廣西三新學術聯盟2023-2024學年高一上學期12月聯考數學試題（解析版）

PAGEPAGE1廣西三新學術聯盟2023-2024學年高一上學期12月聯考數學試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故.故選：B.2.已知，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：B.3.若函數，則的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的定義域滿足：，解得且，所以定義域為.故選：A.4.新課程互助學習小組在學習二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解時，經過兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，可知，，又，則，所以，根據二分法結合零點存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為，又，所以，根據二分法結合零點存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為，故選：B.5.若角終邊經過點，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】因為角終邊經過點，所以，所以，故選：C.6.函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】從函數圖象看，定義域都一樣，關于原點對稱，∵，所以為奇函數，圖象關于原點對稱，排除BD；又，∴可排除A.故選：C.7.若，，，，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，則【答案】D【解析】對于A選項，由可得，因，故不能判斷的值正負，故A項錯誤；對于B選項，因時，，故B項錯誤；對于C選項，取滿足，，但是有，故C項錯誤；對于D選項，因，故，又因，故，由不等式的同向皆正可乘性可得：，移項得：，故D項正確.故選：D.8.已知，，則與之間的大小關系是（）A. B. C. D.無法比較【答案】C【解析】，，所以，所以.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.與終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】與終邊相同的角為，對A選項：，故A錯誤；對B選項：，故B正確；對C選項：，故C正確；對D選項：，故D錯誤.故選：BC.10.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，.已知函數，，則下列敘述中正確的是（）A.在上是減函數 B.C.的值域是 D.的值域是【答案】CD【解析】因為，而在定義域上單調遞增，且，在上單調遞增，所以在上是增函數，故A錯誤；且，，故C正確；所以，D正確；而，故B錯誤.故選：CD.11.已知函數（，為自然對數的底數），則（）A.函數至多有2個零點 B.，使得是R上的增函數C.當時，的值域為 D.當時，方程有且只有1個實數根【答案】AD【解析】當時，，符合條件，故是函數的一個零點，當時，令，由韋達定理知，兩個根之和，故方程不可能有兩個正根，也不可能有一正根一個根為零，若方程有一負根一正根，則，解得，即方程至多有一個正根，綜上可知，函數至多有2個零點，故A正確；因為函數的圖象開口向下，對稱軸為，故在上單調遞減，則不存在，使得是R上的增函數，故B錯誤；當時，，當時，函數的圖象開口向下，對稱軸為，故在上單調遞減，所以，當時，則函數的值域為，不符合題意，故C錯誤；當時，，令，則方程，可化為，若，則，解得，若，則，解得或者，均不符合條件，故只有，即，此時只有為其根，故時，方程有且只有1個實數根，則D正確.故選：AD.12.，，為正實數，若，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由，即有，由，則，故A正確，B錯誤，因為，故，因為，故，同理，因為，故，因為，故，即有，故C正確，D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是上的奇函數，且，已知，則______.【答案】【解析】因為是上的奇函數，，所以，所以.故答案為：.14.函數的值域為______.【答案】【解析】由，得，令，則，因為，，所以，因為函數在上單調遞增，所以，所以函數的值域為.故答案為：.15.函數，則關于的不等式的解集為______.【答案】【解析】因為，是恒成立的，所以的定義域為R，，所以為奇函數，當時，為遞增函數，又為遞增函數，在其定義域上為增函數，故為增函數，而，所以在R上為增函數，所以可化為，所以，即，解得.故答案為：.16.已知是定義域為R的奇函數，的部分解析式為，若方程的解為，，，且，則的取值范圍為______.【答案】【解析】當時，，又為奇函數，所以，當時，，又為奇函數，所以，畫出圖象如下：由圖可知，當時，函數與交點橫坐標，當時，函數與交點橫坐標為，結合圖象知，由對勾函數單調性知，函數在上單調遞增，所以，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由得，即，，若，則，所以，.（2）若，則，當，即時，，滿足題意；當，即時，由圖可得，無實數解，綜上，實數的取值范圍為.18.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.19.已知函數.（1）證明函數為偶函數；（2）對于，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）的定義域為，且定義域關于原點對稱，又因為，所以為偶函數.（2）因為，且，所以，當且僅當時取等號，所以，又因為，恒成立，即，所以，解得或，所以的取值范圍為.20.首屆全國學生（青年）運動會于2023年11月5日在廣西南寧舉行，假設你是某紀念章公司委托的專營店銷售總監(jiān).現有一款紀念章，每枚進價5元，同時每銷售一枚這種紀念章需向學青會組委會上交特許經營管理費2元用于活動公益開支，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發(fā)現每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章的銷售價格為元..（1）請你寫出專營店一年內銷售這種紀念章所獲利潤（元）與每枚紀念章的銷售價格（元）的函數關系式；（2）當每枚紀念章銷售價格為多少元時，該專營店一年內的利潤最大？最大利潤為多少元？解：（1）依題意，所以.（2）因為，所以當時，則，(元)，當時，則或24時，(元)，綜上：當時，該特許專營店獲得的利潤最大為元，即當每枚紀念章銷售價格為元時，該專營店一年內的利潤最大，最大利潤為元.21.已知函數的定義域為，對，總有成立.若時，.（1）判斷并證明函數的單調性；（2）若，求解關于的不等式的解集.解：（1）在上單調遞減，證明如下：令，由已知可得，，則，由已知可得，，，且，則，則，所以，，所以，在上單調遞減.（2）令，由已知可得，又，不等式化為，由（1）知，在上單調遞減，所以，又，，所以，所以有，整理可得，，解得，所以，，所以，不等式的解集為.22.已知函數（且）.（1）若當時，函數在有且只有一個零點，求實數的取值范圍；（2）是否存在實數，使得當的定義域為時，值域為，若存在，求出實數的范圍；若不存在，請說明理由.解：（1）由，得或，∴的定義域為；令，任取，則，因為，，，所以，即函數在上單調遞增；又，∴在上為單調遞