圓錐曲線二級結(jié)論焦點弦分比問題（教師版）

圓錐曲線焦點弦分比問題焦點弦經(jīng)常在題目中有所提及，其中焦點弦經(jīng)常被某個點分成一定的比例，本節(jié)提供一條焦點弦和兩條焦點弦的相應(yīng)結(jié)論，關(guān)于這些比例有很多優(yōu)美的結(jié)論，掌握這些結(jié)論可以在答題中戰(zhàn)無不勝。一條焦點弦分比問題橢圓的焦點弦所在直線被曲線及短軸直線（y軸）所分比之和為定值直線過橢圓的左焦點，交曲線于A，B，交y軸于點，設(shè)，則為定值證明：雙曲線的焦點弦所在直線被曲線及虛軸直線（y軸）所分比之和為定值（只是把橢圓中的，換成）過拋物線的焦點弦所在直線被曲線及頂點處的切線（y軸）所分比之和為定值為1已知焦點在x軸上的橢圓C過點（2，0），且離心率為12（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點F的動直線m，交橢圓C于不同的兩點A，B，交y軸于點M，且MA→=λAF→，MB→=μBF【分析】此題第二問完美符合該結(jié)論，答案比較顯然?！窘獯稹拷猓海?）焦點在x軸上的橢圓C過點（2，0），則a＝2，由e=ca=12得a∴b=a所求橢圓方程為x2（2）由題意可知直線m的斜率存在，設(shè)直線m方程為y＝k（x﹣1），聯(lián)立方程得y=k(x?1)x24+y23=1，消去y得（4k2+3）x2因為m過焦點，所以△＞0恒成立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x由MA→=λAF→，MB→∴λ+μ=x已知雙曲線，過右焦點D（2，0）的直線l與該雙曲線的兩支分別交于M，N兩點，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．設(shè)直線l與y軸交于點E，，，證明：λ+μ為定值．【解答】證明：由題意可知直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2），則E（0，﹣2k），∵，，∴，∴，，又點M在雙曲線C上，∴，∴3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2＝0，同理3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2＝0，∴λ，μ是方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的兩根，∴為定值．已知一動圓M恒過點F（1，0），且總與直線x＝﹣1相切．（I）求動圓圓心M的軌跡C的方程；（Ⅱ）過點P（0，2）的直線l與曲線C交于A，B兩點，且直線l與x軸交于點E．設(shè)PA→=λAE→，PB→【分析】本題第二問，由于是拋物線，故可以瞬間秒殺，答案顯然為1【解答】解：（I）∵動圓M過點F（1，0），且與直線l：x＝﹣1相切，∴圓心M到F的距離等于到直線l的距離，∴點M的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線，且p2=1，∴所求的軌跡方程為y2＝4x．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y＝kx+2（k≠0），聯(lián)立方程，得y=kx+2y消去y，得k2x2+（4k﹣4）x+4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），E（?2則x1+xPA→=(xAE→BE→∴（x1，y1﹣2）＝λ（?2k?x（x2，y2﹣2）＝μ（?2k?x2，﹣得λ=?k則λ+μ=?2把x1+x2=?4k?4k即λ+μ為定值﹣1．練習(xí)題：1.已知直線l：x＝my+1過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點F，拋物線：x2＝42y的焦點為橢圓C（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且MA→=λ1AF→，【解答】解：（Ⅰ）由題意知橢圓右焦點F（1，0），∴c＝1，拋物線x2=4∴b=2∴a2＝b2+c2＝3…∴橢圓C的方程x2（Ⅱ）由題意知m≠0，且l與y交于M（0，?1設(shè)直線l交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+1x23+y22=1，得（2∴y1+y∵M(jìn)A→∴（x1，y1+1m）＝λ1∴λ1=?1?1∴λ1+λ2＝﹣2?1m（∵1∴λ∴當(dāng)m變化時，λ1+λ2的值是定值，定值為﹣3．2、已知拋物線方程C：y2＝2px（p＞0），點F為其焦點，點N（3，1）在拋物線C的內(nèi)部，設(shè)點M是拋物線C上的任意一點，|MF（1）求拋物線C的方程；（2）過點F作直線l與拋物線C交于不同兩點A、B，與y軸交于點P，且PF→=λ1FA→=【分析】（1）準(zhǔn)線方程為l：x=?p2，點M到l的距離設(shè)為d，由拋物線定義，|MF（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（1，0），設(shè)l：y＝k（x﹣1），則P（0，﹣k），由PF→=λ1FA→=λ2FB→知（1，k）＝λ1（x1﹣1，y1）＝λ2（x【解答】解：（1）準(zhǔn)線方程為l：x=?p2，點M到l的距離設(shè)為d，由拋物線定義，|MF→|+|MN→|=d+|（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（1，0）由題意知直線l的斜率k存在且不等于0，設(shè)l：y＝k（x﹣1），則P（0，﹣k），由PF→=λ1FA→=λ2FB→知（1，k）＝λ1（x1﹣1，y1）＝λ2（x2﹣1，y2）∴k＝λ1y將y＝k（x﹣1）代入y2＝4x得y2?4ky?4=0，y3、已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），過焦點且斜率為1的直線m交拋物線C于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為27（1）求拋物線C的方程；（2）過點P（0，2）的直線l交拋物線C于F、G兩點，交x軸于點D，設(shè)PF→=λ1FD→，【分析】（1）直線m的方程為y＝x?p2，代入y2＝2px，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為27，求出p（2）設(shè)直線l：y＝kx+2與y2＝4x，聯(lián)立得k2x2+（4k﹣4）x+4＝0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合PF→=λ1FD→，【解答】解：（1）由已知：直線m的方程為y＝x?p2，代入y2＝2得：x2﹣3px+p設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝3p，|AB|＝x1+x2+p＝4p且線段AB的中點為（3p2，p由已知7+9p24解得p＝2或p＝﹣2（舍去），所以拋物線C的方程為：y2＝4x；（2）設(shè)直線l：y＝kx+2與y2＝4x，聯(lián)立得k2x2+（4k﹣4）x+4＝0設(shè)F（x3，y3），G（x4，y4）則xPF→所以λ1則λ1將x3+x4=4?4k即λ1+λ2定值為﹣14、已知拋物線C1：y2＝2px（p＞0），過其焦點且斜率為﹣1的直線交拋物線于C，D兩點，若線段CD的中點的縱坐標(biāo)為﹣2（1）求拋物線C1的方程；（2）過點F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知NA→=λ1AF→，NB→=λ2BF→，則【分析】（1）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），利用“點差法”可得拋物線C1的方程；（2）設(shè)出直線AB聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求出λ1+λ2的值，可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），∵C，D在拋物線上，y1兩式相減得：y1?y2即2p?4所以2p＝4，則拋物線C1的方程為y2＝4x；（2）設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣1），A（x3，y3），B（x4，y4），則N點坐標(biāo)為（0，﹣k），聯(lián)立方程組y2=4xy=k(x?1)并整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+則x3+x4=2k2+4k2由NA→=λ1AF→，NB→=λ2BF→得：λ1（1﹣x3）＝x3，λ2（1﹣∴λ1=x31?x3∴λ1+λ2=x5、已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它過點（0，1），離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的左焦點F作直線l交橢圓C于G，H兩點，交y軸于點M，若，＝n，判斷m+n是否為定值，若為定值，請求出該定值，若不是請說明理由．【解答】解：（1）∵橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它過點（0，1），離心率為，∴，解得a＝，b＝1，c＝2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1．（2）由（1）得橢圓C的右焦點F（2，0），設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），M（0，y0），由題意得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），代入方程+y2＝1，得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5＝0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．又＝（x1，y1﹣y0），＝（x2，y2﹣y0），＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2）．，∴m＝，n＝，∴m+n＝+＝，＝，∴m+n＝10．兩條焦點弦，比和定值過橢圓上任一點A作兩焦點的焦點弦，AC和AB，其共線向量比之和為定值。即設(shè)，，則過雙曲線上任一點A作兩焦點的焦點弦，AC和AB，其共線向量比之和為定值。即設(shè)，，則拋物線定值0由于拋物線的開放性，焦點只有一個，故準(zhǔn)線替代了另一個焦點即設(shè),，則通過向量的線性變換，若設(shè),，則依然成立。如圖，A為橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB，AC分別過焦點F1，F(xiàn)2．當(dāng)AC垂直于（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)AF1→=λ1F1B→，AF2→【解答】解：（1）當(dāng)AC垂直于x軸時，|AF1|：|AF2|＝3：1，由|AF1|+|AF2|＝2a，得|AF1|=3a2，|AF2|=a2在Rt△AF1F2中，|AF1|解得e=2（2）由e=22，則ba=a焦點坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），則橢圓方程為x2化簡有x2+2y2＝2b2．設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直線AC⊥x軸，x0＝b，λ2＝1，λ∴λ1+λ2＝6．②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為y=代入橢圓方程有（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02＝0．由韋達(dá)定理得：y0y所以λ2同理可得λ故λ1+λ2=6bb=6．綜上所述：λ已知A是雙曲線C：（a＞0，b＞0）上的一個動點，弦AB．AC所在的直線分別過焦點F1、F2，且當(dāng)AB⊥AC時，恰好有或．（1）求雙曲線C的離心率（2）設(shè)，，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，則求出λ1+λ2的取值范圍．【解答】解：（1）不妨設(shè)A在雙曲線右支上，即，∵AB⊥AC，∴△AF1F2為直角三角形，AF1，AF2為兩直角邊，∴|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2又|AF1|﹣|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴＝＝＝sin∠AF1F2＝∴雙曲線C的離心率e＝（2）y由（1）可得雙曲線的方程位為：即4x2﹣y2＝4a2設(shè)A（x0，y0）B（x1，y1）C（x2，y2）由，可得整理可得，代入到雙曲線整理可得，∵4x02﹣y02＝4a2兩式相減整理可得同理可得，λ1+λ2＝﹣3已知平面曲線C上任意一點到點F（0，1）和直線y＝﹣1的距離相等，過直線y＝﹣1上一點P作曲線C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）求證：直線AB過定點F；（2）若直線PF交曲線C于D，E兩點，，，求λ+μ的值．【解答】解：（1）∵P到點F（0，1）的距離與到直線l：y＝﹣1的距離相等，∴曲線C是以F（0，1）為焦點，直線y＝﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2＝4y．拋物線方程可化為y＝，求導(dǎo)得y′＝x，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，∴PA的方程為y﹣y1＝（x﹣x1），即x1x﹣2y﹣2y1＝0．同理PB的方程為x2x﹣2y﹣2y2＝0，∵切線PA，PB均過P（x0，﹣1），∴x1x0+2﹣2y1＝0，x2x0+2﹣2y2＝0．∴（x1，y1），（x2，y2）為方程x0x﹣2y+2＝0的兩組解，∴直線AB的方程為x0x﹣2y+2＝0，∴直線AB過定點F（0，1）．（2）設(shè)D，E兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），由?x2﹣4kx﹣4＝0，x1x2＝4k，x1x2＝﹣4，∵，，P（）得（﹣x1，1﹣y1）＝λ（x2，y2﹣1），（﹣﹣x1，﹣1﹣y1）＝μ（x2+，y2+1），于是λ＝，μ＝．所以λ+μ＝﹣（）＝﹣＝﹣＝0．所以λ+μ為定值0．練習(xí)題：1、過拋物線的焦點F的直線，交拋物線于A，B兩點，交準(zhǔn)線于C點，若，則λ＝（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【答案】A．2、已知拋物線的頂點在原點，圖象關(guān)于y軸對稱，且拋物線上一點N（m，﹣2）到焦點的距離為6（1）求此拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線方程的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于AB兩點，且交準(zhǔn)線l于點M，已知＝λ1，＝λ2，求λ1+λ2的值．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點在原點，圖象關(guān)于y軸對稱，拋物線上一點N（m，﹣2）到焦點的距離為6，∴可設(shè)拋物線的方程為：x2＝2py（p＜0），∴N（m，﹣2）到準(zhǔn)線的距離為6，即＝6，解得：p＝﹣8，∴拋物線的方程為：x2＝﹣16y，（2）由已知得直線l的斜率一定存在，由拋物線x2＝﹣16y的焦點F為（0，﹣4），準(zhǔn)線方程為y＝4，所以可設(shè)l：y＝kx﹣4，則M點坐標(biāo)為（，4），設(shè)直線l交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），由?x2+16kx﹣64＝0∴x1+x2＝﹣16k，x1?x2＝﹣64，又由＝λ1，＝λ2，∴（x1﹣，y1﹣4）＝λ1（﹣x1，﹣4﹣y1），∴x1﹣＝﹣λ1x1，∴即λ1＝，同理λ2＝，∴λ1+λ2＝+＝＝03、過拋物線C：x2＝2py（p＞0）焦點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，交準(zhǔn)線于點M，當(dāng)|AB|＝12時，AB的中點到x軸的距離是5．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）已知＝λ1，＝λ2，求λ1+λ2的值．【解答】解：（I）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AF|＝y(tǒng)1+，|BF|＝y(tǒng)2+，|AB|＝y(tǒng)1+y2+p，AB的中點到x軸的距離是5，∴＝5，∴y1+y2＝10，10+p＝12，解得p＝2．∴x2＝4y．（II）由題意可得：直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)為：y＝kx+1（k≠0），聯(lián)立，化為：x2﹣4kx﹣4＝0，則△＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，M在直線y＝kx+1上，且yM＝﹣1，∴xM＝﹣．即M，∵＝λ1，＝λ2，∴＝λ1（0﹣x1），x2+＝λ2（0﹣x2），∴λ1+λ2＝﹣2﹣×＝0．4、在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，已知點F（2，0），直線l：x＝﹣2，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且．（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線l于點M，已知，試判斷λ+μ是否為定值？若是，求出該定值；若不是，