江蘇省蘇州市2023-2024學年高一上學期11月期中摸底數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2023-2024學年高一上學期11月期中摸底數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，，所以，.故選：A.2.函數(shù)定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域滿足，解得.故選：D.3.“函數(shù)在上為減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，又因為，因此，“函數(shù)在上為減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.5.設函數(shù)，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】由題意，因，所以.故選：C.6.專家對某地區(qū)新冠肺炎爆發(fā)趨勢進行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開始累計時間（單位：天）與病情爆發(fā)系數(shù)之間，滿足函數(shù)模型：，當時，標志著疫情將要大面積爆發(fā)，則此時約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故選：B.7.函數(shù)在上單調遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為在上單調遞增，且，所以有，解得，所以m的取值范圍是.故選：A.8.黎曼函數(shù)是由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，在上的定義為：當（，且，為互質的正整數(shù)）時，；當或或為內的無理數(shù)時，.已知，，，則（）（注：，為互質的正整數(shù)，即為已約分的最簡真分數(shù).）A.的值域為 B.C. D.以上選項都不對【答案】B【解析】設，（，且，為互質的正整數(shù)），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無理數(shù)}，對A選項：由題意，的值域為，其中是大于等于2的正整數(shù)，故選項A錯誤；對B、C選項：①當，，則，；②當，，則，＝0；③當或，則，，所以選項B正確，選項C、D錯誤.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由圖可得圖中陰影部分表示為，又，，，故符合題意的有A、B、C.故選：ABC.10.下列命題中假命題有（）A.，B.“且”是“”的充要條件C.，D.函數(shù)的值域為【答案】BC【解析】A：由，則，故，真命題；B：顯然滿足，但此時且不成立，假命題；C：對于，開口向上且，則恒成立，假命題；D：且開口向下，易知其值域為，真命題.故選：BC.11.若，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由條件：，即，A正確；，即，B錯誤，D正確；由，則，C正確.故選：ACD.12.下列說法正確的是（）A.若為正數(shù)，且滿足，則的最小值為B.已知實數(shù)，則表達式的最小值為C.已知實數(shù)且，滿足，則的最小值為D.若兩個不相等的正數(shù)滿足，則的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，若為正數(shù)，，得，解得，所以當時，的最小值為，故A正確；對于B，已知實數(shù)，，當時，即時，的最小值為，故B正確；對于C，已知且，則，，，，所以當時，即，時，取最小值1，但已知，故C錯誤；對于D，已知兩個不相等的正數(shù)，因為，所以，所以，解得，，所以，，當時，，所以當時，有最小值，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“”的否定是______.【答案】【解析】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，所以原命題的否定是“”.故答案為：.14.已知冪函數(shù)的圖象經過點，則該函數(shù)的單調區(qū)間為___________.【答案】，【解析】設冪函數(shù)的解析式為，因為冪函數(shù)的圖象經過點，所以有，因此該函數(shù)的單調區(qū)間為，.故答案為：，.15.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】由題知：區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，且，當時，，，，符合題意，當時，，，，不符合題意，當時，，，，符合題意，當時，，，，不符合題意，綜上的解集為.故答案為：.16.已知函數(shù)，，為常數(shù)，若對于任意，，且，都有則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】[0，2]【解析】對于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]單調遞增即可，當x＝1時，F(xiàn)（x）＝0，圖象恒過（1，0）點，當x＞1時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a，當x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]遞增，則當1＜x≤2時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a的對稱軸x＝，即a≤2，當0≤x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a的對稱軸x＝，即a≥0，故a∈[0，2].故答案為：[0，2].四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）求的值；（2）已知，求的值.解：（1）.（2），，，，.18.已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實數(shù)的取值集合；（2）設不等式的解集為，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，都有不等式成立，得在時恒成立，所以，因為二次函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且，，所以，當時，，，所以，.（2）由可得.①當時，可得或，因為是的充分條件，則，則，此時，；②當時，可得或，因為是的充分條件，則，則，解得，此時；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的值；（2）用單調性定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可知，即，，又，即（2），且，有，由于，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.（3）因為為奇函數(shù)，所以由，得，又因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以解得，故，所以實數(shù)的取值范圍是.20.某公司每月最多生產100臺報警系統(tǒng)裝置，生產臺的收入函數(shù)為（單位：元），其成本函數(shù)為（單位：元），利潤是收入與成本之差.（1）求利潤函數(shù)及利潤函數(shù)最大值；（2）為了促銷，如果每月還需投入500元的宣傳費用，設每臺產品的利潤為，求的最大值及此時的值.解：（1）由題意知，，，易得的對稱軸為，所以當或時，取得最大值為（元），所以利潤函數(shù)，最大值為（元）.（2）依題意，得（元），當且僅當時等號成立，即時，等號成立，所以當臺時，每臺產品的利潤取得最大值元.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設，若存在使成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）解法一：∵，∴.又，∴.解法二：令，則.由于，所以，代入原式有，所以.（2）∵，∴，∵存在使成立，∴在時有解，令，由，得，設，則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，∴當時，函數(shù)取得最小值，∴，即的取值范圍為.22.對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列兩個條件：①在區(qū)間上是單調的；②當定義域是時，的值域也是.則稱是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”.（1）請證明：函數(shù)不存在“黃金區(qū)間”.（2）已知函數(shù)在上存在“黃金區(qū)間”，請求出它的“黃金區(qū)間”.（3）如果是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”，請求出的最大值.解：（1）證明：由為上的增函數(shù)，則有，∴，無解，∴不存在“黃金區(qū)間”.（2）記是函數(shù)的