圓錐曲線大題處理策略：非對稱韋達(dá)定理 （原卷版）

專題3圓錐曲線大題處理策略：非對稱韋達(dá)定理在圓錐曲線解答題中我們通常利用直線與二次曲線聯(lián)立得到一元二次方程的韋達(dá)定理來處理類似等結(jié)構(gòu)，這些形式通過合理的變形均可以用整體帶入的方法達(dá)到避開解交點坐標(biāo)的目的。（這是圓錐曲線大題中普遍使用韋達(dá)定理的初衷）。但我們在做題中也經(jīng)常會遇到類似于這種系數(shù)不對稱的結(jié)構(gòu)，稱之為“非對稱韋達(dá)定理”。顯然按照先前的方法就很難順利的處理掉，本專題就此類問題給出幾個常見的處理策略。例題講解：例題講解：例題：已知橢圓過點，且離心率為。求橢圓方程（2）分別為橢圓的上下頂點，過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，求證：直線的交點在定直線上知識點講解：知識點講解：韋達(dá)化處理由引例1可知，核心條件坐標(biāo)化后，并不全是直接韋達(dá)化的形式．對于坐標(biāo)化后的表達(dá)式不是韋達(dá)形式的，還需進(jìn)行韋達(dá)化處理．韋達(dá)化處理主要有以下幾種處理方法：代換（直線代換或曲線代換）、和積消元法、配湊、解方程組．韋達(dá)化處理一：代換——即消去x或y中的一個由于我們聯(lián)立后的方程式關(guān)于x或y的二次方程，韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積只式單獨(dú)的x或y的形式，而此時坐標(biāo)表達(dá)式并非是直接的韋達(dá)形式，因此需進(jìn)行代換：方向一：直線代換：）又，即方向二：曲線代換：若兩個點均在直線和曲線上，那么形如的式子，如果用直線替換顯然麻煩，注意到，替換掉原式中含有的，可以得到。韋達(dá)化處理二：和積消元法和積轉(zhuǎn)換——找出韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積的關(guān)系由韋達(dá)定理可得，所以，代入中，整理，即可得，為定值，得證．若看不出兩根之和與兩根之積的關(guān)系怎么辦呢？我們不妨用待定一下系數(shù)，設(shè)，∴韋達(dá)化處理三：配湊配湊法進(jìn)行韋達(dá)化處理，一個經(jīng)典案例就是弦長中的．對于前述坐標(biāo)化后的部分式子，也需要作配湊處理：（1），即，其中k為直線AB斜率，再用直線代換，即，得．此處需注意兩點，一是，幾何意義即為直線斜率，二是通過平方差公式因式分解轉(zhuǎn)化，對于含平方形式是有力手段．（2）．（3），此處考慮直線代換，，再代入上式即可得．（4），而，整理得．（5）此形式可以配湊倒數(shù)關(guān)系，，故，配湊可得．高考講解：高考講解：1.（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.類型題講解：類型題講解：例1．已知點F為橢圓的右焦點，A，B分別為其左、右頂點，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為證明為定值．例2．已知橢圓的左?右焦點分別為點在上，的周長為，面積為（1）求的方程．（2）設(shè)的左?右頂點分別為，過點的直線與交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，則求直線和交點的軌跡方程。練習(xí)題：練習(xí)題：1.已知橢圓的離心率為，長軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．2.點是橢圓的左右頂點，若過定點且斜率不為0的直線與橢圓交于M，N兩點，求證：直線AM與直線的交點在一條定直線上．3.已知、分別是橢圓的左右項點，離心率，P是橢圓E的上頂點，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點.4.已知橢圓：（）過