8.1二分法與求方程近似解

【考點梳理】考點一：函數的零點對于函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．方程、函數、圖象之間的關系：方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)有零點?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點．考點二：函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．考點三：二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．由函數的零點與相應方程根的關系，可用二分法來求方程的近似解．考點四：用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟1．確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0.2．求區(qū)間(a，b)的中點c.3．計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點；(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.4．判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷．【題型歸納】題型一：函數零點存在定理1．（2022上·甘肅·高一統考期中）的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數單調性及函數零點存在性定理求解.【詳解】因為在上單調遞增，且，所以函數零點所在區(qū)間為.故選：C2．（2023上·甘肅定西·高一統考期末）已知是函數的一個零點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，由條件可得函數單調遞減，再由零點存在定理即可得到結果.【詳解】函數在區(qū)間上單調遞減，函數在區(qū)間上單調遞減，故函數在區(qū)間上單調遞減，又，.故選：B3．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┤羰呛瘮档牧泓c，則屬于區(qū)間（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意是函數的解，根據指數函數和冪函數的增減性進行解答即可.【詳解】由題意，根據指數函數和冪函數的性質，可得，所以，即.又為上的減函數，由零點存在定理，可得函數有且只有一個零點且零點.故選：B．當時，只需滿足，解得：.故選：C題型二：函數的零點區(qū)間求參數問題4．（2023上·江蘇南通·高一統考階段練習）已知函數在上有且只有一個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮求出的取值范圍，再考慮特殊情況和，分別求出零點對比是否在有一個零點在區(qū)間內，最后綜合得到答案即可.【詳解】①當時在上有且只有一個零點，此時，解得；②當時解得，此時函數兩個零點為和均不在區(qū)間內，矛盾；③當時解得，此時函數只有一個零點為不在區(qū)間內，矛盾，綜上可知，故選：D5．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┖瘮翟趨^(qū)間上存在零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據零點存在定理即可得，解出實數的取值范圍為.【詳解】由零點存在定理可知，若函數在區(qū)間上存在零點，顯然函數為增函數，只需滿足，即，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D6．（2022上·高一單元測試）已知函數，若恰有兩個零點，則正數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分段函數，分段判斷函數的零點，以及零點個數，即可求正數的取值范圍.【詳解】當時，，得成立，因為函數恰有兩個零點，所以時，有1個實數根，顯然a小于等于0，不合要求，題型三：函數的零點個數求參數問題7．（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？计谥校┮阎瘮?，若關于的方程有四個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析給定分段函數的性質，變形方程并結合圖形求出的范圍即可.【詳解】當時，函數單調遞增，函數取值集合是，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，函數取值集合是，方程，化為，解得或，如圖，觀察圖象知，的解，即函數的圖象與直線交點的橫坐標，顯然方程只有一個解，要原方程有四個不同的實數根，當且僅當有3個不同的實根，因此直線與函數的圖象有3個公共點，則，所以實數的取值范圍為.故選：D8．（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中學校考期中）若關于x的方程有兩個不等的實數解，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得與的圖象有兩個交點，畫出的圖象如圖，結合圖象可得出答案.【詳解】關于x的方程有兩個不等的實數解，即與的圖象有兩個交點，畫出的圖象如圖，由圖象可得：.故選：A.題型四：求函數零點或者方程根的個數問題9．（2023上·安徽淮北·高一淮北市實驗高級中學?？计谀┮阎瘮?，若的零點個數為2，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出的圖象，令，利用數形結合思想即可求解的范圍.【詳解】由題知，函數，作出的圖象，利用數形結合思想可知：當時，與有兩個交點.故選：B.10．（2023上·北京·高一北京四中?？计谥校┮阎瘮?，若關于x的方程有兩個不同的實數根，那么實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出的圖像，數形結合討論的取值范圍.【詳解】因為在上單調遞減，單調遞增，所以時，在上有最小值為，且，因為在上單調遞增，單調遞減，所以時，在上有最大值為，所以函數圖像如圖所示：所以關于的方程有兩個解的的范圍為.故選：.11．（2023上·北京海淀·高一首都師范大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?，若方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉化為與的圖象有2個不同的交點，結合圖象可得答案.【詳解】函數的圖象如下圖，方程有且只有兩個不相等的實數根可看作的圖象與的圖象有2個不同的交點，可得.故選：A.12．（2023·四川雅安·統考一模）已知函數，則函數的零點個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設，設，根據已知作出函數的圖象，結合零點存在定理以及函數的增長速度的快慢，即可得出答案.【詳解】設，設，則.又，所以1是函數的一個零點；因為，，所以，.又，，所以，.根據零點的存在定理，可知，，使得，即是函數的一個零點；因為，，所以，.又，，所以，.根據零點的存在定理，可知，，使得，即是函數的一個零點.結合函數圖象以及的增長速度可知，當或時，函數沒有零點.綜上所述，函數的零點為1，，，共3個零點.故選：C.題型五：比較零點大小問題13．（2023上·廣東江門·高一統考期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數的零點，轉化為函數的圖象分別與函數、、的圖象交點的橫坐標，利用數形結合法求解．【詳解】解：函數，，的零點，即為函數分別與函數、、的圖象交點的橫坐標，如圖所示：由圖可得.故選：B14．（2023上·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎?，，滿足，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數對數函數圖像數形結合即可得到，，的大小關系.【詳解】在同一平面直角坐標系內作出的圖像過點；過點；過點；過點，則與圖像交點橫坐標依次增大，又與圖像交點橫坐標分別為，則.故選：C15．（2022上·貴州黔東南·高二凱里一中校考階段練習）設，，，則、、的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零點存在定理計算出、的取值范圍，利用對數函數的單調性可得出，即可得出、、的大小關系.【詳解】構造函數，因為函數、在上均為增函數，所以，函數為上的增函數，且，，因為，由零點存在定理可知；構造函數，因為函數、在上均為增函數，所以，函數為上的增函數，且，，因為，由零點存在定理可知.因為，則，因此，.故選：B.題型六：零點之和問題16．（2023上·山東泰安·高一統考期中）已知函數，方程有三個解，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】變換得到，設，確定函數為奇函數，得到，，計算得到答案.【詳解】，，即，即，設，函數定義域為，，函數為奇函數，，不妨取，則，，.故選：B.17．（2023上·四川涼山·高一統考期末）函數，則函數的所有零點之和為（）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根據，求得或，再根據和，結合分段函數的解析式，即可求解.【詳解】令，由得或，所以或，當時，或，當時，則或，解得，所以函數的所有零點之和為.故選：D.18．（2022上·河北邢臺·高一邢臺市第二中學?？计谀┮阎瘮担舴匠逃兴膫€不同的解且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意作函數與的圖象，從而可得，，從而得到結果.【詳解】由題意作函數與的圖象，∵方程有四個不同的解且，∴關于對稱，即，當得或，則，由題知，，故，所以，故，因為，設，則由對勾函數的性質可知，在單調遞增，所以，的取值范圍是故選：B.題型七：用二分法求函數f(x)零點近似值19．（2023上·廣西·高一校聯考階段練習）新課程互助學習小組在學習二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解時，經過兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，先求出的符號，根據二分法結合零點存在定理，即可得出答案.【詳解】令，可知，.又，則，所以，根據二分法結合零點存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.又，所以，根據二分法結合零點存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.故選：B.20．（2023上·四川成都·高一石室中學?？计谥校┰O函數，用二分法求方程在內的近似解的過程中，計算得，則下列必有方程的根的區(qū)間為（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】利用零點存在性定理及二分法的相關知識即可判斷.【詳解】顯然函數在上是連續(xù)不斷的曲線，由于，所以，由零點存在性定理可得：的零點所在區(qū)間為，所以方程在區(qū)間內一定有根.故選：C.21．（2023上·全國·高一專題練習）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：那么方程的一個近似根(精確度為)可以是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由零點存在性定理結合二分法的定義即可得出答案.【詳解】由表格可得，函數的零點在之間．結合選項可知，方程的一個近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選：C.題型八：函數與方程的綜合問題22．（2023上·北京西城·高一北師大二附中?？计谥校┮阎瘮禐槎魏瘮?，的圖象過點，對稱軸為，函數在R上最小值為.(1)求的解析式；(2)當，時，求函數的最小值（用m表示）；(3)若函數在上只有一個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）設出函數的解析式，結合函數的對稱軸以及函數最值，求出函數的解析式即可；（2）通過討論的范圍，求出函數的單調區(qū)間，求出函數的最小值即可；（3）根據一元二次方程根的分布，結合零點存在性定理得到關于的不等式，解出即可．【詳解】（1）設函數，由對稱軸為，函數在R上最小值為可得得，將代入得：，故；（2）的對稱軸為，時，在,遞減，，時，在,遞減，在,遞增，故，時，在,遞增，故；綜上，；（3）在上只有一個零點，當時，即，解得或當時，，不滿足題意，舍去，當時，，滿足題意，當時，當，解得，此時在上只有一個零點，由于，當時，此時，此時，解得或（舍去），滿足條件，綜上可得，綜上：的取值范圍是．23．（2023上·北京西城·高一北京育才學校?？计谥校┖瘮?，其中.(1)若，求函數在區(qū)間上的值域；(2)若函數有兩個正數零點，，（i）求的取值范圍；（ii）求的最小值以及取到最小值時的值.【答案】(1)；(2)（i），（ii）時的最小值為4.【分析】（1）根據二次函數性質求在已知區(qū)間上的最值，即可得值域；（2）（i）由二次函數根的分布列不等式組求參數范圍；（ii）應用根與系數關系得，結合基本不等式求最小值，進而確定的值，結合即可得的值.【詳解】（1）由題設，故最小值為，又開口向上且對稱軸為，則上最大值，綜上，函數在區(qū)間上的值域為.（2）由函數有兩個正數零點，，（i）所以，則.（ii），則，當且僅當時等號成立，故的最小值為4，此時.24．（2023上·四川成都·高一石室中學校考期中）已知函數（，且）過定點A，且點A在函數，的圖象上．(1)求函數的解析式；(2)若定義在上的函數恰有一個零點，求實數k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）把定點A代入函數的解析式求出的值即可；（2）問題等價于在上恰有一個零點，根據函數零點的定義，結合二次函數的性質進行求解即可；【詳解】（1）函數（，且）過定點，函數的圖象過點，即，解得，函數的解析式為.（2）函數定義在上，在上恒成立，可得，令，得，設，函數在上恰有一個零點，等價于在上恰有一個零點，函數圖像拋物線開口向上，對稱軸，若，無解，不成立；若，解得，滿足題意；若，無解，不成立；若，解得，滿足題意.所以實數k的取值范圍為.【雙基達標】單選題25．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一?？茧A段練習）小胡同學用二分法求函數在內近似解的過程中，由計算可得，，，則小胡同學在下次應計算的函數值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二分法的計算方法即可判斷.【詳解】因為，，，則根應該落在區(qū)間內，根據二分法的計算方法，下次應計算的函數值為區(qū)間中點函數值，即.故選：D.26．（2023上·北京西城·高一北師大二附中校考期中）已知函數有三個零點，則實數m的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用常變量分離法，結合數形給思想進行判斷即可.【詳解】令，顯然有且且，于是有，設，它的圖象如下圖所示：因此要想函數有三個零點，只需，故選：A【點睛】方法點睛：解決函數零點個數問題一般的方法就是讓函數值為零，然后進行常變量分離，利用數形結合思想進行求解.27．（2023上·江蘇宿遷·高一統考期中）已知二次函數的兩個零點都在區(qū)間內，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次函數的性質得到關于的不等式組，求解即可.【詳解】設，因為二次函數的兩個零點都在區(qū)間內，所以，則，即，故實數的取值范圍是：.故選：C.28．（2023上·重慶·高一重慶八中?？茧A段練習）函數的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，由零點存在定理，代入計算，即可判斷.【詳解】函數是定義域上的增函數，又，，所以，所以函數的零點所在區(qū)間為.故選：B.29．（2023上·山東青島·高一青島二中?？计谥校┮阎?，．(1)關于x的方程有兩個正根，求實數a的取值范圍；(2)解不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）方程有兩個正根，，解得答案.（2）考慮，，三種情況，根據對應方程的根的關系得到不等式的解.【詳解】（1）方程有兩個正根，設為，，則，解得.（2）①當時，不等式可化為，故；當時，設方程的兩根為、，則，，，②若，則，，故或，③若，（i）當，即時，，故，（ii）當，即時，不等式無解．綜上所述：當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為或．30．（2023上·廣東佛山·高一?？计谥校┮阎瘮担?1)若，作出的函數圖象并求的單調遞減區(qū)間；(2)討論關于的方程的解的個數．【答案】(1)圖象見解析；單調遞減區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）根據函數解析式可作出函數圖象，結合圖象可得單調區(qū)間；（2）將問題轉化為與交點個數的討論問題，采用數形結合的方式可求得結果.【詳解】（1）當時，，由此可作出圖象如下圖所示，結合圖象可知：的單調遞減區(qū)間為.（2）當時，，是方程的一個解；由得：，令，則方程解的個數即為與的交點個數，作出圖象如下圖所示，結合圖象可知：當時，與有兩個不同交點；當時，與有四個不同交點；當時，與無交點；綜上所述：當時，方程有三個解；當時，方程有五個解；當時，方程有唯一解.【高分突破】一、單選題31．（2023上·云南昆明·高一昆明八中?？计谥校┮阎?，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，分類討論的范圍，再結合基本不等式即可得到的范圍.【詳解】因為函數，若，不妨設，當時，由，可得，即，不成立；當時，由，可得，即，不成立；當時，由，可得，則，所以，即，當且僅當時，等號成立，且，所以等號取不到，則.故選：A32．（2023上·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O，用二分法求方程在內近似解的過程中得，則下列必有方程的根的區(qū)間為（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據零點存在定理判斷．【詳解】由題可知函數為增函數，結合零點存在定理知在區(qū)間上必有根．故選：C．33．（2023上·浙江杭州·高一校聯考期中）已知，若滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出函數圖像，，設，得到，利用均值不等式計算得到答案.【詳解】，畫出函數圖像，如圖所示，設，則，，，，，當且僅當，即時等號成立，故，故選：C.34．（2023上·浙江杭州·高一校聯考期中）下列方程中不能用二分法求近似解的為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二分法的定義一一判定即可.【詳解】根據二分法的要求，在上，有才能用二分法，對于A，顯然在定義域上單調遞增，且，可以使用二分法，故A錯誤；對于B，在定義域上連續(xù)，有，可以使用二分法，故B錯誤；對于C，在定義域上連續(xù)，且有，可以使用二分法，故C錯誤；對于D，，且只有一個零點，故不可以使用二分法，故D正確.故選：D35．（2023上·遼寧沈陽·高一遼寧實驗中學?？计谥校┮阎瘮档亩x域為，且為奇函數，當時，，則的所有零點之和為（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先由為奇函數，推出關于對稱，則，進而求出的解析式，則的解析式可求，解出根即可.【詳解】因為為奇函數，所以關于對稱，則關于對稱，即，當時，，當時，，則，所以，則，因為，則或，解得或，所以.故選：A36．（2023上·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校┮阎亩x域為，且是奇函數，當時，，函數，則方程的所有的根之和為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據的定義域為，且是奇函數，得到的圖象關于對稱，且，再根據的圖象也關于對稱，畫出兩個函數的圖象，利用數形結合法求解.【詳解】解：因為的定義域為，且是奇函數，所以，則的圖象關于對稱，且，當時，，又因為函數，所以的圖象關于對稱，所以方程的所有的根之和即為兩個函數圖象交點的橫坐標和，和的圖象，如圖所示：由圖象知：和的圖象有5個交點，其中一個交點的橫坐標為1，另外四個，兩兩分別關于對稱，所以5個交點的橫坐標之和為，故選：C二、多選題37．（2023上·湖北十堰·高一鄖西縣第一中學校聯考期中）已知函數，若方程有4個不同的實數根，則實數a的取值可以是（）A．1 B． C． D．【答案】ACD【分析】令，原方程有4個解等價于函數與的圖象有2個不同的交點，畫出函數的圖象如圖，結合圖象即可得出答案.【詳解】令，則原方程化為,由方程有4個不同的實數根，易知方程在時有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數與的圖象有2個不同的交點，作出函數的圖象如圖，由圖象可知，當時，函數與有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是[1,).故選：ACD.38．（2023上·重慶·高一四川外國語大學附屬外國語學校?？茧A段練習）已知函數的零點為，函數的零點為，則下列選項中成立的是（）A． B．C．與的圖象關于對稱 D．【答案】ABD【分析】由函數與互為反函數，根據與垂直與反函數的性質結合對稱性可得.【詳解】由，得，，即可得，即有，，而不在的圖象上，故的圖象與的圖象不關于對稱.因為函數與互為反函數，關于對稱，又因與垂直，在同一坐標系中分別作出函數，，的圖象，如圖所示，則，，由反函數性質知關于對稱，則，，故選：ABD39．（2023上·貴州·高一統考期中）已知函數的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，對應值表如下：在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用零點存在定理可得結論.【詳解】由表格中的數據可知，，，，且函數的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以，一定包含零點的區(qū)間是、、.故選：BCD.40．（2023上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學?？计谥校┮阎瘮档亩x域為，且滿足，則下列結論中正確的是（）A．B．C．D．在上有675個零點【答案】ABD【分析】根據解析式可直接求得的值，判斷A；根據時的性質，利用變量代換，推出此時函數的周期，結合解析式，即可求值，判斷B，C；利用函數周期以及，推出，即可推出，即可判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，當時，，即，則，即得，則，即時，6為的周期；，B正確；對于C，由B的分析可知，，故，C錯誤；對于D，當時，,，此時函數無零點；由于，則，故，則，由于，故在上有675個零點，D正確，故選：ABD【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是根據時的性質，利用變量代換，推出此時函數的周期，從而判斷D選項時，結合周期和，推出，即可求出在上的零點個數.三、填空題41．（2023上·江西撫州·高一統考期中）若關于的一元二次方程有實數根且，則實數m的取值范圍是．【答案】【分析】根據題意，結合函數圖象有交點問題求解即可.【詳解】函數的圖象是頂點為，開口向下的拋物線，直線與其有兩個交點，且滿足條件，得到．故答案為：.42．（2023上·重慶·高一重慶八中校考階段練習）若函數在上只有一個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據題意，將函數零點問題轉化為方程根的問題，然后分離參數，構造函數，即可得到結果.【詳解】，設，，令在上單調遞減，故.故答案為：43．（2023上·重慶·高一重慶八中?？茧A段練習）已知函數在上有一個零點，用二分法求零點的近似值（精確度為時，至少需要進行次函數值的計算.【答案】4【分析】根據二分法求零點的方法，計算一次，區(qū)間精度變?yōu)樯弦淮蔚?，根據精度要求即可求?【詳解】設對區(qū)間二等分次，初始區(qū)間長度為1，第1次計算后區(qū)間長度為；第2次計算后區(qū)間長度為；第3次計算后區(qū)間長度為；第4次計算后區(qū)間長度為；故至少計算4次.故答案為：4.44．（2023上·重慶·高一重慶南開中學?？茧A段練習）若關于x的方程在上有兩個不等實根，則實數a的取值范圍是【答案】【分析】設，得到，轉化為在上有兩個不等的實根，設，列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程等價于，設，可得，即方程等價于在上有兩個不等的實根，設，則滿足，解得，即實數的取值范圍為.故答案為：.45．（2023上·浙江·高一校聯考期中）已知函數，．若方程有4個不相同的實數根，則實數a的取值范圍為.【答案】【分析】為二次函數，當，方程兩解，問題等價于方程在區(qū)間上有兩個不同實根，結合二次函數的圖像與性質列不等式求解.【詳解】考慮方程，由的圖象得：當時，方程無解；當或時，方程一解；當，方程兩解．故方程有4個不相同的實數根，等價于方程在區(qū)間上有兩個不同實根，則，解得：，所以實數a的取值范圍為．故答案為：．四、解答題46．（2023上·湖南長沙·高一雅禮中學?？计谥校┮阎獮榕己瘮?，為奇函數，且滿足．(1)求，；(2)若，且方程有三個解，求實數的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）結合函數奇偶性將代入條件中可得答案；（2）轉化為、共有三個解求的取值范圍，結合圖象可得答案.【詳解】（1）因為為偶函數，為奇函數，所以，，由①，得即②，①②可得，①②可得；（2）由（1），方程，可得或，即或，當時，由下圖可得與的圖象有兩個交點，所以要使方程有三個解，只需有一解即可，即與的圖象只有一個交點即可，由圖象可得或，解得或.綜上，實數的取值范圍為或．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵點是轉化為，有三個解求的取值范圍，結合圖象求答案.47．（2023上·江蘇蘇州·高一江蘇省蘇州第十中學校?？茧A段練習）已知函數是定義域上的奇函數，且．(1)判斷并證明函數在上的單調性；(2)令函數，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)函數在上單調遞減，在上單調遞增，證明見解析(2)【分析】（1）由是奇函數，可知，，進而列出關系式，求出，即可得到函數的解析式，然后利用定義法，可判斷并證明函數在