場論課件完整

場論《場論》教材及主要參考書教材：

《矢量分析與場論》

謝樹藝

高等教育出版社主要參考書:

《矢量分析與場論--學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》

謝樹藝

高等教育出版社第一節(jié)場與時間無關(guān)的場稱為穩(wěn)定場，否則為不穩(wěn)定場.1.場:如果在空間或其部分空間的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，該物理量的一個場.如果該物理量是數(shù)量，稱它為數(shù)量場；如果該物理量是矢量，稱它為矢量場或向量場.分別用表示.及則稱在該空間定義了關(guān)于溫度場和密度場：數(shù)量場,重力場和速度場：矢量場.

數(shù)量場的等值面在數(shù)量場

中，稱曲面為該數(shù)量場的等值面.在平面場中，稱曲線為它的等值線,如等溫線、等高線等.一個等值面通過；等值面族充滿了數(shù)量場所在的空間，而且互不相交.由于數(shù)量場是單值的，所以場中的每一點有且僅有等值面等值線3.矢量場的矢量線設(shè)C為矢量場中的曲線，如果C矢量線:上每一點對應(yīng)的矢量都與C相切,則稱之為矢量線.設(shè)為曲線上一點，因為,所以矢量線滿足解：矢量線所滿足的微分方程為由得又由合比定理例1.求矢量場的矢量線方程.過點可得有將點代入得所以所求矢量線方程為：第二節(jié)數(shù)量場的方向?qū)?shù)與梯度定義1：1.方向?qū)?shù)設(shè)是數(shù)量場中的一點，存在，則稱此極限為在點處沿l方向的方向?qū)?shù)，記作若沿方向l定理1:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:且有得若函數(shù)在點處可微，故在點可微,由函數(shù)定義2：設(shè)是數(shù)量場中的一點，存在，則稱此極限為在點處沿曲線C(正向)的記作若沿曲線C之正向方向?qū)?shù)，定理2:曲線C光滑，若在點處函數(shù)可微、l為C在處的切線方向（正向），則例1.在點是曲面設(shè)處指向下側(cè)的法向量，求函數(shù)在點M處沿的方向?qū)?shù).解:

方向余弦為而法向量為所以所以例2.

朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用矢量形式表示為它在點P

的切向量為在點P(2,3)沿曲線求函數(shù)梯度記作gradu,即定義：稱向量為數(shù)量場u(M)在設(shè)有數(shù)量場在點處,點M處的梯度,引入哈密頓算子：有性質(zhì)：方向：u變化率最大的方向模:

u的最大變化率之值1)2)3)為等值面在點M處的法向量，u(M)增大的一方.指向數(shù)量場注：稱為由數(shù)量場u產(chǎn)生的梯度場.矢量場運算公式例3.證:試證處矢徑r的模,例4.作出數(shù)量場所產(chǎn)生的梯度場的矢量線.解:數(shù)量場所產(chǎn)生其矢量線滿足微分方程所以矢量線方程為：的梯度場為第三節(jié)矢量場的通量與散度定義：1.通量簡單曲線:沒有重點的連續(xù)曲線；簡單曲面:沒有重點的連續(xù)曲面；設(shè)有矢量場，中有向曲面S某一側(cè)的曲面積分向積分所沿一側(cè)叫做矢量場穿過曲面S的通量.沿其設(shè)又所以通量為當(dāng)

>0時,當(dāng)

<0時,當(dāng)

=0時,不能判定S內(nèi)有無源.表明S

內(nèi)有正源;表明S

內(nèi)有負源

;通量的物理意義通量的表示例1.解:設(shè)由矢徑構(gòu)成的矢量場中，有一由圓錐面及平面所圍成的封閉曲面S,試求從S內(nèi)穿出S的通量.由奧-高公式（奧氏公式、高斯公式）2.散度定義：存在，則稱此極限為在點處的散度，記作若設(shè)有矢量場，表明該點處有正源,表明該點處有負源,表明該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A

處處有,則稱A

為無源場.說明:散度是通量對體積的變化率,且定理:在任一點M(x,y,z)的散度為在直角坐標(biāo)系中，矢量場證明：由奧-高公式又由中值定理得所以其中為中的某一點,推論1：奧-高公式的矢量形式推論2：若在封閉曲面S內(nèi)處處有，則推論3：或這些點的任一封閉曲面的通量都相等.若在矢量場內(nèi)某些點上有，不存在，而在其他點上，則穿出包圍例2.解:

求矢量場所產(chǎn)生的散度場,并求此散度場通過點M(2,-1,1)的梯度。令散度的運算公式例3.解:

已知求由基本公式得由于故第四節(jié)矢量場的環(huán)量及旋度定義：1.環(huán)量設(shè)有矢量場，封閉有向曲線l按積分所取方向沿曲線

l的環(huán)量.叫做矢量場沿其中環(huán)量表示的曲線積分例1.解:設(shè)有平面矢量場l為場中的星形線求沿l正向的環(huán)量2.環(huán)量面密度定義：存在，中的設(shè)M為矢量場記作,一點，若沿方向則稱此極限為在點處沿方向的環(huán)量面密度，即定理:在直角坐標(biāo)系中，矢量場證明：由斯托克斯公式在任一點M(x,y,z)的處沿方向的環(huán)量面密度為其中為的方向角.又由中值定理得所以其中為中的某一點,例2.解:

求矢量場在點M(2,-1,1)沿方向環(huán)量面密度.的方向余弦為所以在點M沿環(huán)量面密度為3.旋度定義：稱向量設(shè)矢量場在點處,為矢量場在點M處的旋度,記作，即性質(zhì)：方向：模:1)2)的最大環(huán)量面密度的方向的最大環(huán)量面密度之值斯托克斯公式的矢量形式設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一點,建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為

,點M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:旋度的運算公式A的雅可比矩陣例3.解:

已知求由于又及所以故第五節(jié)幾種重要的矢量場線單連域:如果空間區(qū)域G內(nèi)的任何一條簡單閉曲線l，都存在一個以l為邊界且全部位于G的曲面S，否則稱G為線復(fù)連域.則稱區(qū)域G為線單連域，面單連域:如果空間區(qū)域G內(nèi)的任何一個簡單閉曲面S所包圍的點皆在G內(nèi)(即S沒有洞),否則稱G為面復(fù)連域.則稱區(qū)域G為面單連域，1.有勢場定義:若存在單值函數(shù)使得則稱為有勢場.稱為該矢量場的勢函數(shù),即設(shè)矢量場勢函數(shù)的全體可表示為定理:在線單連域內(nèi)，為有勢場證明：設(shè)為有勢場,則存在單值函數(shù)使得那么由于場所在區(qū)域為線單連域，所以l為區(qū)域內(nèi)任一閉曲線；與路徑無關(guān)()；“”“”場保守存在函數(shù)u即為有勢場.注：1)場有勢場保守場無旋2)勢函數(shù)例1.解:則存在函數(shù)u(M),使因是保守場，則曲線積分與路徑無關(guān)，于是其中為場中任一點.若是保守場，令則注：稱為的原函數(shù).例2.解:證明矢量場為保守場，并計算曲線積分其中l(wèi)是從A(1,4,1)到B(2,3,1)為保守場.故取于是的任一路徑.例3.解:是有勢場，并求其勢函數(shù)v.證明矢量場由的雅可比矩陣得為有勢場,故那么存在函數(shù)使得取于是得勢函數(shù)勢函數(shù)的全體為那么有第一個方程對x積分，得上式對y求導(dǎo)，得所以有于是也就有不定積分法求勢函數(shù)存在函數(shù)使得即有于是所以有從而勢函數(shù)上式對z求導(dǎo)，得若2.管形場定義：設(shè)矢量場，稱為管形場(無源場).定理2:是矢量管上的任意兩個橫斷面，法矢都指向所指方向一側(cè)，定理3:在面單連域內(nèi)，為管形場充要條件是存在一個矢量場,使得.此時稱為的勢矢量.為面單連域，任取一矢量管.其則設(shè)管形場所在空間區(qū)域若3.調(diào)和場定義：設(shè)矢量場，則稱為調(diào)和場.(1)調(diào)和函數(shù)定義：如果函數(shù)u滿足拉普拉斯方程則稱函數(shù)u為調(diào)和函數(shù).其中