新教材2024版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時(shí)等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式課件新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第四章

數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時(shí)等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.理解等比數(shù)列的概念，理解等比中項(xiàng)的概念數(shù)學(xué)抽象2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題，體會(huì)它和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)運(yùn)算3.掌握等比數(shù)列的判斷與證明方法邏輯推理自學(xué)導(dǎo)引如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于____________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用字母________表示(顯然q≠0)．同一個(gè)常數(shù)等比數(shù)列的概念公比q【預(yù)習(xí)自測(cè)】1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)數(shù)列1，－1，1，－1，…是等比數(shù)列． (

)(2)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列． (

)(3)等比數(shù)列至少有3項(xiàng)． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√【解析】(1)數(shù)列1，－1，1，－1，…從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于－1，由等比數(shù)列的概念知該數(shù)列是等比數(shù)列．(2)這個(gè)常數(shù)必須是同一個(gè)常數(shù)且不為零才是等比數(shù)列．(3)由等比數(shù)列的概念易知正確．【答案】①②如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成___________，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.等比數(shù)列等比中項(xiàng)【預(yù)習(xí)自測(cè)】1．(2022年北京期末)設(shè)m＝－8，n＝－2，則m與n的等比中項(xiàng)為

(

)A．4 B．－4C．±4 D．－5【答案】C【解析】設(shè)－8與－2的等比中項(xiàng)為x，則x2＝(－8)×(－2)＝16，解得x＝±4.故選C．2．(2022年遼源期末)若1與11的等差中項(xiàng)是4與m的等比中項(xiàng)，則m＝

(

)A．6 B．7C．8 D．9【答案】D等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則通項(xiàng)公式為an＝________．a(chǎn)1qn－1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【預(yù)習(xí)自測(cè)】1．(2022年合肥期末)若{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝1，a5＝16，則a6－a5＝

(

)A．32 B．－48C．16 D．－48或16【答案】C2．(2022年張家界期末)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝12，則a5＝

(

)A．27 B．64C．81 D．256【答案】C【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由a2＋a3＝12，得a1q＋a1q2＝12，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍去)，所以a5＝a1q4＝1×34＝81.故選C．課堂互動(dòng)題型1等比數(shù)列的定義及判定【答案】(1)01．在數(shù)列{an}中，已知an＝3an－1＋2·5n(n∈N*，n≥2)，其中a1≠25，求證：數(shù)列{an－5n+1}是等比數(shù)列．

等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項(xiàng)a1＝1，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之和是

(

)A．90

B．100C．145

D．190【答案】B題型2等比中項(xiàng)的應(yīng)用【答案】D

在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝9，a6＝243，求a5.題型3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解．關(guān)于a1和q的求法通常有兩種方法：(1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法；(2)充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡(jiǎn)化運(yùn)算．3．在等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，則a4＝________.【答案】27【解析】設(shè){an}公比為q(q≠0).由2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，可得4a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2.因?yàn)閍1≠0，所以q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.當(dāng)q＝1時(shí)，a2＝a1，這與a2－a1＝2矛盾，舍去；當(dāng)q＝3時(shí)，a2＝3a1.又因?yàn)閍2－a1＝2，所以a1＝1，所以an＝a1qn-1＝3n-1.所以a4＝33＝27.【分析】根據(jù){an}的遞推公式求an，可考慮由遞推公式構(gòu)造新數(shù)列，使新數(shù)列成等比數(shù)列，再由新數(shù)列求an.思想方法構(gòu)造等比數(shù)列的技巧素養(yǎng)訓(xùn)練2．等比中項(xiàng)的理解(1)當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)；當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，沒(méi)有等比中項(xiàng)．(2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．(3)“a，G，b成等比數(shù)列”等價(jià)于“G2＝ab”(a，b均不為0)，可以用它來(lái)判斷或證明三個(gè)數(shù)是否成等比數(shù)列．1．(題型1)(2023年上海期末)若a，b，c，d成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：①a2，b2，c2，d2；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－d.其中必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為(

)A．0

B．1C．2

D．3【答案】C2．(題型3)(2022年重慶模擬)若等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝a5，a4＝8，則a6＝ (

)A．16 B．32C．64

D．128【答案】B3．(題型2)等比數(shù)列{an}(an＞0)滿足a1－a5＝90，a2－a4＝36，則a5，a7的等比中項(xiàng)為_(kāi)_______.【答案】±34．(題型3)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1a5＝16，a2＝