浙江省臺金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省臺金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，則.故選：C.2.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】A【解析】與定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故A正確；與定義域不同，對應(yīng)關(guān)系相同，不是同一函數(shù)，故B錯誤；與定義域不同，對應(yīng)關(guān)系相同，不是同一函數(shù)，故C錯誤；由解得或，則的定義域為或，由且得，則的定義域，∴與定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故選：D.4.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，若，則，則“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域為，∵，∴奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故AC錯誤；∵，故B錯誤，∴D正確.故選：D.6.已知，且，則的最小值為（）A.1 B. C.9 D.【答案】C【解析】因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：C．7.定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，且，∴當(dāng)或時，；當(dāng)時，，∵，∴或，∴或，∴或，即，則不等式的解集是.故選：A.8.取整函數(shù)最早出現(xiàn)在著名科學(xué)家阿蘭?圖靈（AlanTuring）在20世紀(jì)30年代提出的圖靈機理論中.圖靈機是一種理論上的計算模型，其中操作包括整數(shù)運算和簡單邏輯判斷.由于圖靈機需要進(jìn)行整數(shù)計算，因此取整函數(shù)成為了必需的工具之一.現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，常用符號表示為不超過的最大整數(shù)，如，現(xiàn)有函數(shù)在區(qū)間上恰好有三個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】作出函數(shù)與的大致圖像：時，，從圖像可知，當(dāng)，即時，兩個函數(shù)的圖像在上恰有三個不同的交點，∴所求范圍為．故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.我們常拿背誦圓周率來衡量某人的記憶水平，如果記圓周率小數(shù)點后第位數(shù)字為，則下列說法正確的是（）A.是一個函數(shù)B.當(dāng)時，C.D.【答案】ACD【解析】由題意可知，圓周率小數(shù)點后第位數(shù)字是唯一確定的，即任取一個正整數(shù)都有唯一確定的與之對應(yīng)，因此是一個函數(shù)，故A正確；當(dāng)時，，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且時，則下列敘述正確的是（）A.當(dāng)時B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為【答案】BCD【解析】由題知，是奇函數(shù)，令，則，所以，故此時，A錯；因為是上的奇函數(shù)，所以，B正確；由上述可知時，，，則，因為，所以，，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，D正確.故選：BCD.11.下列命題敘述正確的是（）A.且時，當(dāng)時，B.且時，當(dāng)時，C.且時，當(dāng)時，D.且時，當(dāng)時，【答案】CD【解析】對于A，因為且時，當(dāng)時，取，所以，則，故A錯誤；對于B，因為且時，當(dāng)時，取，所以，則，故B錯誤；對于C，因為且時，當(dāng)時，則，所以，則，故C正確；對于D，存在，，滿足，故D正確.故選：CD.12.若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間上單調(diào)遞增，且在上也單調(diào)遞增，則稱在上是“強增函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)，則存在使是“強增函數(shù)”B.若函數(shù)，則為定義在上“強增函數(shù)”C.若函數(shù)，則存在區(qū)間，使在上不是“強增函數(shù)”D.若函數(shù)在區(qū)間上是“強增函數(shù)”，則【答案】ACD【解析】對于A，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在上為增函數(shù)，而函數(shù)在上為增函數(shù)，所以存在使是“強增函數(shù)”，如，故A正確；對于B，因為，所以函數(shù)在上不增函數(shù)，所以不是定義在上的“強增函數(shù)”，故B錯誤；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，因為，所以函數(shù)在上不是增函數(shù)，故存在區(qū)間，使在上不是“強增函數(shù)”，如，故C正確；對于D，若函數(shù)在區(qū)間上是“強增函數(shù)，則函數(shù)在上都是增函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，得，解得，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時，，由對勾函數(shù)得單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以，所以，故D正確故選：ACD三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.______.【答案】【解析】原式.故答案為：.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.【答案】（區(qū)間開閉都符合）【解析】，由，解得，令，當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，又在時單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：（區(qū)間開閉都符合）.15.函數(shù)當(dāng)時，實數(shù)______.【答案】【解析】令，則，當(dāng)時，有，解得或（舍去），即，當(dāng)時，有即，因為，此時無實數(shù)解，當(dāng)，有滿足題意，當(dāng)時，，不滿足題意，故實數(shù).故答案為：8.16.已知函數(shù)與函數(shù)，滿足，當(dāng)和在區(qū)間上單調(diào)性不同，則稱區(qū)間為函數(shù)的“異動區(qū)間”.若區(qū)間是函數(shù)的“異動區(qū)間”，則的取值范圍是______.【答案】【解析】，若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足要求，若，畫出與的圖象，如下：可以看出兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，要想是函數(shù)的異動區(qū)間，則，解得，滿足，當(dāng)時，，，畫出兩函數(shù)圖象，可以看出兩函數(shù)圖象在上單調(diào)性相同，不合要求，舍去，當(dāng)時，畫出兩函數(shù)圖象，可以看出兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，要想是函數(shù)的異動區(qū)間，故，解得，滿足，綜上，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，集合，，或，.（2），，當(dāng)即時，，則，解得，；當(dāng)即時，，符合題意；當(dāng)即時，，則，解得，；綜上，實數(shù)的取值范圍為.18.已知二次函數(shù)（為實數(shù)，且）（1）若，方程有兩個相等的實數(shù)根時，求函數(shù)的解析式；（2）不等式的解集是，求函數(shù)的解析式.解：（1），的圖象關(guān)于直線對稱，又根據(jù)條件“有兩個相等的實數(shù)根”，列方程組：，（2）不等式，即的解集是，即方程有實數(shù)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理：，.19.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)，求函數(shù)的值域；（2），求區(qū)間上的最小值.解：（1）時，，即，整理得，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，解得，且，綜上，，則的值域是.（2）且，當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時；當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，綜上所述：20.已知指數(shù)函數(shù)，且，定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求和的解析式；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：設(shè)且，，，；是定義在上的奇函數(shù)，，對恒成立，.（2）恒成立，恒成立，又，可知在上單調(diào)遞減，恒成立，恒成立，，.21.天氣漸冷，某電子設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)準(zhǔn)備投入生產(chǎn)“暖手寶”.預(yù)估生產(chǎn)線建設(shè)等固定成本投入為100萬，每生產(chǎn)萬個還需投入生產(chǎn)成本萬元，且據(jù)測算若該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該款“暖手寶”萬只，每只售價45元并能全部銷售完.（1）求出利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量萬個的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)產(chǎn)量至少為多少個時，該公司在該款“暖手寶”生產(chǎn)銷售中才能收回成本；（3）當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到多少萬個時，該公司所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.解：（1）總銷售額：萬元，總成本：固定成本萬元，∴利潤（2）時，取最小值即可，僅需萬，取22472個.（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，綜上，當(dāng)萬個時，利潤最大為410萬.22.定義在的函數(shù)滿足：對任意的，都有，且當(dāng)時，.（1）求證：