江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中摸底數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中摸底數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，，所以，.故選：A.2.函數(shù)定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域滿足，解得.故選：D.3.“函數(shù)在上為減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，又因?yàn)?，因此，“函?shù)在上為減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.5.設(shè)函數(shù)，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】由題意，因，所以.故選：C.6.專家對(duì)某地區(qū)新冠肺炎爆發(fā)趨勢(shì)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開始累計(jì)時(shí)間（單位：天）與病情爆發(fā)系數(shù)之間，滿足函數(shù)模型：，當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著疫情將要大面積爆發(fā)，則此時(shí)約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解?故選：B.7.函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以有，解得，所以m的取值范圍是.故選：A.8.黎曼函數(shù)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在上的定義為：當(dāng)（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)）時(shí)，；當(dāng)或或?yàn)閮?nèi)的無(wú)理數(shù)時(shí)，.已知，，，則（）（注：，為互質(zhì)的正整數(shù)，即為已約分的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù).）A.的值域?yàn)?B.C. D.以上選項(xiàng)都不對(duì)【答案】B【解析】設(shè)，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無(wú)理數(shù)}，對(duì)A選項(xiàng)：由題意，的值域?yàn)?，其中是大于等?的正整數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B、C選項(xiàng)：①當(dāng)，，則，；②當(dāng)，，則，＝0；③當(dāng)或，則，，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由圖可得圖中陰影部分表示為，又，，，故符合題意的有A、B、C.故選：ABC.10.下列命題中假命題有（）A.，B.“且”是“”的充要條件C.，D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【解析】A：由，則，故，真命題；B：顯然滿足，但此時(shí)且不成立，假命題；C：對(duì)于，開口向上且，則恒成立，假命題；D：且開口向下，易知其值域?yàn)椋婷}.故選：BC.11.若，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由條件：，即，A正確；，即，B錯(cuò)誤，D正確；由，則，C正確.故選：ACD.12.下列說法正確的是（）A.若為正數(shù)，且滿足，則的最小值為B.已知實(shí)數(shù)，則表達(dá)式的最小值為C.已知實(shí)數(shù)且，滿足，則的最小值為D.若兩個(gè)不相等的正數(shù)滿足，則的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若為正數(shù)，，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，故A正確；對(duì)于B，已知實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值為，故B正確；對(duì)于C，已知且，則，，，，所以當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，取最小值1，但已知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知兩個(gè)不相等的正數(shù)，因?yàn)椋?，所以，解得，，所以，，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“”的否定是______.【答案】【解析】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，所以原命題的否定是“”.故答案為：.14.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為___________.【答案】，【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以有，因此該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，.故答案為：，.15.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】由題知：區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，綜上的解集為.故答案為：.16.已知函數(shù)，，為常數(shù)，若對(duì)于任意，，且，都有則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】[0，2]【解析】對(duì)于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]單調(diào)遞增即可，當(dāng)x＝1時(shí)，F(xiàn)（x）＝0，圖象恒過（1，0）點(diǎn)，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a，當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]遞增，則當(dāng)1＜x≤2時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a的對(duì)稱軸x＝，即a≤2，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a的對(duì)稱軸x＝，即a≥0，故a∈[0，2].故答案為：[0，2].四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）求的值；（2）已知，求的值.解：（1）.（2），，，，.18.已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，都有不等式成立，得在時(shí)恒成立，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，.（2）由可得.①當(dāng)時(shí)，可得或，因?yàn)槭堑某浞謼l件，則，則，此時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，可得或，因?yàn)槭堑某浞謼l件，則，則，解得，此時(shí)；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的值；（2）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可知，即，，又，即（2），且，有，由于，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以由，得，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以解得，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺(tái)的收入函數(shù)為（單位：元），其成本函數(shù)為（單位：元），利潤(rùn)是收入與成本之差.（1）求利潤(rùn)函數(shù)及利潤(rùn)函數(shù)最大值；（2）為了促銷，如果每月還需投入500元的宣傳費(fèi)用，設(shè)每臺(tái)產(chǎn)品的利潤(rùn)為，求的最大值及此時(shí)的值.解：（1）由題意知，，，易得的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值為（元），所以利潤(rùn)函數(shù)，最大值為（元）.（2）依題意，得（元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)臺(tái)時(shí)，每臺(tái)產(chǎn)品的利潤(rùn)取得最大值元.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若存在使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）解法一：∵，∴.又，∴.解法二：令，則.由于，所以，代入原式有，所以.（2）∵，∴，∵存在使成立，∴在時(shí)有解，令，由，得，設(shè)，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，∴，即的取值范圍為.22.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①在區(qū)間上是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是.則稱是函數(shù)的一個(gè)“黃金區(qū)間”.（1）請(qǐng)證明：函數(shù)不存在“黃金區(qū)間”.（2）已知函數(shù)在上存在“黃金區(qū)間”，請(qǐng)求出它的“黃金區(qū)間”.（3）如果是函數(shù)的一個(gè)“黃金區(qū)間”，請(qǐng)求出的最大值.解：（1）證明：由為上的增函數(shù)，則有，∴，無(wú)解，∴不存在“黃金區(qū)間”.（2）記是函數(shù)的