新教材同步輔導(dǎo)2023年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差分層演練新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差A(yù)級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.若隨機(jī)變量X滿足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,則E(X)和D(X)的值分別為()A.0.6和0.7B.1.7和0.09C.0.3和0.7 D.1.7和0.21解析:E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.答案:D2.隨機(jī)變量X的分布列如下表,若E(X)=1.1,則D(X)=()X01xP1p3A.0.36B.0.52C.0.49D.0.68解析:由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求得p=12由E(X)=0×15+1×12+310x=1.1,得故D(X)=(0-1.1)2×15+(1-1.1)2×12+(2-1.1)2×310=0答案:C3.多選題甲、乙兩支女子球隊(duì)在去年的某場(chǎng)比賽中,甲隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為3.2,乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為1.8.已知甲隊(duì)去年全年比賽進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3,乙隊(duì)去年全年比賽進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3.下列說法中,正確的是()A.乙隊(duì)的進(jìn)球技術(shù)比甲隊(duì)好B.乙隊(duì)發(fā)揮比甲隊(duì)穩(wěn)定C.乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球D.甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞解析:因?yàn)榧钻?duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為3.2,乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為1.8,甲隊(duì)平均數(shù)遠(yuǎn)大于乙隊(duì),所以甲隊(duì)的進(jìn)球技術(shù)比乙隊(duì)好,A錯(cuò)誤;因?yàn)榧钻?duì)去年全年比賽進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3,乙隊(duì)去年全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,乙隊(duì)進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲隊(duì),所以乙隊(duì)發(fā)揮比甲隊(duì)穩(wěn)定,B正確;因?yàn)橐谊?duì)進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,說明每次進(jìn)球數(shù)接近平均值,乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球,所以C正確.因?yàn)榧钻?duì)標(biāo)準(zhǔn)差為3,說明甲隊(duì)表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞,所以D正確.答案:BCD4.多空題已知隨機(jī)變量X的分布列為X-101P11a則X的均值E(X)=-16;若隨機(jī)變量Y=2X+1,則Y的方差D(Y)=29解析:由隨機(jī)變量X的分布列,得12+16+a=1,解得a=所以E(X)=-1×12+0×16+1×13所以D(X)=(-1+16)2×12+(0+16因?yàn)殡S機(jī)變量Y=2X+1,所以Y的方差D(Y)=4D(X)=2995.編號(hào)為1,2,3的三名同學(xué)隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位,每名同學(xué)一個(gè)座位,若與座位編號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)為X,則D(X)=1.解析:由題意可知,X的所有可能取值為0,1,3.因?yàn)镻(X=0)=23!=13,P(X=1)=3P(X=3)=13!=所以X的分布列為X013P111所以E(X)=0×13+1×12+3×1所以D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(3-1)2×166.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,E(X)=23X01xP11p(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.解:(1)由12+13+p=1,得p=因?yàn)镋(X)=0×12+1×13+16所以x=2.D(X)=(0-23)2×12+(1-23)2×13+(2-23)2×(2)因?yàn)閅=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.B級(jí)能力提升7.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)X,Y的分布列如下表.由表可知,射擊成績(jī)比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是()概率環(huán)數(shù)k8910P(X=k)0.30.20.5P(Y=k)0.20.40.4A.甲 B.乙C.二人一樣 D.無(wú)法比較解析:由題中分布列可得,E(X)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,E(Y)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,所以D(X)=(8-9.2)2×0.3+(9-9.2)2×0.2+(10-9.2)2×0.5=0.76,D(Y)=(8-9.2)2×0.2+(9-9.2)2×0.4+(10-9.2)2×0.4=0.56.所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y).所以乙的成績(jī)波動(dòng)性較小,比較穩(wěn)定.答案:B8.隨機(jī)變量X的取值為0,1,2.若P(X=0)=15,E(X)=1,則D(X)=2解析:設(shè)P(X=1)=a,P(X=2)=b,則15+所以D(X)=(0-1)2×15+(1-1)2×35+(2-1)2×159.多空題已知隨機(jī)變量X的分布列如下表.Xa234P1b11若E(X)=2,則a=0,D(X)=52解析:由隨機(jī)變量X的分布列及E(X)=2,得13+故D(X)=(0-2)2×13+(2-2)2×14+(3-2)2×16+(4-2)2×110.袋子中裝有大小形狀完全相同的5個(gè)小球,其中紅球3個(gè),白球2個(gè),現(xiàn)每次從中不放回地取出1個(gè)球,直到取到白球?yàn)橹?(1)求取球次數(shù)X的分布列;(2)求取球次數(shù)X的均值和方差.解:(1)由題意知,X的可能取值有1,2,3,4,P(X=1)=25P(X=2)=35×24=P(X=3)=35×24×23P(X=4)=35×24×13故X的分布列為X1234P2311(2)由(1)知,取球次數(shù)X的均值為E(X)=1×25+2×310+3×15+4×X的方差D(X)=(1-2)2×25+(2-2)2×310+(3-2)2×15+(4-2)2×1C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新11.多選題已知0<a<1,隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示,若E(ξ)=D(ξ),則下列結(jié)論中可能成立的是()ξkk-1Pa1-aA.a=13B.a=23C.k=12D.k=1解析:由題意得E(ξ)=ka+(k-1)(1-a)=k-1+a,D(ξ)=[k-(k-1+a)]2·a+[k-1-(k-1-a)]2·(1-a)=a(1-a).因?yàn)镋(ξ)=D(ξ),所以k-1+a=a(1-a),所以k=1-a2.又0<a<1,所以k=1-a2∈(0,1),故k=1不可能成立,而選項(xiàng)A,B,C均有可能成立,故選ABC.答案:ABC12.某工廠生產(chǎn)A,B兩種元件,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取這兩種元件各5件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果記錄如下:AB767x7.58.598.59.5y由于表格被污損,數(shù)據(jù)x,y看不清,統(tǒng)計(jì)員只記得A,B兩種元件的檢測(cè)數(shù)據(jù)的均值相等,方差也相等,則xy=72.解析:xA=7+7+7xB=6+x+8.5+