清單04 指數(shù)與對數(shù)（6個考點梳理題型解讀提升訓(xùn)練）（解析版）

清單04指數(shù)與對數(shù)（6個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點分布圖】【知識清單】知識點一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算性質(zhì)1、整數(shù)指數(shù)冪的概念2、運算法則（1）；（2）；（3）；（4）．知識點二、根式的概念和運算法則3、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時，正數(shù)的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負數(shù)的奇次方根有一個，是負數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時，正數(shù)的偶次方根有兩個，記為；負數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．4、兩個等式（1）當且時，；（2）知識點三、分數(shù)指數(shù)冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分數(shù)，分數(shù)指數(shù)冪可如下定義：知識點四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算5、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）（2）（3）當，為無理數(shù)時，是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用．知識點五、對數(shù)概念6、對數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：．其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．7、對數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負數(shù)沒有對數(shù)，即；（2）1的對數(shù)為0，即；（3）底的對數(shù)等于1，即．8、兩種特殊的對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，．以e（e是一個無理數(shù)，）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，簡記為．9、對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識點六、對數(shù)的運算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和；推廣：（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)；知識點七、對數(shù)公式10、對數(shù)恒等式：11、換底公式【考點精講】考點1：根式的化簡與求值例1．（2023·江蘇連云港·高一江蘇省板浦高級中學?？计谥校┫铝懈魇秸_的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，故A錯誤；，故B錯誤；∵，∴當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，故C錯誤；成立，故D正確.故選：D.例2．（2023·高一課時練習）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，，即，所以.故選：B例3．（2023·高一課時練習）若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因，則有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D例4．（2023·浙江溫州·高一甌海中學?？茧A段練習）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，，，，..又，，，.故選：D例5．（2023·江西南昌·高一校聯(lián)考階段練習）若，，則的值為（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【解析】依題意，，，則，所以的值為1.故選：A例6．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二?？计谀┗喌慕Y(jié)果是（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】依題意.故選：C.考點2：指數(shù)冪的化簡與求值例7．（2023·重慶云陽·高一重慶市云陽鳳鳴中學校校聯(lián)考階段練習）（1）計算：．（2）用分數(shù)指數(shù)冪表示并計算：．【解析】（1）原式．（2）．例8．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┯嬎阆铝懈魇降闹担?1)(2)已知求的值．【解析】（1）原式；（2），等號兩邊同時平方，得，所以.例9．（2023·河北唐山·高一統(tǒng)考期中）化簡求值：(1)；(2)若，求的值.【解析】（1）.（2），.例10．（2023·天津和平·高一天津市雙菱中學?？计谥校┯嬎慊蚧喯铝懈魇剑?1)；(2)．【解析】（1）易知；（2）由題意可知：，則.例11．（2023·福建莆田·高一莆田一中?？计谥校?）計算：；（2）已知，求的值．【解析】（1）原式.（2）由，得，所以．例12．（2023·廣東汕頭·高一金山中學?？计谥校┤?，求下列各式的值：(1)；(2)【解析】（1）因為，所以，解得；（2）因為，所以，因為，所以.所以.例13．（2023·陜西安康·高一統(tǒng)考期中）（1）計算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）（2），所以，，．考點3：對數(shù)的概念與性質(zhì)例14．（2023·全國·高一專題練習）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，.故選：D.例15．（2023·四川巴中·高一統(tǒng)考期中）已知，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D例16．（2023·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校?則的值為（

）A．6 B．7 C．12 D．18【答案】C【解析】，故選：C例17．（2023·高一課時練習）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．,且【答案】D【解析】根據(jù)對數(shù)的定義得到不等式組解得.解得，即且.故選：例18．（2023·高一課時練習）方程＝的解是（

）A．x＝ B．x＝C．x＝ D．x＝9【答案】A【解析】由題得.故選：A例19．（2023·高一課時練習）已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)，則，∵，即，整理得，注意到，則，解得，即.故選：D.考點4：對數(shù)式的化簡與求值例20．（2023·重慶·高一重慶市第七中學校?？茧A段練習）計算.【答案】【解析】.故答案為：.例21．（2023·廣東東莞·高一東莞市東莞中學松山湖學校?？计谥校┯嬎?【答案】2【解析】根據(jù)題意可得：；故答案為：2例22．（2023·全國·高一專題練習）計算＝．【答案】25【解析】故答案為：25例23．（2023·山東濟寧·高一統(tǒng)考期中）．【答案】【解析】.故答案為：例24．（2023·高一課時練習）計算：．【答案】5【解析】，故答案為：5例25．（2023·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谥校┯嬎悖?【答案】/【解析】.故答案為：.例26．（2023·湖北荊州·高一沙市中學校考階段練習）.【答案】/【解析】，故答案為：例27．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中學?？茧A段練習）計算：．【答案】【解析】由題意可得：.故答案為：18.考點5：對數(shù)的應(yīng)用例28．（2023·江蘇徐州·高一徐州高級中學?？计谥校?7世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算，數(shù)學家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，所以所在的區(qū)間為.故選：C例29．（2023·四川成都·高一校考期中）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時20%的進度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）A．7 B．8 C．10 D．11【答案】B【解析】設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則，即，由于在定義域上單調(diào)遞減，所以，∴他至少經(jīng)過8小時才能駕駛.故選：B.例30．（2023·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．正常人體的血氧飽和度一般不低于，在以下為供氧不足．在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度（單位：%）隨給氧時間（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù)．已知，給氧1小時后，血氧飽和度為80．若使得血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（?。?/p>

）A．約小時 B．約小時 C．約小時 D．約小時【答案】B【解析】由題意知，，，當小時，，得：要使血氧飽和度達到正常，即需：，即：，化簡得：，所以得：因為已經(jīng)給氧1小時，所以還需要繼續(xù)給氧時間至少為：小時.故選：B.例31．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）碳－14是碳元素的一種同位素，具有放射性.活體生物其體內(nèi)的碳－14含量大致不變，當生物死亡后，其組織內(nèi)的碳－14開始衰變并逐漸消失.已知碳－14的半衰期為5730年，即生物死亡年后，碳－14所剩質(zhì)量，其中為活體組織中碳－14的質(zhì)量.科學家一般利用碳－14這一特性測定生物死亡年代.2023年科學家發(fā)現(xiàn)某生物遺體中碳－14含量約為原始質(zhì)量的倍，依據(jù)計算結(jié)果并結(jié)合下表中我國歷史朝代的時間段可推斷該生物死亡的朝代為（參考數(shù)據(jù)：）（

）金1115年1234年元代1206年1368年明代1368年1644年清代1616年1911年A．金 B．元 C．明 D．清【答案】D【解析】由題意知，所以，所以，所以，所以，故對應(yīng)死亡的朝代為清代.故選：D.例32．（2023·全國·模擬預(yù)測）二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的，即441個點，根據(jù)0和1的二進制編碼，一共有種不同的碼.假設(shè)我們1秒鐘用掉1萬個二維碼，1萬年約為秒，那么大約可以用（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．萬年 B．117萬年 C．萬年 D．205萬年【答案】A【解析】由題意大約可以用萬年，則，所以，即大約可以用萬年.故選：A例33．（2023·四川綿陽·高三綿陽中學?？茧A段練習）一個容器裝有細沙，細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，后剩余的細沙量為，經(jīng)過后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，若容器中的沙子只有開始時的十六分之一，則需再經(jīng)過的時間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意有，即，兩邊取對數(shù)得，當容器中只有開始時的十六分之一，則有，兩邊取對數(shù)得，所以再經(jīng)過的時間為.故選：A.例34．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開學考試）在百端待舉、日理萬機中，毛澤東主席仍不忘我國的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見安徽參加國慶的代表團時，送給代表團成員——渡江小英雄馬毛姐一本精美的筆記本，并在扉頁上題詞：好好學習，天天向上.這8個字的題詞迅速在全國傳播開來，影響并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負韶華.他告訴我們：每天進步一點點，持之以恒，收獲不止一點點.把學生現(xiàn)在的學習情況看作1.每天的“進步率”為3%，那么經(jīng)過一個學期（看作120天）后的學習情況為，如果每天的“遲步率”為3%，同樣經(jīng)過一個學期后的學習情況為，經(jīng)過一個學期，進步者的學習情況是遲步者學習情況的1335倍還多，按上述情況，若“進步"的值是“遲步”的值的10倍，要經(jīng)過的天數(shù)大約為（保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．28 B．38 C．60 D．100【答案】B【解析】設(shè)要經(jīng)過天，“進步"的值是“遲步”的值的10倍，則，即，則.故選：B.考點6：指數(shù)冪、對數(shù)綜合運算及應(yīng)用例35．（2023·上海閔行·高一上海市七寶中學?？计谥校┮阎瑒t.（用、表示）【答案】【解析】因為，則，又，所以.故答案為：例36．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）已知，則．（用表示）【答案】【解析】由，得，又，所以.故答案為：例37．（2023·上海普陀·高一校考期中）設(shè)，試用a，b表示．【答案】【解析】，所以，故答案為：例38．（2023·江蘇常州·高一校聯(lián)考期中）已知，則（結(jié)果用a，b表示）.【答案】【解析】,故答案為：.例39．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）若，且，則實數(shù)．【答案】9【解析】因為，可知，又因為，即，由換底公式得，則，即，解得．故答案為：9．例40．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）若正實數(shù)a、b、c均不為1，滿足，且，則的值為.【答案】1【解析】由題意，正實數(shù)a、b、c均不為1，設(shè)，則，，，即，，，由，得，即，即.故答案為：1.例41．（2023·高一課時練習）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；【解析】設(shè)，則.∴，∴，而，∴，得證.例42．（2023·廣西崇左·高一校考階段練習）求滿足下列條件的各式的值(1)若，求的值；(2)設(shè)，求證：.【解析】（1），，，（2）證明：設(shè)，則，，.所以，，.所以，所以.例43．（2023·廣東江門·高一階段練習）已知正實數(shù)x，y，z滿足．（1）求證：；（2）比較的大小．【解析】（1）證明：令，利用指數(shù)式和對數(shù)式的互化知，，則，，∴.（2）證明：因為正實數(shù)x，y，z，，又，，又，，∴．【提升練習】一、單選題1．（2023·江蘇南京·高一南京市第九中學?？茧A段練習）已知，，，則的最小值是（

）．A．18 B．9 C． D．3【答案】B【解析】，所以，且，，所以，當且僅當，即時等號成立，故選：B.2．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試）已知，，且，則的最小值是（

）A．18 B．16 C．10 D．4【答案】B【解析】因為，，且，所以，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值是16.故選：B3．（2023·高一課時練習）已知均為正實數(shù)，若，則＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，則，所以，解得或，所以或，所以或，因為，所以或，所以或，所以或，故選：D4．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某程序研發(fā)員開發(fā)的小程序在發(fā)布時已有1000名初始用戶，經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)，其中k和m均為常數(shù)．已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有4000名用戶，則用戶超過2萬名至少經(jīng)過的天數(shù)為（

）（天數(shù)按整數(shù)算，?。?A．20 B．21 C．22 D．23【答案】C【解析】由題意知，當時，，又因為小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有4000名用戶，所以，令，所以，故用戶超過2萬名至少經(jīng)過的天數(shù)為22，故選：C5．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學?？计谥校┮阎瑒t（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，所以，故選：C6．（2023·廣西·統(tǒng)考三模）17世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算，數(shù)學家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”，現(xiàn)代物理學之父伽利略評價“給我空間、時間及對數(shù)，我可以創(chuàng)造一個宇宙”.已知，，設(shè)，則N所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】計算，對選項中的區(qū)間端點值同樣取以10為底的對數(shù)值，可知B正確.故選：B7．（2023·高一單元測試）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．設(shè)則 B．若，則C．若，則 D．【答案】B【解析】對于A，根據(jù)分式指數(shù)冪的運算法則，可得，選項A錯誤；對于B，，故，選項B正確；對于C，，，因為，所以，選項C錯誤；對于D，，選項D錯誤.故選：B．二、多選題8．（2023·江蘇徐州·高一徐州高級中學?？计谥校┫铝羞\算中正確的是（

）A．當時， B．C．若，則 D．【答案】AD【解析】對于A，當時，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由于，所以，所以，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD9．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為，所以，即，故，故A正確；因為，，所以成立，故C正確；，故，故B錯誤；成立，故D正確.故選：ACD.10．（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學校?？计谥校┮阎?，則下列等式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】依題意，，即，則且a，，故C正確；對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.11．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市田家炳中學校聯(lián)考期中）設(shè)都是正數(shù)，且，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令，則，所以，對于A：兩邊同除等價于，由上可知，，所以，A正確；對于B：兩邊同除等價于，由上可知，，所以，B錯誤；對于C：兩邊同除等價于，由上可知，，所以，C錯