高考數(shù)學沖刺專題復習之-平面向量

PAGE高考數(shù)學（文）沖刺專題復習之——平面向量一、知識點梳理（一）平面向量的概念及線性運算1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(與共線的單位向量是)．(4)平行向量（又叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行（共線）。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有)；④三點共線共線；(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量，相等向量有傳遞性．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a.(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)（1）定義：①加法：（1）向量加法的三角形法則：；其要求是：（Ⅰ）前一向量的終點與后一向量的起點的重合，（Ⅱ）由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點。（2）向量加法的平行四邊形法則：其要求是：（Ⅰ）把兩個向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，（Ⅱ）向量的和為這兩鄰邊所夾的對角線。（3）由有向線段首尾順次相接所圍成的封閉圖形結果為。即：（Ⅰ）（三角形三邊的向量和）（Ⅱ）。一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．②減法：，其要求是：（1）兩個向量的起點為同一點，（2）由后一個向量的終點指一向前向量(2)坐標運算：若a=（）,b=（）則ab=（）．（3）幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量=+,=－,=－且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．3.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義(1)定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.(2)運算律：設λ，μ是兩個實數(shù)，則①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)若=（），則·=（）．4．共線向量定理(1)向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得b=．(2)若=（）,b=（）則∥b．注意：(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．（二）平面向量的基本定理及其坐標表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b共線．注意：（1）向量坐標與點的坐標的區(qū)別：在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)．當平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))平行移動到eq\o(O1A1,\s\up6(→))時，向量不變，即eq\o(O1A1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，但eq\o(O1A1,\s\up6(→))的起點O1和終點A1的坐標都發(fā)生了變化．（2）誤區(qū)＝0⑤若A（x1,y1），B（x2,y2），則=（x2-x1,y2-y1）⑥距離公式：||=（x⑦若=(x1,y1),=(x2,y2),則?=（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2。⑧向量垂直的充要條件：設=(x1,y1),=(x2,y2)，則.特別地⑨向量夾角公式的坐標表示：兩個向量=(x1,y1),=(x2,y2)，、的夾角為θ，則cosθ=2、向量中一些常用的結論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地：當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似).（3）在中：①若，則其重心的坐標為；②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；⑤的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點為平面內(nèi)的任一點，則，特別地為的中點；（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.二、考點、題型及方法考點1平面向量的線性運算與坐標運算（模長、平行、垂直、夾角、投影等問題）1、（上海）已知向量，若，則等于()（A）.（B）.（C）.（D）解析：由題意得2-（-3）3=0，所以=。2、（湖南卷文）在中，AB=3，AC=2，BC=，則()A．B．C．D．【解析】由余弦定理得所以選Ｄ.3、（浙江卷文）已知向量，．若向量滿足，，則（D）A．B．C．D．4、（江西卷文）已知向量，，，若則=．答案：【解析】因為所以.5、(江蘇)已知e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________．解析由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即keeq\o\al(2,1)＋e1e2－2ke1e2－2eeq\o\al(2,2)＝0，即k＋coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)－2＝0，化簡可求得k＝eq\f(5,4).6、（浙江卷）已知，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（A）1（B）2（C）（D）解析：本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關運算問題。展開則的最大值是;或者利用數(shù)形結合,，對應的點A,B在圓上,對應的點C在圓上即可.7、(廣東)若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.故選D.答案D8、（全國卷Ⅱ）已知向量，則（） A. B. C. D.解：。故選C9、（遼寧卷）平面向量a與b的夾角為，，則（A）(B)(C)4(D)12【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12∴選B10、(新課標全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題：p1：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))；p2：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))；p3：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；p4：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).其中的真命題是()．A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4解析由|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(2＋2cosθ)＞1，得2＋2cosθ＞1，∴cosθ＞－eq\f(1,2)，∴0≤θ＜eq\f(2π,3).由|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(2－2cosθ)＞1，得2－2cosθ＞1，∴cosθ＜eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)＜θ＜π.∴p1，p4正確．答案A11、(全國文)設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則|a＋2b|＝()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)解析依題意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3，則|a＋2b|＝eq\r(3)，故選B.12、(湖北文)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于()．A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)解析2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，則cos〈2a＋b，a－b〉＝eq\f(2a＋b·a－b,|2a＋b|·|a－b|)＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，故夾角為eq\f(π,4)，選C.13、（寧夏）若，且，則與的夾角是 （） A． B． C． D．B14、若向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是______________.錯誤分析：只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因為的夾角為時也有從而擴大的范圍,導致錯誤.正確解法:，的夾角為鈍角,解得或(1)又由共線且反向可得(2)由(1),(2)得的范圍是答案:.訓練1設平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（）A、B、C、D、錯因：忽視使用時，其中包含了兩向量反向的情況，正解：A訓練2已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；15.（浙江卷文）已知是平面內(nèi)的單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是16、

17、(舍負).18.（陜西卷文）關于平面向量．有下列三個命題：①若，則．②若，，則．③非零向量和滿足，則與的夾角為．其中真命題的序號為．（寫出所有真命題的序號）解：①，向量與垂直②③構成等邊三角形，與的夾角應為所以真命題只有②?？键c2向量的數(shù)乘的幾何意義1.（江西卷文）如圖，正六邊形中，有下列四個命題：A．B．C．D．其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）．【解析】,∴對取的中點,則,∴對設, 則,而,∴錯又,∴對∴真命題的代號是2、（遼寧卷）已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足，則A． B． C． D．解析：本小題主要考查平面向量的基本定理。依題∴答案：A3、在中，，若點滿足，則=（）．A.B.C.D.【解法一】∵∴∴．4.(山東卷)設P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（）A.B.C.D.【解析】:因為，所以點P為線段AC的中點，所以應該選B。答案：B?！久}立意】:本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，5、（湖北文）設，在上的投影為，在軸上的投影為2，且，則為（Ｂ）A． B． C． D．訓練（1）已知，求在方向上的投影（2）已知，求在方向上的投影6、（安徽文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，或=+，其中，R，則+=______。【解析】設、則,,代入條件得【答案】4/37.（天津卷）如圖，在平行四邊形中，，則.解析：令，，則所以.8、（安徽）在四面體中，為的中點，為的中點，則（用表示）．9、（湖北）5．已知和點M滿足.若存在實數(shù)m使得成立，則m=A．2B．3C．4D．510、（湖南）在中，=90°AC=4，則等于A、-16B、-8C、8D、1611、（四川文）（6）設點是線段的中點，點在直線外，，，則（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由＝16，得|BC|＝4＝4而故2答案：C12若為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點，滿足，設，則的值為___（答：2）考點3平面向量的綜合運用1、平面向量與線性規(guī)劃(福建卷)已知O是坐標原點，點A(－1,1)．若點M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一個動點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是()．A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]2、平面向量與函數(shù)例題(北京)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()．A．一次函數(shù)且是奇函數(shù)B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C．二次函數(shù)且是偶函數(shù)D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù)3、平面向量與三角函數(shù)例題1(安徽卷)△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c－b＝1，求a的值．先求sinA，再利用面積公式求bc，最后利用數(shù)量積及余弦定理可解決．由cosA＝eq\f(12,13)，得sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).(2分)又eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝156.(4分)(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝156×eq\f(12,13)＝144(8分)(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×eq\b\lc