數(shù)理方程大作業(yè)

數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)心得080803214劉陽在課堂上，樊老師曾多次問到我們：“大家喜歡學(xué)什么課程，大家最喜歡學(xué)習(xí)什么科目？”等等諸如此類我們同學(xué)興趣愛好的問題，他十分注重從我們自身興趣的角度激發(fā)我們學(xué)習(xí)的激情，培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)的好習(xí)慣。下面，我就根據(jù)我的興趣，從數(shù)學(xué)史和方法論的角度，結(jié)合課堂所學(xué)談?wù)勎覍W(xué)習(xí)數(shù)理方程的心得體會(huì)。描述許多自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)形式都可以是偏微分方程式，特別是很多重要的物理力學(xué)及工程過程的基本規(guī)律的數(shù)學(xué)描述都是偏微分方程，例如波的傳播、熱的傳導(dǎo)、電磁學(xué)的基本定律都是如此。數(shù)學(xué)物理方程主要就是指從這些物理學(xué)及其他自然科學(xué)中、技術(shù)科學(xué)中產(chǎn)生的偏微分方程。它是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要橋梁。人們對(duì)偏微分方程的研究，從微分學(xué)產(chǎn)生后不久就開始了。例如，18世紀(jì)初期及對(duì)弦線的橫向振動(dòng)研究，其后，對(duì)熱傳導(dǎo)理論的研究，以及和對(duì)流體力學(xué)、對(duì)位函數(shù)的研究，都獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程信其有效的解法。到19世紀(jì)中葉，進(jìn)一步從個(gè)別方程的深入研究逐漸形成了偏微分的一般理論，如方程的分類、特征理論等，這便是經(jīng)典的偏微分方程理論的范疇。然而到了20世紀(jì)隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，在科學(xué)實(shí)踐中提出了數(shù)學(xué)物理方程的新問題，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為數(shù)學(xué)物理方程的研究成果提供了強(qiáng)有力的實(shí)現(xiàn)手段。又因?yàn)閿?shù)學(xué)的其他分支也有了迅速發(fā)展，為深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世紀(jì)關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程的研究有了前所未有的發(fā)展，這些發(fā)展呈如下特點(diǎn)和趨勢(shì)：一、在許多自然科學(xué)及工程技術(shù)中提出的問題的數(shù)學(xué)描述大多是非線性偏微分方程，即使一些線性偏微分方程作近似處理的問題，由于研究的深入，也必須重新考慮非線性效應(yīng)。對(duì)非線性偏微分方程研究，難度大得多，然而對(duì)線性偏微分方程的已有結(jié)果，將提供很多有益的啟示。二、實(shí)踐中的是由很多因素聯(lián)合作用和相互影響的。所以其數(shù)學(xué)模型多是非線性偏微分方程組。如反應(yīng)擴(kuò)散方程組，流體力學(xué)方程組電磁流體力學(xué)方程組，輻射流體方程組等，在數(shù)學(xué)上稱雙曲－拋物方程組。三、數(shù)學(xué)物理方程不再只是描述物理學(xué)、力學(xué)等工程過程的數(shù)學(xué)形式。而目前在化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、環(huán)保領(lǐng)域，甚至在經(jīng)濟(jì)等社會(huì)科學(xué)住房領(lǐng)域都不斷提出一些非常重要的偏微分方程。四、一個(gè)實(shí)際模型的數(shù)學(xué)描述，除了描述過程的方程（或方程）外，還應(yīng)有定解條件（如初始條件及邊值條件）。傳統(tǒng)的描述，這些條件是線性的，逐點(diǎn)表示的。而現(xiàn)在提出的很多定解條件是非線性的，特別是非局部的。對(duì)非局部邊值問題的研究是一個(gè)新的非常有意義的領(lǐng)域。五、與數(shù)學(xué)其他分支的關(guān)系。例如幾何學(xué)中提出了很多重要的非線性偏微分方程，如極小曲面方程，調(diào)和映照方程，方程等等。泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)及群論等現(xiàn)代工具在偏微分方程的理論研究中被廣泛應(yīng)用，例如空間為研究線性信非線性偏微分方程提供了強(qiáng)有力的框架和工具。廣義函數(shù)的應(yīng)用使得經(jīng)典的線性微分方程理論更系統(tǒng)完善。再就是計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算方法的快速發(fā)展，特別是有限元廣泛的應(yīng)用，使得對(duì)偏微分方程的研究得以在實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)和檢驗(yàn)。下面結(jié)合傅里葉變換來研究數(shù)學(xué)物理方程的應(yīng)用。設(shè)=并且將（2）代人（1）式，可得現(xiàn)在設(shè)函數(shù)在上絕對(duì)可積，當(dāng)時(shí)，由上式可得如記則可以得到（3）積分表達(dá)式（3）稱為的傅里葉積分.可以證明，若絕對(duì)可積，則在本身及其連續(xù)的點(diǎn)，的傅里葉積分收斂于在該點(diǎn)的函數(shù)值。式也可以寫成復(fù)數(shù)形式。由于是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，可以將（3）式寫成=（4）于是，若令（5）就有（6）稱為的傅里葉變換，記為；稱為的傅里葉逆變換，記為。當(dāng)在上連續(xù)可導(dǎo)且絕對(duì)可積時(shí)，它的傅里葉變換存在，且其逆變換等于。傅里葉變換及其逆變換在數(shù)學(xué)物理方程中有很多實(shí)際應(yīng)用，它不僅可以導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的解，我們還可以利用它來求解熱傳導(dǎo)方程的柯西問題，但需通過驗(yàn)證。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程以前，我就聽沈雁冰老師說我們數(shù)學(xué)系有個(gè)樊繼山老師學(xué)術(shù)做得好而且為人正派，通過短短一個(gè)學(xué)期數(shù)理方程課的學(xué)習(xí)，我知道了樊老師教學(xué)宗志和做人原則：他不是要培訓(xùn)類似于曲阜師大那樣的考研機(jī)器，也不會(huì)容忍終日不學(xué)無術(shù)的游魂，他是要培養(yǎng)真正喜歡數(shù)學(xué)，真正能夠研究數(shù)學(xué)的準(zhǔn)學(xué)者，他不止一次建議我們?nèi)W(xué)習(xí)自己喜歡的課程，甚至提議我們不惜更改學(xué)院的課程設(shè)置或向校長申請(qǐng)另行開課！樊老師不僅在課堂上指導(dǎo)我們學(xué)業(yè)的，更為我們的認(rèn)識(shí)指點(diǎn)迷津，他關(guān)心我們的志向和理想并提出自己的建議，他愿意為方便我們而提供指導(dǎo)和服務(wù)。樊老師不僅僅是傳道解惑，更是一個(gè)完善學(xué)生人格的導(dǎo)師！這是我根據(jù)一個(gè)學(xué)期以來數(shù)學(xué)物理方程課上所聽而得來的發(fā)自內(nèi)心的感悟，我希望自己將來能夠成為樊老師一樣受人尊敬的學(xué)術(shù)泰斗！一個(gè)學(xué)期以來，我了解了數(shù)學(xué)物理方程的專業(yè)知識(shí)，如波動(dòng)方程的柯西問題、熱傳導(dǎo)方程的求解、傅里葉變換的求解、格林函數(shù)、能量估計(jì)等。收獲頗豐！雖然有些問題我并沒有熟練掌握，但我相信，數(shù)學(xué)物理方程及其內(nèi)容的學(xué)習(xí)必將成為我大學(xué)學(xué)習(xí)生涯