圓錐曲線(xiàn)二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)弦分比問(wèn)題（教師版）

圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦分比問(wèn)題焦點(diǎn)弦經(jīng)常在題目中有所提及，其中焦點(diǎn)弦經(jīng)常被某個(gè)點(diǎn)分成一定的比例，本節(jié)提供一條焦點(diǎn)弦和兩條焦點(diǎn)弦的相應(yīng)結(jié)論，關(guān)于這些比例有很多優(yōu)美的結(jié)論，掌握這些結(jié)論可以在答題中戰(zhàn)無(wú)不勝。一條焦點(diǎn)弦分比問(wèn)題橢圓的焦點(diǎn)弦所在直線(xiàn)被曲線(xiàn)及短軸直線(xiàn)（y軸）所分比之和為定值直線(xiàn)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，交曲線(xiàn)于A，B，交y軸于點(diǎn)，設(shè)，則為定值證明：雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦所在直線(xiàn)被曲線(xiàn)及虛軸直線(xiàn)（y軸）所分比之和為定值（只是把橢圓中的，換成）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦所在直線(xiàn)被曲線(xiàn)及頂點(diǎn)處的切線(xiàn)（y軸）所分比之和為定值為1已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)（2，0），且離心率為12（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)m，交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)M，且MA→=λAF→，MB→=μBF【分析】此題第二問(wèn)完美符合該結(jié)論，答案比較顯然。【解答】解：（1）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)（2，0），則a＝2，由e=ca=12得a∴b=a所求橢圓方程為x2（2）由題意可知直線(xiàn)m的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)m方程為y＝k（x﹣1），聯(lián)立方程得y=k(x?1)x24+y23=1，消去y得（4k2+3）x2因?yàn)閙過(guò)焦點(diǎn)，所以△＞0恒成立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x由MA→=λAF→，MB→∴λ+μ=x已知雙曲線(xiàn)，過(guò)右焦點(diǎn)D（2，0）的直線(xiàn)l與該雙曲線(xiàn)的兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．設(shè)直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)E，，，證明：λ+μ為定值．【解答】證明：由題意可知直線(xiàn)l的斜率必存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k（x﹣2），則E（0，﹣2k），∵，，∴，∴，，又點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)C上，∴，∴3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2＝0，同理3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2＝0，∴λ，μ是方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的兩根，∴為定值．已知一動(dòng)圓M恒過(guò)點(diǎn)F（1，0），且總與直線(xiàn)x＝﹣1相切．（I）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)E．設(shè)PA→=λAE→，PB→【分析】本題第二問(wèn)，由于是拋物線(xiàn)，故可以瞬間秒殺，答案顯然為1【解答】解：（I）∵動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)F（1，0），且與直線(xiàn)l：x＝﹣1相切，∴圓心M到F的距離等于到直線(xiàn)l的距離，∴點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，且p2=1，∴所求的軌跡方程為y2＝4x．（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx+2（k≠0），聯(lián)立方程，得y=kx+2y消去y，得k2x2+（4k﹣4）x+4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），E（?2則x1+xPA→=(xAE→BE→∴（x1，y1﹣2）＝λ（?2k?x（x2，y2﹣2）＝μ（?2k?x2，﹣得λ=?k則λ+μ=?2把x1+x2=?4k?4k即λ+μ為定值﹣1．練習(xí)題：1.已知直線(xiàn)l：x＝my+1過(guò)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，拋物線(xiàn)：x2＝42y的焦點(diǎn)為橢圓C（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)M，且MA→=λ1AF→，【解答】解：（Ⅰ）由題意知橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），∴c＝1，拋物線(xiàn)x2=4∴b=2∴a2＝b2+c2＝3…∴橢圓C的方程x2（Ⅱ）由題意知m≠0，且l與y交于M（0，?1設(shè)直線(xiàn)l交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+1x23+y22=1，得（2∴y1+y∵M(jìn)A→∴（x1，y1+1m）＝λ1∴λ1=?1?1∴λ1+λ2＝﹣2?1m（∵1∴λ∴當(dāng)m變化時(shí)，λ1+λ2的值是定值，定值為﹣3．2、已知拋物線(xiàn)方程C：y2＝2px（p＞0），點(diǎn)F為其焦點(diǎn)，點(diǎn)N（3，1）在拋物線(xiàn)C的內(nèi)部，設(shè)點(diǎn)M是拋物線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，|MF（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)P，且PF→=λ1FA→=【分析】（1）準(zhǔn)線(xiàn)方程為l：x=?p2，點(diǎn)M到l的距離設(shè)為d，由拋物線(xiàn)定義，|MF（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（1，0），設(shè)l：y＝k（x﹣1），則P（0，﹣k），由PF→=λ1FA→=λ2FB→知（1，k）＝λ1（x1﹣1，y1）＝λ2（x【解答】解：（1）準(zhǔn)線(xiàn)方程為l：x=?p2，點(diǎn)M到l的距離設(shè)為d，由拋物線(xiàn)定義，|MF→|+|MN→|=d+|（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（1，0）由題意知直線(xiàn)l的斜率k存在且不等于0，設(shè)l：y＝k（x﹣1），則P（0，﹣k），由PF→=λ1FA→=λ2FB→知（1，k）＝λ1（x1﹣1，y1）＝λ2（x2﹣1，y2）∴k＝λ1y將y＝k（x﹣1）代入y2＝4x得y2?4ky?4=0，y3、已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px（p＞0），過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)m交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，以線(xiàn)段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為27（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于F、G兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)PF→=λ1FD→，【分析】（1）直線(xiàn)m的方程為y＝x?p2，代入y2＝2px，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以線(xiàn)段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為27，求出p（2）設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx+2與y2＝4x，聯(lián)立得k2x2+（4k﹣4）x+4＝0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合PF→=λ1FD→，【解答】解：（1）由已知：直線(xiàn)m的方程為y＝x?p2，代入y2＝2得：x2﹣3px+p設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝3p，|AB|＝x1+x2+p＝4p且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為（3p2，p由已知7+9p24解得p＝2或p＝﹣2（舍去），所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為：y2＝4x；（2）設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx+2與y2＝4x，聯(lián)立得k2x2+（4k﹣4）x+4＝0設(shè)F（x3，y3），G（x4，y4）則xPF→所以λ1則λ1將x3+x4=4?4k即λ1+λ2定值為﹣14、已知拋物線(xiàn)C1：y2＝2px（p＞0），過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為﹣1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，若線(xiàn)段CD的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2（1）求拋物線(xiàn)C1的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C1于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知NA→=λ1AF→，NB→=λ2BF→，則【分析】（1）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），利用“點(diǎn)差法”可得拋物線(xiàn)C1的方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)AB聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求出λ1+λ2的值，可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），∵C，D在拋物線(xiàn)上，y1兩式相減得：y1?y2即2p?4所以2p＝4，則拋物線(xiàn)C1的方程為y2＝4x；（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝k（x﹣1），A（x3，y3），B（x4，y4），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣k），聯(lián)立方程組y2=4xy=k(x?1)并整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+則x3+x4=2k2+4k2由NA→=λ1AF→，NB→=λ2BF→得：λ1（1﹣x3）＝x3，λ2（1﹣∴λ1=x31?x3∴λ1+λ2=x5、已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它過(guò)點(diǎn)（0，1），離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l交橢圓C于G，H兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若，＝n，判斷m+n是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它過(guò)點(diǎn)（0，1），離心率為，∴，解得a＝，b＝1，c＝2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1．（2）由（1）得橢圓C的右焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），M（0，y0），由題意得直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k（x+2），代入方程+y2＝1，得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5＝0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．又＝（x1，y1﹣y0），＝（x2，y2﹣y0），＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2）．，∴m＝，n＝，∴m+n＝+＝，＝，∴m+n＝10．兩條焦點(diǎn)弦，比和定值過(guò)橢圓上任一點(diǎn)A作兩焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦，AC和AB，其共線(xiàn)向量比之和為定值。即設(shè)，，則過(guò)雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)A作兩焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦，AC和AB，其共線(xiàn)向量比之和為定值。即設(shè)，，則拋物線(xiàn)定值0由于拋物線(xiàn)的開(kāi)放性，焦點(diǎn)只有一個(gè)，故準(zhǔn)線(xiàn)替代了另一個(gè)焦點(diǎn)即設(shè),，則通過(guò)向量的線(xiàn)性變換，若設(shè),，則依然成立。如圖，A為橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2．當(dāng)AC垂直于（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)AF1→=λ1F1B→，AF2→【解答】解：（1）當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，|AF1|：|AF2|＝3：1，由|AF1|+|AF2|＝2a，得|AF1|=3a2，|AF2|=a2在Rt△AF1F2中，|AF1|解得e=2（2）由e=22，則ba=a焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），則橢圓方程為x2化簡(jiǎn)有x2+2y2＝2b2．設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直線(xiàn)AC⊥x軸，x0＝b，λ2＝1，λ∴λ1+λ2＝6．②若直線(xiàn)AC的斜率存在，則直線(xiàn)AC方程為y=代入橢圓方程有（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02＝0．由韋達(dá)定理得：y0y所以λ2同理可得λ故λ1+λ2=6bb=6．綜上所述：λ已知A是雙曲線(xiàn)C：（a＞0，b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB．AC所在的直線(xiàn)分別過(guò)焦點(diǎn)F1、F2，且當(dāng)AB⊥AC時(shí)，恰好有或．（1）求雙曲線(xiàn)C的離心率（2）設(shè)，，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，則求出λ1+λ2的取值范圍．【解答】解：（1）不妨設(shè)A在雙曲線(xiàn)右支上，即，∵AB⊥AC，∴△AF1F2為直角三角形，AF1，AF2為兩直角邊，∴|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2又|AF1|﹣|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴＝＝＝sin∠AF1F2＝∴雙曲線(xiàn)C的離心率e＝（2）y由（1）可得雙曲線(xiàn)的方程位為：即4x2﹣y2＝4a2設(shè)A（x0，y0）B（x1，y1）C（x2，y2）由，可得整理可得，代入到雙曲線(xiàn)整理可得，∵4x02﹣y02＝4a2兩式相減整理可得同理可得，λ1+λ2＝﹣3已知平面曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（0，1）和直線(xiàn)y＝﹣1的距離相等，過(guò)直線(xiàn)y＝﹣1上一點(diǎn)P作曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B．（1）求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)F；（2）若直線(xiàn)PF交曲線(xiàn)C于D，E兩點(diǎn)，，，求λ+μ的值．【解答】解：（1）∵P到點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線(xiàn)l：y＝﹣1的距離相等，∴曲線(xiàn)C是以F（0，1）為焦點(diǎn)，直線(xiàn)y＝﹣1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為x2＝4y．拋物線(xiàn)方程可化為y＝，求導(dǎo)得y′＝x，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則切線(xiàn)PA，PB的斜率分別為x1，x2，∴PA的方程為y﹣y1＝（x﹣x1），即x1x﹣2y﹣2y1＝0．同理PB的方程為x2x﹣2y﹣2y2＝0，∵切線(xiàn)PA，PB均過(guò)P（x0，﹣1），∴x1x0+2﹣2y1＝0，x2x0+2﹣2y2＝0．∴（x1，y1），（x2，y2）為方程x0x﹣2y+2＝0的兩組解，∴直線(xiàn)AB的方程為x0x﹣2y+2＝0，∴直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)F（0，1）．（2）設(shè)D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），由?x2﹣4kx﹣4＝0，x1x2＝4k，x1x2＝﹣4，∵，，P（）得（﹣x1，1﹣y1）＝λ（x2，y2﹣1），（﹣﹣x1，﹣1﹣y1）＝μ（x2+，y2+1），于是λ＝，μ＝．所以λ+μ＝﹣（）＝﹣＝﹣＝0．所以λ+μ為定值0．練習(xí)題：1、過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于C點(diǎn)，若，則λ＝（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【答案】A．2、已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且拋物線(xiàn)上一點(diǎn)N（m，﹣2）到焦點(diǎn)的距離為6（1）求此拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)拋物線(xiàn)方程的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于AB兩點(diǎn)，且交準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)M，已知＝λ1，＝λ2，求λ1+λ2的值．【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)N（m，﹣2）到焦點(diǎn)的距離為6，∴可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為：x2＝2py（p＜0），∴N（m，﹣2）到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為6，即＝6，解得：p＝﹣8，∴拋物線(xiàn)的方程為：x2＝﹣16y，（2）由已知得直線(xiàn)l的斜率一定存在，由拋物線(xiàn)x2＝﹣16y的焦點(diǎn)F為（0，﹣4），準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝4，所以可設(shè)l：y＝kx﹣4，則M點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），設(shè)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A（x1，y1），B（x2，y2），由?x2+16kx﹣64＝0∴x1+x2＝﹣16k，x1?x2＝﹣64，又由＝λ1，＝λ2，∴（x1﹣，y1﹣4）＝λ1（﹣x1，﹣4﹣y1），∴x1﹣＝﹣λ1x1，∴即λ1＝，同理λ2＝，∴λ1+λ2＝+＝＝03、過(guò)拋物線(xiàn)C：x2＝2py（p＞0）焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)M，當(dāng)|AB|＝12時(shí)，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是5．（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；（Ⅱ）已知＝λ1，＝λ2，求λ1+λ2的值．【解答】解：（I）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AF|＝y(tǒng)1+，|BF|＝y(tǒng)2+，|AB|＝y(tǒng)1+y2+p，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是5，∴＝5，∴y1+y2＝10，10+p＝12，解得p＝2．∴x2＝4y．（II）由題意可得：直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0，設(shè)為：y＝kx+1（k≠0），聯(lián)立，化為：x2﹣4kx﹣4＝0，則△＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，M在直線(xiàn)y＝kx+1上，且yM＝﹣1，∴xM＝﹣．即M，∵＝λ1，＝λ2，∴＝λ1（0﹣x1），x2+＝λ2（0﹣x2），∴λ1+λ2＝﹣2﹣×＝0．4、在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，已知點(diǎn)F（2，0），直線(xiàn)l：x＝﹣2，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，已知，試判斷λ+μ是否為定值？若是，求出該定值；若不是，