高考數(shù)學(xué)沖刺專題復(fù)習(xí)之-平面向量

PAGE高考數(shù)學(xué)（文）沖刺專題復(fù)習(xí)之——平面向量一、知識(shí)點(diǎn)梳理（一）平面向量的概念及線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量(與共線的單位向量是)．(4)平行向量（又叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行（共線）。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線；(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量，相等向量有傳遞性．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)（1）定義：①加法：（1）向量加法的三角形法則：；其要求是：（Ⅰ）前一向量的終點(diǎn)與后一向量的起點(diǎn)的重合，（Ⅱ）由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)。（2）向量加法的平行四邊形法則：其要求是：（Ⅰ）把兩個(gè)向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，再以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形，（Ⅱ）向量的和為這兩鄰邊所夾的對(duì)角線。（3）由有向線段首尾順次相接所圍成的封閉圖形結(jié)果為。即：（Ⅰ）（三角形三邊的向量和）（Ⅱ）。一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．②減法：，其要求是：（1）兩個(gè)向量的起點(diǎn)為同一點(diǎn)，（2）由后一個(gè)向量的終點(diǎn)指一向前向量(2)坐標(biāo)運(yùn)算：若a=（）,b=（）則ab=（）．（3）幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角線的向量=+,=－,=－且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.(2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)若=（），則·=（）．4．共線向量定理(1)向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=．(2)若=（）,b=（）則∥b．注意：(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．（二）平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b共線．注意：（1）向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)．當(dāng)平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))平行移動(dòng)到eq\o(O1A1,\s\up6(→))時(shí)，向量不變，即eq\o(O1A1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，但eq\o(O1A1,\s\up6(→))的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化．（2）誤區(qū)＝0⑤若A（x1,y1），B（x2,y2），則=（x2-x1,y2-y1）⑥距離公式：||=（x⑦若=(x1,y1),=(x2,y2),則?=（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2。⑧向量垂直的充要條件：設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)，則.特別地⑨向量夾角公式的坐標(biāo)表示：兩個(gè)向量=(x1,y1),=(x2,y2)，、的夾角為θ，則cosθ=2、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地：當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中：①若，則其重心的坐標(biāo)為；②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；⑤的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則，特別地為的中點(diǎn)；（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.二、考點(diǎn)、題型及方法考點(diǎn)1平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算（模長、平行、垂直、夾角、投影等問題）1、（上海）已知向量，若，則等于()（A）.（B）.（C）.（D）解析：由題意得2-（-3）3=0，所以=。2、（湖南卷文）在中，AB=3，AC=2，BC=，則()A．B．C．D．【解析】由余弦定理得所以選Ｄ.3、（浙江卷文）已知向量，．若向量滿足，，則（D）A．B．C．D．4、（江西卷文）已知向量，，，若則=．答案：【解析】因?yàn)樗?5、(江蘇)已知e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為________．解析由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即keeq\o\al(2,1)＋e1e2－2ke1e2－2eeq\o\al(2,2)＝0，即k＋coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)－2＝0，化簡可求得k＝eq\f(5,4).6、（浙江卷）已知，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（A）1（B）2（C）（D）解析：本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問題。展開則的最大值是;或者利用數(shù)形結(jié)合,，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A,B在圓上,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C在圓上即可.7、(廣東)若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.故選D.答案D8、（全國卷Ⅱ）已知向量，則（） A. B. C. D.解：。故選C9、（遼寧卷）平面向量a與b的夾角為，，則（A）(B)(C)4(D)12【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12∴選B10、(新課標(biāo)全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題：p1：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))；p2：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))；p3：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；p4：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).其中的真命題是()．A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4解析由|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(2＋2cosθ)＞1，得2＋2cosθ＞1，∴cosθ＞－eq\f(1,2)，∴0≤θ＜eq\f(2π,3).由|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(2－2cosθ)＞1，得2－2cosθ＞1，∴cosθ＜eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)＜θ＜π.∴p1，p4正確．答案A11、(全國文)設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則|a＋2b|＝()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)解析依題意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3，則|a＋2b|＝eq\r(3)，故選B.12、(湖北文)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于()．A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)解析2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，則cos〈2a＋b，a－b〉＝eq\f(2a＋b·a－b,|2a＋b|·|a－b|)＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，故夾角為eq\f(π,4)，選C.13、（寧夏）若，且，則與的夾角是 （） A． B． C． D．B14、若向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是______________.錯(cuò)誤分析：只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因?yàn)榈膴A角為時(shí)也有從而擴(kuò)大的范圍,導(dǎo)致錯(cuò)誤.正確解法:，的夾角為鈍角,解得或(1)又由共線且反向可得(2)由(1),(2)得的范圍是答案:.訓(xùn)練1設(shè)平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（）A、B、C、D、錯(cuò)因：忽視使用時(shí)，其中包含了兩向量反向的情況，正解：A訓(xùn)練2已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；15.（浙江卷文）已知是平面內(nèi)的單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是16、

17、(舍負(fù)).18.（陜西卷文）關(guān)于平面向量．有下列三個(gè)命題：①若，則．②若，，則．③非零向量和滿足，則與的夾角為．其中真命題的序號(hào)為．（寫出所有真命題的序號(hào)）解：①，向量與垂直②③構(gòu)成等邊三角形，與的夾角應(yīng)為所以真命題只有②?？键c(diǎn)2向量的數(shù)乘的幾何意義1.（江西卷文）如圖，正六邊形中，有下列四個(gè)命題：A．B．C．D．其中真命題的代號(hào)是（寫出所有真命題的代號(hào)）．【解析】,∴對(duì)取的中點(diǎn),則,∴對(duì)設(shè), 則,而,∴錯(cuò)又,∴對(duì)∴真命題的代號(hào)是2、（遼寧卷）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足，則A． B． C． D．解析：本小題主要考查平面向量的基本定理。依題∴答案：A3、在中，，若點(diǎn)滿足，則=（）．A.B.C.D.【解法一】∵∴∴．4.(山東卷)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.【解析】:因?yàn)?，所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B。答案：B?！久}立意】:本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則，5、（湖北文）設(shè)，在上的投影為，在軸上的投影為2，且，則為（Ｂ）A． B． C． D．訓(xùn)練（1）已知，求在方向上的投影（2）已知，求在方向上的投影6、（安徽文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，或=+，其中，R，則+=______?！窘馕觥吭O(shè)、則,,代入條件得【答案】4/37.（天津卷）如圖，在平行四邊形中，，則.解析：令，，則所以.8、（安徽）在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（用表示）．9、（湖北）5．已知和點(diǎn)M滿足.若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則m=A．2B．3C．4D．510、（湖南）在中，=90°AC=4，則等于A、-16B、-8C、8D、1611、（四川文）（6）設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，，，則（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由＝16，得|BC|＝4＝4而故2答案：C12若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為___（答：2）考點(diǎn)3平面向量的綜合運(yùn)用1、平面向量與線性規(guī)劃(福建卷)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)．若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是()．A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]2、平面向量與函數(shù)例題(北京)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()．A．一次函數(shù)且是奇函數(shù)B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C．二次函數(shù)且是偶函數(shù)D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù)3、平面向量與三角函數(shù)例題1(安徽卷)△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長分別為a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c－b＝1，求a的值．先求sinA，再利用面積公式求bc，最后利用數(shù)量積及余弦定理可解決．由cosA＝eq\f(12,13)，得sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).(2分)又eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝156.(4分)(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝156×eq\f(12,13)＝144(8分)(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×eq\b\lc