概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三章

第三章一維隨機(jī)變量及其分布

§3.1一維隨機(jī)變量及其分布例3.1.1

投擲一個(gè)骰子一次，出現(xiàn)1點(diǎn)得0分，出現(xiàn)2點(diǎn)或3點(diǎn)得1分，出現(xiàn)其他點(diǎn)得2分.分別以記出現(xiàn)點(diǎn)，以記得到的分?jǐn)?shù)，則是定義在樣本空間上的函數(shù):例3.1.2

從某品種水稻試驗(yàn)田中任選一株秧苗而記錄其苗高，隨而變，故為集合為該試驗(yàn)田秧苗}上的實(shí)值函數(shù).定義3.1.1

設(shè)為隨機(jī)變量，稱函數(shù)，(3.1.1)為的分布函數(shù).常常簡(jiǎn)記為，事件簡(jiǎn)記為，特別，事件常常簡(jiǎn)記，即例3.1.3

在噴施病毒防治害蟲的田間試驗(yàn)中，害蟲的病死時(shí)間是一隨機(jī)變量，某害蟲噴施病毒后，逐日病死時(shí)間的分布函數(shù)是求在噴施病毒6天以后害蟲病死的概率和6天以后但不超過10天的害蟲死亡概率.分布函數(shù)具有如下性質(zhì):1.單調(diào)不減性:如果.2.

右連續(xù)性:3.例3.1.4下列各函數(shù)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是（）（A）（B）

（C）（D）例3.1.5設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，試求：（1）系數(shù)；（2）落在的概率。§3.2離散型隨機(jī)變量

3.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律若只取有限個(gè)值或可列個(gè)值，稱隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.通常表示離散型隨機(jī)變量的分布的方式是寫出它取各個(gè)可能值的概率，表示的形式可以是式子

，(或).(3.2.1)(3.2.1)式稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。該式也可用表格形式來表示,即……性質(zhì)3.2.1

上面的(3.2.1)式可以用來表示某個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布的充分必要條件是:（1)對(duì)任意的k，（2)其中表示對(duì)求和，即表示或.例3.2.1

如例3.1.1,僅取值0，1和2，故是離散型隨機(jī)變量.的分布是 ， ，

.下面求的分布函數(shù).例3.2.2一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等。以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個(gè)數(shù)，求的概率分布、分布函數(shù)及概率。3.2.2幾種常見的離散型隨機(jī)變量

1．二點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量只取值0和1，有分布

，(3.2.2)其中，，則稱服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布，記為

.例3.2.3

設(shè)棉田植株被盲蝽為害的概率為0.4.若用來表示“受害”，用來表示“未受害”，則，.

即服從參數(shù)為0.4的兩點(diǎn)分布.

2.二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量只取值，且分布為，，(3.2.3)其中，，則稱服從二項(xiàng)分布，記為

.例3.2.4大豆黃子葉種子品種與青子葉種子品種雜交后，按照等位基因分離的原則，出現(xiàn)黃子葉種子的概率為0.75，出現(xiàn)青子葉種子的概率為0.25，現(xiàn)在一個(gè)豆莢內(nèi)有三粒種子，為黃子葉種子的數(shù)目，求的分布.例3.2.5設(shè)每發(fā)子彈打中飛機(jī)的概率為，問在發(fā)中打中飛機(jī)的最可能成功次數(shù)是多少？并求其相應(yīng)的概率。例3.2.6（壽命保險(xiǎn)問題）在某保險(xiǎn)公司時(shí)有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)。在一年時(shí)每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從公司時(shí)領(lǐng)2000元。問：（1）“保險(xiǎn)公司虧本”（記為）的概率是多少？（2）“保險(xiǎn)公司獲利不少于元”（分別記為）的概率是多少？泊松定理在伯努利試驗(yàn)中，以表示事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，它與試驗(yàn)總數(shù)有關(guān)，如果，則當(dāng)時(shí)，

(3.2.4)3.泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為，且

(3.2.6)其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為。例3.2.8某批鑄件每件的缺陷數(shù)服從泊松分布，若規(guī)定缺陷數(shù)不超過一個(gè)為一等品；大于一個(gè)不多于四個(gè)的為二等品；有五個(gè)以上缺陷數(shù)為次品，求產(chǎn)品為一等品，二等品，次品的概率。例3.2.9設(shè)隨機(jī)變量,且

,則____.例3.2.10(昆蟲繁殖問題)設(shè)某昆蟲產(chǎn)個(gè)卵的概率為泊松分布,又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化為昆蟲的概率為,若卵的孵化是相互獨(dú)立的,問此昆蟲的下一代有條的概率是多少?4.超幾何分布設(shè)隨機(jī)變量的概率分布是

(3.2.7)

內(nèi)的一切整數(shù)，則稱服從超幾何分布，記為例3.2.11設(shè)有一批產(chǎn)品，批量為1000件。假定該批產(chǎn)品的次品率為1%，若采用抽樣方案（150|2），求接受這批產(chǎn)品為合格的概率。例3.2.12

著名統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)家皮爾遜曾研究了玩撲克牌中洗牌是否徹底的問題，這種游戲叫惠斯特，是類似橋牌的一種游戲。每次有13個(gè)“主”，四人每人各拿13張牌，他從25000局實(shí)際比賽中隨機(jī)抽取了3400局，統(tǒng)計(jì)第一次出牌人手中的“主”，看看實(shí)際的情況與理論的情況是否吻合。從理論上，第一個(gè)人手中的“主”的數(shù)目應(yīng)服從超幾何分布，相應(yīng)參數(shù)是，故理論值應(yīng)是5.幾何分布如果隨機(jī)變量只取正整數(shù)值且分布為，，(3.2.8)其中，，則稱服從幾何分布，記為.例3.2.8

設(shè)有獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列，事件在單次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為.設(shè)為在其中首次發(fā)生的試驗(yàn)的次數(shù)，即“在前面的次試驗(yàn)中都不發(fā)生，而在第次試驗(yàn)中發(fā)生”.則，.即.

6.負(fù)二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為

(3.2.9)則稱X服從參數(shù)為的負(fù)二項(xiàng)分布，記為負(fù)二項(xiàng)分布又稱為巴斯卡或等待時(shí)間分布。例3.2.9

甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投三次.求(1)兩人投中次數(shù)相等的概率;(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.補(bǔ)充例題例3.2.10

有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001.在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?§3.3連續(xù)型隨機(jī)變量

3.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度件定義3.3.1

設(shè)的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有

(3.3.1)則稱是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，也稱概率密度。由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足

(3.3.2)例3.3.1

當(dāng)隨機(jī)變量的可能值充滿區(qū)間

，則可以成為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。由定義還可得密度函數(shù)的下列性質(zhì)：例3.3.2

設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試求的分布函數(shù)例3.3.3設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為試求：（1）常數(shù)的值；（2）例3.3.4設(shè)隨機(jī)變量的分布度函數(shù)為試求：（1）（2）的密度函數(shù)

例3.3.5

設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X是一隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為X的計(jì)時(shí)單位為分鐘。若等待時(shí)間超過10分鐘，則他就離開。設(shè)他在一個(gè)月要來銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率

3.3.2幾種常見的的連續(xù)型隨機(jī)變量1.均勻分布設(shè)為實(shí)數(shù)，，如果隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

(3.3.3)則稱服從上的均勻分布，記為相應(yīng)的分布函數(shù)為

(3.3.4)例3.3.6

設(shè),求方程有實(shí)根的概率。2.指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，(3.3.6)其中參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為.例3.3.7若已使用了()小時(shí)的電子管，在以后小時(shí)內(nèi)失效的(條件)概率為，其中λ是不依賴于的正數(shù).假定電子管壽命為零的概率是零，求電子管在小時(shí)內(nèi)失效的概率.3.正態(tài)分布如果隨機(jī)變量的概率密度為，(3.3.7)其中和都是參數(shù)，，可取任意實(shí)值，則稱服從正態(tài)分布，記為正態(tài)分布也稱常態(tài)分布或高斯分布。相應(yīng)的分布函數(shù)為

(3.3.8)特別當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，的概率密度和分布函數(shù)分別記為，即

(3.3.9)

(3.3.10)正態(tài)分布的具有下列基本性質(zhì)：例3.3.8從大氣層臭氧的含量可知某一地區(qū)空氣污染的程度，從統(tǒng)計(jì)資料發(fā)現(xiàn)，臭氧含量服從正態(tài)分布。今從某城市統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知道，，我們希望知道臭氧含量落在范圍中的概率。例3.3.9電源電壓在不超過這三種情況下，元件損壞的概率分別為。設(shè)電源電壓，求例3.3.10設(shè)，且，求概率例3.3.11設(shè)，若，則c=______.*4.威布爾分布若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的威布爾分布，記為。

*5.伽瑪分布若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，其中是參數(shù)，則稱服從伽瑪分布

，記為。

*6.貝塔分布

若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，其中和是參數(shù)，則稱服從貝塔分布。

例3.3.12

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?補(bǔ)充例題例3.3.13

將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，認(rèn)為這枚硬幣不均勻是否合理?試說明理由.3.4一維隨機(jī)變量的函數(shù)