2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-1同步練習(xí)：第3章空間向量與立體幾何3.2.1

第三章3.23.2.1基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)A一1=a,A1D1=b,A1A=c,則下列向量中與B1〃相等的向量是? 1,1,A.-2a十2b十cc1/一B，2a+2b+cC，2a—2b+c［答案］A［解析］B1M=B1A1+A1A+AM一,一,1f=—A1B1+A1A+2AC一一1一1一=-A1B1+A1A+2A1B1+2A1D1=-2a+1b+c.若OC=2AB，則C的坐標(biāo)是2．已知A(3,-2,4),B(0,5,A．(2,-134B．(－214,-10)C．(2,-14-1?)D．(－2143,［答案］B［解析］:AB=(—3,7,-5),14T-10)..一2 14T-10).，OC=3(—3,7,-5)=1—2故選B.3.點(diǎn)A(-3,1,5),B(4,3,1)的中點(diǎn)坐標(biāo)是A.［7,1,-2B.(12,C.(-12,3,5)D.(143,-2［答案］B［解析］由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得B.-2-1)，b=(2,0,4),則異面直線11與4.若異面直線11-2-1)，b=(2,0,4),則異面直線11與B.5D.［答案］B［解析］a?b=-4,Ia1=,,Ibl=245,cos3=lcos〈a?b〉a，b=麗一4102cos3=lcos〈a?b〉a，b=麗一41025.5.已知a,b是異面直線，A,B￡a,C,D￡b,AC±b,BD±b且AB=2,CD=1,則a與b所成的角是A.30°60°［答案］CB.45°90°［解析］直線a,b的方向向量分別為AB,CD,;AB=AC+CD+DB,，AB?CD=AC?C.D+CD2+DB?CD,即2X1Xcos〈,4B,CD〉=1,二.cos〈AB,CD〉=2即〈AB,CD〉=60°.故選C.6.一質(zhì)點(diǎn)從(1,1,1)出發(fā)，作勻速直線運(yùn)動(dòng)，每秒鐘的速度為v=(1,2,3),2秒鐘后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為A.(3,5,7) B.(2,4,6)C.(3,5,8) D.(5,3,7)［答案］A［解析］2秒鐘后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為(1,1,1)+2v=(1,1,1)+2(1,2,3)=(3,5,7).二、填空題.已知直線l的方向向量v=(2,—1,3),且過A(0,y,3)和B(-1,2,z)兩點(diǎn)，則y=33［答案］22［解析］因?yàn)锳B=(—1,2—y,z13),AB〃v，故~^==_：=3口—3—3故y=2,z=2*.設(shè)O為空間任意一點(diǎn)，a,b為不共線向量，OA=a,OB=b,OC=ma+nb(m,n￡R),若A、B、C三點(diǎn)共線，則m、n滿足 .［答案］m+n=1［解析］:A、B、C三點(diǎn)共線，...由共線向量定理的推論可知，OC=OA+tABf.ff=OA+1(OB—OA)=(1—t)()A+O=(1—t)a+tb.，m=1—t,n=t./.m+n=1—t+1=1.三、解答題9.已知A(1,—2,3),B(2,1,—1)兩點(diǎn)，求AB連線與三坐標(biāo)平面的交點(diǎn)坐標(biāo).［解析］設(shè)AB連線與平面yOz的交點(diǎn)為P1(0,y1,Z1),與平面1Oz的交點(diǎn)為P2(x2,0,z2),與平面xOy的交點(diǎn)為P3(x3,y30).由直線的向量參數(shù)方程，得直線AB的參數(shù)方程OP=(1—t)OA+tOB,即OP=(1—t)(OA+tOB=(1—t)(1,—2,3)+1(2,1,—1)=(1+1,—2+31,3—41).將p1(0,y1,。)代入，0=1+1,得4y1=—2+31,、z1=3—41,y=—5,解得］；i=7 即P1(0,—5,7),同理，可求得P2(3,0,1),P3(7,4,0).二.AB的連線與三個(gè)坐標(biāo)平面的交點(diǎn)分別為P1(0,—5,7),P2(3,0,1),P3(4,4,0).一、選擇題1.在正方體AC1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關(guān)系是B.平行直線DB.平行直線D.垂直且相交C.垂直不相交［答案］B［解析］取D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系后，DA1=(1,0,1),AC=(—1,1,0),_> a+c=0設(shè)PQ=(a,b,c)，則(—a+b=0,——取PQ=(1,1,—1).二BD1=(0,0,1)—(1,1,0)=(—1,—1,1)=—PQ,：.PQ〃BBD］,，PQ〃BD1..兩條不重合直線11和12的方向向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(—2,0,2),則直線11和12的位置關(guān)系是A.平行 B.相交C.垂直 D.不確定［答案］A［解析］v2=—2v1,：11與12平行..已知線段AB的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則線段AB與哪個(gè)坐標(biāo)平面平行A．xOy B．xOzC.yOz D.xOy或yOz［答案］C［解析］AB=(0,5,—3),則AB在平面yOz上，則線段AB與平面yOz平行..設(shè)｛i,j，局是單位正交基底，已知向量p在基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i，則向量p在基底｛i,j,k｝下的坐標(biāo)是A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)［答案］A［解析］依題意知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(/+k)+4(k+i)=12i+14/+10k,故向量p在基底｛i,j,k｝下的坐標(biāo)是(12,14,10).

二、填空題.已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0,1,0）、（一1,0,—1）、（2,1,1）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X,0,z）,若PA±AB,PA±AC,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為［答案］(—1,0,2)［解析］由已知，AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),P=(-X,1,-z),PA?AiB=0 fx-1+z=0 fx=-1由彳 ，得《c_n，解得f—C〔PA?AC=0 I-2X-z=0 Iz=2，P(-1,0,2)..(2019?浙江理，13)如圖，在三棱錐A—BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別為AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是7［答案］O8［解析］如圖，連接DN,取DN中點(diǎn)P,連接PM,PC,則可知NPMC即為異面直線AN,CM所成角（或其補(bǔ)角）易得PM=2AN='■..,2,PC=P2+CN2="...'2+1=\5,CM=\:AC2—AM2=2\''2,8+8+2-3 7…/PMC=2X2-..,'2X%=8即異面直線AN,CM所成角的余弦值為7.8.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,—5),若點(diǎn)P(x,—1,3)在平面ABC內(nèi)，則x=，［答案］11［解析］AiB=(-2,2-2),AiC=(-1,6,-8),AiP=(x-4,-2,0).因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則存有一對(duì)實(shí)數(shù)九〃，使得AP=AAB+pAC.

故＜—2=2A+6口, 解得x=11.、0=—2A—8〃.三、解答題.如圖，點(diǎn)O是正△ABC平面外一點(diǎn)，若OA=OB=OC=AB=1,E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)，試求OE與BF所成角的余弦.［解析］設(shè)O&A=a,(OB=b,(JC=c，則a?b=b-c=c-a=|,Ia1=1b1=1c1=1,OE-BF=2(a+b)-(2c—b=ld+=ld+2b-c—a-b—Ibl21-2-1-4+■

弓

1-2=二.cos〈(JE二.cos〈(JE,BF〉1―-T 一OE-BF 2 _2iOE|.|BFi吏x近 32x22二OE與BF所成角的余弦為3.9.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E,F分別是B1C1，A1A的中點(diǎn)，求證：A1E〃平面［解析］設(shè)(2A=a,Cb=b,CC1=c，則A^E=aR1+^C^B1=—a+|b,&=Ca+；AA1=a+2c,CB1=&+BB1=b+c.設(shè)存有實(shí)