新教材2024版高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念課件新人教A版必修第一冊(cè)

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的要素?cái)?shù)學(xué)抽象2．會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域數(shù)學(xué)運(yùn)算3．理解區(qū)間的概念及表示直觀想象|自學(xué)導(dǎo)引|

函數(shù)的概念概念設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的____________，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有__________的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系f定義域______的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}任意一個(gè)數(shù)x

唯一確定x

【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．

(

)(2)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個(gè)x可以對(duì)應(yīng)著值域中不同的y．

(

)(3)在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)函數(shù)的定義域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1．(2)根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域中的任何一個(gè)x，在值域中都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)．(3)在函數(shù)的定義中，函數(shù)的值域是集合B的子集．

函數(shù)相等如果兩個(gè)函數(shù)的_________相同，并且__________完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)．定義域?qū)?yīng)關(guān)系

函數(shù)f(x)＝x2，x∈R與g(t)＝t2，t∈R是不是同一個(gè)函數(shù)？【提示】兩個(gè)函數(shù)的定義域都是按同一對(duì)應(yīng)關(guān)系“平方”對(duì)應(yīng)B中唯一確定的元素，故是同一個(gè)函數(shù)．【預(yù)習(xí)自測(cè)】

區(qū)間及有關(guān)概念1．一般區(qū)間的表示．設(shè)a，b∈R，且a＜b，規(guī)定如下：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間______

{x|a＜x＜b}開區(qū)間______

{x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間______

{x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間______

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

2．特殊區(qū)間的表示．定義R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符號(hào)(－∞，＋∞)________________________________[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，a]

(－∞，a)

(1)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？(2)“∞”是數(shù)嗎？如何正確使用“∞”？【提示】(1)不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0}就不能用區(qū)間表示．(2)“∞”讀作“無窮大”，是一個(gè)符號(hào)，不是數(shù)．以“－∞”或“＋∞”作為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào)．【預(yù)習(xí)自測(cè)】|課堂互動(dòng)|題型1函數(shù)關(guān)系的判定

(1)下列圖形中，不能確定y是x的函數(shù)的是

(

)【答案】(1)D

(2)AB

【解析】(1)任作一條垂直于x軸的直線x＝a，移動(dòng)直線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，此直線與函數(shù)圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)．由此可知D不滿足要求，因此不表示函數(shù)關(guān)系．(2)A，B滿足題意，C中當(dāng)x＝0時(shí)不滿足，D中當(dāng)x＜0時(shí)不滿足．故選AB．判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法(1)任取一條垂直于x軸的直線l．(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l．(3)若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù)．1．設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有 (

)A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B

【解析】①錯(cuò)，x＝2時(shí)，在N中無元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足任意性；②對(duì)，同時(shí)滿足任意性與唯一性；③錯(cuò)，x＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)元素y＝3

N，不滿足任意性；④錯(cuò)，x＝1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足唯一性．題型2相同函數(shù)的判斷【答案】(1)⑤

【解析】①f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數(shù)；②f(x)與g(x)的解析式不同，不是同一函數(shù)；③f(x)＝|x＋3|，與g(x)的解析式不同，不是同一函數(shù)；④f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數(shù)；⑤f(x)與g(x)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系皆相同，故是同一函數(shù)．判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)應(yīng)注意三點(diǎn)(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù)．(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．(3)在化簡解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形．題型3求函數(shù)的定義域【答案】(1)B

(2)B

求函數(shù)的定義域的注意點(diǎn)(1)函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：①分式的分母不為0；②偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)；③y＝x0要求x≠0．(2)不對(duì)解析式化簡變形，以免定義域變化．(3)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合．(4)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接．抽象函數(shù)的定義域問題(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的取值范圍．【答案】(1)C

(2)C題型4求函數(shù)值和函數(shù)值域(2)解：①(觀察法)因?yàn)閤∈R，所以x＋1∈R，即函數(shù)的值域是R．②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．由x∈[0，3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2，6)．求函數(shù)值域常用的4種方法(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．(2)配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí)，可利用配方法求其值域．(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．【答案】(1)16

易錯(cuò)警示求函數(shù)定義域時(shí)條件考慮不充分錯(cuò)解：由題意得3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閇－3，1]．易錯(cuò)防范：忽視分母不為零；誤以為(x＋1)0＝1對(duì)任意實(shí)數(shù)成立．防范措施是求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①分式的分母不為零；②偶次根式被開方式非負(fù)；③零的非正數(shù)次冪沒有意義；④函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集．|素養(yǎng)達(dá)成|1．函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系．因此，判定兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)時(shí)，就看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全一致，完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算同一函數(shù)(體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng))．2．函數(shù)符號(hào)y＝f(x)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它是抽象符號(hào)之一．首先明確符號(hào)“y＝f(x)”為y是x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”．1．(題型1)下列圖形中可能表示函數(shù)圖象的是 (

)【答案】C

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意的一個(gè)x都存在唯一的y與之對(duì)應(yīng)，而A，B，D都是一對(duì)多，只有C是多對(duì)一．故選C．【答案】D