電路分析第9章 阻抗與導(dǎo)納B

第九章阻抗和導(dǎo)納§9-1變換方法的概念§9-4相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)§9-5基爾霍夫定律的相量形式§9-7VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導(dǎo)納的引入§9-8正弦電路與電阻電路的類比——相量模型的引入§9-6三種基本電路元件VCR的相量形式§9-9正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析§9-11相量模型的等效§9-12有效值有效值相量§9-13兩類特殊問題相量圖法§9-2復(fù)數(shù)§9-3相量§9-10相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點(diǎn)分析法正弦交流電路是指含有正弦電源(激勵)而且電路各部分所產(chǎn)生的電壓和電流(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))均按正弦規(guī)律變化的電路。正弦交流電路(正弦穩(wěn)態(tài)電路)的基本概念在生產(chǎn)和生活中普遍應(yīng)用正弦交流電，特別是三相電路應(yīng)用更為廣泛。本章和下一章將介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的一些基本概念、基本理論和基本分析方法。交流電路具有用直流電路的概念無法理解和分析的物理現(xiàn)象，因此在學(xué)習(xí)時注意建立交流的概念，以免引起錯誤。正弦電壓與電流直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時間變化的，如圖所示。

tI

U0

正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性變化的，其波形如圖所示。tui0–

+uiR–

+uiR正半周負(fù)半周

電路圖上所標(biāo)的方向是指它們的參考方向，即代表正半周的方向。負(fù)半周時，由于電壓（或電流）為負(fù)值，所以其實(shí)際方向與參考方向相反。+

實(shí)際方向一.周期電壓和電流按周期變化，即經(jīng)過相等的時間重復(fù)出現(xiàn)的電壓和電流。u(t)=Umcos(ωt)u(t)=Umsin(ωt+π/2)Um—振幅ω

—角頻率i(t)=Imcos(t+)i0

t(rad)

2

t(s)T/2T

正弦交流電的三要素：（1）幅值Im（2）角頻率

（3）初相位u0

t(rad)Um

2

t(s)T/2T二.正弦電壓和電流

隨時間按正弦（余弦）規(guī)律變化的電壓和電流。1.頻率與周期T周期T：正弦量變化一周所需要的時間；角頻率

:

t2

［例］我國和大多數(shù)國家的電力標(biāo)準(zhǔn)頻率是50Hz，試求其周期和角頻率。［解］

=

2

f=23.1450=314rad/sImti0Ｔ頻率f：正弦量每秒內(nèi)變化的次數(shù)；–Im交流電每交變一個周期便變化了2弧度，即T=22.幅值與有效值

瞬時值是交流電任一時刻的值。用小寫字母表示。如i、u、e分別表示電流、電壓、電動勢的瞬時值。幅值是交流電的最大值。用大寫字母加下標(biāo)表示。如Im、Um、Em。有效值是從電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的。如果交流電流通過一個電阻時在一個周期內(nèi)消耗的電能與某直流電流通過同一電阻在相同時間內(nèi)消耗的電能相等,就將這一直流電流的數(shù)值定義為交流電流的有效值。

t2

Imti0Ｔ–Im同理可得根據(jù)上述定義，有有效值當(dāng)電流為正弦量時:Ri2dt=RI2T∫0Ti(t)=

Imcos(t+i)3.初相位

對于正弦量而言，所取計時起點(diǎn)不同，其初始值(t=0時的值)就不同，到達(dá)某一特定值（如0值）所需的時間也就不同。例如:t=0時的相位角

稱為初相位角或初相位。

(

t+)稱為正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量變化的進(jìn)程。若所取計時起點(diǎn)不同，則正弦量初相位不同。i(t)=Imcos

ti(t)=Imcos(t+)t=0時，

i(0)=Imi(0)=Imcos

i

t0i0

ti0Im相位差i1=I1mcos(t+i1)i2=I2mcos(t+i2)的相位差

和

=(

t+i1)-(t+i2)=

i1-i2i2

超前i1i2

滯后i1

ti10

ti10

ti10

ti10

ti10i2i2i2i1與i2反相i2i1與i2同相i2i1與i2正交在一個交流電路中，通常各支路電流的頻率相同，而相位常不相同。9.1變換方法的概念正弦電量（時間函數(shù)）正弦量運(yùn)算所求正弦量變換相量（復(fù)數(shù)）相量結(jié)果反變換相量運(yùn)算（復(fù)數(shù)運(yùn)算)

正弦量具有幅值、頻率和初相位三個要素，它們除了用三角函數(shù)式和正弦波形表示外，還可用相量來表示同頻率的正弦量。正弦量的相量表示法就是用復(fù)數(shù)來表示正弦量。相量法是一種用來表示和計算同頻率正弦量的數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用相量法可以使正弦量的計算變得很簡單。例如：已知兩個支路電流

i1=I1mcos(t+i1)i2=I2mcos(t+i2)若求：i1+

i2aA0

b+1+jr模輻角a=rcos

b=rsin

r=

a2+b2=arctanba

cos

+jsin

=ej

由歐拉公式，得出：A=a+jb=r(cos

+jsin

)=rej

=r

代數(shù)式指數(shù)式極坐標(biāo)式復(fù)數(shù)在進(jìn)行加減運(yùn)算時應(yīng)采用代數(shù)式，實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減。復(fù)數(shù)在進(jìn)行乘運(yùn)算時宜采用指數(shù)式或極坐標(biāo)式，模與模相乘，輻角與輻角相加。有向線段可用復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)Ａ可用幾種形式表示復(fù)數(shù)在進(jìn)行除運(yùn)算時宜采用指數(shù)式或極坐標(biāo)式，模與模相除，輻角與輻角相減。9.2復(fù)數(shù)§9-3相量由歐拉恒等式，ej

=

cos+jsin

令=t+Imej(t+)=

Imcos(t+)+jImsin(t+)設(shè)i(t)=

Imcos(t+)Re[Imej(t+)]=Imcos(t+)=i(t)Im[Imej(t+)]=Imsin(t+)Re(ej

)=

cos

Im(ej

)=

sin§9-3相量Imej(t+)=

Imcos(t+)+jImsin(t+)設(shè)i(t)=

Imcos(t+)i(t)=Imcos(t+)=Re[Imej(t+)]=Re[Imej

ejt]由歐拉恒等式，ej

=

cos+jsin

=Re[Im

ejt]?=Imej

=Im/

=Imcos+jImsin

?Im—式中稱為正弦電流i(t)的幅值相量?Im?I=——√2—=Iej

=I/

=

Icos+jIsin

—稱為正弦電流i(t)的有效值相量+1+j0

t1+Im

ti

0?

t1

A

t2A

i=Imsin(t+)i

t

t1有向線段長度是Im，t=0時，與橫軸的夾角是

，以角速度

逆時針方向旋轉(zhuǎn)，它在實(shí)軸上的投影，即為正弦電流的瞬時值i=Imcos(t+)t=t1時，i(t1)=Imcos(t1+)9.3相量

由以上分析可知，一個復(fù)數(shù)由模和輻角兩個特征量確定。而正弦量具有幅值、初相位角和頻率三個要素。但在分析線性電路時，電路中各部分電壓和電流都是與電源同頻率的正弦量，因此，頻率是已知的，可不必考慮。故一個正弦量可以由幅值和初相位兩個特征量來確定。比照復(fù)數(shù)和正弦量，正弦量可用復(fù)數(shù)來表示。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值（或有效值），復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。

為與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。并用在大寫字母上打一“?”的符號表示。I=I=Iej

=I(cos

+jsin

)(有效值相量)

??Im=Im=Imej

=Im(cos

+jsin

)(最大值相量)的相量為例如i(t)=

Imcos(t+

)=Ia+jIb=Icos

+jIsin

=Iej

=I

最大值相量有效值相量0Im?+1+jI?

IaIbI?=Iam+j

Ibm=Imcos

+jImsin

=Imej

=Im

Im?相量圖相量是表示正弦交流電的復(fù)數(shù)，正弦交流電是時間的函數(shù)，所以二者之間并不相等。正弦量

用旋轉(zhuǎn)有向線段表示

用復(fù)函數(shù)表示。同頻率正弦量

可以用復(fù)數(shù)來表示，稱之為相量。用大寫字母上打“?”表示。I?Um?

i=Imcos(t+

)例：已知某正弦電壓Um=311V，f=50Hz，

u=30°，試寫出此電壓的瞬時值表達(dá)式、最大值相量和有效值相量，畫出此電壓的相量圖，求出t=0.01S時電壓的瞬時值。解：瞬時值

u=311cos(100

t+30°)=311

30°VUm?u(

0.01)

=311cos(100

×0.01

+30°)=–269.3VU?30°=220VU=2Um=2311=220

30°VU?有效值相量最大值相量有效值相量是表示正弦交流電的復(fù)數(shù)，正弦交流電是時間的函數(shù)，二者之間并不相等。

按照正弦量的大小和相位關(guān)系畫出的若干個相量的圖形，稱為相量圖。注意只有正弦量才能用相量表示；只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上；相量圖1j0

i1

i2I1m?I2m?[例]若

i1=I1mcos(t+i1)

i2=I2mcos(t+i2)，已知

i1=30°，

i2=65°，I1m=2I1m試畫出相量圖。i1(t)=5cos(314t+60)Ai2(t)=10sin(314t+60)Ai3(t)=–7cos(314t+60°)A寫出相量，繪相量圖i2(t)

=10sin(314t+60°)

=10cos(314t﹣30°)

=7cos(314t﹣120°)A例:i3(t)=–7cos(314t+60°)I1m=5/60°

A?I3m=7/﹣120°

A?I2m=10/﹣30°

A?解：+j+160°I1m

-30°-120°?I2m

?I3m

?§9-4相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)1.相量的線性性質(zhì)表示若干個同頻率正弦量（可帶有實(shí)系數(shù)）線性組合的相量等于表示各個正弦量的相量的同一線性組合。亦即如設(shè)兩個正弦量分別為：i1(t)=Im1cos(t+1)=Re[Im1

ejt]?設(shè)k1和k2為兩個實(shí)數(shù)，則正弦量i(t)=k1i1(t)+k2i2(t)可用相量=Re[Im2

ejt]?i2(t)=Im2cos(t+2)?Im

=

k1

Im1

+k2Im2

??表示。[例]若已知

i1=I1mcos(t+1)=100cos(t+45)A，

i2=I2mcos(t+2)=60cos(t30)A，試求i=i1+i2。[解]于是得

i2=129cos(t+18.33)A正弦電量的運(yùn)算可按下列步驟進(jìn)行正弦電量（時間函數(shù)）正弦量運(yùn)算所求正弦量變換相量（復(fù)數(shù)）相量結(jié)果反變換相量運(yùn)算（復(fù)數(shù)運(yùn)算)例若已知

i1=I1mcos(t+

i1)、i2=I2mcos(t+

i2)，用相量圖求解

i1

+

i2解：用相量圖求解1j0

i1

i2Im?Im1?Im2?

ii=I

mcos(t+

i)§9-4相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)2.相量的微分性質(zhì)這一性質(zhì)包含兩個內(nèi)容：若Am為給定正弦量Amcos(t+)的相量，則j

Am為該正弦量的導(dǎo)數(shù)的相量。亦即??—Re[Am

ejt]=Re[—

Amejt]=Re[j

Am

ejt]??dddtdt?①取實(shí)部和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是可交換的（Re和—可交換）；dtd②復(fù)值函數(shù)Amejt對t

的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)與j

的乘積。?Ai1i3i2i1=I1mcos(t+

1)i2=I2mcos(t+

2)i3=I3mcos(t+

3)由基爾霍夫電流定律，節(jié)點(diǎn)A的電流方程為i1

+i2-i3=0節(jié)點(diǎn)A的電流方程相量表達(dá)式為AI1?I2?I3?I2?I3?I1?+﹣=0基爾霍夫定律的相量形式I=0

?

U=0

?

§9-5基爾霍夫定律的相量形式根據(jù)相量的線性性質(zhì)電路分析是確定電路中電壓與電流關(guān)系及能量的轉(zhuǎn)換問題。9.6.1電阻元件的交流電路

本節(jié)從電阻、電容、電感兩端電壓與電流一般關(guān)系式入手，介紹在正弦交流電路中這些理想元件的電壓與電流之間的關(guān)系，為分析交流電路奠定基礎(chǔ)。下章再討論功率和能量轉(zhuǎn)換問題。R–

+ui電壓與電流的關(guān)系在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖所示。根據(jù)歐姆定律設(shè)則式中或可見，R等于電壓與電流有效值或最大值之比?！?-6三種基本電路元件VCR的相量形式i(t)=Imcos(t+)u(t)=RImcos(t+)=Umcos(t+)

電壓與電流同頻率、同相位；電壓與電流的關(guān)系

電壓與電流大小關(guān)系U?I?電壓與電流相量表達(dá)式相量圖+1+j09.6.1電阻元件的交流電路R–

+uiU=U

?I=I

?i(t)=Imcos(t+)u(t)=RImcos(t+)=Umcos(t+)iu波形圖

t0設(shè)=0

設(shè)

0fXL感抗電壓與電流的關(guān)系由，有感抗與頻率f和L成正比。因此，電感線圈對高頻電流的阻礙作用很大，而對直流可視為短路。9.6.2電感元件的交流電路設(shè)在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。–

+uiLXL與f的關(guān)系i=Imcostu=–

LImsint=Umcos(t+90°)（1）u和

i的頻率相同；（2）u在相位上超前于i

90；（3）

u

和i

的最大值和有效值之間的關(guān)系為：

Um=XLImU=XLI

用相量法可以把電感的電壓和電流的上面三方面的關(guān)系的(2)和(3)統(tǒng)一用相量表示：??Um=jXL

Im??U=jXLI即:jI=Iej90

=Iej

ej90

=Ie

j(

+90)

因j

I相當(dāng)于將相量I逆時針轉(zhuǎn)了90

U?+1+j0I?相量圖由上面的分析可知電感的電壓和電流的關(guān)系為依據(jù)“相量的微分性質(zhì)”這一性質(zhì)包含兩個內(nèi)容：若Am為給定正弦量Amcos(t+)的相量，則j

Am為該正弦量的導(dǎo)數(shù)的相量。亦即??—Re[Am

ejt]=Re[—

Amejt]=Re[j

Am

ejt]??dddtdt?①取實(shí)部和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是可交換的（Re和—可交換）；dtd②復(fù)值函數(shù)Amejt對t

的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)與j

的乘積。?U=j

L?I?U?+1+j0電壓與電流的關(guān)系電壓超前電流90；相量圖電壓與電流大小關(guān)系

–

+uiL9.6.2電感元件的交流電路I?i=Imcostu=Umcos(t+90°)i波形圖

t0uU

?I

?電壓與電流相量式=jXL解：XL2=2f2L=31401030o

j31.4=0.

318

–60oA1030o

j3140==0.

00318

–60oAXL1=2f1L=31.4U.UjXL1.=I1=.UjXL2.I2=..I2I1.30o–60o+1例:已知L=0.1H，u=102cos（t+30o）V，

當(dāng)f1=50Hz，f2=5000Hz時，求XL及I，并畫出U、I

相量圖。...0fXc容抗設(shè)電壓與電流的關(guān)系得由9.6.3電容元件的交流電路fCX

21C=C–

+uiXC與f的關(guān)系設(shè)在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。式中容抗與頻率f，電容C成反比。因此，電容元件對高頻電流所呈現(xiàn)的容抗很小，而對直流所呈現(xiàn)的容抗趨于無窮大，故可視為開路。u=Umcosti=–C

Umsint=Imcos(t+90°)（1）u和i

的頻率相同；（2）i在相位上超前于u90；（3）u

和i的最大值或有效值之間的關(guān)系為：

Um=XcImU=XcI

用相量法可以把電容的電壓和電流的上面三方面的關(guān)系的(2)和(3)統(tǒng)一用相量式表示：??Um=－jXcIm??U=－jXcI相量圖I?U?+1+j0即:－jI=Ie－j90

=Iej

e－j90

=Ie

j(－90)

因－j

I相當(dāng)于將相量I順時針轉(zhuǎn)了90

由上面的分析可知電容的電壓和電流的關(guān)系為u波形圖

t0iU?+1+j0

電流超前電壓90

相量圖I?電壓與電流大小關(guān)系

電壓與電流的關(guān)系9.6.3電容元件的交流電路C–

+uiu=Umcosti=C

Umcos(t+90°)

電壓與電流相量式=XC

U?jI?例:下圖中電容C=23.5F，接在電源電壓U=220V、頻率為50Hz、初相為零的交流電源上，求電路中的電流i。該電容的額定電壓最少應(yīng)為多少伏？

額定電壓

解:容抗W===5.135211CfCCX

wC–

+uii=Imcos(t+90°)=2.3cos(314t+90°)(一)純電阻元件交流電路u=iR

電壓與電流同頻率、同相位電壓與電流大小關(guān)系U=RI或Um=RIm

電壓與電流相量表達(dá)式U=R?I?

電壓超前電流90

didtu=L

電壓與電流大小關(guān)系

U=IXL，XL=

LU

?I

?電壓與電流相量式=jXL(二)純電感元件交流電路

電流超前電壓90

電壓與電流大小關(guān)系

U=IXC，XC=1/

Cdudti=C(三)純電容元件交流電路

電壓與電流相量式=XC

U?jI?單一參數(shù)的交流電路(一)純電阻元件交流電路電壓與電流相量表達(dá)式

電壓與電流相量式(二)純電感元件交流電路(三)純電容元件交流電路U

?I

?=jXL=ZL=—I

?I

?YL1U

?I

?=R

=ZR=—I

?I

?YR1§9-7VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導(dǎo)納的引入電壓與電流相量式U

?I

?=–

jXC=ZC=—I

?I

?YC1U

?

=Z

=—I

?I

?Y1

歐姆定律的相量形式U

?

Z

=—

I

?稱為復(fù)數(shù)阻抗，簡稱阻抗，單位為歐姆（）。稱為復(fù)數(shù)導(dǎo)納，簡稱導(dǎo)納，單位為西門子（S）。Y=—

Z

1相量模型：電壓、電流用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示。U=R?I?U=j

L?I?U=－j

?I?

C1RU?I?－＋I(xiàn)?U?j

L－＋I(xiàn)?U?

－j

C1－＋Rui－＋uiL－＋Cui－＋§9-8正弦電路與電阻電路的類比——相量模型的引入根據(jù)KVL可列出習(xí)題8-9：已知u，求i.電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+在R、L、C串聯(lián)交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示。如用相量表示電壓與電流關(guān)系，可把電路模型改畫為相量模型。–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL電路的阻抗，用Z表示。Z

KVL相量表示式為電壓電流關(guān)系Z=

R2+X2

=arctanZ=R+j(XL-XC)XL-XC=X

電抗阻抗模阻抗角XR復(fù)數(shù)阻抗阻抗三角形XRZ

Z=R+jX=

Z

–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL電壓電流關(guān)系Z=

R2+X2阻抗模阻抗角

=arctanXRZ=U?I?=U

uI

i=UI

u-i

=

u-i阻抗Z=R+jX=

Z

當(dāng)XL>XC時,X>0，

為正，電路中電壓超前電流,電路呈電感性；當(dāng)XL<XC時,X<0，

為負(fù)，則電流超前電壓，電路呈電容性；當(dāng)XL=XC,X=0，

=0，則電流與電壓同相，電路呈電阻性。–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL設(shè)電流為參考正弦量i=Imcost則電壓u=Umcos(t+

)電壓電流關(guān)系的大小和正負(fù)由電路參數(shù)決定。

為正時電路中電壓電流相量圖I?U?UR?UL?

Uc?UL?Uc?阻抗三角形XL--XcR

Z–

+–

+–

+–

+–jXCRjXLU=

U2R+(UL

-Uc)2各部分電壓有效值之間關(guān)系U?RXZ

阻抗三角形電壓三角形電壓、阻抗三角形X=

XL-XC

UX?UL?UC?

=+UX?UR?例題：

已知下圖所示電路中，UL=UR=40V，UC=80V，畫出該電路的相量圖，并計算總電壓U。CRLuRuLuciu+–+–+–+–例題圖UR?UL?UC?I?U?解：根據(jù)基爾霍夫定律的相量形式及各元件電壓、電流的相量關(guān)系，可得相量圖由相量圖可知2

U=40V解：1.感抗XL=L=314×127×10-3=40容抗

XC=

C1=314×40×10-61=80

Z=

R2+(XL–Xc)2=50

Z=302+(40–80)2復(fù)阻抗模例:

R、L、C串聯(lián)電路如圖所示，已知R=30、L=127mH、C=40F，電源電壓u=220cos(314t+45

）V求：1.感抗、容抗及復(fù)阻抗的模;2.電流的有效值和瞬時值表達(dá)式；3.各元件兩端電壓的瞬時值表達(dá)式。2CRLuRuLuciu+–+–+–+–習(xí)題8-9：已知u，求i.解：1.

XL=40

XC=80=50

Z2.=22045

VU?電壓相量I?=U?Z=22045

30+j(40-80)=22045

50–53

=4.498

A

I=4.4Ai=4.4

cos(314t+98

)A電流有效值瞬時值2I?jLR+–+–+–+–U?UR?UC?UL?uR=1322cos(314t+98

)V3.

=RI?=13298

VUR?=I?jXL=176–172

VUL?uL=

176cos(314t

–172

)V2UC?=﹣jXCI?=3528

VuC=

352cos(314t

+8

)V2

C1–j解：1、

XC=8I=12V3=4A例:電路如圖,已知R=3,電源電壓u=17cos314tV,

jXL

=j4

。求：1容抗為何值（容抗不等于零）開關(guān)S閉合前后，電流I的有效值不變，這時的電流是多少？2容抗為何值，開關(guān)S閉合前電流I最大，這時的電流是多少？Z=5U=17

1.414=12VI=12V5=2.4A2、

Z

的值最小時,I

值最大XC=4=

R2+(XL–XC)2Z=

R2+XL2I?RU?–jXCjXLS+－和計算復(fù)雜直流電路一樣，正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路也可應(yīng)用支路電流法、回路分析法、節(jié)點(diǎn)分析法、疊加原理和戴維南定理等方法來分析與計算。所不同的是電壓、電流應(yīng)以相量表示，電阻、電感和電容及其組成的電路應(yīng)以復(fù)數(shù)阻抗或復(fù)數(shù)導(dǎo)納來表示。即正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路用其相量模型表示?！?-9正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析基爾霍夫定律的相量形式I=0

?

U=0

?

U

?

=Z

=—I

?I

?Y1

歐姆定律的相量形式IC?I?IL?IR?=++iRiLiCCRLiu+–U?R1=+jXL1–jXC1（+）U?R1=+XC1XL1[–）]j（U?=[G+j（BC–BL）]容納電導(dǎo)感納Y=G+j（BC–BL）R、L、C并聯(lián)電路的導(dǎo)納：=YI?U?U?Y=I?（1）導(dǎo)納Z=

1Y1、R、L、C并聯(lián)電路§9-9正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析

設(shè)

u=U

mcos

tIR?相量圖I?Ic?IL?Ic?IL?U?1、R、L、C

并聯(lián)電路uCRLiiRiciLU?jLIL?Ic?I?RIR?﹣j

C1（2）相量圖iRiLiCCRLiu+–U?I?IR?IC?

IL?IC?IL?I=

IR2+

(IL–IC)2（2）相量圖IIRIL–IC

電流三角形例已知IL=5A，IC=2A，IR=4A

求電流的有效值I。解：I=42+(5–2)2=5A1、R、L、C并聯(lián)電路2.并聯(lián)交流電路設(shè)

u=U

mcos

t相量圖I?Ic?U?UR?UL?IRL?uiiRLicuRuLCL+++R－－－U?j

LIRL?Ic?I?RUR?UL?－－－+++﹣j

C1§9-9正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析§9-10

相量模型的網(wǎng)孔分析法

和節(jié)點(diǎn)分析法

一.網(wǎng)孔分析法

電阻電路正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型R11I1+R12I2+???+R1nIn=Us11R21I1+R22I2+???+R2nIn=Us21Rn1I1+Rn2I2+???+RnnIn=Usnn??????Z11I1+Z12I2+???+Z1nIn=Us11Z21I1+Z22I2+???+Z2nIn=Us21Zn1I1+Zn2I2+???+ZnnIn=Usnn??????65364)(CBAiRRRiRiRS4S3uu+=++++-6525)(ABiRRRiRS26CuiR=++++541)(S4uS1u5BiRAiRRR-=4ciR-++++US2-R1R2R4R6R3iCiAiBR5+US1-+US3--US4+令R11=R1+R4+R5

為第一網(wǎng)孔的自電阻

令R12=R21=R5為一、二兩網(wǎng)孔中互電阻令R13

=R31=－R4為一、三兩網(wǎng)孔中互電阻

令uS11=uS1-uS4為第一網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和R11iA+R12iB+R13iC=uS11R21iA+R22iB+R23iC=uS22R31iA+R32iB+R33iC=uS331自電阻*網(wǎng)孔電流+互電阻*相鄰網(wǎng)孔電流=網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和2自電阻總為正值?；ル娮鑴t有正有負(fù)，兩網(wǎng)孔電流流過互電阻時，方向相同則取正,

方向相反時取負(fù)

電阻電路的網(wǎng)孔分析法例：試列出圖示電路的網(wǎng)孔方程組。網(wǎng)孔方程組(3+j3)I1-j3I2=10/30°-j3I1+(2+j3-j2)I2-2I3=0-2I2+(2-j)I3=-5II=I1-I2輔助方程解：

3ΩI1-j2Ω-jΩI2I3j3Ω2Ω125I10

/30°

I二.節(jié)點(diǎn)分析法電阻電路G11U1+G12U2+???+G1nUn=Is11G21U1+G22U2+???+G2nUn=Is21Gn1U1+Gn2U2+???+GnnUn=Isnn??????正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型Y11U1+Y12U2+???+Y1nUn=Is11Y21U1+Y22U2+???+Y2nUn=Is21Yn1U1+Yn2U2+???+YnnUn=Isnn??????等號左端為通過各電導(dǎo)流出的全部電流之和，右端為流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)電流源之和。

0)(35432315=+++--uGGGuGuG0)(33232111=-+++-uGuGGGuG)(3521151=--+iuGuGuGGsnnsnnnnnsnnsnniuGuGuGiuGuGuGiuGuGuG=+++=+++=+++KKK2211222222121111212111..............................G5G1G3G2G4isi1i2i5i41234選4為參考點(diǎn)i3s3s3iuGuGuGiuGuGuG=++=++22232221211113212111s3iuGuGuG=++33332321311.自電導(dǎo)×節(jié)點(diǎn)電位+互電導(dǎo)×相鄰節(jié)點(diǎn)電位=流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)的電流源電流2.自電導(dǎo)均為正值，互電導(dǎo)均為負(fù)值。電阻電路的節(jié)點(diǎn)分析法例：試列出圖示電路的節(jié)點(diǎn)方程組。節(jié)點(diǎn)方程組3jU2I=U1=10/30°UjjUj=-+-++--3)12121(221-Uj-410輔助方程03212)213131(=---++UjUjj+U131-解：3Ω-j2Ω-jΩj3Ω2Ω12345I10

/30°

IU4=5I一.無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效2.正弦穩(wěn)態(tài)電路

abRZab(j

)=R(

)+jX(

)Yab(j

)=G(

)+jB(

)§9-11

相量模型的等效1.電阻電路RjXjBGabGN0wabN0abZ=R+jX兩種等效電路的關(guān)系串聯(lián)并聯(lián)Y=G+jBZ=R+jX2211XRjXRjXRZY+-=+==22XRjR+-=22XRX+=G+jB-22XRX+B=22XRR+G=RjXjBG并聯(lián)串聯(lián)Y=G+jB

2211BGjBGjBGYZ+-=+==jXRBGBjBGG+=+-+=2222BX11GR11阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)XBGB=+-22RBGG+=22正弦穩(wěn)態(tài)電路

Zab(j

)=R(

)+jX(

)Yab(j

)=G(

)+jB(

)N0wabRjXjBG二.含源單口網(wǎng)絡(luò)的等效

1.電阻電路

2.正弦穩(wěn)態(tài)含源單口網(wǎng)絡(luò)

戴維南等效電路

諾頓等效電路

諾頓等效電路

NN

戴維南等效電路

UocRoIscRoUocZoIscZo例：圖示電路中i(t)=cos(3t+45°)A,求u(t)。解：(1)作出相量模型abi(t)u(t)2Ω31H65H31FabIU2Ω-jΩ

jΩ25

j

Ω解：

(1)作相量模型：(2)求U552325225)2(2)2(jjjjjjjjabZ+++=+--+=jjjjj++=+++=234105D=+=45°W2222j例：圖示電路中i(t)=cos(3t+45°)A,求u(t)。IabZU90°V245°=2145°×

22DDD==u(t)=cos(3t+90°)V22AI4521D=abIU2Ω-jΩ

jΩ25

j

Ω例：在圖示移相電路中,已知R=10k,C=0.01F,輸入信號電壓U1?=10

V，其頻率f=1000Hz，求輸出電壓U2?。U1?R+–RU2?+–CC解：+–U0?=RU1?U0?R+1jC=0.5357.87

VZ0Z0=RZCR+ZC=RjCR+jC1=1+jRCR=104(0.715–j0.45)

應(yīng)用戴維南定理求解例：在圖示移相電路中，已知R=10k，C=0.01F,輸入信號電壓U1?=10

V，其頻率f=1000Hz，求輸出電壓U2?。R+–RU2?+–CC解：U0?=0.5357.87

VU0?Z0=104(0.715–j0.45)

Z=Z0+R–j1CZ=2.66×10449.96ZU0?U2=?R=0.2107.83V=1.59×104

1CZ0有效值是從電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的。如果交流電流通過一個電阻時在一個周期內(nèi)消耗的電能與某直流電流通過同一電阻在相同時間內(nèi)消耗的電能相等,就將這一直流電流的數(shù)值定義為交流電流的有效值。

t

2

Imti0Ｔ–Im同理可得根據(jù)上述定義，有有效值當(dāng)電流為正弦量時:Ri2dt=RI2T∫0T

有效值有效值用大寫字母表示。如I、U、E?！?-12有效值有效值相量=Ia+jIb=Icos

+jIsin

=Iej

=I

最大值相量有效值相量0Im?+1+jI?

IaIbI?=Iam+j

Ibm=Imcos

+jImsin

=Imej

=Im

Im?