第3章 勾股定理（易錯(cuò)必刷30題6種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）

第3章勾股定理（易錯(cuò)必刷30題6種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）一．直角三角形的性質(zhì)（共5小題）1．（2022春?招遠(yuǎn)市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點(diǎn)G，則下列結(jié)論①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；證明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判斷③；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判斷④⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法推出②．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故①正確；∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC，∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，∴∠GCD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠ACD，∴∠ADC＝∠GDC，故③正確；∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠ABC+）＝135°，∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，∴∠DFB＝∠A，故④正確；∵∠BFC＝135°，∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無(wú)法推出CA平分∠BCG，故②錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?鐵西區(qū)期中）在直角三角形中，有一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的2倍，則這兩個(gè)銳角分別為30°和60°．【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)一個(gè)銳角為2x，則另一個(gè)銳角為x，∵三角形是直角三角形，∴2x+x＝90°，解得：x＝30°，則2x＝60°，所以這兩個(gè)銳角分別為30°和60°，故答案為：30°和60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?安定區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝50°，∠E＝65°，則①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝40°，則有BC∥AD；④如果∠2＝30°，則有AC∥DE，上述結(jié)論中正確的是①②③．（填寫(xiě)序號(hào)）【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3，∴∠1＝∠3，故①結(jié)論正確；②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，∴∠CAD+∠2＝180°，故②結(jié)論正確；③∵∠2＝40°，∴∠3＝90°﹣40°＝50°，∴∠3＝∠B，∴BC∥AD，故③結(jié)論正確；④∵∠2＝30°，∴∠1＝60°，∵∠E＝65°，∴AC與DE不平行，故④不正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．4．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠AOB＝50°，點(diǎn)P是邊OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），當(dāng)∠A的度數(shù)為90°或40°時(shí)，△AOP為直角三角形．【分析】分兩種情況：①∠A為直角；②∠APO為直角．【解答】解：若△AOP為直角三角形，則①∠A＝90°時(shí)，△AOP為直角三角形；②當(dāng)∠APO＝90°時(shí)，△AOP為直角三角形，此時(shí)∠A＝40°．故答案為90°或40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，同時(shí)運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決直角三角形的角度問(wèn)題是解題的途徑．5．（2022秋?南康區(qū)期中）把下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于點(diǎn)E，∠CFB＝∠EDO．求證：CF∥DO．證明：∵DE⊥AO（已知），∴∠AED＝90°（垂直的定義），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠AED（等量代換）∴DE∥OB（同位角相等，兩直線平行）．∴∠EDO＝∠BOD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠CFB＝∠EDO∴∠CFB＝∠BOD（等量代換），∴CF∥DO（同位角相等，兩直線平行）．【分析】根據(jù)垂直的定義、平行線的判斷定理和性質(zhì)定理解答即可．【解答】證明：∵DE⊥AO（已知），∴∠AED＝90°（垂直的定義），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠AED（等量代換），∴DE∥OB（同位角相等，兩直線平行）．∴∠EDO＝∠BOD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠CFB＝∠EDO，∴∠CFB＝∠BOD（等量代換），∴CF∥DO（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：∠AED，∠AED，DE∥OB，同位角相等，兩直線平行，∠BOD，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，∠BOD，同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判斷定理是解題的關(guān)鍵．二．勾股定理（共5小題）6．（2022秋?文登區(qū)期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷△ABC的形狀．【解答】解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∵a+b＞0，∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，則△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、分類(lèi)討論．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．7．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）若一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊長(zhǎng)為10．【分析】已知兩直角邊求斜邊可以根據(jù)勾股定理求解．【解答】解：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊平方和，故斜邊長(zhǎng)＝＝10，故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)勾股定理計(jì)算直角三角形的斜邊，正確的運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，以直角三角形一邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積為100和64，則正方形A的面積為36．【分析】根據(jù)正方形可以計(jì)算斜邊和一條直角邊，則另一條直角邊根據(jù)勾股定理就可以計(jì)算出來(lái)．【解答】解：由題意知，BD2＝100，BC2＝64，且∠DCB＝90°，∴CD2＝100﹣64＝36，正方形A的面積為CD2＝36．故答案為36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，考查了正方形面積的計(jì)算，本題中解直角△BCD是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?江陰市期中）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5或．【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類(lèi)討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：設(shè)第三邊為x，（1）若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得：32+42＝x2，∴x＝5；（2）若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得：32+x2＝42，∴x＝；∴第三邊的長(zhǎng)為5或．故答案為：5或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．10．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）已知△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB．AF平分∠CAB，點(diǎn)M、N分別為AC、EF的中點(diǎn)，且AC＝6，BC＝8．（1）求證：CE＝CF；（2）求證：MN∥AB；（3）請(qǐng)你連接DN，并求線段DN的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余和對(duì)頂角相等即可得∠CEF＝∠AFC，進(jìn)而可得CE＝CF；（2）如圖，連接CN，根據(jù)等腰三角形三線合一可得CN⊥EF，再根據(jù)△ACN是直角三角形，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MN＝AM，進(jìn)而可得∠MNA＝∠NAD，所以可得MN∥AD；（3）延長(zhǎng)CN交AB于點(diǎn)G，連接DN，根據(jù)勾股定理先求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積可得CD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形中位線定理可得MN＝AG，再根據(jù)勾股定理即可求出DN的長(zhǎng)．【解答】解：（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠AFC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵∠CEF＝∠AED，∴∠EAD+∠CEF＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAD，∴∠CEF＝∠AFC，∴CE＝CF；（2）證明：如圖，連接CN，由（1）可知△CEF是等腰三角形，∵N是EF的中點(diǎn)，∴CN⊥EF，∴△ACN是直角三角形，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MN＝AC，∵AM＝AC，∴AM＝MN，∴∠MAN＝∠MNA，∵∠AF平分∠CAB，∴MAN＝∠NAD，∴∠MNA＝∠NAD，∴MN∥AD；（3）如圖，延長(zhǎng)CN交AB于點(diǎn)G，連接DN，∵M(jìn)N∥AG，且M是AC的中點(diǎn)，∴N是CG的中點(diǎn)，∴MN＝AG，在Rt△CDG中，DN＝CG，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝，∵M(jìn)N＝MA＝3，∴AG＝6，∵AD＝＝，∴DG＝AG﹣AD＝，∴CG＝＝，∴DN＝CG＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．三．勾股定理的證明（共1小題）11．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）“趙爽弦圖”是2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽，它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切關(guān)系．在學(xué)完我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖后，我校某同學(xué)想在逐夢(mèng)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)規(guī)劃出一塊活動(dòng)場(chǎng)地，如圖所示，現(xiàn)規(guī)劃土地由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，則EF的長(zhǎng)是14m．【分析】先根據(jù)線段的差可得EG＝FG＝14m，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如圖，由題意得：AG＝BE＝24m，AE＝10m，∠AGD＝90°，∴EG＝FG＝AG﹣AE＝24﹣10＝14m，∠EGF＝90°，由勾股定理得：EF＝＝＝14（m）．故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．四．勾股定理的逆定理（共13小題）12．（2022秋?禪城區(qū)校級(jí)期中）若a、b、c為三角形三邊，則下列各項(xiàng)中不能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25 B．a(chǎn)＝5，b＝13，c＝12 C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 D．a(chǎn)＝30，b＝40，c＝50【分析】根據(jù)三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，先確定能否構(gòu)成三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷能否構(gòu)成直角三角形．【解答】解：A、∵7+24＞25，且72+242＝252，∴能構(gòu)成直角三角形；B、∵5+12＞13，且52+122＝132，∴能構(gòu)成直角三角形；C、∵1+2＝3，∴不能構(gòu)成三角形，∴更不能構(gòu)成直角三角形；D、∵30+40＞50，且302+402＝502，∴能構(gòu)成直角三角形；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】直角三角形必須符合勾股定理的逆定理，三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．13．（2022秋?泗洪縣期中）在下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6 B．a(chǎn)＝5，b＝6，c＝7 C．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝9 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝62＝36，∴a2+b2≠c2，∴不能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵a2+b2＝52+62＝61，72＝49，∴a2+b2≠c2，∴不能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意；C、∵a2+b2＝62+82＝100，92＝81，∴a2+b2≠c2，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；D、∵a2+b2＝72+242＝625，252＝625，∴a2+b2＝c2，∴能構(gòu)成直角三角形，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?太和區(qū)期中）以下列各組數(shù)的長(zhǎng)為邊作三角形，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴以3，4，5為邊能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵52+42＝41，62＝36，∴52+42≠62，∴以4，5，6為邊不能構(gòu)成直角三角形，故B符合題意；C、∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10為邊能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；D、∵92+122＝225，152＝225，∴92+122＝152，∴以9，12，15為邊能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?龍崗區(qū)期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝4，c＝5，則△ABC的面積為（）A．6 B．36 C．5 D．25【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝5，∴a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝ab＝×3×4＝6，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?橋西區(qū)期中）下列4組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)有（）（1）9，12，15（2）12，18，22（3）12，35，36（4）15，36，39A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【分析】利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：（1）∵92+122＝225，152＝225，∴92+122＝152，∴能構(gòu)成直角三角形，故（1）符合題意；（2）∵182+122＝468，222＝484，∴182+122≠222，∴不能構(gòu)成直角三角形，故（2）不符合題意；（3））∵352+122＝1369，362＝1296，∴352+122≠362，∴不能構(gòu)成直角三角形，故（3）不符合題意；（4）∵362+152＝1521，392＝1521，∴362+152＝392，∴能構(gòu)成直角三角形，故（4）符合題意；綜上所述：上列4組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)有2組，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?寧德期中）以下列各組線段為邊作三角形，能作出直角三角形的是（）A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，7，8 D．，，【分析】利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴不能組成三角形，故A不符合題意；B、∵62+82＝36+64＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴能組成直角三角形，故B符合題意；C、∵32+72＝9+49＝58，82＝64，∴32+72≠82，∴不能組成直角三角形，故C不符合題意；D、∵（）2+（）2＝+＝，（）2＝，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能組成直角三角形，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?武侯區(qū)校級(jí)期中）滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的為（）A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．∠A＝∠B﹣∠C C．b2＝a2﹣c2 D．a(chǎn)：b：c＝3：5：4【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝78°，∴△ABC不是直角三角形，故A符合題意；B、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故B不符合題意；C、∵b2＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，∴△ABC是直角三角形，故C不符合題意；D、∵a：b：c＝3：5：4，∴設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝4k，∴a2+c2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，b2＝（5k）2＝25k2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?福田區(qū)期中）下列各組中的三個(gè)數(shù)值，分別以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)，能夠構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．9，12，20 C．，， D．3，4，5【分析】利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴不能組成三角形，故A不符合題意；B、∵92+122＝225，202＝400，∴122+92≠202，∴不能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意；C、∵（）2+（）2＝，（）2＝，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；D、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴能構(gòu)成直角三角形，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?休寧縣期中）已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2＝b2﹣c2 B．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10 C．∠A＝∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C＝5：12：13【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故A不符合題意；B、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故B不符合題意；C、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故C不符合題意；D、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝78°，∴△ABC不是直角三角形，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?上蔡縣校級(jí)期中）滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝∠C D．BC＝3，AC＝4，AB＝5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝80°，∴△ABC不是直角三角形，故A符合題意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝90°，∴△ABC是直角三角形，故B不符合題意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故C不符合題意；D、∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴BC2+AC2＝32+42＝25，AB2＝52＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023春?休寧縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先利用勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，從而可得∠D＝90°，然后根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵AB＝17，BC＝8，∴AC＝＝＝5，∴AC的長(zhǎng)為5；（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠D＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積＝AD?CD+AC?BC＝×4×3+12×5＝6+30＝36，∴四邊形ABCD的面積為36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）直接寫(xiě)出AB＝，BC＝2，AC＝；（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）直接寫(xiě)出AC邊上的高＝．【分析】（1）利用勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）利用面積法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：AB2＝22+32＝13，BC2＝42+62＝52，AC2＝82+12＝65，∴AB＝，BC＝2，AC＝，故答案為：，2，；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵AB2+BC2＝65，AC2＝65，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；（3）設(shè)AC邊上的高為h，∵△ABC的面積＝AC?h＝AB?BC，∴AC?h＝AB?BC，∴h＝×2，∴h＝＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求證：△ABC是直角三角形．【分析】（1）依據(jù)∠ADC＝90°，利用勾股定理可得AD＝；（2）依據(jù)勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2＝AB2，即可得到△ABC是直角三角形．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝；（2）證明：由上題知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5，∵32+42＝52，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根據(jù)圖形判斷出所求的邊所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵．五．勾股數(shù)（共1小題）25．（2022秋?連云港期中）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）A．47 B．62 C．79 D．98【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，進(jìn)而得出x+y的值．【解答】解：由題可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴當(dāng)c＝n2+1＝65時(shí)，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．六．勾股定理的應(yīng)用（共5小題）26．（2022秋?駐馬店期中）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長(zhǎng)為（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【分析】利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)少走的路長(zhǎng)為AC+BC﹣AB，計(jì)算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），∴少走的路長(zhǎng)為AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確少走的路為AC+BC﹣AB是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹(shù)干頂部在根部4米處，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為8m．【分析】根據(jù)大樹(shù)末端部分、折斷部分及地面正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：由勾股定理得，斷下的部分為＝5米，折斷前為5+3＝8米．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力，比較簡(jiǎn)單．28．（2022秋?姑蘇區(qū)期中）位于沈陽(yáng)的紅河峽谷漂流項(xiàng)目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點(diǎn)A拉回點(diǎn)B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點(diǎn)C，工作人員用繩子拉船移動(dòng)，開(kāi)始時(shí)繩子AC的長(zhǎng)為17m，工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)20秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)此時(shí)游船移動(dòng)的距離AD的長(zhǎng)是多少？【分析】