橢圓5+/=1(。>6>0)的右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),離心率e=與.

(I)求橢圓的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)尸、。為橢圓上位于第一象限的兩個動點(diǎn)，滿足PFLQE,C為PQ的中點(diǎn)，線段尸。的

垂直平分線分別交x軸、V軸于A、B兩點(diǎn).

(i)求證：A為8c的中點(diǎn)；

S3

(行)若—(S為三角形的面積)，求直線PQ的方程.

(I)—+/=1；(II)(i)證明見解析；(ii)y=_空x+6

23

【分析】(I)由已知得c=l,再由e的值，求。，即可求出橢圓的方程：

(II)(i)設(shè)直線方程為》=履+〃?,％<0,，”>0,與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)P(x2J,Q(x2,y2),得

出中天的坐標(biāo)關(guān)系，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，得到尸。垂直平分線A3方程，求出點(diǎn)48坐標(biāo)，即可證明結(jié)論;

(ii)由》畋=］結(jié)合(i)的結(jié)論，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由得到，"次關(guān)系，代入A點(diǎn)

>△BCF>

坐標(biāo)，求出肛％的值即可.

22

【詳解】(I)橢圓三+去=1(。>匕>0)的右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,。),

.*.c=1,又離心率e=￡=y:.a=夜,b=1,

a2

.,.橢圓的方程為1+丁=1；

(II)(i)依題意，設(shè)直線產(chǎn)。方程為丫=履+機(jī),％<0,優(yōu)>0,

聯(lián)立，「0："；,消去y,(2A:2+l)x2+4kmx+2m2-2=0,

[x+2/=2

A=I6k2m2-8(川-\)(2k2+1)=S(2k2-m2+1)>O,

設(shè)尸。（工2，%），則為+々=——=-（■；>

12k2+1-2k?+1

設(shè)PQ中點(diǎn)C5,%）,則與=七上=_衰:，

獷5+…&,即c點(diǎn)坐標(biāo)為（一愛—

線段PQ的垂直平分線AB方程為曾日，

令y=O,得令x=O,得B（O,點(diǎn)二）,

2《+12《+1

X.=互產(chǎn)，力=”^，，A為8c中點(diǎn)；

（ii）由（i）得A為2C中點(diǎn)，

.SSBO__14。I_%=3.x=6

?,豆；一瓦二五西一而用一”一正

PFVQFy:.PFQF=（y-x^（\-x2）^yxy2

21

=(1+k)xyx2+(mk—l)(Xj+x2)+m+1

2(k2+1)(〃，-1)-4mk(mk-1)+{nr+V)(2k2+1)八

=---------------------z---------------------=U，

2k2+1

1-2m2

整理得3，〃2-l+4h"=0,即左

4m

\-3m