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文檔簡介
圓錐曲線焦點弦分比問題焦點弦經(jīng)常在題目中有所提及,其中焦點弦經(jīng)常被某個點分成一定的比例,本節(jié)提供一條焦點弦和兩條焦點弦的相應(yīng)結(jié)論,關(guān)于這些比例有很多優(yōu)美的結(jié)論,掌握這些結(jié)論可以在答題中戰(zhàn)無不勝。一條焦點弦分比問題橢圓的焦點弦所在直線被曲線及短軸直線(y軸)所分比之和為定值直線過橢圓的左焦點,交曲線于A,B,交y軸于點,設(shè),則為定值證明:雙曲線的焦點弦所在直線被曲線及虛軸直線(y軸)所分比之和為定值(只是把橢圓中的,換成)過拋物線的焦點弦所在直線被曲線及頂點處的切線(y軸)所分比之和為定值為1已知焦點在x軸上的橢圓C過點(2,0),且離心率為12(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓C的右焦點F的動直線m,交橢圓C于不同的兩點A,B,交y軸于點M,且MA→=λAF→,MB→=μBF【分析】此題第二問完美符合該結(jié)論,答案比較顯然。【解答】解:(1)焦點在x軸上的橢圓C過點(2,0),則a=2,由e=ca=12得a∴b=a所求橢圓方程為x2(2)由題意可知直線m的斜率存在,設(shè)直線m方程為y=k(x﹣1),聯(lián)立方程得y=k(x?1)x24+y23=1,消去y得(4k2+3)x2因為m過焦點,所以△>0恒成立,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x由MA→=λAF→,MB→∴λ+μ=x已知雙曲線,過右焦點D(2,0)的直線l與該雙曲線的兩支分別交于M,N兩點,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).設(shè)直線l與y軸交于點E,,,證明:λ+μ為定值.【解答】證明:由題意可知直線l的斜率必存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣2),則E(0,﹣2k),∵,,∴,∴,,又點M在雙曲線C上,∴,∴3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2=0,同理3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2=0,∴λ,μ是方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2=0的兩根,∴為定值.已知一動圓M恒過點F(1,0),且總與直線x=﹣1相切.(I)求動圓圓心M的軌跡C的方程;(Ⅱ)過點P(0,2)的直線l與曲線C交于A,B兩點,且直線l與x軸交于點E.設(shè)PA→=λAE→,PB→【分析】本題第二問,由于是拋物線,故可以瞬間秒殺,答案顯然為1【解答】解:(I)∵動圓M過點F(1,0),且與直線l:x=﹣1相切,∴圓心M到F的距離等于到直線l的距離,∴點M的軌跡是以F為焦點,l為準(zhǔn)線的拋物線,且p2=1,∴所求的軌跡方程為y2=4x.(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=kx+2(k≠0),聯(lián)立方程,得y=kx+2y消去y,得k2x2+(4k﹣4)x+4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(?2則x1+xPA→=(xAE→BE→∴(x1,y1﹣2)=λ(?2k?x(x2,y2﹣2)=μ(?2k?x2,﹣得λ=?k則λ+μ=?2把x1+x2=?4k?4k即λ+μ為定值﹣1.練習(xí)題:1.已知直線l:x=my+1過橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F,拋物線:x2=42y的焦點為橢圓C(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)若直線l交y軸于點M,且MA→=λ1AF→,【解答】解:(Ⅰ)由題意知橢圓右焦點F(1,0),∴c=1,拋物線x2=4∴b=2∴a2=b2+c2=3…∴橢圓C的方程x2(Ⅱ)由題意知m≠0,且l與y交于M(0,?1設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+1x23+y22=1,得(2∴y1+y∵M(jìn)A→∴(x1,y1+1m)=λ1∴λ1=?1?1∴λ1+λ2=﹣2?1m(∵1∴λ∴當(dāng)m變化時,λ1+λ2的值是定值,定值為﹣3.2、已知拋物線方程C:y2=2px(p>0),點F為其焦點,點N(3,1)在拋物線C的內(nèi)部,設(shè)點M是拋物線C上的任意一點,|MF(1)求拋物線C的方程;(2)過點F作直線l與拋物線C交于不同兩點A、B,與y軸交于點P,且PF→=λ1FA→=【分析】(1)準(zhǔn)線方程為l:x=?p2,點M到l的距離設(shè)為d,由拋物線定義,|MF(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(xiàn)(1,0),設(shè)l:y=k(x﹣1),則P(0,﹣k),由PF→=λ1FA→=λ2FB→知(1,k)=λ1(x1﹣1,y1)=λ2(x【解答】解:(1)準(zhǔn)線方程為l:x=?p2,點M到l的距離設(shè)為d,由拋物線定義,|MF→|+|MN→|=d+|(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(xiàn)(1,0)由題意知直線l的斜率k存在且不等于0,設(shè)l:y=k(x﹣1),則P(0,﹣k),由PF→=λ1FA→=λ2FB→知(1,k)=λ1(x1﹣1,y1)=λ2(x2﹣1,y2)∴k=λ1y將y=k(x﹣1)代入y2=4x得y2?4ky?4=0,y3、已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點且斜率為1的直線m交拋物線C于A,B兩點,以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為27(1)求拋物線C的方程;(2)過點P(0,2)的直線l交拋物線C于F、G兩點,交x軸于點D,設(shè)PF→=λ1FD→,【分析】(1)直線m的方程為y=x?p2,代入y2=2px,利用韋達(dá)定理,結(jié)合以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為27,求出p(2)設(shè)直線l:y=kx+2與y2=4x,聯(lián)立得k2x2+(4k﹣4)x+4=0,利用韋達(dá)定理,結(jié)合PF→=λ1FD→,【解答】解:(1)由已知:直線m的方程為y=x?p2,代入y2=2得:x2﹣3px+p設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且線段AB的中點為(3p2,p由已知7+9p24解得p=2或p=﹣2(舍去),所以拋物線C的方程為:y2=4x;(2)設(shè)直線l:y=kx+2與y2=4x,聯(lián)立得k2x2+(4k﹣4)x+4=0設(shè)F(x3,y3),G(x4,y4)則xPF→所以λ1則λ1將x3+x4=4?4k即λ1+λ2定值為﹣14、已知拋物線C1:y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為﹣1的直線交拋物線于C,D兩點,若線段CD的中點的縱坐標(biāo)為﹣2(1)求拋物線C1的方程;(2)過點F的直線交拋物線C1于A,B兩不同點,交y軸于點N,已知NA→=λ1AF→,NB→=λ2BF→,則【分析】(1)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),利用“點差法”可得拋物線C1的方程;(2)設(shè)出直線AB聯(lián)立拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,求出λ1+λ2的值,可得結(jié)論.【解答】解:(1)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),∵C,D在拋物線上,y1兩式相減得:y1?y2即2p?4所以2p=4,則拋物線C1的方程為y2=4x;(2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x﹣1),A(x3,y3),B(x4,y4),則N點坐標(biāo)為(0,﹣k),聯(lián)立方程組y2=4xy=k(x?1)并整理得:k2x2﹣(2k2+4)x+則x3+x4=2k2+4k2由NA→=λ1AF→,NB→=λ2BF→得:λ1(1﹣x3)=x3,λ2(1﹣∴λ1=x31?x3∴λ1+λ2=x5、已知橢圓C:+=1(a>b>0)的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它過點(0,1),離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓C的左焦點F作直線l交橢圓C于G,H兩點,交y軸于點M,若,=n,判斷m+n是否為定值,若為定值,請求出該定值,若不是請說明理由.【解答】解:(1)∵橢圓C:+=1(a>b>0)的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它過點(0,1),離心率為,∴,解得a=,b=1,c=2,∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)由(1)得橢圓C的右焦點F(2,0),設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),M(0,y0),由題意得直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入方程+y2=1,得(1+5k2)x2+20k2x+20k2﹣5=0.∴x1+x2=﹣,x1x2=.又=(x1,y1﹣y0),=(x2,y2﹣y0),=(x1﹣2,y1),=(x2﹣2,y2).,∴m=,n=,∴m+n=+=,=,∴m+n=10.兩條焦點弦,比和定值過橢圓上任一點A作兩焦點的焦點弦,AC和AB,其共線向量比之和為定值。即設(shè),,則過雙曲線上任一點A作兩焦點的焦點弦,AC和AB,其共線向量比之和為定值。即設(shè),,則拋物線定值0由于拋物線的開放性,焦點只有一個,故準(zhǔn)線替代了另一個焦點即設(shè),,則通過向量的線性變換,若設(shè),,則依然成立。如圖,A為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一個動點,弦AB,AC分別過焦點F1,F(xiàn)2.當(dāng)AC垂直于(1)求該橢圓的離心率;(2)設(shè)AF1→=λ1F1B→,AF2→【解答】解:(1)當(dāng)AC垂直于x軸時,|AF1|:|AF2|=3:1,由|AF1|+|AF2|=2a,得|AF1|=3a2,|AF2|=a2在Rt△AF1F2中,|AF1|解得e=2(2)由e=22,則ba=a焦點坐標(biāo)為F1(﹣b,0),F(xiàn)2(b,0),則橢圓方程為x2化簡有x2+2y2=2b2.設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),①若直線AC⊥x軸,x0=b,λ2=1,λ∴λ1+λ2=6.②若直線AC的斜率存在,則直線AC方程為y=代入橢圓方程有(3b2﹣2bx0)y2+2by0(x0﹣b)y﹣b2y02=0.由韋達(dá)定理得:y0y所以λ2同理可得λ故λ1+λ2=6bb=6.綜上所述:λ已知A是雙曲線C:(a>0,b>0)上的一個動點,弦AB.AC所在的直線分別過焦點F1、F2,且當(dāng)AB⊥AC時,恰好有或.(1)求雙曲線C的離心率(2)設(shè),,試判斷λ1+λ2是否為定值?若是,求出該定值,若不是,則求出λ1+λ2的取值范圍.【解答】解:(1)不妨設(shè)A在雙曲線右支上,即,∵AB⊥AC,∴△AF1F2為直角三角形,AF1,AF2為兩直角邊,∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2又|AF1|﹣|AF2|=2a,|F1F2|=2c∴===sin∠AF1F2=∴雙曲線C的離心率e=(2)y由(1)可得雙曲線的方程位為:即4x2﹣y2=4a2設(shè)A(x0,y0)B(x1,y1)C(x2,y2)由,可得整理可得,代入到雙曲線整理可得,∵4x02﹣y02=4a2兩式相減整理可得同理可得,λ1+λ2=﹣3已知平面曲線C上任意一點到點F(0,1)和直線y=﹣1的距離相等,過直線y=﹣1上一點P作曲線C的兩條切線,切點分別為A,B.(1)求證:直線AB過定點F;(2)若直線PF交曲線C于D,E兩點,,,求λ+μ的值.【解答】解:(1)∵P到點F(0,1)的距離與到直線l:y=﹣1的距離相等,∴曲線C是以F(0,1)為焦點,直線y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為x2=4y.拋物線方程可化為y=,求導(dǎo)得y′=x,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,∴PA的方程為y﹣y1=(x﹣x1),即x1x﹣2y﹣2y1=0.同理PB的方程為x2x﹣2y﹣2y2=0,∵切線PA,PB均過P(x0,﹣1),∴x1x0+2﹣2y1=0,x2x0+2﹣2y2=0.∴(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x﹣2y+2=0的兩組解,∴直線AB的方程為x0x﹣2y+2=0,∴直線AB過定點F(0,1).(2)設(shè)D,E兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由?x2﹣4kx﹣4=0,x1x2=4k,x1x2=﹣4,∵,,P()得(﹣x1,1﹣y1)=λ(x2,y2﹣1),(﹣﹣x1,﹣1﹣y1)=μ(x2+,y2+1),于是λ=,μ=.所以λ+μ=﹣()=﹣=﹣=0.所以λ+μ為定值0.練習(xí)題:1、過拋物線的焦點F的直線,交拋物線于A,B兩點,交準(zhǔn)線于C點,若,則λ=()A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1【答案】A.2、已知拋物線的頂點在原點,圖象關(guān)于y軸對稱,且拋物線上一點N(m,﹣2)到焦點的距離為6(1)求此拋物線的方程;(2)設(shè)拋物線方程的焦點為F,過焦點F的直線交拋物線于AB兩點,且交準(zhǔn)線l于點M,已知=λ1,=λ2,求λ1+λ2的值.【解答】解:(1)∵拋物線的頂點在原點,圖象關(guān)于y軸對稱,拋物線上一點N(m,﹣2)到焦點的距離為6,∴可設(shè)拋物線的方程為:x2=2py(p<0),∴N(m,﹣2)到準(zhǔn)線的距離為6,即=6,解得:p=﹣8,∴拋物線的方程為:x2=﹣16y,(2)由已知得直線l的斜率一定存在,由拋物線x2=﹣16y的焦點F為(0,﹣4),準(zhǔn)線方程為y=4,所以可設(shè)l:y=kx﹣4,則M點坐標(biāo)為(,4),設(shè)直線l交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),由?x2+16kx﹣64=0∴x1+x2=﹣16k,x1?x2=﹣64,又由=λ1,=λ2,∴(x1﹣,y1﹣4)=λ1(﹣x1,﹣4﹣y1),∴x1﹣=﹣λ1x1,∴即λ1=,同理λ2=,∴λ1+λ2=+==03、過拋物線C:x2=2py(p>0)焦點F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點,交準(zhǔn)線于點M,當(dāng)|AB|=12時,AB的中點到x軸的距離是5.(Ⅰ)求拋物線C的方程;(Ⅱ)已知=λ1,=λ2,求λ1+λ2的值.【解答】解:(I)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=y(tǒng)1+,|BF|=y(tǒng)2+,|AB|=y(tǒng)1+y2+p,AB的中點到x軸的距離是5,∴=5,∴y1+y2=10,10+p=12,解得p=2.∴x2=4y.(II)由題意可得:直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)為:y=kx+1(k≠0),聯(lián)立,化為:x2﹣4kx﹣4=0,則△=16k2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=﹣4,M在直線y=kx+1上,且yM=﹣1,∴xM=﹣.即M,∵=λ1,=λ2,∴=λ1(0﹣x1),x2+=λ2(0﹣x2),∴λ1+λ2=﹣2﹣×=0.4、在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi),已知點F(2,0),直線l:x=﹣2,P為平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為點Q,且.(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線l于點M,已知,試判斷λ+μ是否為定值?若是,求出該定值;若不是,
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