高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六章 不 等 式第2課時(shí) 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單

頁(yè))考情分析考點(diǎn)新知會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.③會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.1.(必修5P74練習(xí)題1改編)若點(diǎn)P(a，3)在2x＋y<3表示的區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：a<0解析：點(diǎn)P(a，3)在2x＋y<3表示的區(qū)域內(nèi)，則2a＋3<3，解得a<0.2.(必修5P77練習(xí)題2改編)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))所表示的平面區(qū)域的面積是________．答案：25解析：直線x－y＋4＝0與直線x＋y＝0的交點(diǎn)為A(－2，2)，直線x－y＋4＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為B(3，7)，直線x＋y＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為C(3，－3)，則不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)以點(diǎn)A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)為頂點(diǎn)的三角形，所以其面積為S△ABC＝eq\f(1,2)×5×10＝25.3.(必修5P84習(xí)題4改編)已知實(shí)數(shù)x、y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x－y≤2，,0≤y≤3，)))則z＝2x＋y的最小值是________．答案：1解析：如圖所示作出可行域，可知當(dāng)z＝2x＋y過(guò)點(diǎn)A(－1，3)時(shí)z最小，此時(shí)z＝1.4.(必修5P80練習(xí)題2改編)設(shè)變量x、y滿足約束條件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋2y≤2，,x≥－2，)))則z＝x－3y的最小值為_(kāi)_______．答案：－8解析：畫(huà)出可行域與目標(biāo)函數(shù)線，如圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(－2，2)處取最小值－8.5.若不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4)))所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋eq\f(4,3)分為面積相等的兩部分，則k＝________．答案：eq\f(7,3)解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx＋eq\f(4,3)過(guò)定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此只有直線過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，直線y＝kx＋eq\f(4,3)能平分平面區(qū)域．因?yàn)锳(1，1)，B(0，4)，所以AB中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).當(dāng)y＝kx＋eq\f(4,3)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))時(shí)，eq\f(5,2)＝eq\f(k,2)＋eq\f(4,3)，所以k＝eq\f(7,3).1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，直線y＝kx＋b把平面分成兩個(gè)區(qū)域，y>kx＋b表示直線y＝kx＋b上方的平面區(qū)域，y<kx＋b表示直線y＝kx＋b下方的平面區(qū)域．(2)選點(diǎn)法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域①任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)；②檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式；③若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)區(qū)域即為不等式所表示的平面區(qū)域，否則，直線的另一側(cè)區(qū)域?yàn)椴坏仁剿硎镜钠矫鎱^(qū)域．(3)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域不等式組中各個(gè)不等式表示平面區(qū)域的公共區(qū)域．2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱定義約束條件變量x、y滿足的一次不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x、y的線性函數(shù)可行域約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題[備課札記](méi)題型1二元一次不等式表示的平面區(qū)域例1畫(huà)出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))表示的平面區(qū)域．解：不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點(diǎn)的集合，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點(diǎn)的集合，所以不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))表示的平面區(qū)域如下圖所示．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>0，,x－y＋4≥0，,x≤a))(a為常數(shù))，表示的平面區(qū)域的面積為9，那么實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．答案：1解析：不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>0，,x－y＋4≥0，,x≤a))表示的平面區(qū)域如圖陰影部分．S＝eq\f(1,2)|BC|×(a＋2)＝eq\f(1,2)(2a＋4)×(a＋2)＝9.又a>－2，∴a＝1.題型2線性規(guī)劃問(wèn)題例2設(shè)z＝2x＋y，式中變量滿足下列條件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－4y≤－3，,3x＋5y≤25，,x≥1，)))求z的最大值和最小值．解：變量x、y所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域．(如圖)作一組與l0：2x＋y＝0平行的直線l：2x＋y＝t.t∈R可知：當(dāng)l在l0的右上方時(shí)，直線l上的點(diǎn)(x，y)滿足2x＋y＞0，即t＞0，而且直線l往右平移時(shí)，t隨之增大，在經(jīng)過(guò)不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5，2)的直線l2所對(duì)應(yīng)的t最大，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1，1)的直線l1所對(duì)應(yīng)的t最?。詚max＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))若z＝ax＋y的最大值為3a＋9，最小值為3a－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．答案：[－1，1]解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，則z在點(diǎn)A處取得最大值，在點(diǎn)C處取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.題型3線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1kg、B原料2kg；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2kg，B原料1kg.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過(guò)12kg.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是多少？解：設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，公司共可獲得利潤(rùn)為z元/天，則由已知，得z＝300x＋400y，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，,y≥0，))畫(huà)可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋400y可變形為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,400)，這是隨z變化的一簇平行直線，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝12，,x＋2y＝12，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即A(4，4)，∴zmax＝1200＋1600＝2800(元)．故公司每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4桶、生產(chǎn)乙產(chǎn)品4桶時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)為2800元．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)某公司計(jì)劃2013年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元．問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤300，,500x＋200y≤90000，,x≥0，y≥0.))目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋2000y.二元一次不等式組等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤300，,5x＋2y≤900，,x≥0，y≥0.))作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．作直線l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,5x＋2y＝900，))解得x＝100，y＝200.記點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100，200)．平移直線l，易知，當(dāng)直線l過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬(wàn)元．1.(2013·南通模擬)已知0＜a＜1，loga(2x－y＋1)＞loga(3y－x＋2)，且λ＜x＋y，則λ的最大值為_(kāi)_______．答案：－2解析：2x－y＋1<3y－x＋2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－1<0，,2x－y＋1>0，))作出可行域，則z＝x＋y經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－1)時(shí)最小，故x＋y>－2，所以λ的最大值為－2.2.若直線y＝2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______．答案：1解析：可行域如下：所以，若直線y＝2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))則3－m≥2m，即m≤1.3.設(shè)變量x、y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))則2x＋3y的最大值是________．答案：55解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,y＝15))得A(5，15)，且A為最大解，∴zmax＝2×5＋3×15＝55.4.某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4t1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元韭菜6t0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元為使一年的種植的總利潤(rùn)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積分別為_(kāi)_______．答案：30畝、20畝解析：設(shè)黃瓜、韭菜的種植面積分別為x、y，則總利潤(rùn)z＝(4×0.55－1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x＋0.9y，此時(shí)x、y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，y≥0，))畫(huà)出可行域知，最優(yōu)解為(30，20)．5.直線2x＋y－10＝0與不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有________個(gè)．答案：1解析：畫(huà)出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的可行域，如圖陰影部分所示(含邊界)．因?yàn)橹本€2x＋y－10＝0過(guò)點(diǎn)A(5，0)，且其斜率為－2，小于直線4x＋3y＝20的斜率－eq\f(4,3)，故只有一個(gè)公共點(diǎn)(5，0)．1.設(shè)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－11≥0，,3x－y＋3≥0，,5x－3y＋9≤0))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是________．答案：1<a≤3解析：先畫(huà)出如圖所示的可行域，當(dāng)函數(shù)ax的圖象過(guò)點(diǎn)A(2，9)時(shí)，有a2＝9，∴a＝3.又a＞1，∴1＜a≤3.2.設(shè)z＝2y－2x＋4，其中x、y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤2，,2y－x≥1，))求z的最大值和最小值．解：作出滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤2，,2y－x≥1))的可行域，如圖所示作直線l：2y－2x＝t.當(dāng)l過(guò)點(diǎn)A(0，2)時(shí)，zmax＝2×2－2×0＋4＝8，當(dāng)l過(guò)點(diǎn)B(1，1)時(shí)，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.3.已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y≤－3,3x＋5y≤25,x≥1))，試求解下列問(wèn)題．(1)z＝eq\r(x2＋y2)的最大值和最小值；(2)z＝eq\f(y,x＋2)的最大值和最小值；(3)z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值．解：(1)z＝eq\r(x2＋y2)表示的幾何意義是區(qū)域中的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0，0)的距離，則zmax＝eq\r(5)，zmin＝eq\f(1,2).(2)z＝eq\f(y,x＋2)表示區(qū)域中的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－2，0)連線的斜率，則zmax＝1，zmin＝eq\f(1,4).(3)z＝|3x＋4y＋3|＝5·eq\f(|3x＋4y＋3|,5)，而eq\f(|3x＋4y＋3|,5)表示區(qū)域中的點(diǎn)(x，y)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，則zmax＝14，zmin＝5.4.某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐．已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物、6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物、6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物、42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？解：設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所花的費(fèi)用為z元，則依題意得z＝2.5x＋4y，且x、y滿足eq\b\