2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（學(xué)生版）：第十三單元圓錐曲線的概念與幾何性質(zhì)

F第十三單元

因錐曲線的概念與幾何性質(zhì)

Bl

§13.1橢圓

(對應(yīng)答案分冊第45頁)

明基礎(chǔ)知識>夯實基礎(chǔ)鞏固提升

一知識清單

L橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點的的動點戶的軌跡叫作橢圓,這兩個

定點￡,￡,叫作橢圓的焦點.

特別提醒

當(dāng)2a=/A&時，動點的軌跡是線段￡￡；

當(dāng)2a</￡&時,動點的軌跡不存在.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

(1)中心在坐標(biāo)原點，焦點在“軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3多=l(a?k).

22

(2)中心在坐標(biāo)原點,焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為%多=l(a?X).

特別提醒］

焦點在x軸上=標(biāo)準(zhǔn)方程中含/項的

分母較大;焦點在y軸上o標(biāo)準(zhǔn)方程中含/

項的分母較大.

3.橢圓的幾何性質(zhì)

x2y2,

標(biāo)準(zhǔn)方程a2b2a2b2

{a>bX))(a>bX))

范圍gWaJyWb/x/W瓦/y/Wa

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

?0),(-a,0),屹0),(也0),

頂點坐標(biāo)

(0力),(0,一切(0司,(0,福

焦點坐標(biāo)(c,0),(-c,0)(o,d@力

半軸長長半軸長為4短半軸長為b

e5=Jl

離心率，越小，橢圓越圓M越大，橢圓越扁.

a,b,c2

的關(guān)系a=『

b拓展知識,

1.焦半徑:橢圓上的點八胸㈤與左(下)

焦點￡、右(上)焦點月之間的線段的長度

叫作橢圓的焦半徑，分別記作

r尸/小江=/庚/.設(shè)橢圓的離心率為e.

(1)^2^2-1(a>bX)),rx=a抬斯r2=a-哂

\,rx=a+ey0,r2=a-ey<s.

2.焦點三角形:橢圓上的點

h沏%)(.%W0)與兩焦點構(gòu)成的△兩用叫作

焦點三角形,/￡掰=，，△小￡的面積為S

則在橢圓［g=l(a?O)中，

a4b

⑴當(dāng)一為短軸端點時,〃最大；

⑵耳/年/iPFil?sinfta患=<?/%/,當(dāng)

/%/當(dāng)時，即點P為短軸端點時,S取得最大

值，最大值為be；

⑶焦點三角形的周長為2(a+c).

3.焦點弦:指過焦點的弦.其中通徑(垂直于

長軸的焦點弦)最短，弦長心“岑.

22

4.若四為橢圓今噌=l(a?O)的弦,且其所

b

在直線的斜率為匕/為，必)，氏M,%),弦中點

Mx。,%),則：

⑴+k2/%~x2/~

（縱喻,

夯實基礎(chǔ)

【慨志辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“V”，錯的打“X”)

(1)平面內(nèi)與兩個定點￡,￡,的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.()

⑵方程加+/=1(加QoX),gv/)表示的曲線是橢圓.()

⑶橢圓上一點尸與兩焦點幾￡,構(gòu)成△出￡,的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓

的半焦距).()

(4)*§=l(a#功表示焦點在y軸上的橢圓.()

【對接教材】

已知點￡(-3,0),￡(3,0),點夕到的距離之和為10廁點尸的軌跡方程為.

設(shè)橢圓的兩個焦點分別為人尻過點￡作橢圓長軸的垂線交橢圓于點已若為等腰直角

三角形，則橢圓的離心率為.

【易錯自糾】

22

已知橢圓25%=1(/"乂))的長軸長與短軸長之差為2,則。的焦距為

().

A.V7B.2V5

C.25/7D.2近或25/7

若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

......................圖考點考向，精研考向錘煉技能

(考總?橢圓的定義及其應(yīng)用【典例遷移】

00(1)3全區(qū)已知幾￡,是橢圓6^1=1的兩個焦點，點"在。上，則

y4

/MF{/?jMF>/的最大值為（）.

A.13B.12C.9D.6

⑵已知是橢圓號號=l（a協(xié)0）的兩個焦點/為橢圓。上的一點，且麗^時若

△用月的面積為9,則b=.

【變式設(shè)問】在本例⑵中增加條件“△陽區(qū)的周長為18”，其他條件不變，則該橢圓的方程

為.

人二橢圓定義的應(yīng)用技巧

橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面:一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓;二是當(dāng)

點。在橢圓上時，與橢圓的兩焦點凡￡組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其

周長利用定義和余弦定理可求/%/?/燈”通過整體代入可求其面積等.

【追蹤訓(xùn)練1］已知尸是橢圓5,對丹45的左焦點/是此橢圓上的動點,4（1,1）是一定點，則

IPA/+/母7的最大值為，最小值為.

■思?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例遷移】

砌頸1）已知橢圓號號=l（a刈的右焦點為北。為坐標(biāo)原點,。上有

且只有一個點產(chǎn)滿足/空/=〃77,則。的方程為（）.

A.史號司

12383

c/號qD方號=1

6343

丫2曾2

（2）已知凡公分別是橢圓的左、右焦點/為橢圓

Q0

上的動點，動點0滿足印?所=可〃而且質(zhì)/=朋/,其中印片0,所片0,若，質(zhì),的最小值

為1,最大值為9,則該橢圓的方程為（）.

A高與1B.力］

D?于六1

（1）利用定義法求橢圓方程時，要注意條件2a>/￡￡/；利用待定系數(shù)法求橢圓方程時，要

先定形（焦點位置），再定量,也可把橢圓方程設(shè)為加上力=1（加0,涼0,*〃）的形式.

⑵橢圓方程的兩個應(yīng)用

⑦怖圓捻。=1與乂A刈有相同的離心率.

酒橢刈共焦點的橢圓系方程為言忐=l（a*0,"8R）,恰當(dāng)運用橢圓系

方程，可使運算簡便.

【追蹤訓(xùn)練2】⑴已知橢圓母|號=1缶協(xié)0）的左、右焦點分別為凡凡離

心率為右過￡的直線與橢圓C交于4,8兩點，若△6/16的周長為8,則該橢圓的方程為（）.

"B蚤電

C.^-l氏9號刁

22

（2）已知8-1,0）為橢圓器石=1缶＞"0）的左焦點，過點廠的直線與

橢圓交于46兩點，與y軸交于點D.若而之方丈/〃二咫則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.

A.^/=IB44=I

4354

CIS?橢圓的幾何性質(zhì)【考向變換】

考向1橢圓的長軸、短軸、焦距

初的圓小春1的焦距為4,則實數(shù)m=.

解決有關(guān)橢圓的長軸、短軸、焦距的問題,要明白長軸、短軸、焦距三者之間的關(guān)系.

【追蹤訓(xùn)練3】橢圓C的長軸長是短軸長的3倍廁橢圓。的離心率為

考向2求橢圓的離心率

劭?已知橢圓捺寫=l（a?刈與直線需=1交于4,6兩點，焦點取-c）,

其中c為半焦距.若△45F是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）.

V3+1口麻+1

rD--

小一求橢圓離心率的三種方法

1.直接求出a,c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a,c的值.

2.構(gòu)造a,c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心

率。的一元二次方程求解.

3.通過取特殊值或特殊位置,求出離心率.

□特別提醒

在解關(guān)于離心率e的一元二次方程時，

要注意利用橢圓的離心率eG（0,1）進行根的

取舍，否則將產(chǎn)生增根.

22

【追蹤訓(xùn)練4]:北石家莊像。在直角坐標(biāo)系xa中/是橢圓畸多=1缶乂刈的

左焦點,46分別為左、右頂點，過點尸作x軸的垂線交橢圓C于月。兩點，連接外交y軸于點￡

連接AE交圖于點M.若M是線段〃，'的中點，則橢圓。的離心率為（）.

A.仔B.；CD.；

2234

考向3根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)

圜瘍橢圓卷密=1的離心率為軸力的值為（）.

A.-21B.21

C?卷或21噂或21

上與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的應(yīng)用.

【追蹤訓(xùn)練5】若橢圓言弓=1的離心率4則實數(shù)A的值為.

......................的方法技巧＞方法探究分類突破

破。與橢圓有關(guān)的范圍（最值）問題的求解策略

（1）將所求范圍用橢圓上點的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造不等關(guān)系求解.（2）將所求范圍用

表示，禾I」用a,b,c自身的關(guān)系求范圍（最值）.

畫網(wǎng)1）設(shè)3是橢圓△，看=l（a＞始0）的上頂點，若C上的任意一點。都滿

足/期/W26,則。的離心率的取值范圍是（）.

22

（2）若。和尸分別為橢圓亍片=1的中心和左焦點/為橢圓上的任意一點，貝IJ況?麗的最大

值為（）.

A.2B.3C.6D.8

方法總結(jié):

與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解

方法

1.利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義,尤其是橢圓的

性質(zhì)求最值或取值范圍.

2.利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或

取值范圍.

3.利用不等式,尤其是基本不等式求最值或

取值范圍.

4.利用一元二次方程的根的判別式求最值

或取值范圍.

22

【突破訓(xùn)練】⑴若，為橢圓9鼻司上任意一點，仔,為圓陽的任意一條直徑，則

1615

麗?河的取值范圍是（）.

A.[0,15]B.[5,15]

C.[5,21]D.（5,21）

（2）已知橢圓琮號=l（a協(xié)0）的左、右焦點分別為￡,尼過原點的直

線與C交于46兩點（點/在第一象限），若〃8/之7^^,且sin//班W2sin/胡柱則橢圓離

心率的取值范圍是.

「-------請完fit謠后作業(yè)--------1

鏈接《精練案》分冊P85

§13.2雙曲線

(對應(yīng)答案分冊第4546頁)

...............................園基礎(chǔ)知識>夯實基礎(chǔ)鞏固提升

<?知識清單一

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)到兩個定點反￡的(2a</￡&)的點尸的軌跡叫作雙曲

線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.

特別提醒

⑴當(dāng)IPR/-/%/2a(2a</￡E/)時，點P

的軌跡為靠近點￡的雙曲線的一支;當(dāng)

M/-M/=-2a(2a</￡￡/)時，點夕的軌跡

為靠近點￡的雙曲線的一支.

⑵若2a=/￡￡/,則點尸的軌跡是以凡代為

端點的兩條射線;若2a>/￡K/,則點尸的軌

跡不存在;若2aR,則點戶的軌跡是線段RR

的垂直平分線.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

(1)中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為3多=l(ak/3).

22

(2)中心在坐標(biāo)原點，焦點在尸軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為與京=1佰為/3).

特別提醒

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看?與"的系

數(shù)的正負，若片的系數(shù)為正，則焦點在x軸

上;若"的系數(shù)為正，則焦點在y軸上.即

“焦點位置看正負,焦點隨著正的跑”.

3.雙曲線的幾何性質(zhì)

x2y2y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程品=1正手口

（小兒＞0）（分0,"0）

范圍

對稱性對稱軸:x軸,y軸;對稱中心:原點

焦點

人（a。）

_.Ad-aft）,

頂點..n,4（0,-*4（0毋）

軸線段44和8心分別是雙曲線的實軸和虛軸;實軸長為，虛軸長為

焦距IRF/Cc

離心率

漸近線y=^-x

a

a,b,c

的關(guān)系

b拓展知識,

1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直

的弦的長為空，也叫通徑.

a

2.與雙曲線刈有共同漸近線

的方程可表示為，/=2（￡W0）.

3.雙曲線的焦點到漸近線的距離總是6,頂

點到漸近線的距離為叫雙曲線上任意一點

C

到兩漸近線的距離之積為定值嘩.

4.若尸是雙曲線右支上一點,分別

為雙曲線的左、右焦點，則

[PF\/山二a+c」PF2/min=c-a.

5.若46是雙曲線捻§二1的不平行于對稱

軸的弦,從荀,％）為團的中點則kM,”號，

即以畢.

aZy。

6.設(shè)尸是雙曲線上異于頂點的任一點/小

為其焦點，記/￡例=/則

6**備

2

⑵焦點三角形的面積跟貸2=”如點k.

?.充實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“V”，錯的打“X”)

⑴平面內(nèi)到點￡(0,4)/(0,Y)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.()

(2)平面內(nèi)到點￡(0,4)/(0,/)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.()

(3)方程3號=1(0〃3)表示焦點在x軸上的雙曲線.()

2222

⑷雙曲線冷o,4.0)的漸近線方程是泉號的,即()

【對接教材】

已知雙曲線/卷=1上一點P到它的一個焦點的距離等于4,那么點尸到另一個焦點的距離等

于.

以橢圓q號=1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為.

【易錯自糾】

已知雙曲線的實軸長為8,離心率為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

已知方程版+/z/=l(〃),z?WR)廁下面四個選項中錯誤的是().

A.當(dāng)m〉nX)時,方程表示橢圓，其焦點在y軸上

B.當(dāng)m=n刀時，方程表示圓，其半徑為低

C.當(dāng)麗C時，方程表示雙曲線，其漸近線方程為廣土產(chǎn)?x

D.方程表示的曲線不可能為拋物線

......................E3考點考向，精研考向錘煉技能

盲點基雙曲線的定義【典例遷移】

0111(1)已知圓C：(x+3)2少=1和圓C：(x-3y+/=9,動圓M同時與圓G及圓C相外切，則動圓

圓心."的軌跡方程為.

(2)已知凡￡分別為雙曲線/次的左、右焦點，點?在。上,小30。，則出的面

積為

【變式設(shè)問】本例（2）中，例=60?！备臑椤胞?而=0"，則△￡陽的面積

為.

上雙曲線定義的應(yīng)用策略

（1）根據(jù)動點與兩定點的距離的差判斷動點的軌跡是否為雙曲線.

（2）利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點有關(guān)的問題,如最值問題、距離問題.

⑶利用雙曲線的定義解決問題時應(yīng)注意三點:④巨離之差的絕對值;②2a</￡3；纏點所在

坐標(biāo)軸的位置.

【追蹤訓(xùn)練1】（1）過雙曲線/號=1的左焦點￡作一條直線/交雙曲

線左支于a收兩點，若泳是雙曲線的右焦點，則△瑯0的周長是.

（2）已知￡,￡分別為雙曲線3的左、右焦點，點?在（'上,/在/」//五/,則

cos/RP與=.

CIS⑥雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【題組過關(guān)】

已知雙曲線的漸近線方程為片上日x,實軸長為4,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（）.

B—三

c?耨可

D.9號=1或94=1

若雙曲線的離心率為2,過點（魚,次），則該雙曲線的方程為（）.

A.2/-/=1B.x--=\

C.57-3/=1D.1q=l

過雙曲線2總/=1佰與力為）的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A.若以（'的

右焦點廠為圓心、4為半徑的圓經(jīng)過4。兩點（。為坐標(biāo)原點），則雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.

e工=1

A.B.二1

412

C老工=1D-^-=1

J88124

」求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

⑴定義法:由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線的定義，確定2a,2?；?G從而求出

，方的值寫出雙曲線的方程.

⑵待定系數(shù)法:先確定焦點在X軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定的值，即“先

定型，再定量”；如果焦點位置不好確定,可將雙曲線方程設(shè)為4W0）,再根據(jù)條

件求八的值.

注意:⑴雙曲線與橢圓的方程均可設(shè)為/+4=］（廝W0）,其中當(dāng)加泡加o,且它〃時表示橢圓;

當(dāng)nine時表示雙曲線.合理使用這種形式可避免討論.

⑵常見雙曲線方程的設(shè)法

⑦已知a%的雙曲線方程可設(shè)為八/="乂#0）；

②已知過兩點的雙曲線方程可設(shè)為我-如=1（4;刈；

③已知漸近線為的雙曲線方程可設(shè)為馬哲=/（AW0）.

mnm6n￡

各點泡雙曲線的幾何性質(zhì)【考向變換】

考向1求雙曲線的離心率（或范圍）

螂頸1）已知幾￡是雙曲線。的兩個焦點/為C上一點，且

/￡例=60°,/斤;/學(xué)/圖/廁。的離心率為（）.

A.yC.y/7D.V13

22

（2）已知尸為雙曲線多=1缶3,6刀）的右焦點,4為。的右頂點,8為C上的點，且跖垂直于

x軸.若的的斜率為3,則C的離心率為.

求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量為&。的

方程或不等式，利用/=才+斤和e（轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（或不等式），通過解方程（或不等式）求得離

心率的值（或范圍）.

22

【追蹤訓(xùn)練2】設(shè)&￡分別是雙曲線叫點=l（a?,"））的左、右焦

點,0是坐標(biāo)原點.過￡作C的一條漸近線的垂線，垂足為幺若/例片乃/*/,則。的離心率為

（）-

A.V5B.V3C.2D.V2

考向2求雙曲線的漸近線方程

砌?（1）已知雙曲線21-丁=1（笳0）的一條漸近線方程為遮了加片0,則，?的焦距

為.

（2）已知雙曲線婷蕓=1（勿為,蘇0）的離心率與橢圓卷卷=1的離心率

互為倒數(shù)廁雙曲線C的漸近線方程為（）.

A.4x±3片0

B.3x±4y=0

C.4x±3片0或3x±4片0

I）.4x±5以）或5x±4y=0

求雙曲線的漸近線方程時，利用/=才超轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,6的方程.雙曲線漸近線的斜率

與離心率的關(guān)系斤土絲土近至心、后；土后L

aaYQ"

【追蹤訓(xùn)練3】中心在原點，焦點位于x軸，離心率為舊的雙曲線的漸

近線方程為（）.

A.y=±xB.y=±y[2x

C.y=±y[3xD.y=±2x

...............O方法技15＞方法探究分類突破

g法突破?直線與雙曲線的位置關(guān)系

若過點/（0,1）作直線，與雙曲線/看工有且只有一個公共點,

則符合條件的直線的條數(shù)為（）.

A.0B.2C.4D.無數(shù)

(2)若過雙曲線的右焦點作直線1交雙曲線于46兩點,則滿足

*/W的直線/有().

A.4條B.3條C.2條D.1條

E方法總結(jié)

⑴“中點弦”問題常用“點差法”求

解，但求出弦所在直線的方程后應(yīng)代回檢

驗.

⑵弦長問題用弦長公式求解，注意“焦點

弦”的弦長與通徑、實軸長之間關(guān)系的應(yīng)

用如本例⑵中雙曲線的實軸長為2,通徑長

為6,則滿足"的直線:謂03<2時有

0條雷m4時有1條;跳23<6時有2

條;媽力6時有3條;度法時有4條.

【突破訓(xùn)練1］已知動點P在雙曲線上,雙曲線C的左、右焦點分別為凡&則下

列結(jié)論錯誤的是().

A.雙曲線。的漸近線與圓(*-2)2寸=3相切

B.滿足/9/力的點尸共有2個

C.直線y=A(*-2)與雙曲線的兩支各有一個交點的充要條件是Sa/

D.若/在1+咻/=8,則SQPFFZ=6

,直線與雙曲線的綜合應(yīng)用

刨?在平面直角坐標(biāo)系x0y中,已知點A(-VT7,0),￡(VT7,0),點M

滿足卜|“「2口，記M的軌跡為C.

⑴求。的方程；

(2)設(shè)點T在直線X1上，過T的兩條直線分別交，于48兩點和Q0兩點，且

/"/?/徹=〃？/?/%/,求直線的斜率與直線圖的斜率之和.

I。方法總結(jié)

判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的三個步

驟

國司一攤jtia為灌或于￥:

元軟花戌笑手?（最;曲二元三/下

更產(chǎn)L程（或一元一次方程）

導(dǎo)磯:劉府做百系豪正關(guān)系（宜為新的解洌篦

更三廠它們的位置關(guān)系

22

【突破訓(xùn)練2】已知雙曲線%多=1（-0/3）的一個焦點為尺或,0）,

且經(jīng)過點7（晟）.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知A是C上一定點，過點風(fēng)0,1）的動直線與雙曲線。交于己0兩點，若廄+篇為定值4，

求點力的坐標(biāo)及實數(shù)4的值.

請完成探后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P87

§13.3拋物線

(對應(yīng)答案分冊第46頁)

基礎(chǔ)知識>夯實基礎(chǔ)鞏固提升

<?知識清單.

L拋物線的定義

平面內(nèi)與一個定點少和一條定直線/(點〃不在直線1上)的距離的點的軌跡叫作拋物

線.定點廠叫作拋物線的焦點，定直線1叫作拋物線的準(zhǔn)線.

注意:當(dāng)定點在定直線上時，軌跡為過定點廠與定直線1垂直的一條直線.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

當(dāng)焦點在A軸上時，方程的右端為士2PM或0),左端為火當(dāng)焦點在y軸上時，方程的右端為

王2勿(夕為)，左端為

標(biāo)準(zhǔn)y=2pxy=-2px殳土pyx=~2py

方程(pX))(pX))(p>0)(pX))

0的幾

焦點尸到準(zhǔn)線1的距離

何意義

國"哈米上

7yv

（續(xù)表）

標(biāo)準(zhǔn)y=2pxy=-2pxx=2py}C=-2py

方程(夕為)(p>0)(夕加)（盧0）

頂點?0）

對稱軸才軸y軸

焦點<?°)<?°)《嗚)

離心率e=\

準(zhǔn)線ppPP

方程5522

開口

—向右向左向上向下

方向

y.

范圍質(zhì)O,x￡R

RRR

焦半徑

(其中l(wèi)PFl=x、+IPFI=-/PFl=y.+/"/=-%名

ppp

尺碼2照55

%))

b拓展知識,

與拋物線焦點弦有關(guān)的幾個常用結(jié)論

設(shè)46是過拋物線jfpMo刈焦點廠的弦，

若他M-a為弦四的傾斜角，則

(1)小及)與，必姓=房；

(2)1AF[kJ,/加7市匚；

l-cosa1+cosa

⑶弦長。+p=^~；

sin”a

⑷-LJ-上；

'，|AF||BF|p'

⑸以弦四為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“V”，錯的打“X”)

⑴平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線1的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(

⑵方程片a*(a￥0)表示的曲線是焦點在X軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是($0),準(zhǔn)線方程是廣

2(

4,'

(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.(

⑷46是過拋物線了夕陽。為)的焦點颼,0)的弦，若/(Xi,%),"2?),則為施="，必必=￡弦長

lABl-X\+x2+p.(

【對接教材】

已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點八-2,"),則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

【易錯自糾】

已知拋物線。與雙曲線/-7=1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線。的方程是().

A.y=±2書?xB./=±2x

C.y=±\xD.y=±^x

已知點"必必)為拋物線C/Ny上的點，且點夕到拋物線(、焦點的距離為3,

則/的/二.

....................區(qū)J考點考向，精研考向錘煉技能

■電Q拋物線的定義的應(yīng)用【典例遷移】

囪。(1)設(shè)尸是拋物線/Nx上的一個動點/是拋物線/Nx的焦點，若僅3,2),則/陽/+/杼7

的最小值為.

(2)已知。為坐標(biāo)原點，拋物線色y=2°乩心0)的焦點為￡產(chǎn)為。上一

點，勿與x軸垂直，。為x軸上一點，且第U8,若"0W,則。的準(zhǔn)線方程為.

【變式設(shè)問1］本例⑴中的6點坐標(biāo)改為(3,4),則/陽/#///的最小值為.

【變式設(shè)問2】若將本例⑴中的條件改為“已知拋物線方程為/為%直線，的方程為x-

了百也在拋物線上有一動點尸到y(tǒng)軸的距離為幾到直線)的距離為d"，則d+4的最小值

為.

"匕與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點，看

到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點的弦有關(guān)問題的重要途徑.

【追蹤訓(xùn)練1】⑴拋物線y=2。乩嶗0)的焦點到直線廠”1的

距離為魚，則內(nèi)).

A.1B.2C.2V2D.4

(2)若/為拋物線/Nx上一點/是拋物線的焦點，〃尸/4,尸為直線

產(chǎn)-1上的動點，則/*/+/所,的最小值為().

A.2V13B.2V21

C.2*2V14D.8

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【題組過關(guān)】

若拋物線的焦點是橢圓手工=1的一個焦點，貝IJp=().

3PP

A.2B.3C.4D.8

如圖，過拋物線的焦點下的直線/交拋物線于點交其準(zhǔn)線

于點c若M/=2/郎7,且/則此拋物線的方程為（）.

A./=9xB.y=6x

C.y=3xD.y-V3x

若拋物線x'ay的

焦點到準(zhǔn)線的距離為1,則aY）.

A.2B.4C.±2D.±\

1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

⑴定義法:若題目已給出拋物線的方程（含有未知數(shù)。）,則只需求出P即可.

⑵待定系數(shù)法:若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一

設(shè)為〃=aMarO）,a的正負由題設(shè)來定;焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為這

樣就減少了不必要的討論.

2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧

⑴利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算.

度點血直線與拋物線的綜合問題【題組過關(guān)】

O0已知拋物線6yqp刈的焦點廠到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求。的方程；

⑵已知。為坐標(biāo)原點，點P在。上，點0滿足可=9而,求直線。。斜率的最大值.

1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要將兩方程

聯(lián)立、消元，用到根與系數(shù)的關(guān)系.

2.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點（設(shè)焦

點在x軸的正半軸上），可直接使用公式IAB[=X、+X2也若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

3.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不

求”“整體代入”等解法.

【追蹤訓(xùn)練2]已知必為直線lc.x=-\上的動點,Ml,0）,過點材作直線71的

垂線1,1交拗的中垂線于點己記點/）的軌跡為C.

（1）求曲線。的方程；

⑵若直線A：y=kxQ）與圓的相切于點〃，與曲線。交于

//兩點，且。為線段4?的中點，求直線乙的方程.

0方法技巧＞方法探究分類突破

‘方1丟突破◎與拋物線有關(guān)的最值問題

陽初點？在曲線/Nx上，過點尸分別作直線廣-1及尸戶3的垂線，垂足

分別為G,4則/&；/+/%/的最小值為（）.

B.2V2

C,^+lD.V2+2

D方法總結(jié)

與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略

該類問題一般情況下都與拋物線的定義有

關(guān)，實現(xiàn)點到點的距離與點到直線的距離的

相互轉(zhuǎn)化.

⑴將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化

為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線

段最短”，使問題得解；

⑵將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為該

點到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的

連線中，垂線段最短”解決.

【突破訓(xùn)練】已知直線Z：4x-3片6R和直線則拋物線

上一動點夕到直線4和的距離之和的最小值為（）.

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A.三B.蘭C.2