《步步高》高考數(shù)學輪復習導數(shù)的應用

#/19潤最大時，每年生產的產品是A．100B．A．100B．150C．200D．300答案D解析由題意得，總成本函數(shù)為答案D解析由題意得，總成本函數(shù)為C=C(%)=20000+100%，300%-%2-20000(0口%1400),［60000-100%(%>400),又P又P’(%)=1300-%(0口%1400),-100(%>400)，令P令P'(%)=0，得%=300，易知%=300時，總利潤P(%)最大.二、填空題(每小題5分，共15分二、填空題(每小題5分，共15分)5口設P為曲線 C：叫%2口%＋1上一點，曲線C在點P處的切線的斜率的范圍是［－1,3］，則點P縱坐標的取值范圍是答案解析 設P則點P縱坐標的取值范圍是答案解析 設P(a,a2-a+1)，則叫I%=a=2a-1口［-1,3］，口0口a口2.而g(a)=a2-a+1=(a-2)2+3,13當a=2時，g(a*=4.當a=2時，g(a)max=3，故P點縱坐標的取值范圍是［4,3.6．在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為(強度與bh2(強度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)．答案解析截面如圖所示，設抗彎強度系數(shù)為k，強度為①，則①=kbh2口G=kb(d2-b2)=-kb3+kd2b,①'=-3kb2+kd2,二b二9d或b=-乎d(舍去).：.h=、，d2-b2二手d.7.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2—4在x=2處取得極值，若m、n￡[—1,1],則f(m)+f'(n)的最小值是 ．答案—13解析對函數(shù)f(x)求導得f(x)=-3x2+2ax,由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f'(2)=0,即-3X4+2aX2=0，,a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，??.當m￡[-1,1]時，f(m)min=f(0)=-4.又???f'(x)=-3x2+6x的圖象開口向下，且對稱軸為x=1,???當n￡[-1,1]時，f'(n)min=f'(」)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值為-13.三、解答題(共22分)(10分)設函數(shù)f(x)=ax3—3x2(a￡R),且x=2是y=f(x)的極值點.(1)求實數(shù)a的值，并求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)求函數(shù)g(x尸ex?f(x)的單調區(qū)間.解(1f,(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因為x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點，所以f/(2)=0,即6(2a-2)=0,因此匕a=1.經驗證，當a=1時，x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點.所以f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).所以y=f(x)的單調增區(qū)間是(-8,0),(2,+8)；單調減區(qū)間是(0,2).(2)g(x)=ex(x3-3x2),g'(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)=ex(x3-6x)=x(x+\：6)(x-66)ex,

因為ex>0，所以尸g(%)的單調增區(qū)間是(一%,0)，3%,+口)；單調減區(qū)間是(-口-\16),(0，?必.(12分)某汽運集團公司生產一種品牌汽車， 上年度成本價為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為 5萬輛．本年度公司為了進一步擴大市場占有量，計劃降低成本，實行降價銷售口設本年度成本價比上年度降低了 x(0<x<1),本年度出廠價比上年度降低了0.9x.(1)若本年度年銷售量比上年度增加了 0.6x倍，問x在什么取值范圍時， 本年度的年利潤比上年度有所增加？(n59n307(2)若本年度年銷售量 y關于x的函數(shù)為訓2011?1口x2口34x1289J，則當 xDODD,本年度年利潤最大？解(1)本年度年利潤為［1310.9x-101x口］5口(1+0.6x)=5(3-1.7x)(1+0.6x).要使本年度的年利潤比上年度有所增加，則有5(3-1.7x)(1+0.6x)>5口(13-10).解得0<x<51.(2)本年度年利潤為( 59 307W(x)=[1310.9x-101x口]2011(-x2W(x)=[1317 119 17 921、51 119 17110x2-10x+55)=2on由x3-51 119 17110x2-10x+55)W'(x)=2011令W'(x)=0,解得x1=1,x2=2.又0<x<1,所以函數(shù)W(x)在(0,|］上為增函數(shù)，在［3,1)上為減函數(shù).故當xK時，W(x)取得最大值，即當x二；時，本年度的年利潤最大.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)n0,2上的值域為

乙一一、選擇題(n0,2上的值域為

乙一1口函數(shù) f(x)D2ex(sinx口cosx)在區(qū)間乙A.「11nlL2,2,2」B.(1，1n\2e2JC口[1,02]乙D口(1,02)乙答案A解析f(%)=2e%(sin%+cos%)+2e*cos%-sin%)=e%cos%,當o口%口n時，f(%)口o，且只有在%二n時乙 乙，力(%)=0,口f(%)是［。,外上的增函數(shù)，口f(%)的最大值為1n2e2，f(%)的最小值為f(0)=2.乙口，n2」上的值域為11n

— —a-l_2，2‘2」2．若函數(shù)%f(%)口——(a>0)在[1,叫 )上的最大值為%2＋a爭則a的值為( )A號B.\'3C.\''3D1D.V3口1答案D%2+a-2%2 a-%2解析f'(%)= =(%2+a)2 (%2+a)2當%>6時，f(%)<0,f(x)單調遞減，當a<<%<\：a時，f(%)>0,f(%)單調遞增，當%=、.；<時，令f(%)=鏟=浮,7a=W<1,不合題意.a口f(%) =f(1)= =W,a=、..'3-1，故選D.max 1+a3 13口 已知對任意 %口 R,恒有 f(1 %州口 f(%), g(口 %)□ g(%)，且當 %>0 時，力(%)>0, g‘ (%)>0,則當%<0時有 ( )A口 f (%)>0, g‘ (%)>0 B口 f (%)>0, g’ (%)<0C口 f (%)<0, g‘ (%)>0 D口 f (%)<0, g’ (%)<0答案B解析由f(-x)=-f(x),g(-x尸g(x)，知f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù).又x>0時，f(x)>0,g0(x)>0,由奇、偶函數(shù)的性質知，當x<0時，f(x)>0,g0(x)<0.二、填空題(每小題 5分，共15分)4口已知函數(shù) f(x)D 1^-x口 In x，若函數(shù) f(x)在[1,口□ )上為增函數(shù)，則正實數(shù) a的取值范圍ax為 ．答案[1,口□)1-x ax-1解析[f(x)=~x^+lnx,口f‘(x)=~x~T(a>0)，口函數(shù)f(x)在[1,+口)上為增函數(shù)，1f(x)=空21口0對x口[1,+口)恒成立，口ax21口0對x口[1,+口)恒成立，即a口x對x口[1,+口)恒成立，口a口1.5□已知函數(shù) f(x)Dx2(x口a)D若f(x)在(2,3)上單調，則實數(shù) a的取值范圍是；若fx)在(2,3)上不單調，則實數(shù) a的取值范圍是1ax-一一 9答案(口□, 3]口2,口□一乙)(3,2)解析f(x尸3x2-2ax，若f(x)在(2,3)上單調，則f(x)D0或f(x)D0在(2,3)上恒成立，口aD2x或aD2x.口x1(2,3)，口aD3或aD2.6口用口長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，把四邊翻轉 90°角,再焊接成水箱,則水箱的最大容積為答案128000cm3解析設水箱底邊長為xcm,先在四角分別截去一個小正方形, ．然后則水箱高h=(60-xcm.水箱容積V=丫(x)=x2h=60x2-x3(0<x<120).V(x)=120x-3x2.令V1(x)=0,得x=0(舍去)或x=80.可判斷得x=80(cm)時，V取最大值為128000cm3.三、解答題7.(13分)(2012?浙江)已知a￡此函數(shù)f(x尸4x3-2ax+a.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)證明：當0WxW1時，f(x)+12—al>0.(1)解由題意得f(x)=12x2-2a.當aW0時，f‘(x)三0恒成立，此時f(x)的單調遞增區(qū)間為(-8,+8).當a>0時，f‘(x)=12(x-\/隊x+、*J,此時函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為-8,-單調遞減區(qū)間為--8,-單調遞減區(qū)間為-+8],(2)證明由于0WxW1,故當aW2時，f(x)+12-al=4x3-2ax+2三4x3-4x+2.當a>2時，f(x)+12-al=4x3+2a(1-x)-2三4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.設g(x)