2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步練習(xí)-第三章　函數(shù)的概念與性質(zhì)

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

(滿分150分,考試用時120分鐘)

一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的)

1.函數(shù)f(x)二耳的定義域為()

X-1

A.[-2,2]B.(-2,3)

C.[-2,1)U(1,2]D.(-2,1)U(1,2)

2.下列四組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是()

A.f(x)=Vx^,g(x)=|x|

2

B.f(x)=x,g(x)=音

Cf(x)=1x-21,g(x)嶗然了

D.f(x)=7x+1?Vx-1,g(x)=Vx2-l

3.函數(shù)f(x)=x?二的圖象大致為()

4.已知函數(shù)f(x)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù).當(dāng)x￡(-8,0)時,f(x)=x-x)則

當(dāng)x￡(0,+8)時，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=()

A.-x-x4B.x-x'

C.-x+x!D.x+x4

5.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若對任意的Xi,x2e(-8,o)

(xHxJ,都有(x「X2)[f(X1)-f(x2)]<0,f(T)=0,則不等式xf(x)<0的解集是

()

A.(-1,1)B.u(l,+8)

C.(-1,0)U(1,+8)口.(-8,t)u(0,1)

6.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,則f(-5)+f(5)=()

A.4B.0C.2mD.-m+4

7.已知g(x)=x2-2(xeR),f(x)=P+x+4,x<g(x),則f⑺的值域是()

kg(%)~x,x>g(%),

A.-7q,0U(1,+8)B.[0,+8)

4.

C.[-7,+8)D.f-7,olu(2,+°°)

8.已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+°°),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),

f如果對于0<x<y,都有f(x)>f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)2-2的解集

為()

A.[-4,0)B.[-1,0)

C.(一8,0]D.[-1,4]

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

9.已知f(2x-l)=4x；則下列結(jié)論正確的是()

A.f(3)=9B.f(-3)=4

C.f(x)=x2D.f(x)=(x+l)2

10.下列函數(shù)與y=x2-2x+3的值域相同的是()

A.y=4x(%>g)B.y=--+2

C.D.y=2x-V%-l

XL

11.下列關(guān)于函數(shù)f6)=耳1的性質(zhì)的描述中正確的是()

A.f(x)的定義域為［T,0)U(0,1］

B.f(x)的值域為(T,1)

C.f(x)在定義域上是增函數(shù)

D.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

12.對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),若同時滿足:①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞

減;②存在區(qū)間［a,b］皿使f(x)在［a,b］上的值域為［a,b］,則把y=f(x)(xeD)稱

為閉函數(shù).下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=x2+l是閉函數(shù)

B.函數(shù)y=-x：'是閉函數(shù)

C.函數(shù)丫二是閉函數(shù)

D.若函數(shù)y=k+GTI是閉函數(shù)，則ke(-^,-2］

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.已知幕函數(shù)y=f(x)的圖象過點(4,》則的值為.

14.已知偶函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,且f(3)=0,則f(x)<0的解集

為.

15.用max{a,b}表示a,b中的最大者.設(shè)f(x)=max{x+2,x2-3x+5},則函數(shù)f(x)的

最小值是

16.已知函數(shù)f(x)=L*2+kx、x-L若存在a,b￡R,且aWb,使得f(a)=f(b)成立,

k2x2,x>1,

則實數(shù)k的取值范圍是.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)已知函數(shù)f(x)={*d#)i

⑴求f(2)及f(f(T))的值；

⑵解關(guān)于x的不等式f(x)>4.

18.(12分)已知函數(shù)f依)=翳是定義在［-1,1］上的奇函數(shù),且f⑴=1.

2+%/3

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)用定義證明f(x)在［-1,1］上是增函數(shù)；

⑶若實數(shù)t滿足不等式f(t-l)+f(t)<0,求t的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且f(x)=x2+x.

⑴求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)已知人WT,若h(x)=g(x)-入f(x)+l在［-1,1］上是增函數(shù),求實數(shù)X的取值

范圍.

20.(12分)2022年,某手機企業(yè)計劃將某項新技術(shù)應(yīng)用到手機生產(chǎn)中去，并計劃用

一年的時間進(jìn)行試產(chǎn)、試銷.通過市場分析,生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本

280萬元,每生產(chǎn)x千部手機,需另投入成本C(x)萬元,且

flOx2+200x,0<x<50,

C(x)=)ioooo由市場調(diào)研知，每部手機售價0.8萬元，且

801%H----------9450,x>50,

1X

全年內(nèi)生產(chǎn)的手機當(dāng)年能全部銷售完.

⑴求出2022年的利潤W(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(干部)的函數(shù)關(guān)系式(利潤=銷售

額-成本)；

(2)2022年產(chǎn)量為多少時,企業(yè)所獲利潤最大?最大利潤是多少？

21.(12分)已知f(x)=x?|x|.

(1)若mx￡[-2,2]，使得f(x)>a-4成立,求a的取值范圍;

⑵若g(x)=2f(x)+|mx-l|(m>0)在xe(-1,+8)上有最小值,求實數(shù)m的取值范

圍.

22.(12分)設(shè)a,b￡R,若函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個實數(shù)x都滿足

f(x)+f(2a-x)=2b,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱;反之,若函數(shù)f(x)的圖象

關(guān)于點(a,b)對稱,則函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個實數(shù)x都滿足

f(x)+f(2a-x)=2b.已知函數(shù)g(x)

(1)證明：函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(-1,5)對稱；

(2)已知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱,當(dāng)xe[0,1]時,h(x)=x?-mx+m+1.若對

任意的X.e[0,2]，總存在X2e[-|,1]使得h(X1)=g(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

答案全解全析

1.C要使函數(shù)有意義,貝山47220,解得_2WXW2,且XW1,

(x-1H0,

故函數(shù)f(x)的定義域為[-2,1)U(1,2].故選C.

2.CA中，f(x)=V^=x,g(x)=|x|,兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同；

2_

B中，f(x)=x,g(x)=T=x(xWl),兩個函數(shù)的定義域不同；

X-1

C中，f(x)=|x-2|王？'與g(X)王？':三’的對應(yīng)關(guān)系相同,定義域也

相同,故兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；

D中，f(中+1?滿足)舄“即X、l,而g(x)=4%2一1滿足x2-1^0,

即x2l或xW-1,兩個函數(shù)的定義域不同.故選C.

3.A易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|xA0},關(guān)于原點對稱,且f(-x)=-x34=-f(x),

X

所以f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱,故排除B、D;當(dāng)X>1時，f(x)>0,所以

排除C故選A.

4.A設(shè)x￡(0,+8),則-x￡(-8,0),

\?當(dāng)x￡(-°°,0)時,f(x)=x-x4,

f(-X)=-X-x',

又(x)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，

/.f(x)=f(-x)=-x-x故選A.

5.D由于對任意的xbx2e(-8,0)(X]WX2),都有(x-x2)[f(Xi)-f(x2)]<0,所以函

數(shù)f(x)在(-8,0)上為減函數(shù)，由于f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，故f(x)在(0,+8)

上為增函數(shù),且f(l)=f(T)=0,由此畫出f(x)的大致圖象如圖所示：

由圖可知,不等式xf(x)〈O的解集是(-8,一1)u(0,1).故選D.

6.A令g(x)=ax7-bx'+cx3,易知g(x)為奇函數(shù)，f(x)=g(x)+2,

:.f(-5)=g(-5)+2=m,g(-5)=m-2,

.*.g(5)=-g(-5)=-m+2,.,.f(5)=g(5)+2=4-m,.\f(-5)+f(5)=4.

7.D當(dāng)x<g(x),即x〈x"2,即x>2或x<-l時，

f(x)=g(x)+X+4=X2-2+X+4=X2+X+2=^X4-0+：,此時f(x)>2;

當(dāng)x》g(x),即x3x?-2,即TWxW2時，

f(x)=g(x)-x=x^2-x=(x-0

此時(x)WO.

4

綜上，f(x)的值域為卜[o]u(2,+8),故選D.

L4

8.B令x=y=l,得f(l)=2f(1),即f(1)=0;令x=[,y=2,得f(l)=f(2)+

fG),即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.由f(-x)+f(3-x)2-2,可得

f(x2-3x)2f(4),又因為函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8),且對于0<x<y,都有

,-x>0,x<0,

f(x)>f(y),所以3~x>0,即％<3,解得TWxCO,即不等式

.x2-3x<4,-1<%<4,

f(-x)+f(3-x)2的解集為[-1,0).

9.BD令t=2x—1,貝!Jx=詈，(t)=4(詈y=(t+i)2.

f(3)=16,f(-3)=4,f(x)=(x+1)：故選BD.

10.ACy=x2-2x+3=(xT)2+222,.?.該函數(shù)的值域是［2,+8).

y=4x(x＞以的值域是［2,+8)；y=A_+2的值域是(2,+-)；

y=^4^=r+4^2?該函數(shù)的值域為12,+8)；對于y=2x-Vx-l,設(shè)VxT=t,則

x=t2+l,t^0,.*.y=2tL，-t+2=2(t-^+蓑》蕓，???該函數(shù)的值域為［蓑，+8).故選

AC.

11.AB對于A,由產(chǎn)飛飛。"解得TWxWl且x#0,故函數(shù)f(x)的定義域為

1W0,

[-1,0)U(0,1],故A正確；

對于B,易得f&)=卜印巴一14*<。，當(dāng)x￡[―1,0)時,f(x)￡[0,1),當(dāng)x￡(0,1]

時,f(x)e(-1,0],所以f(x)e(-1,1),故B正確；

對于C,因為f(f=亨，*>號昭)，所以函數(shù)f(x)不是定義域上的

增函數(shù)，故C錯誤；

對于D,因為定義域關(guān)于原點對稱,且對任意x￡[-1,0)U(0,1],f(-x)=-f(x),所

以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,故D錯誤.故選AB.

12.BD因為y=x2+l在定義域R上不是單調(diào)函數(shù),所以函數(shù)y=x2+l不是閉函數(shù),A

錯誤.y=r，在定義域上是減函數(shù),若丫=-十是閉函數(shù),則存在區(qū)間[a,b],使得函數(shù)

b=-a3,___1

的值域為[a,b],即a=-不,解得｛；-丁，因此存在區(qū)間[-1,1],使丫=-(在[-1,1]

<b>a,

上的值域為[-1,1],B正確.丫二多口-三在(-8,一1)上單調(diào)遞增,在(-1,+8)上單

X+lX+1

調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上不單調(diào),從而該函數(shù)不是閉函數(shù),C錯誤.y=k+ST”在定

義域[-2,+oo)上單調(diào)遞增,若y=k+R^是閉函數(shù),則存在區(qū)間[a,b],使函數(shù)的

值域為[a,b],gpf=k+二2所以a,b為方程x=k+SF的兩個實數(shù)根,即

(匕=k+VFT2,

方程g(x)=x2-(2k+l)x+k2-2=0(x2-2,x2k)有兩個不等的實數(shù)根，當(dāng)kW-2時,有

[9(-2)>0,解得二<kW-2;當(dāng)k>-2時,有]9a)?。，無解.綜上所

2/c+l、42/c+l、,

I—>-2，I—>卜，

述,2],D正確.故選BD.

13.答案2

解析設(shè)f(x)=x'1，則4"=；=4,

4

...a=-1.因此f(x)=x從而f(|)=Q)=2.

14.答案(-3,3)

解析由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,知f(x)的大致圖象如圖.

由圖象知f(x)<0的解集為(-3,3).

15.答案3

解析在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x+2和y=x2-3x+5的圖象,則f(x)的圖象

如圖中實線部分所示，

-2-1|1234567久

由圖象可得,f(X)min—f(1)~3.

16.答案k<2或k>3

解析由題意得，f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).

易知y=2x?在(1,+8)上為增函數(shù)，當(dāng)x=l時,y=2,

則$1或T+k>2,

解得k<2或k>3.

17.解析（l）f（2）=-212+8=4,（2分）

f（f（-l））=f（4）=-2X4+8=0.（4分）

（2）當(dāng)xWl時,f（x）=x+5,

若f（x）>4,則x+5>4,解得x>-l,則-（6分）

當(dāng)x>l時，f（x）=-2x+8,

若f（x）>4,則-2x+8>4,解得x<2,則l<x<2.（8分）

所以不等式f（x）>4的解集為{x|T〈x<2}.（10分）

18.解析（1）因為函數(shù)f&）=鬻是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，

所以f（0）=2=0,即b=0,（2分）

又f（1）所以a=1,

所以f（x）=三.經(jīng)檢驗,符合題意.（4分）

2+X2

X〈IXII

（2）證明：任取X）,2G［-1,1］,且Xi<x2,則TXX2<1,2-X>0,XX2-

2<0,（5分）

所以f（X）-f（X）_"1"2_打1+2%1-%*2-2%2_（%2-%1）（%1%2-2）（

1-2+xl2+%2（2+好）（2+蟾）（2+好）（2+好）

0,即f（xi）<f（x2）,（7分）

所以f（x）在［-1,1］上是增函數(shù).（8分）

⑶不等式f(t-l)+f(t)<0即f(t-1)<-f(t)=f(-t),(9分)

t~l<-t,

因為f(x)是增函數(shù)且定義域為［T,1］,所以卜1<t-1<1,

-1<-t<1,

解得0W嗎(11分)

所以t的取值范圍是［o,1).(12分)

19.解析⑴設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點Q(x。,y。)關(guān)于原點的對稱點為

P(x,y),

"o+x_n

則京二o’即猊二區(qū)分)

2'

22

,點Q(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，一y=(-x)+(-x),即y=-x+x,

故g(x)=-x2+x.(6分)

⑵結(jié)合⑴知h(x)=-(1+入)x2+(1-X)x+1,

當(dāng)X=-1時,h(x)=2x+l,h(x)在［-1,1］上是增函數(shù),滿足條件；(8分)

當(dāng)入<-1時,h(x)的圖象開口向上,且對稱軸方程為則三解得

-3〈人<-1.(11分)

綜上,實數(shù)人的取值范圍為-3W入^-1.(12分)

20.解析(1)當(dāng)0<x<50時，W(x)=800x-(10x2+200x)-280=

-10x2+600x-280,(3分)

當(dāng)x、50時，W(x)=800x-(801%+吧產(chǎn)-9450)-280=-(%+千竺)+

9170,

(-10x2+600x-280,0<x<50,

W(x)/ioooo\(6分)

［-1%H------J4-9170,x>50.

(2)若0<x<50,則W(X)=T0(X-30)2+8720,當(dāng)x=30時,W(x)皿=8720,(8分)

若x250,貝I」W(x)=-(%+空幽)+9170^-2lx?^-^+9170=8970,

\X/yjX

當(dāng)且僅當(dāng)X上■吧,即x=100時，等號成立,W(xLx=8970.(10分)

X

因為8970>8720,

所以2022年產(chǎn)量為100千部時,企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤是8970萬元.（12

分)

21.解析⑴f(x)=x?|x|=F廣2°二易知f(x)在R上單調(diào)遞增，(2分)

x<0,

當(dāng)x￡[-2,2]時，f(x)*=f(2)=4,

若玉e[-2,2]，使得f（x）>a-4成立，（4分）

則a-4<4,解得a<8,所以a的取值范圍是a<8.（5分）

,-2%2-mx+1,x<0,

1

(2)依題意得,g(x)=(2%?2-mx+1,0VxV蔡，(7分)

2x2+mxT,x>—.

、m

當(dāng)?$即0<m<2時,g（x）在（-1,-胃G，+8）上單調(diào)遞增,在（-十，7）上單調(diào)

遞減，

由題意知g?）Wg（T）,即+1jm-L解得4a-4Wm<2,

故當(dāng)4V2-4^m<2時,g(x)在(-1,+?=)上存在最小值g(^)=-^+l;(9分)

當(dāng)羅《即m'2時，-/弓則Vx￡(-1,0],g(x)2g(0)=1,

8&)在(0,5)上單調(diào)遞減，在('，+8)上單調(diào)遞增，且

VxG(0,+8),g(x)2g(\)*,又煮＜1，所以當(dāng)m》2時,g(x)在(T,+8)上存在最

小值g(3曦(11分)

綜上可得,若g(x)在(-1,+8)上有最小值,則m的取值范圍是m^4V2-4.(12分)

22.解析(1)證明:Vg(x)xe(-8,一1)u(-1,+8),

X+1

.??8(-2七)三].(1分)

X+