概率論與數(shù)理統(tǒng)計三章

第三章一維隨機變量及其分布

§3.1一維隨機變量及其分布例3.1.1

投擲一個骰子一次，出現(xiàn)1點得0分，出現(xiàn)2點或3點得1分，出現(xiàn)其他點得2分.分別以記出現(xiàn)點，以記得到的分數(shù)，則是定義在樣本空間上的函數(shù):例3.1.2

從某品種水稻試驗田中任選一株秧苗而記錄其苗高，隨而變，故為集合為該試驗田秧苗}上的實值函數(shù).定義3.1.1

設(shè)為隨機變量，稱函數(shù)，(3.1.1)為的分布函數(shù).常常簡記為，事件簡記為，特別，事件常常簡記，即例3.1.3

在噴施病毒防治害蟲的田間試驗中，害蟲的病死時間是一隨機變量，某害蟲噴施病毒后，逐日病死時間的分布函數(shù)是求在噴施病毒6天以后害蟲病死的概率和6天以后但不超過10天的害蟲死亡概率.分布函數(shù)具有如下性質(zhì):1.單調(diào)不減性:如果.2.

右連續(xù)性:3.例3.1.4下列各函數(shù)是某隨機變量的分布函數(shù)是（）（A）（B）

（C）（D）例3.1.5設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，試求：（1）系數(shù)；（2）落在的概率?！?.2離散型隨機變量

3.2.1離散型隨機變量及其分布律若只取有限個值或可列個值，稱隨機變量為離散型隨機變量.通常表示離散型隨機變量的分布的方式是寫出它取各個可能值的概率，表示的形式可以是式子

，(或).(3.2.1)(3.2.1)式稱為離散型隨機變量的概率分布或分布律。該式也可用表格形式來表示,即……性質(zhì)3.2.1

上面的(3.2.1)式可以用來表示某個離散型隨機變量的分布的充分必要條件是:（1)對任意的k，（2)其中表示對求和，即表示或.例3.2.1

如例3.1.1,僅取值0，1和2，故是離散型隨機變量.的分布是 ， ，

.下面求的分布函數(shù).例3.2.2一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號顯示的時間相等。以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個數(shù)，求的概率分布、分布函數(shù)及概率。3.2.2幾種常見的離散型隨機變量

1．二點分布如果隨機變量只取值0和1，有分布

，(3.2.2)其中，，則稱服從參數(shù)為的二點分布，記為

.例3.2.3

設(shè)棉田植株被盲蝽為害的概率為0.4.若用來表示“受害”，用來表示“未受害”，則，.

即服從參數(shù)為0.4的兩點分布.

2.二項分布如果隨機變量只取值，且分布為，，(3.2.3)其中，，則稱服從二項分布，記為

.例3.2.4大豆黃子葉種子品種與青子葉種子品種雜交后，按照等位基因分離的原則，出現(xiàn)黃子葉種子的概率為0.75，出現(xiàn)青子葉種子的概率為0.25，現(xiàn)在一個豆莢內(nèi)有三粒種子，為黃子葉種子的數(shù)目，求的分布.例3.2.5設(shè)每發(fā)子彈打中飛機的概率為，問在發(fā)中打中飛機的最可能成功次數(shù)是多少？并求其相應(yīng)的概率。例3.2.6（壽命保險問題）在某保險公司時有2500個同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險。在一年時每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日付12元保險費，而在死亡時家屬可從公司時領(lǐng)2000元。問：（1）“保險公司虧本”（記為）的概率是多少？（2）“保險公司獲利不少于元”（分別記為）的概率是多少？泊松定理在伯努利試驗中，以表示事件在試驗中出現(xiàn)的概率，它與試驗總數(shù)有關(guān)，如果，則當時，

(3.2.4)3.泊松分布設(shè)隨機變量的可能取值為，且

(3.2.6)其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為。例3.2.8某批鑄件每件的缺陷數(shù)服從泊松分布，若規(guī)定缺陷數(shù)不超過一個為一等品；大于一個不多于四個的為二等品；有五個以上缺陷數(shù)為次品，求產(chǎn)品為一等品，二等品，次品的概率。例3.2.9設(shè)隨機變量,且

,則____.例3.2.10(昆蟲繁殖問題)設(shè)某昆蟲產(chǎn)個卵的概率為泊松分布,又設(shè)一個蟲卵能孵化為昆蟲的概率為,若卵的孵化是相互獨立的,問此昆蟲的下一代有條的概率是多少?4.超幾何分布設(shè)隨機變量的概率分布是

(3.2.7)

內(nèi)的一切整數(shù)，則稱服從超幾何分布，記為例3.2.11設(shè)有一批產(chǎn)品，批量為1000件。假定該批產(chǎn)品的次品率為1%，若采用抽樣方案（150|2），求接受這批產(chǎn)品為合格的概率。例3.2.12

著名統(tǒng)計學學家皮爾遜曾研究了玩撲克牌中洗牌是否徹底的問題，這種游戲叫惠斯特，是類似橋牌的一種游戲。每次有13個“主”，四人每人各拿13張牌，他從25000局實際比賽中隨機抽取了3400局，統(tǒng)計第一次出牌人手中的“主”，看看實際的情況與理論的情況是否吻合。從理論上，第一個人手中的“主”的數(shù)目應(yīng)服從超幾何分布，相應(yīng)參數(shù)是，故理論值應(yīng)是5.幾何分布如果隨機變量只取正整數(shù)值且分布為，，(3.2.8)其中，，則稱服從幾何分布，記為.例3.2.8

設(shè)有獨立重復(fù)試驗序列，事件在單次試驗中發(fā)生的概率為.設(shè)為在其中首次發(fā)生的試驗的次數(shù)，即“在前面的次試驗中都不發(fā)生，而在第次試驗中發(fā)生”.則，.即.

6.負二項分布設(shè)隨機變量的概率分布為

(3.2.9)則稱X服從參數(shù)為的負二項分布，記為負二項分布又稱為巴斯卡或等待時間分布。例3.2.9

甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投三次.求(1)兩人投中次數(shù)相等的概率;(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.補充例題例3.2.10

有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001.在每天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?§3.3連續(xù)型隨機變量

3.3.1連續(xù)型隨機變量的概率密度件定義3.3.1

設(shè)的分布函數(shù)，若存在非負可積函數(shù)，對任意實數(shù)，有

(3.3.1)則稱是連續(xù)型隨機變量，稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，也稱概率密度。由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足

(3.3.2)例3.3.1

當隨機變量的可能值充滿區(qū)間

，則可以成為隨機變量的概率密度函數(shù)。由定義還可得密度函數(shù)的下列性質(zhì)：例3.3.2

設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為試求的分布函數(shù)例3.3.3設(shè)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為試求：（1）常數(shù)的值；（2）例3.3.4設(shè)隨機變量的分布度函數(shù)為試求：（1）（2）的密度函數(shù)

例3.3.5

設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間X是一隨機變量，其密度函數(shù)為X的計時單位為分鐘。若等待時間超過10分鐘，則他就離開。設(shè)他在一個月要來銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率

3.3.2幾種常見的的連續(xù)型隨機變量1.均勻分布設(shè)為實數(shù)，，如果隨機變量的概率密度函數(shù)為

(3.3.3)則稱服從上的均勻分布，記為相應(yīng)的分布函數(shù)為

(3.3.4)例3.3.6

設(shè),求方程有實根的概率。2.指數(shù)分布如果隨機變量X的概率密度函數(shù)為，(3.3.6)其中參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為.例3.3.7若已使用了()小時的電子管，在以后小時內(nèi)失效的(條件)概率為，其中λ是不依賴于的正數(shù).假定電子管壽命為零的概率是零，求電子管在小時內(nèi)失效的概率.3.正態(tài)分布如果隨機變量的概率密度為，(3.3.7)其中和都是參數(shù)，，可取任意實值，則稱服從正態(tài)分布，記為正態(tài)分布也稱常態(tài)分布或高斯分布。相應(yīng)的分布函數(shù)為

(3.3.8)特別當時，相應(yīng)的分布稱為標準正態(tài)分布，的概率密度和分布函數(shù)分別記為，即

(3.3.9)

(3.3.10)正態(tài)分布的具有下列基本性質(zhì)：例3.3.8從大氣層臭氧的含量可知某一地區(qū)空氣污染的程度，從統(tǒng)計資料發(fā)現(xiàn)，臭氧含量服從正態(tài)分布。今從某城市統(tǒng)計數(shù)據(jù)知道，，我們希望知道臭氧含量落在范圍中的概率。例3.3.9電源電壓在不超過這三種情況下，元件損壞的概率分別為。設(shè)電源電壓，求例3.3.10設(shè)，且，求概率例3.3.11設(shè)，若，則c=______.*4.威布爾分布若連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的威布爾分布，記為。

*5.伽瑪分布若隨機變量的密度函數(shù)為，其中是參數(shù)，則稱服從伽瑪分布

，記為。

*6.貝塔分布

若隨機變量的密度函數(shù)為，其中和是參數(shù)，則稱服從貝塔分布。

例3.3.12

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?補充例題例3.3.13

將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，認為這枚硬幣不均勻是否合理?試說明理由.3.4一維隨機變量的函數(shù)