數(shù)列求和的基本方法和技巧學(xué)生用

PAGEPAGE1第1頁共6頁數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列求和通項(xiàng)分式法錯(cuò)位相減法反序相加法分組法分組法合并法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：[例]求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)注：(1)利用等比數(shù)列求和公式．當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為1進(jìn)行討論，如本題若為“等比”的形式而并未指明其為等比數(shù)列，還應(yīng)對(duì)x是否為0進(jìn)行討論．(2)要弄清數(shù)列共有多少項(xiàng)，末項(xiàng)不一定是第n項(xiàng)．對(duì)應(yīng)高考考題：設(shè)數(shù)列1，（1+2），…，（1+2+），……的前頂和為，則的值。二、錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和在高考中占有相當(dāng)重要的位置，近幾年來的高考題其中的數(shù)列方面都出了這方面的內(nèi)容。需要我們的學(xué)生認(rèn)真掌握好這種方法。這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法。[例]求和：（）………①注意、1要考慮當(dāng)公比x為值1時(shí)為特殊情況2錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng)此類題的特點(diǎn)是所求數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘。對(duì)應(yīng)高考考題：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且。（Ⅰ）求的通項(xiàng)；（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和。三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).[例]求證：四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般用分組結(jié)合法。[例]：求數(shù)列的前n項(xiàng)和；五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）（3）（4）（5）[例]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。[練習(xí)]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.[例]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.數(shù)列的求和方法多種多樣，它在高考中的重要性也顯而易見。我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)中必須要掌握好幾種最基本的方法，在解題中才能比較容易解決數(shù)列問題。數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法一、公式法例1已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累加法例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例四已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、累乘法例5已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)