期末復(fù)習專題三：圖形與幾何-長方體和正方體【四大篇目】-2023-2024學年六年級數(shù)學上冊典型例題系列（解析版）蘇教版

第第頁2023-2024學年六年級數(shù)學上冊典型例題系列期末復(fù)習專題三：圖形與幾何—長方體和正方體【四大篇目】專題解讀本專題是期末復(fù)習專題三：圖形與幾何—長方體和正方體。本部分內(nèi)容包括長方體和正方體的認識、棱長、表面積、體積等，該部分根據(jù)篇目進行分類，每個篇目又包含多個常考考點，建議作為期末復(fù)習核心內(nèi)容進行講解，一共劃分為四個篇目，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】長方體和正方體的認識與棱長和【知識總覽】 4【考點一】長方體和正方體的展開圖 5【考點二】長方體的棱長和與實際應(yīng)用 8【考點三】正方體的棱長和與實際應(yīng)用 10【考點四】長方體和正方體的等長轉(zhuǎn)化問題 12【第二篇】長方體和正方體的表面積“基礎(chǔ)篇”【知識總覽】 15【考點一】長方體的表面積 15【考點二】根據(jù)表面展開圖求長方體的表面積 17【考點三】正方體的表面積 20【考點四】棱長擴倍問題 21【考點五】不規(guī)則或組合立體圖形的表面積 23【考點六】染色問題 26【第三篇】長方體和正方體的表面積“進階篇”【知識總覽】 29【考點一】拼切問題 29【考點二】高的變化問題 32【考點三】切掉最大的正方體 35【第四篇】長方體和正方體的體積【知識總覽】 38【考點一】體積和容積單位及換算 39【考點二】長方體的體積 41【考點三】正方體的體積 43【考點四】折疊圖形中的體積 45【考點五】等積變形問題 48【考點六】排水法求不規(guī)則物體的體積 50【考點七】組合立體圖形的體積 53【第一篇】長方體和正方體的認識與棱長和【知識總覽】一、長方體的認識。1.長方體的特征：注意：長方體的6個面都是長方形，特殊情況有兩個面是正方形。2.長方體的長、寬、高：相交于一個頂點的三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。二、正方體的認識。1.正方體的特征：（1）正方體的6個面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方體有12條棱，且正方體的12條棱長度都相等。2.正方體和長方體的關(guān)系：總結(jié)：正方體是特殊的長方體。三、長方體的棱長及棱長和。1.棱長和一般表示的是12條棱的長度之和.2.長方體的棱長和=4x長+4×寬+4x高=4x（長+寬+高）。3.根據(jù)棱長和公式反求長、寬、高。長=棱長和÷4-寬-高寬=棱長和÷4-長-高高=棱長和÷4-長-寬四、正方體的棱長及棱長和。1.正方體的棱長和=12x棱長；2.反求棱長，棱長=棱長和÷12。【考點一】長方體和正方體的展開圖?！镜湫屠}】1．下列圖形中，折疊后不能圍成一個長方體的是（

）。A． B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（同時情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等。據(jù)此解答即可?！驹斀狻緼．根據(jù)長方體展開圖的特征可知：沿虛線折疊后能圍成長方體；B．不符合長方體展開圖的特征，所以不能圍成長方體；C．沿虛線折疊后能圍成長方體；D．沿虛線折疊后能圍成長方體。故答案為：B【點睛】此題考查的目的是理解掌握長方體展開圖的特征及應(yīng)用。2．下列幾何圖形的展開圖中，可以折疊成一個無蓋的正方體盒子的是（

）。A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④【答案】D【分析】根據(jù)正方體11種展開圖，添上1個小正方形，是正方體11種展開圖的可以折疊成一個無蓋的正方體盒子，據(jù)此分析?！驹斀狻咳鐖D，②號能組成1－4－1型正方體展開圖，④號能組成2－2－2型正方體展開圖，可以折疊成一個無蓋的正方體盒子的是②和④。故答案為：D【點睛】關(guān)鍵是具有一定的空間想象能力，掌握正方體11種展開圖?！緦?yīng)練習】1．下面圖形沿著虛線折疊，不能圍成長方體的是（

）。A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（同時情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等。據(jù)此解答即可?！驹斀狻緼．根據(jù)長方體展開圖的特征可知：沿虛線折疊后能圍成長方體；B．沿虛線折疊后能圍成長方體；C．不能圍成長方體，因為它相對的面不相等；D．沿虛線折疊后能圍成長方體。故答案為：C【點睛】此題考查的目的是理解掌握長方體展開圖的特征及應(yīng)用。2．下面圖形中能拼成正方體的有（

）個。

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】能拼成正方體的圖形有四種類型：一四一型，有6種，即中間4個小正方形相連，兩側(cè)各一個小正方形；二三一型有3種，2個正方形與3個正方形相鄰成兩排，剩下一個在另一排；二二二型有1種，即3組2個正方形相連，錯位一格；三三型1種，2組三個正方形相連，對齊一個。據(jù)此可得出答案?！驹斀狻康谝粋€圖形符合一四一型，能拼成正方體；第二個圖形符合一四一型，能拼成正方體；第三個圖形中出現(xiàn)“凹”形狀，不能拼成正方體；第四個圖形符合二三一型，能拼成正方體。即能拼成正方體的圖形有3個。故答案為：B【點睛】本題主要考查的是正方體的展開圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方體展開圖的11種圖形，進而判斷得出答案?！究键c二】長方體的棱長和與實際應(yīng)用。【典型例題】1.用鐵絲焊接一個長6厘米、寬5厘米、高4厘米的長方體框架，至少需要鐵絲()厘米。解析：602.一個長方體的棱長總和是80cm，其中長是10cm，寬是7cm，高是()cm。解析：80÷4－10－7＝20－10－7＝3（cm）3.一個長、寬、高分別為40厘米、30厘米、20厘米的小紙箱，在所有的棱上粘上一圈膠帶，至少需要多長的膠帶？解析：（40＋30＋20）×4＝90×4＝360（厘米）答：至少需要360厘米的膠帶?！緦?yīng)練習】1．蛋糕店用要用彩帶包裝下面的蛋糕盒，接頭處彩帶長27厘米，一共要用多少厘米彩帶？

【答案】251厘米【分析】觀察可知，長×2＋寬×2＋高×4＋接頭長度＝彩帶長度，據(jù)此列式解答?！驹斀狻?0×2＋30×2＋26×4＋27＝60＋60＋104＋27＝251（厘米）答：一共要用251厘米彩帶?！军c睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用長方體棱長總和公式。2．母親節(jié)到了，小悅想把送給媽媽的禮品盒包裝得更精美，按照右圖的方法捆扎，打結(jié)處需要20厘米，捆扎這個禮品盒一共需要多少厘米絲帶？

【答案】340厘米【分析】觀察圖片可知，絲帶的長度＝4條高＋2條長＋2條寬＋打結(jié)處，據(jù)此解答即可。【詳解】60×2＋40×2＋30×4＋20＝120＋80＋120＋20＝340（厘米）答：捆扎這個禮品盒一共需要340厘米絲帶?！军c睛】本題考查了長方體棱長和公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握公式。3．用一根絲帶捆扎一個禮盒（如下圖），打結(jié)處的絲帶長30厘米，捆扎這個禮盒至少需要多長的絲帶？【答案】160厘米【分析】觀察圖形可知，捆扎這個禮盒至少需要絲帶的長度＝2條長＋2條寬＋4條高＋打結(jié)用的長度，據(jù)此解答。【詳解】25×2＋20×2＋10×4＋30＝50＋40＋40＋30＝90＋40＋30＝130＋30＝160（厘米）答：捆扎這個禮盒至少需要160厘米的絲帶?！军c睛】本題考查長方體棱長總和公式的實際應(yīng)用，弄清是如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的長度之和?！究键c三】正方體的棱長和與實際應(yīng)用?！镜湫屠}】五一期間，外地游客小明到“廣州市場步行街”買到一個禮物，這個禮物的禮盒是一個正方體，這個禮盒用打包帶按如圖所示方法捆起來（打結(jié)處打包帶長20厘米），一共要用多少厘米的打包帶？【答案】660厘米【分析】由圖可知，正方體上下兩個面分別需要計算4條棱的長度，四個側(cè)面分別需要計算2條棱的長度，－共需要計算（4×2＋2×4）條正方體的棱長，再乘正方體每條棱的長度，最后加上打結(jié)處打包帶的長度，據(jù)此解答。【詳解】（4×2＋2×4）×40＋20＝（8＋8）×40＋20＝16×40＋20＝640＋20＝660（厘米）答：一共要用660厘米的打包帶?！军c睛】本題主要考查正方體棱長之和的應(yīng)用，分析圖形求出需要計算棱長的數(shù)量是解答題目的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習】1．媽媽給奶奶買了一件母親節(jié)禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎，打結(jié)處需要45厘米。捆扎這個禮物一共需要多少厘米絲帶？【答案】245厘米【分析】根據(jù)題意和圖形可知，所需絲帶的長度等于8條棱長的長度＋打結(jié)處用的45厘米，由此列式解答?！驹斀狻?×25＋45＝200＋45＝245（厘米）答：捆扎這個禮物一共需要245厘米絲帶?！军c睛】此題屬于正方體的棱長總和的實際應(yīng)用，首先分清是如何捆扎的，然后根據(jù)棱長總和的計算方法解答。2．給一個正方體禮品盒包裝，用了50厘米長的絲帶，其中，打結(jié)用了14厘米。禮品盒一個面的邊長是多少厘米？【答案】9厘米【分析】根據(jù)正方體的特征：12條棱分別相等，由圖形可知，絲帶一共繞了正方體的四個棱長的長度，總長度減去打結(jié)用了14厘米，再除以4，即可求出正方體的棱長，解答即可?！驹斀狻浚?0－14）÷4＝36÷4＝9（厘米）答：禮品盒一個面的邊長是9厘米。【點睛】解決此題的關(guān)鍵是理解正方體棱長的特征，弄清圍繞的長度是圍了幾條棱?！究键c四】長方體和正方體的等長轉(zhuǎn)化問題。【典型例題】一根鐵絲恰好可以焊接成一個長14厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體框架，若這根鐵絲也恰好能焊接成一個正方體框架，那么這個正方體框架的棱長是多少厘米？【答案】8厘米【分析】先根據(jù)長方體的棱長和＝（長＋寬＋高）×4，代入數(shù)據(jù)求出長方體框架的棱長和，再根據(jù)題意可知：長方體框架的棱長和也就是正方體的棱長和，用正方體的棱長和除以12就可以計算出正方體框架的棱長?！驹斀狻浚?4＋6＋4）×4÷12＝24×4÷12＝8（厘米）答：這個正方體框架的棱長是8厘米?！军c睛】此題的解題關(guān)鍵是熟練掌握長方體和正方體的棱長和公式?！緦?yīng)練習】1．用一根鐵絲正好可以做成一個棱長為7厘米的正方體框架，如果用這根鐵絲做成一個長為9厘米、寬為4厘米的長方體框架，它的高應(yīng)是多少厘米？（接頭處忽略不計）【答案】8厘米【分析】根據(jù)正方體的總棱長公式：L＝12a，據(jù)此求出鐵絲的長度，再根據(jù)長方體的總棱長公式：L＝（a＋b＋h）×4，用鐵絲的長度除以4，再減去長方體的長和寬即可求出它的高應(yīng)是多少厘米?！驹斀狻?2×7＝84（厘米）84÷4－9－4＝21－9－4＝12－4＝8（厘米）答：它的高應(yīng)是8厘米。【點睛】本題考查長方體和正方體的總棱長，熟記公式是解題的關(guān)鍵。2．長方體和一個正方體的棱長之和相等，已知長方體的長是5.2米，寬是4米，高是3.4米。正方體的棱長是多少米？【答案】4.2米【分析】根據(jù)長方體棱長和＝（長＋寬＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出長方體的棱長和，因為長方體和一個正方體的棱長之和相等，根據(jù)正方體的棱長和＝棱長×12，用求得的棱長和除以12，即可求出正方體的棱長?！驹斀狻浚?.2＋4＋3.4）×4＝12.6×4＝50.4（米）50.4÷12＝4.2（米）答：正方體的棱長是4.2米?！军c睛】本題主要考查了長方體棱長和公式和正方體棱長和公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握公式?！镜诙块L方體和正方體的表面積“基礎(chǔ)篇”【知識總覽】一、長方體的表面積。1.長方體的表面積=2x（長x寬+長x高+寬x高），用字母表示為S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面積，反求長、寬、高：方程法。二、正方體的表面積。正方體的表面積=6x棱長x棱長，用字母表示為：S=6a2。三、長方體和正方體的棱長擴倍問題。1.如果正方體的棱長擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍。例如：若正方體的棱長擴大到原來的3倍，則它的表面積就擴大到原來的9倍。如果長方體的長、寬、高同時擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍。四、染色問題。三面涂色的在頂點，兩面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，沒有涂色的在里面：染三個面的小正方體數(shù)量∶8個。染兩個面的小正方體數(shù)量∶12×（a-2）。染一個面的小正方體數(shù)量∶6×（a-2）x（a-2）。沒有染色的面的小正方體數(shù)量∶（a-2）×（a-2）×（a-2）?！究键c一】長方體的表面積?！镜湫屠}】1.一節(jié)長方體的通風管長是3分米，寬是2分米，高是8分米。做一節(jié)這樣的通風管至少需要多大的鐵皮？解析：3×2×2＋2×8×2＝12＋32＝44（平方分米）答：做一節(jié)這樣的通風管至少需要44平方分米的鐵皮。2.一個長方體的表面積是242平方厘米，它的寬是7厘米，高是3厘米。那么，聰明的你知道這個長方體的長是多少厘米嗎?解析：方法一：用算術(shù)方法求解∶（242÷2-21）÷（7+3）=10。方法二：用方程求解∶解：設(shè)長為c厘米，那么根據(jù)表面積公式可得出如下的方程：2×（21+7×x+3×x）=242解方程可得：x=10答：這個長方體的長是10厘米?！緦?yīng)練習】1．李師傅用木板做了一個長方體無蓋收納箱，這個收納箱長5分米，寬4分米，高3分米。做這個收納箱用了多少平方分米的木板？【答案】74平方分米【分析】根據(jù)無蓋長方體的表面積公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】5×4＋5×3×2＋4×3×2＝20＋30＋24＝74（平方分米）所以做這個收納箱用了74平方分米的木板。【點睛】此題主要考查無蓋長方體的表面積公式，解題的關(guān)鍵是熟記公式。2．小明的臥室長5米、寬4米、高3米，門窗面積是5平方米，如果粉刷這個房間的頂棚和四壁，每平方米需0.5千克涂料，一共需要多少千克涂料？【答案】34.5千克【分析】首先計算出小明的臥室要粉刷的地方的面積大?。河脗?cè)面積加上頂面面積再減去門窗面積，其中側(cè)面積應(yīng)該為（長×高＋寬×高）×2，頂面面積為長×寬；算出粉刷面積后再乘上0.5就能計算出需要的涂料?！驹斀狻糠鬯⒚娣e：（5×3＋4×3）×2＋5×4－5＝（15＋12）×2＋20－5＝27×2＋20－5＝54＋20－5＝74－5＝69（平方米）69×0.5＝34.5（千克）答：一共需要34.5千克涂料?！究键c二】根據(jù)表面展開圖求長方體的表面積。【典型例題】下圖是長方體盒子的展開圖，原來長方體盒子的表面積是多少平方米？解析：高：8－5＝3（米）長：（20－3×2）÷2＝（20－6）÷2＝14÷2＝7（米）寬：8－3×2＝8－6＝2（米）（7×2＋7×3＋2×3）×2＝（14＋21＋6）×2＝41×2＝82（平方米）答：原來長方體盒子的表面積是82平方米?！緦?yīng)練習】1．立體圖形的表面積。用如圖的硬紙板中的五塊做一個無蓋的長方體紙盒，可以做成不同規(guī)格的紙盒，如果要使紙盒的表面積最大，應(yīng)該選哪幾塊？先選擇序號（

），再計算它所需硬紙板是多少平方分米？（單位：分米）

【答案】（1）、（4）、（5）、（7）、（9）；26平方分米【分析】做一個無蓋的長方體紙盒，即紙盒表面有五個面，要使表面積最大則盡可能選取面積大的長方形或正方形，同時需要保證長方體的長、寬、高對等；再根據(jù)長方形面積＝長×寬，將5面面積相加得出面積。【詳解】要使紙盒的表面積最大，可選擇（1）作為長方體紙盒的正面，（4）作為背面，（5）作為左側(cè)面，（9）作為右側(cè)面，（7）作為底面，即應(yīng)該選用：（1）、（4）、（5）、（7）、（9）；所需硬紙板面積為：（平方分米）答：應(yīng)該選用（1）、（4）、（5）、（7）、（9）序號的紙板；它所需硬紙板是26平方分米?！军c睛】本題主要考查的是長方體的表面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握長方體的表面展開圖，進而得出答案。2．如圖，是一個長方體六個面展開后的形狀。（1）想一想：如果將展開圖還原成長方體，A點將與（

）重合，B點將與（

）重合。（2）算一算：長方體的表面積是多少？【答案】（1）C點、F點；G點（2）52平方厘米【分析】將長方體的展開圖圍成長方體，根據(jù)長方體相對面的面積相等可知，兩個紅色面相對，則A點將與C點、F點重合，B點將與G點重合；長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，據(jù)此解答即可?！驹斀狻浚?）想一想：如果將展開圖還原成長方體，A點將與C點、F點重合，B點將與G點重合。（2）（4×3＋4×2＋3×2）×2＝（12＋8＋6）×2＝（20＋6）×2＝26×2＝52（平方厘米）答：長方體的表面積是52平方厘米?！军c睛】熟練掌握長方體展開圖的特征以及表面積計算公式是解答本題的關(guān)鍵?！究键c三】正方體的表面積。【典型例題】制作一個棱長為2分米的正方體燈籠框架，至少需要多少分米長的木條？若在燈籠的各個面糊上彩紙（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩紙？【答案】24分米；20平方分米【分析】求木條的長度，就是求正方體的總棱長，根據(jù)正方體的總棱長公式：L＝12a，據(jù)此進行計算即可；求彩紙的面積就是求正方體的五個面的面積，根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，據(jù)此求出正方體1個面的面積，再乘5即可求解?！驹斀狻?×12＝24（分米）2×2×5＝4×5＝20（平方分米）答：至少需要24分米長的木條，至少需要20平方分米的彩紙?！緦?yīng)練習】1．一個正方體禮品盒，棱長總和是36分米，制作這個禮品盒至少需要多少平方分米的硬紙？【答案】54平方分米【分析】正方體的棱長總和＝棱長×12，用棱長總和除以12求出棱長，再根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，把數(shù)據(jù)分別代入公式解答即可。【詳解】36÷12＝3（分米）3×3×6＝9×6＝54（平方分米）答：制作這個禮品盒至少需要54平方分米的硬紙?！军c睛】此題考查了正方體的表面積公式的靈活運用，解題關(guān)鍵是正確計算正方體的棱長。2．李叔叔用白鐵皮焊接20個棱長是1.2米的正方體無蓋水箱，預(yù)計在制作過程中一共要損耗0.8平方米白鐵皮。制作這些水箱一共需要準備多少白鐵皮？【答案】144.8平方米【分析】一個無蓋的正方體水箱需要的白鐵皮的面積就是正方體的五個面的面積，先求出一個無蓋的正方體水箱需要的白鐵皮的面積再乘20，最后再加上損耗的鐵皮的面積即可求解?！驹斀狻?.2×1.2×5×20＋0.8＝1.44×5×20＋0.8＝7.2×20＋0.8＝144＋0.8＝144.8（平方米）答：制作這些水箱一共需要準備144.8平方米的白鐵皮?！军c睛】本題考查正方體的表面積，熟記公式解題的關(guān)鍵?！究键c四】棱長擴倍問題?！镜湫屠}】一個正方體棱長擴大到原來的2倍，表面積擴大原來的()倍，體積擴大到原來的()倍。【答案】48【分析】采用設(shè)數(shù)法解決此題。假設(shè)原來正方體的棱長為1，棱長擴大到原來的2倍后是2。正方體的表面積＝棱長×棱長×6，根據(jù)正方體的表面積公式分別計算出正方體原來的表面積、擴大后的表面積；再用擴大后的表面積÷原來的表面積，求出表面積擴大到原的幾倍。正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，根據(jù)正方體的體積公式分別計算出正方體原來的體積、擴大后的體積；再用擴大后的體積÷原來的體積，求出體積擴大到原的幾倍?！驹斀狻考僭O(shè)原來正方體的棱長為1。2×1＝22×2×6÷（1×1×6）＝24÷6＝42×2×2÷（1×1×1）＝8÷1＝8所以，表面積擴大原來的4倍，體積擴大到原來的8倍?！军c睛】當正方體的棱長擴大到原來的n倍時，它的表面積就擴大到原來的n2倍；它的體積就擴大到原來的n3倍。【對應(yīng)練習】1．現(xiàn)在將正方體的棱長擴大為原來的2倍，下列表述正確的是（

）。A．擴大后這個正方體的棱長和是擴大前的12倍 B．擴大后這個正方體的表面積是擴大前的6倍C．擴大后這個正方體的體積是擴大前的8倍 D．擴大后這個正方體的體積是擴大前的4倍【答案】C【分析】假設(shè)正方體的棱長為1，擴大到原來的2倍，根據(jù)正方體的棱長和＝棱長×12；正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長；分別求出擴大前后正方體的棱長和、表面積和體積，進而求出它們變化前后的關(guān)系?！驹斀狻考僭O(shè)正方體的棱長為1，擴大到原來的2倍，擴大后的棱長：1×2＝2原來的棱長總和：1×12＝12擴大后的棱長總和：2×12＝2424÷12＝2擴大后這個正方體的棱長和是擴大前的2倍；原來的表面積：1×1×6＝6擴大后的表面積：2×2×6＝2424÷6＝4擴大后這個正方體的表面積是擴大前的4倍；原來的體積：1×1×1＝1擴大后的體積：2×2×2＝88÷1＝8擴大后這個正方體的體積是擴大前的8倍。故答案為：C【點睛】本題主要考查了正方體的棱長和公式、表面積公式、體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。2．長方體的體積擴大9倍，可能是（

）。A．長方體的長、寬、高各擴大3倍B．長方體的長擴大3倍，寬和高不變C．長方體的長、寬各擴大3倍，高縮小3倍D．長方體的長不變，寬和高各擴大3倍【答案】D【分析】根據(jù)長方體的體積計算方法和積的變化規(guī)律，長方體的體積＝長×寬×高，積擴大的倍數(shù)等于因數(shù)擴大倍數(shù)的乘積；由此解答?！驹斀狻緼．長方體的長、寬、高各擴大3倍，它的體積擴大3×3×3＝27倍，故選項錯誤；B．長方體的長擴大3倍，寬和高不變，它的體積擴大3×1×1＝3倍，故選項錯誤；C．長方體的長、寬各擴大3倍，高縮小3倍，它的體積擴大3×3÷3＝3倍，故選項錯誤；D．長方體的長不變，寬和高各擴大3倍，它的體積擴大1×3×3＝9倍，故選項正確。故答案為：D【點睛】此題主要考查長方體的體積計算方法和積的變化規(guī)律?！究键c五】不規(guī)則或組合立體圖形的表面積?！镜湫屠}】下圖是一個由實心正方體和長方體組合而成的塑料部件。下面正方體的棱長是20cm，上面是長方體的前、后、左、右四個面的面積總和為80cm2。這個塑料部件的表面積是多少平方厘米？

【答案】2480平方厘米【分析】根據(jù)題意，通過平移補齊，這個塑料部件的表面積＝正方體的表面積＋長方體的側(cè)面積（前、后、左、右四個面的面積），正方體的表面積＝6a2，據(jù)此解答。【詳解】（平方厘米）（平方厘米）答：這個塑料部件的表面積是平方厘米?！军c睛】此題考查了長方體與正方體的面積計算，關(guān)鍵熟記計算公式?！緦?yīng)練習】1．有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個小正方體（如圖），你能算出剩余部分的體積和表面積嗎？（圖中單位：cm）【答案】體積：232立方厘米；體積：252平方厘米【分析】觀察圖形可知，剩余部分的體積＝長方體的體積－小正方體的體積；根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高；正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出剩余部分的體積；剩余部分的表面積是長方體的表面積減去小正方體的一個面的面積，再加上小正方體的5個面的面積，即長方體的表面積＋正方體的4個面的面積；根據(jù)長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方體的面積公式：表面積＝棱長×棱長×4，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻矿w積：8×6×5－2×2×2＝48×5－4×2＝240－8＝232（立方厘米）表面積：（8×6＋8×5＋6×5）×2＋2×2×4＝（48＋40＋30）×2＋4×4＝（88＋30）×2＋16＝118×2＋16＝236＋16＝252（平方厘米）答：體積是232立方厘米，表面積是252平方厘米?！军c睛】熟練掌握長方體體積公式和表面積公式，正方體體積公式和表面積公式是解答本題的關(guān)鍵。2．給學校運動會的領(lǐng)獎臺的各個面都涂漆（底面不涂），需要涂漆的面積是多少平方厘米？如果每平方米的油漆需要75元，給這個領(lǐng)獎臺涂漆一共需要多少錢？（單位：厘米）【答案】33280平方厘米；249.6元【分析】觀察圖形可知，從前面看，如下圖：將圖形分成三個長方形，然后分別計算這三個長方形的面積，再相加，即可求出前面的面積；從左面看，如下圖：根據(jù)長方形的面積公式，代入數(shù)據(jù)求出左面的面積；從上面看，如下圖：根據(jù)長方形的面積公式，代入數(shù)據(jù)求出上面的面積；最后用前面的面積×2＋左面的面積×2＋上面的面積即可求出這個立體圖形的表面積；然后把表面積化為平方米作單位，如果每平方米的油漆需要75元，根據(jù)單價×數(shù)量＝總價，用表面積乘75即可求出涂漆需要多少錢。【詳解】前、后面的面積：[80×40＋80×（32＋24）＋80×24]×2＝[80×40＋80×56＋80×24]×2＝[3200＋4480＋1920]×2＝9600×2＝19200（平方厘米）左、右面的面積：40×（32＋24）×2＝40×56×2＝4480（平方厘米）上面的面積：80×3×40＝240×40＝9600（平方厘米）19200＋4480＋9600＝33280（平方厘米）33280平方厘米＝3.328平方米3.328×75＝249.6（元）答：需要涂漆的面積是33280平方厘米；如果每平方米的油漆需要75元，給這個領(lǐng)獎臺涂漆一共需要249.6元。【點睛】本題主要考查了不規(guī)則立體圖形的表面積的靈活計算，通過三視圖觀察出每個面的組成是解答本題的關(guān)鍵?！究键c六】染色問題?！镜湫屠}】將一個棱長5厘米的正方體表面涂色，再切割成棱長1厘米的小正方體，其中三面涂色的有()個，兩面涂色的有()個，一面涂色的有()個。解析：8；36；54【對應(yīng)練習】1．有一個棱長10厘米的正方體，用紅色染料對其表面染色，然后切成棱長為1厘米的小正方體，那么兩個面染色的正方體有()個?！敬鸢浮?6【分析】在各棱處，除去頂點處的正方體，其他的是兩面油漆，棱長被分成10個小正方體，所以每條棱有（10－2）個兩面油漆的小正方體，所以用（10－2）×12即可求出有幾個兩面涂色的小正方體?！驹斀狻績擅嫱可挠校海?0－2）×12＝8×12＝96（個）兩面涂色小正方體有96個?！军c睛】此題主要考查了染色問題，解題的關(guān)鍵是抓住三面涂色的在頂點處，兩面涂色的在棱長上，一面涂色的在正方體的面中間上。2．用棱長1cm的小正方體拼成棱長是4cm的大正方體，然后把大正方體的表面涂上顏色。那么小正方體中，三面涂色的有()個，兩面涂色的有()個?！敬鸢浮?24【分析】由題意可知，大正方體每條棱長上面都有4÷1＝4個小正方體，三個面均涂色的是各頂點處的小正方體；在各棱處，除去頂點處的正方體，其他的有兩面涂色，據(jù)此解答即可?！驹斀狻咳嫱可男≌襟w有8個；兩面涂色的有：（4－2）×12＝2×12＝24（個）則三面涂色的有8個，兩面涂色的有24個。【點睛】熟記不同面涂色的小正方體的位置特點是解答本題的關(guān)鍵。3．某小學要做一個展臺，工人師傅用每個面都是1平方米的正方體靠墻角擺放（如下圖）。把這個展臺露在外面的面涂上紅色，那么共要涂()個面，這些紅色面的面積之和是()平方米。【答案】99【分析】觀察圖形可知，從上面看，有3個面露在外面，從正面看，有3個面露在外面，從右面看，有3個面露在外面，總共有9個面露在外面，所以要涂9個面，每個面的面積是1平方米，即可求出這些紅色面的面積之和。【詳解】根據(jù)分析得，3＋3＋3＝9（個）9×1＝9（平方米）【點睛】本題主要考查立體圖形的切拼。通過從不同方向觀察，確定露在外面的小正方形的個數(shù)是解題的關(guān)鍵?！镜谌块L方體和正方體的表面積“進階篇”【知識總覽】表面積的增減變化問題主要有三種，一種是切片問題，表面積會相應(yīng)增加，一種是拼接問題，表面積會相應(yīng)減少，一種是高的變化引起的表面積變化。1.切片問題。（1）切一刀增加兩個切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進行變化，相對比較簡單。（2）刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。2.拼接問題。（1）長方體或正方體的拼接會使表面積減少，兩個正方體的拼接，有兩個重合面，會減少兩個正方形的面積，同理，三個正方體的拼接會減少四個正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個數(shù)，但是長方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來判斷具體減少的面積。（2）段數(shù)-1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。3.高的變化問題。（1）正方體高的變化，即棱長的增減變化，會引起正方體側(cè)面積的增減變化。（2）長方體高的變化，會引起長方體側(cè)面積的增減變化，長方體的側(cè)面指的是前后左右四個面?！究键c一】拼切問題?！镜湫屠}】1．把下圖的木塊平均分成兩塊，兩塊木塊的表面積的和比原來木塊的表面積增加了多少平方厘米？

【答案】96平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，木塊平均分成兩塊，表面積增加了2個長方形面，長方形的長為8厘米，寬為6厘米，根據(jù)長方形的面積公式，用6×8×2即可求出增加的表面積?！驹斀狻?×8×2＝96（平方厘米）答：兩塊木塊的表面積的和比原來木塊的表面積增加了96平方厘米。【點睛】本題主要考查了立體圖形的切拼，注意表面積增加了哪些面。2．把一根長60厘米的長方體木料鋸成大小一樣的3段，表面積比原來增加了100平方厘米。這根木料原來的體積是多少立方厘米？【答案】1500立方厘米【分析】把長方體木料鋸成大小一樣的3段，鋸了（3－1）＝2次，增加了2×2＝4個截面，即增加的表面積相當于這根長方體木料的4個底面積，用增加的面積除以4，可得長方體木料的底面積。根據(jù)長方體體積公式：V＝Sh，將數(shù)據(jù)代入即可求出木料原來的體積?！驹斀狻坑煞治隹傻茫海?－1）×2＝2×2＝4（個）100÷4×60＝25×60＝1500（立方厘米）答：這根木料原來的體積是1500立方厘米?！军c睛】本題考查了長方體體積的計算，關(guān)鍵明白100平方厘米是4個底面積的和，從而求出一個截面的面積，再計算該長方體木料的體積。【對應(yīng)練習】1．把一根2米長的長方體木料，沿與橫截面平行的方向鋸成4段，表面積增加了192平方厘米，這根長方體木料的體積是多少立方厘米？【答案】6400立方厘米【分析】根據(jù)題意，沿與橫截面平行的方向鋸成4段，那么增加了6個底面，用增加的面積192平方厘米除以6求出一個底面積，再乘高即可求出長方體木料的體積；據(jù)此解答?！驹斀狻?米＝200厘米192÷6×200＝32×200＝6400（立方厘米）答：這根長方體木料的體積是6400立方厘米?！军c睛】此題主要考查立體圖形的切割問題，根據(jù)增加的面積求出長方體的底面積是解題關(guān)鍵；注意統(tǒng)一單位。2．用4個完全一樣的小正方體積木拼成一個長方體（如下圖所示），表面積減少了32平方厘米，每個小正方體的體積是多少？拼成的這個長方體的底面積是多少？【答案】8立方厘米；16平方厘米【分析】如圖，拼成一個長方體后，表面積減少了8個小正方形的面積，用32除以8可求出其中一個小正方形的面積為4平方厘米，所以小正方形的邊長為2厘米，即小正方體的棱長為2厘米，根據(jù)正方體的體積公式即可求出每個小正方體的體積；長方體的長和寬都為（2＋2）厘米，利用長乘寬即可求出拼成的這個長方體的底面積。【詳解】32÷8＝4（平方厘米）因為2×2＝4（平方厘米）所以小正方體的棱長是2厘米。2×2×2＝8（立方厘米）（2＋2）×（2＋2）＝4×4＝16（平方厘米）答：每個小正方體的體積是8立方厘米，拼成的這個長方體的底面積是16平方厘米?！军c睛】此題主要考查立體圖形的拼接，熟練運用正方體的體積和長方體的底面積公式，弄清減少的是幾個面的面積是解題的關(guān)鍵。3．如圖，把一個長、寬、高分別為12厘米、7厘米、9厘米的長方體木塊沿著一個方向鋸開，能夠得到兩個小一些的長方體木塊。怎樣鋸才能使得到的兩個小長方體木塊的表面積之和最小？請在圖中畫一畫，并求出鋸開后的兩個小長方體木塊的表面積之和?！敬鸢浮繄D見詳解；636平方厘米【分析】以大長方體的寬和高為鋸開面的長和寬，增加的表面積最小。據(jù)此，先求出大長方體的表面積，再加上兩個鋸開面的面積，即可求出鋸開后的兩個小長方體木塊的表面積之和?！驹斀狻咳鐖D：

（12×9＋12×7＋9×7）×2＋9×7×2＝（108＋84＋63）×2＋126＝255×2＋126＝510＋126＝636（平方厘米）答：鋸開后的兩個小長方體木塊的表面積之和是636平方厘米?！军c睛】本題考查了長方體的表面積，長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2?！究键c二】高的變化問題?！镜湫屠}】一個高40厘米，底面是正方形的長方體，如果高增加5厘米，表面積就增加80平方厘米，求原來長方體的表面積和體積各是多少？【答案】672平方厘米；640立方厘米【分析】如圖所示，原來長方體的高增加5厘米后，表面積增加上面小長方體4個側(cè)面的面積，長方體的底面是正方形時，其它4個側(cè)面是形狀完全相同的長方形，根據(jù)增加的表面積表示出上面小長方體一個側(cè)面的面積，再求出底面正方形的邊長，最后利用“長方體的表面積＝（長×寬＋寬×高＋長×高）×2”“長方體的體積＝長×寬×高”求出原來長方體的表面積和體積，據(jù)此解答?！驹斀狻?0÷4÷5＝20÷5＝4（厘米）表面積：（4×4＋4×40＋4×40）×2＝（16＋160＋160）×2＝336×2＝672（平方厘米）體積：4×4×40＝16×40＝640（立方厘米）答：原來長方體的表面積是672平方厘米，體積是640立方厘米?！军c睛】根據(jù)增加的表面積求出原來長方體的長和寬，并掌握長方體的表面積和體積的計算公式是解答題目的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習】1．一個正方體，它的高增加2厘米后就成了長方體，這個長方體的表面積比原正方體表面積增加了96平方厘米，求原正方體的表面積。【答案】864平方厘米【分析】一個正方體如果它的高增加2厘米，就變成了長方體，表面積比原來增加96平方厘米，它的底面積沒變，增加的是4個側(cè)面的面積，增加部分每個面的面積是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原來正方體的棱長；再根據(jù)：正方體的表面積＝6a2，將數(shù)據(jù)代入公式計算即可。【詳解】96÷4÷2＝24÷2＝12（厘米）12×12×6＝144×6＝864（平方厘米）答：原正方體的表面積是864平方厘米。【點睛】此題解答關(guān)鍵是求出正方體的棱長，然后根據(jù)正方體的表面積公式解答即可。2．一個長方體，如果高減少3厘米就變成了一個正方體，表面積就減少了96平方厘米，現(xiàn)在這個正方體的體積與原來長方體的體積相差多少立方厘米？【答案】192立方厘米【分析】根據(jù)題意，長方體的高減少3厘米變成了一個正方體，說明長方體的長和寬都等于正方體的棱長；正方體比原來長方體減少的表面積是4個長為正方體的棱長，寬為3厘米的長方形的面積；先用減少的表面積除以4，求出一個長方形的面積，再除以3，即可求出正方體的棱長，也是長方體的長和寬；那么正方體與原來長方體相差的體積是一個長、寬等于正方體的棱長，高為3厘米的小長方體的體積，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算即可?！驹斀狻?6÷4＝24（平方厘米）24÷3＝8（厘米）8×8×3＝64×3＝192（立方厘米）答：現(xiàn)在這個正方體的體積與原來長方體的體積相差192立方厘米?！军c睛】本題考查立體圖形的切拼以及長方體體積公式的應(yīng)用，明確表面積減少的是哪些面的面積，以此為突破口，求出正方體的棱長是解題的關(guān)鍵。3．如圖，從一個長方體鋼錠中截下一個體積是108立方厘米的小長方體后，剩下的部分剛好是一個棱長為6厘米的正方體。原來長方體鋼錠的表面積是多少？

【答案】288平方厘米【分析】由圖可知，截去小長方體的長和寬都是6厘米，根據(jù)“高＝長方體的體積÷長÷寬”求出截去小長方體的高，原來長方體的高＝截去小長方體的高＋正方體的棱長，最后利用“長方體的表面積＝（長×寬＋寬×高＋長×高）×2”求出原來長方體鋼錠的表面積，據(jù)此解答。【詳解】108÷6÷6＝18÷6＝3（厘米）3＋6＝9（厘米）（6×6＋6×9＋6×9）×2＝（36＋54＋54）×2＝144×2＝288（平方厘米）答：原來長方體鋼錠的表面積是288平方厘米。【點睛】本題主要考查立體圖形的切拼，熟練掌握并靈活運用長方體的表面積和體積的計算公式是解答題目的關(guān)鍵?！究键c三】切掉最大的正方體?！镜湫屠}】一個長方體，長12厘米，寬8厘米，高5厘米。從這個長方體上切下一個最大的正方體后，剩下部分的體積是多少立方厘米？【答案】355立方厘米【分析】從這個長方體上切下一個最大的正方體，這個正方體的棱長是5厘米，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此求出正方體的體積，然后用長方體的體積減去正方體的體積即可?！驹斀狻浚?80－125＝355（立方厘米）答：剩下部分的體積是355立方厘米?！军c睛】本題考查正方體和長方體的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵?！緦?yīng)練習】1．從一個長是8cm，寬4cm，高5cm的長方體中，截取一個最大的正方體，這個正方體的體積是多少？【答案】4×4×4【分析】根據(jù)題意可知：在這個長方體中截取一個最大的正方體，這個正方體的棱長等于長方體的寬，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】4×4×4＝64（cm3）答：這個正方體的體積是64cm3。【點睛】本題是考查圖形的切拼問題，解答此題的關(guān)鍵是考慮要以長方體的最短邊為棱長。2．將下面的長方體切割成一個最大的正方體。（1）這個正方體的體積是多少？（2）正方體的體積占原長方體體積的幾分之幾？【答案】（1）64立方厘米；（2）【分析】（1）長方體切割成一個最大的正方體，正方體的棱長應(yīng)等于長方體的寬，為4厘米，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式求出它的體積。（2）利用長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入求出長方體的體積，再用正方體的體積除以原長方體體積，即可求出正方體的體積占原長方體體積的幾分之幾?！驹斀狻浚?）根據(jù)分析得，正方體的棱長為4厘米。4×4×4＝64（立方厘米）答：這個正方體的體積是64立方厘米。（2）8×5×4＝160（立方厘米）64÷160＝答：正方體的體積占原長方體體積的?！军c睛】此題主要考查長方體、正方體的體積公式的靈活運用，抓住立體圖形切割的特點，根據(jù)求一個數(shù)占另一個數(shù)的幾分之幾的計算方法，解決問題?！镜谒钠块L方體和正方體的體積【知識總覽】一、體積及容積單位。1.容積：容積是指物體所能容納物體的體積大小，常見的容積單位有：升（L）、毫升（mL）。2.體積：體積是指物體本身所占空間的大小，常見的體積單位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相當于一個手指尖的體積。由于測量方法的不同，體積一般大于容積。二、體積及容積單位換算。1.體積及容積單位進率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。2.單位換算：高級單位換算為低級單位乘進率，低級單位換算成高級單位除以進率。三、長方體的體積。1.長方體的體積=長×寬×高，用字母表示V=abh。2.長=體積÷寬÷高，a=V÷b÷h。3.寬=體積÷長÷高，b=V÷a÷h。4.高=體積÷長÷寬，h=V÷a÷b。四、正方體的體積。正方體的體積=棱長×棱長×棱長，用字母表示V=a×a×a=a3，讀作“a的立方”表示3個a相乘。五、體積的擴倍問題。長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數(shù)的立方倍。六、排水法求不規(guī)則物體的體積。形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積：排水法的公式：V物體=V現(xiàn)在－V原來也可以V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)V物體=S×h升高【考點一】體積和容積單位及換算?！镜湫屠}】1．在括號里填上合適的單位名稱。一只熱水瓶最多能盛水1.2()；粉筆盒的高大約是10()；一間教室占地大約48()；一個礦泉水瓶的容量是500()?！敬鸢浮可?L厘米/cm平方米/m2毫升/mL【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗，數(shù)據(jù)的大小和對單位的認識可知：計量一只熱水瓶的容積用升做單位更為合適；計量粉筆盒的高用厘米做單位更為合適；計量一間教室占地面積用平方米做單位更為合適；計量一個礦泉水瓶的容量用毫升做單位更為合適，據(jù)此解答?！驹斀狻恳恢粺崴孔疃嗄苁⑺?.2升；粉筆盒的高大約是10厘米；一間教室占地大約48平方米；一個礦泉水瓶的容量是500毫升。2．在括號里填上適當?shù)臄?shù)。5060毫升＝()升

4.3立方分米＝()立方分米()立方厘米1.02立方分米＝()升()毫升

11.2升＝()立方分米＝()立方厘米【答案】5.06430012011.211200【分析】低級單位換高級單位除以進率，根據(jù)1升＝1000毫升，用5060÷1000即可；高級單位換低級單位乘進率，把4.3拆成4＋0.3，再根據(jù)1立方分米＝1000立方厘米，用0.3×1000即可；把1.02拆成1＋0.02，根據(jù)1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，用0.02×1000即可；根據(jù)1升＝1立方分米，則11.2升＝11.2立方分米，根據(jù)1立方分米＝1000立方厘米，用11.2×1000即可?！驹斀狻?060毫升＝5060÷1000升＝5.06升4.3立方分米＝4立方分米＋0.3立方分米＝4立方分米＋0.3×1000立方厘米＝4立方分米300立方厘米1.02立方分米＝1立方分米＋0.02立方分米＝1升0.02×1000毫升＝1升20毫升11.2升＝11.2立方分米＝11.2×1000立方厘米＝11200立方厘米【對應(yīng)練習】1．在括號里填上合適的單位。(1)一臺冰箱所占的空間大約是1.2()。(2)一本數(shù)學書封面的面積大約是280()?！敬鸢浮?1)立方米/m3(2)平方厘米/cm2【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗以及數(shù)據(jù)的大小，選擇合適的計量單位，即可解答。體積是指物體所占的空間大小，常用單位是立方厘米、立方分米、立方米；一臺冰箱所占的空間用立方米比較合適；常用的面積單位有平方米、平方分米、平方厘米，數(shù)學書封面的面積用平方厘米比較合適?！驹斀狻浚?）一臺冰箱所占的空間大約是1.2立方米。（2）一本數(shù)學書封面的面積大約是280平方厘米?！军c睛】此題考查根據(jù)情景選擇合適的計量單位，要注意聯(lián)系生活實際、計量單位和數(shù)據(jù)的大小，靈活地選擇。2．一盒牛奶的體積是250()，一塊橡皮的體積約是3()。【答案】立方厘米/cm3立方厘米/cm3【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗以及數(shù)據(jù)的大小，選擇合適的計量單位，即可解答?！驹斀狻扛鶕?jù)實際情況可知：一盒牛奶的體積是250立方厘米，一塊橡皮的體積約是3立方厘米。【點睛】此題考查根據(jù)情景選擇合適的計量單位，要注意聯(lián)系生活實際、計量單位和數(shù)據(jù)的大小，靈活的選擇。3．514dm3＝()m3

1時30分＝()時270dm2＝()m2＝()cm2

8t200kg＝()t【答案】0.5141.52.7270008.2【分析】根據(jù)1m3＝1000dm3，1小時＝60分鐘，1m2＝100dm2＝10000cm2，1t＝1000kg，高級單位換算成低級單位，乘進率，低級單位換算成高級單位，除以進率，據(jù)此解答?！驹斀狻?14dm3＝0.514m330分＝0.5小時，所以1時30分＝1.5時；270dm2＝2.7m2＝27000cm2200kg＝0.2t，所以8t200kg＝8.2t?！军c睛】本題考查單位之間的互化，關(guān)鍵是熟記進率。4．在括號里填上適當?shù)臄?shù)。0.75噸＝()千克

60平方分米＝()平方厘米

3.2升＝()毫升0.2公頃＝()平方米

1900公頃＝()平方千米

0.38平方千米＝()公頃【答案】7506000320020001938【分析】1噸＝1000千克，1平方分米＝100平方厘米，1升＝1000毫升，1公頃＝10000平方米，1平方千米＝100公頃，低級單位換算為高級單位除以它們之間的進率，高級單位換算為低級單位乘它們之間的進率，據(jù)此解答?！驹斀狻?.75×1000＝750（千克），0.75噸＝750千克；60×100＝6000（平方厘米），60平方分米＝6000平方厘米；3.2×1000＝3200（毫升），3.2升＝3200毫升；0.2×10000＝2000（平方米），0.2公頃＝2000平方米；1900÷100＝19（平方千米），1900公頃＝19平方千米；0.38×100＝38（公頃），0.38平方千米＝38公頃?！军c睛】此題考查重量單位、面積單位、容積單位的換算，關(guān)鍵能夠熟記進率?！究键c二】長方體的體積?！镜湫屠}】1.某工地運來9.6立方米的沙子，鋪在一個長6米、寬2.5米的沙坑里，可以鋪多厚？解析：9.6÷6÷2.5＝0.64（米）答：可以鋪0.64米。2.學校要砌一道長20米、寬2.4分米、高2米的墻，每立方米需要525塊磚，學校需要買多少塊磚？解析：2.4分米＝0.24米20×0.24×2＝4.8×2＝9.6（立方米）525×9.6＝5040（塊）答：學校需要買5040塊磚。【對應(yīng)練習】1．為了迎接冬泳比賽，某游泳基地對室內(nèi)游泳池進行升級改造，在它四周和底面貼瓷磚。游泳池長50米，寬30米，高2米，升級完成后工作人員儲水2700立方米，這時水面離池沿還有多少分米？（瓷磚厚度忽略不計）【答案】2分米【分析】根據(jù)長方體體積公式：V＝長×寬×高，可得高＝V÷長÷寬，代入數(shù)值求出儲水的高度，用泳池的高度減去儲水的高度，可得離池沿的米數(shù)；由高級單位米轉(zhuǎn)化成低級單位分米，乘進率10即可?！驹斀狻坑煞治隹傻茫?－2700÷50÷30＝2－54÷30＝2－1.8＝0.2（米）0.2米＝0.2×10＝2分米答：這時水面離池沿還有2分米?！军c睛】本題考查了長方體體積公式的靈活運用，解題的關(guān)鍵是注意單位的統(tǒng)一。2．挖一個長8米、寬6米、深2米的蓄水池。

（1）這個蓄水池的占地面積是多少平方米？（2）如果給這個蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面積是多少平方米？（3）這個水池最多能蓄水多少噸？（1立方米的水重1噸）【答案】（1）48平方米；（2）104平方米；（3）96噸【分析】（1）根據(jù)長方體的底面積＝長×寬，用8×6即可求出蓄水池的占地面積；（2）無蓋的長方體表面積只有5個面的面積，根據(jù)無蓋的長方體面積＝長×寬＋長×高×2＋寬×高×2，用8×6＋8×2×2＋6×2×2即可求出抹水泥部分的面積；（3）根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用8×6×2即可求出水池的容積，再用乘法求出水池最多能蓄水多少噸?！驹斀狻浚?）8×6＝48（平方米）答：這個蓄水池的占地面積是48平方米。（2）8×6＋8×2×2＋6×2×2＝48＋32＋24＝104（平方米）答：抹水泥部分的面積是104平方米。（3）8×6×2＝96（立方米）96×1＝96（噸）答：這個水池最多能蓄水96噸。【點睛】本題主要考查了長方體的表面積公式、體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式?！究键c三】正方體的體積?！镜湫屠}】一個正方體玻璃容器的棱長是15厘米，體積是多少立方厘米？解析：15×15×15＝225×15＝3375（立方厘米）答：體積是3375立方厘米。【對應(yīng)練習】1．把如圖所示的正方體鋼塊鍛造成底面積是的長方體鋼錠，這根長方體鋼錠的高是多少分米？

【答案】12分米【分析】鍛造前后的體積不變，則長方體鋼錠的體積等于正方體鋼塊的體積，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，長方體的體積＝底面積×高，則用正方體的體積除以長方體的底面積即可求出長方體的高度?！驹斀狻浚?6×6÷18＝216÷18＝12（分米）答：根長方體鋼錠的高是12分米?！军c睛】明確鍛造前后體積不變是解題的關(guān)鍵。2．把棱長為30厘米的正方體鋼坯，鍛造成寬為15厘米，高為8厘米的長方體鋼條，這根鋼條的長是多少厘米？【答案】225厘米【分析】由正方體變成長方體，它的體積不變，先根據(jù)正方體的體積＝邊長×邊長×邊長，求出這塊鋼坯的體積，再根據(jù)長方體的體積公式求出它的長即可?！驹斀狻?0×30×30÷（15×8）＝27000÷120＝225（厘米）答：這根鋼條的長是225厘米?！军c睛】先找出在變形中不變的量是什么，再根據(jù)不變的量求解。【考點四】折疊圖形中的體積。【典型例題】一塊長、寬的長方形鐵皮（如下圖），從四個角各切掉一個邊長的正方形，然后做成盒子。（1）這個盒子用了多少平方厘米的鐵皮？（2）它的容積是多少？解析：（1）80×40－10×10×4＝3200－400＝2800（平方厘米）答：這個盒子用了2800平方厘米的鐵皮。（2）（立方厘米）答：它的容積是12000立方厘米?！緦?yīng)練習】1．下面是一塊長60厘米、寬50厘米的鐵皮，爸爸計劃用它做一個深5厘米無蓋的盒子裝奶糕，它能裝多少升的奶糕？

【答案】10升【分析】由圖可知，這個無蓋盒子是一個長方體，長方體的長＝長方形的長－5×2，長方體的寬＝長方形的寬－5×2，長方體的高為5厘米，利用“長方體的容積＝長×寬×高”求出這個盒子的容積，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?0－5×2）×（50－5×2）×5＝（60－10）×（50－10）×5＝50×40×5＝2000×5＝10000（立方厘米）10000立方厘米＝10立方分米＝10升答：它能裝10升的奶糕?！军c睛】本題主要考查長方體容積公式的應(yīng)用，熟記公式是解答題目的關(guān)鍵。2．一塊長方形鐵皮，如圖，從四個角各切掉一個邊長為x厘米的正方形，焊接成一個無蓋盒子。

（1）當x＝5時，焊接無蓋盒子用了多少鐵皮？（2）當x＝5時，這個盒子的占地面積是多少？（3）當x＝5時，這個盒子的容積是多少？（4）x可取的數(shù)值很多，在這些數(shù)值中，x＝5時的盒子容積是最小的嗎？請回答并寫出過程。【答案】（1）775平方厘米；（2）375平方厘米；（3）1875立方厘米；（4）不是；見詳解【分析】（1）當x＝5時，焊接無蓋盒子所用的鐵皮面積等于一個長為35厘米，寬為25厘米的長方形面積減去4個邊長為5厘米的正方形的面積，利用長方形和正方形的面積公式即可得解。（2）當x＝5時，這個盒子的占地面積是一個長為（35－2×5）厘米，寬為（25－2×5）厘米的長方形，利用長方形的面積公式即可得解。（3）根據(jù)長方體的容積公式：V＝Sh，代入數(shù)據(jù)即可求出這個盒子的容積。（4）可假設(shè)x＝1和x＝2時，先分別求出長方體的長、寬、高，再利用長方體的容積公式，分別求出這兩種情況下長方體的容積，再與x＝5時所求的長方體盒子的容積比較大小，即可得解?！驹斀狻浚?）當x＝5時，焊接無蓋盒子所用的面積為：S＝35×25－4×52＝875－4×25＝875－100＝775（平方厘米）答：焊接無蓋盒子用了775平方厘米的鐵皮。（2）當x＝5時，這個盒子占地為長方形，該長方形的長為：35－2x＝35－2×5＝35－10＝25（厘米）該長方形的長為：25－2x＝25－2×5＝25－10＝15（厘米）25×15＝375（平方厘米）答：這個盒子的占地面積是375平方厘米。（3）當x＝5時，這個盒子的容積為占地面積乘盒高。375×5＝1875（立方厘米）答：這個盒子的容積是1875立方厘米。（4）x可取的數(shù)值很多，在這些數(shù)值中，x＝5時的盒子容積不是最小的。理由如下：當x＝1時，V＝（35－2）×（25－2）×1＝33×23×1＝759（立方厘米）當x＝2時，V＝（35－4）×（25－4）×2＝31×21×2＝1302（立方厘米）759立方厘米＜1875立方厘米，1302立方厘米＜1875立方厘米答：在這些數(shù)值中，x＝5時的盒子容積不是最小的?！军c睛】此題主要考查長方體的特征、長方體的表面積以及長方體的容積的計算方法?！究键c五】等積變形問題。【典型例題】1.一個正方體實心鐵塊的棱長總和是48分米，現(xiàn)將它熔鑄成一個底面積是32平方分米的實心長方體鐵塊，熔鑄成的實心長方體鐵塊的高是多少分米？解析：48÷12＝4（分米）4×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：熔鑄成的實心長方體鐵塊的高是2分米。2.一個正方體玻璃缸，棱長6分米，用它裝滿水，再把水全部倒入一個底面積為30平方分米，高為10分米的長方體水槽中，水深多少？解析：6×6×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：水深7.2分米。3.如下圖所示，密閉的容器中裝有5厘米深的水。如果以這個容器的右側(cè)面為底面把容器豎起來，這時水深多少厘米？解析：30×10×5÷（10×15）＝300×5÷150＝1500÷150＝10（厘米）答：這時水深10厘米?！緦?yīng)練習】1．手工課上，一名學生將一個棱長6厘米的正方體橡皮泥捏成長9厘米、寬4厘米的長方體，捏成的長方體的高是多少厘米？【答案】6厘米【分析】根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，用6×6×6即可求出橡皮泥的體積，再根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用橡皮泥的體積÷9÷4即可求出捏成的長方體的高。【詳解】6×6×6＝216（立方厘米）216÷9÷4＝6（厘米）答：捏成的長方體的高是6厘米。【點睛】本題主要考查了正方體體積公式、長方體體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。2．把一塊棱長為30厘米的正方體鐵塊，熔鑄成一個寬4.5分米，高1.2分米的長方體，這個長方體鐵塊的長是多少厘米？（損耗不計）【答案】50厘米【分析】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，代入數(shù)據(jù)求出正方體鐵塊的體積，熔鑄后，體積不變，再根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出這個長方體鐵塊的長。【詳解】4.5分米＝45厘米1.2分米＝12厘米30×30×30÷（45×12）＝27000÷540＝50（厘米）答：這個長方體鐵塊的長是50厘米?！军c睛】此題主要考查等積變形，靈活運用正方體和長方體的體積公式求解。3．一個長方體的容器（如圖），里面的水深5厘米，把這個容器蓋擰緊后豎放，使長10厘米、寬8厘米的面朝下，這時里面的水深是多少厘米？

【答案】12.5厘米【分析】水的體積不管怎么放都是不變的，水的體積＝容器的底面積×水面高度，則用20×10×5先求出水的體積，再用水的體積除以容器新的底面積，即可求出此時水的深度是多少厘米?！驹斀狻?0×10×5÷（8×10）＝1000÷80＝12.5（厘米）答：這時容器里面的水深是12.5厘米?！军c睛】明確水的體積不管如何擺放容器都是不變的是解題的關(guān)鍵?！究键c六】排水法求不規(guī)則物體的體積?！镜湫屠}】1.在一個底