新教材同步輔導2023年高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.1條件概率與全概率公式7.1.2全概率公式分層演練新人教A版選擇性必修第三冊

7.1.2全概率公式A級基礎鞏固1.(2023·深圳期中)10支步槍中有6支已經(jīng)校準過,4支未校準,一名射擊運動員用校準過的槍射擊時,中靶的概率為0.8,用未校準的槍射擊時,中靶的概率為0.3.現(xiàn)從10支中任取1支射擊,則中靶的概率為()A.0.55B.0.6C.0.7D.0.75解析:設A表示“運動員用校準過的槍射擊”,B表示“運動員射擊中靶”,則P(A)=0.6,P(A)=0.4,則P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.6×0.8+0.4×0.3=0.6.答案:B2.一批同型號的螺釘由編號為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三臺機器共同生產(chǎn),各臺機器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)陌俜致史謩e為35%,40%,25%,各臺機器生產(chǎn)的螺釘次品率分別為3%,2%和1%.現(xiàn)從這批螺釘中抽到一顆次品,則次品來自Ⅱ號機器生產(chǎn)的概率為()A.12B.8C.542D.8解析:設A表示“螺釘是次品”,B1表示“螺釘由Ⅰ號機器生產(chǎn)”,B2表示“螺釘由Ⅱ號機器生產(chǎn)”,B3表示“螺釘由Ⅲ號機器生產(chǎn)”,則P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021,所以P(B2|A)=P(A|B2答案:B3.現(xiàn)有n張彩票,里面只有一張獎券,每人從中隨機摸取一張,則第二人摸到獎券的概率為1n解析:設Ai表示“第i人摸到獎券”,i=1,2,…,n,則A2=A1A2P(A2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A由題意,得P(A1)=1n,P(A1)=1-1n=n-1n,P(A2所以P(A2)=n-1n×14.已知在所有男子中有5%患有色盲癥,在所有女子中有0.25%患有色盲癥.隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥的概率為0.02625(設男子與女子的人數(shù)相等).

解析:設A表示“抽到的是男子”,B表示“抽到的是女子”,C表示“這人患色盲癥”,則P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.0025,P(A)=0.5,P(B)=0.5,則P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5×0.05+0.5×0.0025=0.02625.5.有一批同型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,求從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率.解:設事件B為“任取一件是次品”,事件A1為“任取一件是一廠的產(chǎn)品”,事件A2為“任取一件是二廠的產(chǎn)品”,事件A3為“任取一件是三廠的產(chǎn)品”,則A1∪A2∪A3=Ω,A1,A2,A3兩兩互斥.由題意,得P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01,所以由全概率公式,得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013.B級能力提升6.根據(jù)以往臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗有如下的效果:若以事件A表示“試驗反應為陽性”,以事件C表示“被診斷者患有癌癥”,則有P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95.現(xiàn)在對自然人群進行普查,設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)=0.005,則P(C|A)≈()A.0.05 B.0.95C.0.087 D.0.995解析:因為P(A|C)=0.95,所以P(A|C)=1-P(A|C)=0.05.因為P(C)=0.005,所以P(C)=0.995.因為P(A|C)=0.95,所以P(C|A)=P(AC)P(A)=答案:C7.對以往數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明,當機器調(diào)整良好時,產(chǎn)品的合格率為98%,而當機器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上機器開動時,機器調(diào)整良好的概率為95%.若某日早上第一件產(chǎn)品合格,則這臺機器調(diào)整良好的概率約為0.971(保留三位小數(shù)).解析:設事件A為“產(chǎn)品合格”,事件B為“機器調(diào)整良好”,則有P(A|B)=0.98,P(A|B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=0.98×0.95+0.55×0.05=0.9585,故P(B|A)=P(AB)P(A)=8.在某次考試中,要從20道題中隨機抽出6道題,若考生至少能答對其中的4道題則可通過;若至少能答對其中5道題則獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對所有題目中的10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.解:設事件A為“該考生6道題全答對”,事件B為“該考生答對了其中5道題而另1道答錯”,事件C為“該考生答對了其中4道題而另2道題答錯”,事件D為“該考生在這次考試中通過”,事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=C106C206+CP(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=P(AD)P(D=210C20=1358即所求概率為1358C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多選題(2023·廣州二模)有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺車床加工的次品率為8%,第2臺車床加工的次品率為3%,第3臺車床加工的次品率為2%,加工出來的零件混放在一起,已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,從混放的零件中任取一個零件,則下列結(jié)論正確的是()A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺車床加工出來的,那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品,那么它不是第3臺車床加工出來的概率為1解析:設B表示“任取一個零件為次品”,Ai表示“零件為第i(i=1,2,3)個車床加工”,對于選項A,該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率P1=P(A1)P(B|A1)=10%×8%=0.008,選項A錯誤;對于選項B,P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=10%×8%+40%×3%+50%×2%=0.008+0.012+0.01=0.03,選項B正確;對于選項C,第3臺車床加工的次品率為2%,如果該零件是第3臺車床加工出來的,那么它不是次品的概率P=1-2%=0.98,選項C正確;對于選項D,如果該零件是次品,那么它是第3臺車床加工出來的概率P(A3|B)=P(A3B)P(B)=0.5×0.020.03=1答案:BC10.同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應,由長期的經(jīng)驗知,三家的正品率分別為0.95,0.9,0.8,三家產(chǎn)品數(shù)的比為2∶3∶5,混合在一起,從中任取一件.(1)求此產(chǎn)品為正品的概率;(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品,則它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大?解:(1)設事件A表示取到的產(chǎn)品為正品,B1,B2,B3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn).由已知,得P(B1)=0.2,P(B