新教材2024版高中數學第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理課后提能訓練新人教A版選擇性必修第一冊

1.2空間向量基本定理A級——基礎過關練1.已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，則與a，b不能構成空間基底的向量是 ()A.eq\o(OA,\s\up6(→)) B.eq\o(OB,\s\up6(→)) C.eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))或eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】C【解析】因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b且a，b不共線，所以a，b，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，所以eq\o(OC,\s\up6(→))與a，b不能構成一組空間基底.故選C.2.(2023年長沙檢測)已知{a，b，c}是空間向量的一個基底，則下列向量中能與a＋b，a－b構成基底的是 ()A.a B.b C.c D.a＋2b【答案】C【解析】根據向量加法和減法的幾何意義可知：a，b，a＋b，a－b共面，由于{a，b，c}是空間向量的一個基底，所以能與a＋b，a－b構成基底的是c.故選C.3.(2023年淄博檢測)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點F是側面CDD1C1的中心，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝ ()A.1 B.eq\f(3,2) C.2 D.eq\f(5,2)【答案】C【解析】eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，故x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)，則x＋y＋z＝2.故選C.4.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))為 ()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－c B.a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)cC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c【答案】D【解析】eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1N,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))，因為BM＝2A1M，C1N＝2B1N，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.5.已知{e1，e2，e3}為空間向量的一個基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，則α，β，γ的值為 ()A.α＝eq\f(5,2)，β＝－1，γ＝－eq\f(1,2)B.α＝－1，β＝eq\f(5,2)，γ＝－eq\f(1,2)C.α＝－eq\f(1,2)，β＝eq\f(5,2)，γ＝－1D.α＝－1，β＝－eq\f(1,2)，γ＝eq\f(5,2)【答案】A【解析】由題意得a，b，c為三個不共面的向量，∴由空間向量基本定理可知必然存在唯一的有序實數組(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2)．))故選A.6.(多選)若{a，b，c}是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間一個基底的是 ()A.a，2b，3cB.a＋b，b＋c，c＋aC.a＋2b，2b＋3c，3a－9cD.a＋b＋c，b，c【答案】ABD【解析】因為－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0，所以3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，即三向量3a－9c，a＋2b，2b＋3c共面.故選ABD.7.(多選)已知在四面體OABC中，點M在線段OA上，且OM＝2MA，點N為BC的中點，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則 ()A.eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cB.eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－cD.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c【答案】BC【解析】eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b－a；eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c－eq\f(2,3)a；eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(2,3)a；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－b.故選BC.8.對于不共面的三個向量a，b，c，若a＝xa＋yb＋(z－3)c，則x＝________，y＝________，z＝________.【答案】103【解析】因為a＝xa＋yb＋(z－3)c，由對應系數相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，,z－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，,z＝3.))9.已知在四面體ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，對角線AC，BD的中點分別為E，F，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝________.【答案】3a＋3b－5c【解析】取BC的中點G，連接EG，FG(圖略)，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GF,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq\f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.10.如圖，已知四棱錐PABCD的底面是平行四邊形，M是PC的中點，問向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→))是否可以組成一個基底，并說明理由.解：eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→))不可以組成一個基底.理由如下：如圖，連接AC，BD相交于點O，連接OM.因為ABCD是平行四邊形，所以O是AC，BD的中點.在△BDM中，eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))，在△PAC中，M是PC的中點，O是AC的中點，則eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，即eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))，即eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(MD,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))共面.所以eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MD,\s\up6(→))不可以組成一個基底.B級——能力提升練11.(多選)(2023年青島月考)已知M，A，B，C四點互不重合且任意三點不共線，則下列式子中能使eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→))，\o(MB,\s\up6(→))，\o(MC,\s\up6(→))))成為空間的一個基底的是 ()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.6eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))【答案】AC【解析】對于選項ACD，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，可得M，A，B，C四點共面，即eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，所以選項A中，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面，可以構成基底，選項C中，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面，可以構成基底；選項D中，因為6eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，可得M，A，B，C四點共面，即eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，無法構成基底，故選項D錯誤；對于選項B，根據平面向量基本定理，因為eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))，得eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，無法構成基底，故選項B錯誤.故選AC.12.已知點A在基底{a，b，c}下的坐標為(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，則點A在基底{i，j，k}下的坐標是 ()A.(12，14，10) B.(14，12，10)C.(10，12，14) D.(12，10，14)【答案】A【解析】設點A在基底{a，b，c}下對應的向量為p，則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故點A在基底{i，j，k}下的坐標為(12，14，10).故選A.13.若{a，b，c}是空間向量的一個基底，且存在實數x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________.【答案】x＝y＝z＝0【解析】若x≠0，則a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a與b，c共面.由{a，b，c}是空間向量的一個基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.14.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若向量eq\o(AE,\s\up6(→))在以{eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}為單位正交基底下的坐標為(1，x，y)，則x＝________，y＝________.【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,2)【解析】eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，故x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).15.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分別是AD1，BD的中點.(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(E