線性插值與二次插值公式

插值計算引例代數(shù)多項式插值問題線性插值與二次插值公式Lagrange插值公式第四章數(shù)據(jù)插值方法1整理ppt2整理ppt誤差函數(shù)x00.50001.00001.50002.00002.50003.0000y00.52050.84270.96610.99530.99961.0000當(dāng)

x∈(0.5,1)時當(dāng)

x∈(1,1.5)時3整理ppt實際問題中遇到的函數(shù)f(x)有的表達(dá)式復(fù)雜，有的只提供了離散點上的函數(shù)值或?qū)?shù)值。為了進(jìn)一步分析問題的性質(zhì)和變化規(guī)律，自然希望找到一種簡單函數(shù)p(x)，能近似描述函數(shù)f(x)的變化規(guī)律，又便于處理。把這個函數(shù)p(x)稱作f(x)的近似函數(shù)。近似函數(shù)p(x)可以是代數(shù)多項式或三角多項式，也可以是有理分式等等。p(x)選不同類型的函數(shù)，近似的效果不同，由于代數(shù)多項式結(jié)構(gòu)簡單，常取p(x)為代數(shù)多項式。如果要求近似函數(shù)p(x)取給定的離散數(shù)據(jù)，那么稱p(x)為f(x)的插值函數(shù)。4整理ppt多項式插值問題的一般提法設(shè)f(x)∈C[a,b],已經(jīng)點xi∈[a,b]上的函數(shù)值f(xi),(i=p0,p1,···,pn)和點xj上的導(dǎo)數(shù)值f(kj)(xj),(j=q0,q1,···,qm)，其中kj為小于或等于n+m+1的任意正整數(shù)。要求：作一個次數(shù)不超過n+m+1的代數(shù)多項式p(x)P(x)=a0+a1x+···+an+m+1xn+m+1使P(xi)=f(xi),(i=p0,p1,···,pn)P(kj)(xj)=f(kj)(xj),(j=q0,q1,···,qn)成立那么稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)。xi和xj稱作插值節(jié)點[a,b]為插值區(qū)間。5整理ppt上述問題稱作代數(shù)多項式插值問題6整理ppt7整理pptf(x)在點xi上的函數(shù)值yi=f(xi),(i=0,1,2,···,n)，求一個次數(shù)不超過n的插值多項式。那么稱(4.1)為滿足插值條件(4.2)的拉格朗日插值。Ln(x)=a0+a1x+···+anxn(4.1)滿足:Ln(xi)=yi(k=0,1,…,n)(4.2)

設(shè)f(x)∈C[a,b],取點a≤x0＜x1＜···＜xn≤b拉格朗日插值拉格朗日插值及其存在唯一性8整理ppt點,那么滿足插值條件Ln(xi)=yi(k=0,1,…,n)的n次插值多項式Ln(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且是唯一的。證明由插值條件L(x0)=y0L(x1)=y1··············L(xn)=yn定理4.1假設(shè)插值結(jié)點x0,x1,…,xn是(n+1)個互異9整理ppt方程組系數(shù)矩陣取行列式這是范德蒙行列式且不等于0。故方程組有唯一解.從而插值多項式P(x)存在而且是唯一的.例4.2已知誤差函數(shù)在四個點處函數(shù)值x0 0.6000 1.2000 1.8000Erf(x)

0 0.6039 0.9103 0.989110整理ppt構(gòu)造3次多項式L3(x)逼近Erf(x)設(shè)L3(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令L3(xi)=Erf(xi)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以,L3(x)=1.293x–0.5099x2+0.0538x311整理pptMATLAB計算程序x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x';y=y';A=[ones(4,1)xx.^2x.^3];p=A\y;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;plot(x,y,'o',t,u)12整理ppt由過兩點直線方程,得化為等價形式求滿足:

L1(x0)=y0,L1(x1)=y1的線性插值多項式L1(x)n=1線性插值問題函數(shù)表x

x0x1

f(x)y0

y1拉格朗日插值的基函數(shù)構(gòu)造法13整理ppt記當(dāng)x0≤x≤x1時，0≤l0(x)≤1,0≤l1(x)≤1x

x0

x1l0(x)10l1(x)01[y0

y1]=[10]y0+[01]y1把l0(x)、l1(x)稱作線性插值基函數(shù)14整理pptn=2二次插值問題x

x0x1x2f(x)y0

y1

y2函數(shù)表求二次插值(拋物插值)多項式

L2(x)=a0+a1x+a2

x2滿足:L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2[y0

y1

y2]=[100]y0+[010]y1+[001]y2仿照線性插值的基函數(shù)構(gòu)造法，可令

L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y215整理ppt二次插值函數(shù):L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，x x0 x1 x2l0(x) 1 0 0l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L2(x) y0 y1 y2

x x0x1 x2把l0(x)、l1(x)、l2(x)

稱作二次插值基函數(shù)16整理pptLagrange插值公式插值條件:Ln(xi)=yi(i=0,1,…,n)其中,第i(i=0,1,…，n)個插值基函數(shù)即:17整理ppt18整理ppt兩點線性插值定義誤差余項:

R1(x)=f(x)–L1

(x)由插值條件,令

R1(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)即f(x)–L1(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)C(x)=???Lagrange插值的誤差余項19整理ppta≤x0＜x1＜······＜xn≤b那么對任何x∈[a,b],滿足Ln(xi)=f(xi)的n次插值多項式Ln(x)的誤差其中,且與x有關(guān)定理5.2設(shè)f(x)∈C[a,b],且

f

(x)在(a,b)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),取插值結(jié)點20整理ppt證記

n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)Rn(x)＝f(x)–Ln(x)=C(x)

n+1(x)取定

x∈(a,b),設(shè)t∈(a,b).構(gòu)造函數(shù)顯然,F(x)=0,F(xj)=0,(

j=0,1,···,n)由插值條件Ln(xi)=f(xi)(k=0,1,…,n)存在C(x)，令21整理ppt

F(t)有(n+2)個相異零點.根據(jù)Rolle定理,F