第04講 素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)（6種題型）（原卷版）

第04講素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)（6種題型）【知識(shí)梳理】一、素?cái)?shù)與合數(shù)（1）素?cái)?shù)：一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，則叫做素?cái)?shù)，也叫做質(zhì)數(shù)；（2）合數(shù)：一個(gè)正整數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，則叫做合數(shù)；（3）1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)；正整數(shù)可分為：1、素?cái)?shù)和合數(shù)三類．二、分解素因數(shù)1、分解素因數(shù)每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù)．把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)．2、口算法分解素因數(shù)例如：．3.用樹枝分解法分解素因數(shù)例如：常常適用于較小數(shù)目4、短除法分解素因數(shù)3557形如右圖，這種在左側(cè)寫除數(shù)，下方寫商的除法格式叫做“短除法3557用短除法分解素因數(shù)的步驟如下：（1）先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的素?cái)?shù)（通常從最小的開始）去除；（2）得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是素?cái)?shù)為止；（3）然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式．例如：用短除法分解素因數(shù)，初步階段同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)錯(cuò)誤：第一左側(cè)邊選用的除數(shù)出現(xiàn)合數(shù)，如：60＝4×3×5一定注意分解素因數(shù)的時(shí)候，每個(gè)因數(shù)都必須是素?cái)?shù)。第二最后的商還是合數(shù)。如：一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其實(shí)91還是合數(shù)，要繼續(xù)除以7，商13，才停止短除。三、【考點(diǎn)剖析】題型一：素?cái)?shù)與合數(shù)例1．（2022·上海市婁山中學(xué)九年級(jí)期中）在1至10，這10個(gè)正整數(shù)中，素?cái)?shù)共有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式】（2021·上?！で嘟淘焊街衅谥校┰?、2、3、6、8、29、33、45中，素?cái)?shù)是______．例2.判斷37，39，47和49是素?cái)?shù)還是合數(shù)．【變式】最小的素?cái)?shù)是_____，最小的合數(shù)是____.例3．（2021·上海市傅雷中學(xué)期中）下列說法中，正確的是（）A．奇數(shù)都是素?cái)?shù) B．偶數(shù)都是合數(shù)C．合數(shù)不都是偶數(shù) D．素?cái)?shù)都是奇數(shù)【變式】根據(jù)要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64這八個(gè)數(shù)中：是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的數(shù)是（ ）；是奇數(shù)不是素?cái)?shù)的數(shù)是（ ）；是素?cái)?shù)而不是奇數(shù)的數(shù)是（ ）；是合數(shù)而不是偶數(shù)的數(shù)是（ ）．題型二：素?cái)?shù)與合數(shù)的應(yīng)用例4．（2021·上海黃浦·期中）有一個(gè)四位數(shù)，十位上的數(shù)字是最小的自然數(shù)，百位上的數(shù)字是最小的素?cái)?shù)，千位上的數(shù)字是最小的合數(shù)，若這個(gè)四位數(shù)同時(shí)是2和3的倍數(shù)，則它個(gè)位上的數(shù)字是_______．【變式1】（2021·上海復(fù)旦五浦匯實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）已知一個(gè)六位數(shù)：，其中A既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)；B是10以內(nèi)最大的數(shù)；C是最小的素?cái)?shù)；D是10以內(nèi)最大的奇數(shù)；E的倒數(shù)等于它本身；F是最小的自然數(shù)；則這個(gè)六位數(shù)是_________．【變式2】著名的“哥德巴赫猜想”被喻為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，猜想認(rèn)為：任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，下列4個(gè)算式中，符合這個(gè)猜想的是（）A.；B.；C.；D..【變式3】閱讀理解：截尾素?cái)?shù)73939133這個(gè)數(shù)具有相當(dāng)迷人的性質(zhì)，不只是因?yàn)樗撬財(cái)?shù)，還因?yàn)榘炎钅┪粩?shù)字依序“截尾”后，余下的數(shù)仍然是素?cái)?shù).如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有這樣性質(zhì)的數(shù)叫“截尾素?cái)?shù)”.巧的是，它也是具有這種性質(zhì)的最大數(shù)，總共有83個(gè)數(shù)具有這樣的性質(zhì).在100以內(nèi)的素?cái)?shù)中，最大的截尾素?cái)?shù)是_________.【變式4】如果m和n是兩個(gè)素?cái)?shù)，滿足5m+7n=129,那么m+n的值是.【變式5】?jī)砂倌昵?，德國?shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)奇素?cái)?shù)（既是奇數(shù)又是素?cái)?shù)）之和，簡(jiǎn)稱："l＋1"。如，等等。眾多數(shù)學(xué)家用很多偶數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，都說明是正確的，但至今仍無法從理論上加以證明，也沒找到一個(gè)反例.這就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能檢驗(yàn)一下這個(gè)偉大的猜想嗎？請(qǐng)把偶數(shù)42寫成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和.，或者.你是否有更大的發(fā)現(xiàn)：把42寫成4個(gè)奇素?cái)?shù)之和？.題型三：素因數(shù)的含義例5.在等式中，4和6都是的（），2和3都是的（）A．素因數(shù) B．素?cái)?shù) C．因數(shù) D．合數(shù)【變式1】（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）若a=18，則a的素因數(shù)是______________，a的因數(shù)是____________________【變式2】（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）A=235，B=2235．Ａ與Ｂ公有的素因數(shù)是_____________________．題型四：分解素因數(shù)例6.把24分解素因數(shù)的正確算式是（）A． B．C． D．【變式1】把以下各數(shù)分解素因數(shù)：35，72，105，108，238．【變式2】把18分解素因數(shù)，那么18=.【變式3】（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）下面各數(shù)分解素因數(shù)有沒有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)，請(qǐng)改正在橫線上.（1）36=1×2×2×3×3

_________________________；（2）210=3×7×10

_________________________；（3）2×3×3×3×3=162_________________________.【變式4】（2021·上?！て谥校┮?guī)定一種新的運(yùn)算：對(duì)于一個(gè)合數(shù)n，（n）表示不是n的素因數(shù)的最小素?cái)?shù)，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________．例7.（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）用短除法分解下面各數(shù)的素因數(shù)．32

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⑶85題型五：互素例8．（2021·上海黃浦·期中）下列說法中正確的是（

）A．所有合數(shù)都是偶數(shù) B．所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)C．兩個(gè)素?cái)?shù)一定互素 D．兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)一定互素【變式1】（2021·上海浦東新·期中）下列整數(shù)中，與12互素的是（

）A．2 B．3 C．21 D．47【變式2】下列各組數(shù)中，互素的是（）A.4和9；B.12和8；C.11和44；D.39和13.【變式3】（2021·上海市彭浦初級(jí)中學(xué)期中）下面各數(shù)中，與6互素的合數(shù)是（）A．5 B．10 C．25 D．30【變式4】（2021·上海市民辦新竹園中學(xué)期中）在10的所有因數(shù)中，互素的數(shù)共有______對(duì)．題型六：分解素因數(shù)的應(yīng)用例9.（2021·上海市民辦新竹園中學(xué)期中）四名學(xué)生恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，年齡的積為5040，這四名同學(xué)的年齡從小到大的順序是______．【變式1】（2021·上海復(fù)旦五浦匯實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）兩個(gè)素?cái)?shù)的積是58，則這兩個(gè)素?cái)?shù)的和是_____．【變式2】（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)素?cái)?shù)的和是20，積是91，這兩個(gè)素?cái)?shù)分別是_______和________.【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）在51＝317中，3和17都是51的(

)A．素因數(shù) B．倍數(shù) C．素?cái)?shù) D．質(zhì)數(shù)2．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┫旅嬲f法正確的是（

）A．最小的素?cái)?shù)是1；B．一個(gè)合數(shù)至少有3個(gè)因數(shù)；C．因?yàn)?，所以能被整除；D．16的因數(shù)有2，4，8，16．3．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校﹥蓚€(gè)正奇數(shù)的和是（

）A．奇數(shù) B．素?cái)?shù) C．偶數(shù) D．素因數(shù)4．（2022秋·六年級(jí)校考單元測(cè)試）下列各組數(shù)中，不是互素的有（

）A．和 B．和 C．和 D．和5．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式中表示分解素因數(shù)的式子是（

）A．； B．； C．； D．．6．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）12的素因數(shù)是(

)A．2，2，3 B．1，2，3 C．4，6，12 D．1，2，3，47．（2022秋·六年級(jí)校考單元測(cè)試）在正整數(shù)32，47，71，91，93中，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題8．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）將15寫成兩個(gè)素?cái)?shù)相加的形式是____________．9．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┓纸馑匾驍?shù)___________________．10．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）如果A是不超過2017的所有質(zhì)數(shù)的乘積，那么A的末尾數(shù)字有連續(xù)___________個(gè)0．11．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）如果兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是23，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和除以這兩個(gè)數(shù)的差的商是___________．12．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）在20以內(nèi)的合數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)是()，并用括號(hào)中的數(shù)組成比例，這個(gè)比例是()．13．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）用0～9這10個(gè)數(shù)字組成若干個(gè)合數(shù)，每個(gè)數(shù)字都恰好用一次，那么這些合數(shù)之和的最小值是___________．14．（2023·上海·六年級(jí)假期作業(yè)）甲、乙兩個(gè)三位數(shù)的乘積是一個(gè)五位數(shù)，這個(gè)五位數(shù)的后四位為1031，如果甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，那么甲乙兩數(shù)之和是___________．15．（2022秋·上海黃浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）規(guī)定一種新的運(yùn)算：對(duì)于一個(gè)合數(shù)n，（n）表示不是n的素因數(shù)的最小素?cái)?shù)，如（4）=3，（12）=5．那么（60）