橢圓講義-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

橢圓【考綱解讀】理解橢圓，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓參數(shù)方程的定義，掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程的基本方法，能夠熟練地根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解并掌握橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，理解橢圓離心率的定義，掌握求橢圓離心率和弦長(zhǎng)的基本方法?！局R(shí)精講】一、橢圓的定義與方程：1、橢圓的定義：（1）第一定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓；0yy0P00p00Xx如圖這里兩個(gè)定點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)，，常數(shù)為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a(2a＞||=2c)（2）第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線L的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓；QlF0yyF0PQ0F00F0xxl如圖這里的定點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線是橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線x=（焦點(diǎn)在X軸上）或y=（焦點(diǎn)在Y軸上），常數(shù)e是橢圓的離心率（0＜e＜1)『思考問(wèn)題』（1）在第一定義中，兩個(gè)定點(diǎn)，之間的距離||，叫做橢圓的焦距，用2c表示；（2）在第一定義中，動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離和|P|+|P|為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做橢圓的長(zhǎng)軸，用2a表示；（3）在第一定義中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓必須滿足2a>2c，當(dāng)2a=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段||；當(dāng)2a<2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在；（4）在第二定義中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線L的距離的比值是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做橢圓的離心率，它的取值范圍是（0，1）；（5）在第二定義中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離|PF|的取值范圍是[ac，a+c]（6）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫做橢圓的通徑，它的長(zhǎng)為。2、橢圓的方程：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸）：①焦點(diǎn)在x軸上②焦點(diǎn)在y軸上0Yy0P00p00Xx=1（a＞b＞0）=1（a＞b＞0）（2）橢圓的參數(shù)方程：x=acosy=bsin(為參數(shù))3、點(diǎn)P（，）與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：①=1（或=1）點(diǎn)P（，）在橢圓上；②＞1（或＞1）點(diǎn)P（，）在橢圓外；③＜1（或＜1）點(diǎn)P（，）在橢圓內(nèi)；4、直線y=kx+m與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：由=1（或=1）A+Bx+C=0，①若＞0，則直線與橢圓有兩個(gè)公y=kx+m共點(diǎn)；②若=0，則直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)；③若＜0，則直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)。『思考問(wèn)題』這里的a、b、c分別是橢圓的長(zhǎng)半軸，短半軸和半焦距，且a，b，c滿足：=+；（2）在實(shí)際問(wèn)題中，如果橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，則可設(shè)橢圓的方程為A+B=1，這里的A、B必須滿足：A>0，B>0，再根據(jù)條件求出A、B的值即可。二、橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的yy0xPP0x0Xxx0X圖像橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=1=1x，y的取值范圍a≤x≤a，b≤y≤b，a≤y≤a，b≤x≤b對(duì)稱性既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)（a，0），（a，0），（0，b），（b，0），（b，0），（0，a），（0，b），（c，0），（c，0），（0，a），（0，c），（0，c），離心率e=e=橢圓的準(zhǔn)線方程x=y=焦半徑公式：設(shè)P（，）是橢|P|=a+e，|P|=ae，|P|=a+e，|P|=ae，圓上的任意一點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè)A（，），B|AB|=|AB|=（，）是直線L：y=kx+b與橢圓的兩個(gè)不同交點(diǎn)【探導(dǎo)考點(diǎn)】考點(diǎn)1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程：熱點(diǎn)=1\*GB3①根據(jù)橢圓定義求軌跡方程；熱點(diǎn)=2\*GB3②根據(jù)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；熱點(diǎn)=3\*GB3③根據(jù)橢圓定義解答“焦點(diǎn)三角形”問(wèn)題；考點(diǎn)2橢圓幾何性質(zhì)及運(yùn)用：熱點(diǎn)=1\*GB3①與橢圓相關(guān)的最值問(wèn)題；熱點(diǎn)=2\*GB3②求橢圓離心率的值（或取值范圍）；考點(diǎn)3直線與橢圓：熱點(diǎn)=1\*GB3①求直線斜率（或直線方程）；熱點(diǎn)=2\*GB3②求多邊形的面積（或面積的最值）；熱點(diǎn)=3\*GB3③求直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)。【典例解析】【典例1】解答下列問(wèn)題：DPOFPOFM是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A橢圓B雙曲線C拋物線CD圓2、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（2,0）和點(diǎn)（0,1）；（2）焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P（0，10），P到它較近一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2；（3）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別是和，過(guò)P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；（4）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且過(guò)點(diǎn)A（3,0），并且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3、已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線的方程為x=2，求橢圓的方程；4、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，橢圓上各點(diǎn)到直線L：xy++=0的最短距離為1，求橢圓的方程。5、若橢圓a+b=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程；『思考題1』（1）【典例1】是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題應(yīng)該注意掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用的基本方法：①定義法；②待定系數(shù)法；（2）采用定義法，需要注意2a>2c這一條件，【典例1】中的1是通過(guò)求點(diǎn)的軌跡方程來(lái)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用橢圓的定義，采用定義法會(huì)使解答更簡(jiǎn)捷。（3）【典例1】中的2求橢圓的方法稱為待定系數(shù)，待定系數(shù)法的基本步驟是：①作判斷，判斷橢圓焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②設(shè)方程，=1（a＞b＞0）或=1（a＞b＞0）或A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；③找關(guān)系建立方程或方程組；④解方程或方程組，將結(jié)果代入假設(shè)方程；其中設(shè)橢圓方程時(shí)可以按照如下思路進(jìn)行：①如果明確橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；②如果明確橢圓的焦點(diǎn)在Y軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；③如果橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不確定在X軸上還是在Y軸上，方程設(shè)為A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；（4）【典例1】中的3，4，5是利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)求橢圓方程的問(wèn)題，解答基本方法是：①根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足等式的幾何意義設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②建立關(guān)于a、b、c、e的方程或方程組；③求解方程或方程組求出a，b的值；④將結(jié)果代入假設(shè)方程?！簿毩?xí)1〕解答下列問(wèn)題：1、已知圓A：=36，圓A內(nèi)一點(diǎn)B（2,0），圓P過(guò)點(diǎn)B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程；2、一動(dòng)圓與已知圓：+=1外切，與圓：+=81內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；3、⊿ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6,0）、（6,0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點(diǎn)C的軌跡方程；4、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩準(zhǔn)線間的距離為，焦距為2；（2）和橢圓=1共準(zhǔn)線，且離心率為；（3）和橢圓+=1共準(zhǔn)線，且離心率為。5、已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線方程為x=16求橢圓的方程?！镜淅?】解答下列問(wèn)題：1、橢圓+=1的焦距是（）A4B8C2D與m有關(guān)2、已知橢圓+（m+3）=m（m＞0）的離心率是，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；3、已知F是橢圓5+9=45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)。（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求|PA|+|PF|的最大值和最小值。4、o0如圖設(shè)曲線C：=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為yPo0，，且P∈C，=2。x求證：的面積?！核伎碱}2』（1）【典例2】涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)或準(zhǔn)線距離的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常?？芍苯永脵E圓的定義與性質(zhì)；（2）運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)解答問(wèn)題時(shí)，需要認(rèn)真理解橢圓的兩個(gè)定義，注意兩個(gè)定義之間的相互關(guān)系；（3）在實(shí)際解答該類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)題給的條件和問(wèn)題的特征正確選擇橢圓兩個(gè)定義中的某一個(gè)或兩個(gè)?！簿毩?xí)2〕解答下列問(wèn)題：MOP1、如圖所示，已知橢圓C：+=1，yDNMOP的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，分別延長(zhǎng)M，M到xQ，使得=，=，QD是橢圓C上一點(diǎn)，延長(zhǎng)MD到N，若=+，則|PN|+|QN|=（）A10B5C6D32、設(shè)橢圓=1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足=，則||=；3、已知P是橢圓=1上的一點(diǎn)，、是兩個(gè)焦點(diǎn)，且，求的面積；【典例3】解答下列問(wèn)題：1、已知、是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若AB是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）ABCD2、橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P，滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是（）A(0，〕B(0，〕C〔1，1）D〔，1)003、如圖所示從橢圓=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)MMyBQ00向x軸作垂線恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB∥OM，（O為橢圓A的中心）。求橢圓的離心率；（2）設(shè)Q是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)Q⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QP與橢圓交于另一點(diǎn)P，若的面積為20，求此橢圓的方程?！核伎碱}3』 （1）【典例3】是求橢圓離心率的問(wèn)題，這類問(wèn)題主要包括兩種題型：①求橢圓離心率的值；②求橢圓離心率的取值范圍；（2）若給定橢圓的方程，可根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置確定，，進(jìn)一步求出a，c，再運(yùn)用公式e=求解；（3）若橢圓方程未知，應(yīng)根據(jù)題給條件與幾何圖形建立a，b，c滿足的等式，進(jìn)一步化為關(guān)于a，c的齊次方程求出a，c的關(guān)系或化為e的方程求解?！簿毩?xí)3〕解答下列問(wèn)題：1、已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）ABCD2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若P為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）ABC2D13、橢圓焦點(diǎn)為，，過(guò)的最短弦PQ長(zhǎng)為10，PQ的周長(zhǎng)為36，則此橢圓的離心率為（）ABCD4、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓C左右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PFX軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與Y軸交于點(diǎn)E，若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（）ABCD5、已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足.=0，的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A(0，1〕B(0，〕C（0，〕D〔,1)6、已知P是以，為焦點(diǎn)的橢圓=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，若.=0，tanP=，則此橢圓的離心率為。【典例4】解答下列問(wèn)題：1、已知，是橢圓+2=2的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|+|的最小值是（）A0B1C2D2O2、如圖已知橢圓=1上兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)yCOA，C，B，D為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且分別在直線ACB的異則，求四邊形ABCD面積的最大值。AxDNQOM3、如圖P為圓M：+=24上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（，0），線段PQ的垂直平分線交線段MP于點(diǎn)N。yPNQOM（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C，設(shè)圓O：yP+=2的切線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|OA|.|OB|的最大值?！核伎碱}4』（1）【典例4】是求橢圓中的最值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的基本思路是：①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系（標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的取值范圍，離心率的取值范圍），②數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的問(wèn)題；（2）解決橢圓中的最值問(wèn)題的常用方法有：①數(shù)形結(jié)合，幾何意義，尤其是橢圓的幾何性質(zhì)，②利用函數(shù)，尤其是一元二次函數(shù)，③不等式，尤其是一元二次不等式，④利用一元二次方程根的判別式；（3）解答與橢圓相關(guān)的最值問(wèn)題，常用的基本方法是將橢圓上的動(dòng)點(diǎn)表示成關(guān)于參數(shù)的形式，得到關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)式，利用求三角函數(shù)最值的基本方法就可求出問(wèn)題所求的最值?！簿毩?xí)4〕解答下列問(wèn)題：1、過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)（c，0）是橢圓的右焦點(diǎn)，求FAB面積的最大值；2、設(shè)P是橢圓=1上任意一點(diǎn)，，是橢圓的左右焦點(diǎn)，求cosP的最小值；3、過(guò)橢圓2+=2的一個(gè)焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；【典例5】解答下列問(wèn)題：1、已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，直線ax+y+1=0平分橢圓的一條斜率為的弦，求a的取值范圍；2、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是3，最小值為1.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓通過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。3、一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A（，0）且與定圓B=12相切。（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（0,2）的直線l與軌跡C交于不同兩點(diǎn)E、F，求的取值范圍?！核伎碱}5』（1）【典例5】是橢圓與直線相交的綜合問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解直線和橢圓相交的定義，掌握直線方程和橢圓方程的求法，明確處理直線與橢圓相交問(wèn)題的基本思路是聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y（或x）得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再運(yùn)用設(shè)而不求，整體代入數(shù)學(xué)思想；（2）如果問(wèn)題中涉及到過(guò)定點(diǎn)的直線時(shí)，注意需要對(duì)直線的斜率存在還是不存在的兩種情況分別考慮；在實(shí)際解答該類問(wèn)題時(shí)，為避免直線的斜率存在還是不存在分別考慮的繁雜過(guò)程，也可以直接設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線方程為：x=my+n?！簿毩?xí)5〕解答下列問(wèn)題：1、直線l過(guò)點(diǎn)M（1,1）與橢圓=1相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)是M，求直線l的方程；2、動(dòng)橢圓C以坐標(biāo)原點(diǎn)為左焦點(diǎn)，以直線x=8為左準(zhǔn)線，點(diǎn)B是橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BO的中點(diǎn)為M。（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）已知k∈R，=（1,0），=（0,1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0））且以+k為方向向量的直線L與M的軌跡相交于E、F兩點(diǎn)，又點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,0）若為鈍角，求k的取值范圍?！纠讌^(qū)警示】【典例6】解答下列問(wèn)題：平面內(nèi)存在一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)，距離之和為2a(2a≥||)，則點(diǎn)M的軌跡是（）A橢圓B圓C線段D橢圓或線段給定四條曲線：①+=；②+=1；③+=1；④+=1。其中與直線x+y=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是（）A①②③B②③④C①②④D①③④橢圓+=1的焦點(diǎn)為和，點(diǎn)P在橢圓上，若P的中點(diǎn)在y軸上，則|P|是|P|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍已知方程+=1表示橢圓，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。已知橢圓+=1的焦距為2，求m的值?！核伎碱}6』【典例6】是解答橢圓問(wèn)題時(shí)，容易觸碰的雷區(qū)。該類問(wèn)題的雷區(qū)主要包括：①忽視橢圓定義的正確理解，導(dǎo)致解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤；②忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的取值范圍，導(dǎo)致解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤；③忽視橢圓焦點(diǎn)的位置，導(dǎo)致解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤；解答橢圓問(wèn)題時(shí)，為避免忽視橢圓定義的正確理解的雷區(qū)，需要正確理解橢圓的第一和第二定義，尤其注意第一定義中(2a>||）的隱形條件；解答橢圓問(wèn)題時(shí)，為避免忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的取值范圍的雷區(qū)，需要注意橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b必須滿足（a>0，b>0）的隱形條件；解答橢圓問(wèn)題時(shí)，為避免忽視橢圓焦點(diǎn)的位置的雷區(qū)，需要根據(jù)問(wèn)題條件確定橢圓焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，如果問(wèn)題中不含這樣的條件，那么注意考慮橢圓焦點(diǎn)在x軸（或y軸）兩種情況分別求解?！簿毩?xí)6〕解答下列問(wèn)題：已知橢圓兩準(zhǔn)線間的距離為，焦距為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。已知方程+=1表示橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。3、已知橢圓+=1的焦距為2，求k的值?！咀粉櫩荚嚒俊镜淅?】解答下列問(wèn)題：1、（理）已知橢圓+=1，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，cosP=，則|PO|=（）ABCD（文）設(shè)，為橢圓C：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若.=0，則|P|.|P|=（）（2023全國(guó)高考甲卷）A1B2C4D52、設(shè)橢圓：+=1（a＞1），：+=1的離心率分別為，，若=，則a=（）（2023全國(guó)高考新高考I）ABCD3、已知橢圓C：+=1（a＞0,b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線y=x+m與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的面積是AB的面積的2倍，則m=()(2023全國(guó)高考新高考II)ABCD4、已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為，，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A，若|A|2|A|，則橢圓C的離心率的取值范圍為（成都市2020級(jí)高三零診）5、已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別是（c，0），（c，0），直線y=kx（k0）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①四邊形AB為平行四邊形；②若AEx軸，垂足為E，則直線BE的斜率為k；③若|OA|=c（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則四邊形AB的面積為；=4\*GB3④若|A|=2|A|，則橢圓的離心率可以是。其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）（成都市高2020級(jí)高三三珍）A1B2C3D06、（理）橢圓C：+=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，若直線AP，AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為（）ABCD（文）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，，分別為C的左，右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)，若.=1，則C的方程為（）（2022全國(guó)高考甲卷）A+=1B+=1C+=1D+=17、已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，；離心率為，過(guò)且垂直于A的直線與C相交于D，E兩點(diǎn)，|DE|=6,則ADE的周長(zhǎng)是（2022全國(guó)高考新高考I卷）8、已知直線l與橢圓+=1在第一象限相交于A，B兩點(diǎn)，l與X軸，Y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|，|MN|=2，則直線l的方程為（2022全國(guó)高考新高考II卷）9、已知，為橢圓C：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|PQ|=||，則四邊形PQ的面積為（2021全國(guó)高考甲卷）10、設(shè)B是橢圓C：=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|2b，則C的離心率的取值范圍是（）（2021全國(guó)高考乙卷）A［，1）B［，1）C（0，］D（0,］11、設(shè)B是橢圓C：+=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，則|PB|的最大值為（）（2021全國(guó)高考乙卷）ABCD212、已知，是橢圓C：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|M|.|M|的最大值為（）（2021全國(guó)高考新高考I）A13B12C9D613、（理）已知斜率為的直線與橢圓+=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為Y軸上一點(diǎn)，且滿足|MA|=|MB|，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是。（文）已知斜率為且不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓+=1相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，則直線OM的斜率為（成都市2019級(jí)高三一診）14、已知點(diǎn)P在橢圓+=1（a>b>0）上，是橢圓的左焦點(diǎn)，線段P的中點(diǎn)在圓+=上，記直線P的斜率為k，若k1，則橢圓離心率的最小值為（2021成都市高三零珍）15、如圖，橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為e，F(xiàn)是C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，且sinPOF<cosPOF，=(>0)，.=0，若>e，則離心率e的取值范圍是（2021成都市高三二診）16、（理）設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左，右頂點(diǎn)為A，B，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則當(dāng)（3）++3（ln|m|+ln|n|）取得最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（）ABCD（文）設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左，右頂點(diǎn)為A，B，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則當(dāng)+ln|m|+ln|n|取得最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（）ABCD17、已知曲線C：x=2cos，（為參數(shù)），若點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為直y=sin，線l：x+2y4=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為。18、（理）如圖，在ABC中，已知BAC=，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BA到E，使BE=BC，連接CE，設(shè)以E，C為焦B點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的雙曲線的離心率為DA，則當(dāng)+取最大值時(shí)，的值為；CE（文）如圖，在ABC中，已知BAC=，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點(diǎn)D，AD：DC=1：5，延長(zhǎng)BA到E，使BE=BC，連接CE，設(shè)以E，C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的雙曲線的離心率為，則+的值為。『思考題7』【典例7】是近幾年高考（或高三診斷考試或高二期末考試）試卷中關(guān)于橢圓的問(wèn)題，歸結(jié)起來(lái)橢圓問(wèn)題主要包括：①求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②橢圓定義與幾何性質(zhì)的運(yùn)用；③求橢圓離心率的值或取值范圍；④與橢圓相關(guān)的最值問(wèn)題；⑤直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題等幾種類型；解答橢圓問(wèn)題的基本方法是：①根據(jù)問(wèn)題結(jié)構(gòu)特征，判斷問(wèn)題所屬類型；②運(yùn)用解答該類型問(wèn)題的解題思路和基本方法，對(duì)問(wèn)題實(shí)施解答；③得出解答問(wèn)題的結(jié)果?！簿毩?xí)7〕解答下列問(wèn)題：設(shè)，是橢圓+=1的焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足.=0，則P的內(nèi)切圓面積為（成都市高2020級(jí)20212022學(xué)年度上期期末考試）2、設(shè)，為橢圓C：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限，若M為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為（2019全國(guó)高考新課標(biāo)III）3、已知橢圓C的焦點(diǎn)為（1，0），（1，0），過(guò)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|A|=2|B|，|AB|=|B|，則C的方程為（）（2019全國(guó)高考新課標(biāo)I）A+=1B+=1C+=1D+=14、已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則（）（2019全國(guó)高考北京（理））A=2B3=4Ca=2bD3a=4b5、（理）已知斜率為k的直線l與橢圓C：+=1相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為M（1，1），則k的值是；（文）已知斜率為k的直線l與雙曲線C：=1相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為M（2，1），則k的值是。（2018—2019成都市高二上期調(diào)研考試）6、“4＜k＜6”是“+=1為橢圓方程”的（）（2017—2018成都市高二上期質(zhì)量檢測(cè)）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7、在平面內(nèi)，已知理定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=4，若APB=，則APB的面積為（）（2017—2018成都市高二上期質(zhì)量檢測(cè)）ABC2D38、（理）已知橢圓C的焦點(diǎn)（1，0），（1，0），都P（1，）在橢圓C上。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足=2，求ABQ面積的最大值。（文）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在X軸上，拋物線C上一點(diǎn)P（4，m）到焦點(diǎn)F的距離為。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M（2，1），過(guò)點(diǎn)N（2，0）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，記直線AM與直線MB的斜率分別為，，證明：+為定值（2018—2019成都市高二上期調(diào)研考試）橢圓【考綱解讀】理解橢圓，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓參數(shù)方程的定義，掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程的基本方法，能夠熟練地根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解并掌握橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，理解橢圓離心率的定義，掌握求橢圓離心率和弦長(zhǎng)的基本方法?！局R(shí)精講】一、橢圓的定義與方程：1、橢圓的定義：（1）第一定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓；0yy0P00p00Xx如圖這里兩個(gè)定點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)，，常數(shù)為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a(2a＞||=2c)（2）第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線L的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓；QlF0yyF0PQ0F00F0xxl如圖這里的定點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線是橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線x=（焦點(diǎn)在X軸上）或y=（焦點(diǎn)在Y軸上），常數(shù)e是橢圓的離心率（0＜e＜1)『思考問(wèn)題』（1）在第一定義中，兩個(gè)定點(diǎn)，之間的距離||，叫做橢圓的焦距，用2c表示；（2）在第一定義中，動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離和|P|+|P|為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做橢圓的長(zhǎng)軸，用2a表示；（3）在第一定義中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓必須滿足2a>2c，當(dāng)2a=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段||；當(dāng)2a<2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在；（4）在第二定義中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線L的距離的比值是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做橢圓的離心率，它的取值范圍是（0，1）；（5）在第二定義中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離|PF|的取值范圍是[ac，a+c]（6）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫做橢圓的通徑，它的長(zhǎng)為。2、橢圓的方程：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸）：①焦點(diǎn)在x軸上②焦點(diǎn)在y軸上0Yy0P00p00Xx=1（a＞b＞0）=1（a＞b＞0）（2）橢圓的參數(shù)方程：x=acosy=bsin(為參數(shù))3、點(diǎn)P（，）與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：①=1（或=1）點(diǎn)P（，）在橢圓上；②＞1（或＞1）點(diǎn)P（，）在橢圓外；③＜1（或＜1）點(diǎn)P（，）在橢圓內(nèi)；4、直線y=kx+m與橢圓=1（或=1）（a＞b＞0）的位置關(guān)系：由=1（或=1）A+Bx+C=0，①若＞0，則直線與橢圓有兩個(gè)公y=kx+m共點(diǎn)；②若=0，則直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)；③若＜0，則直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)?！核伎紗?wèn)題』這里的a、b、c分別是橢圓的長(zhǎng)半軸，短半軸和半焦距，且a，b，c滿足：=+；（2）在實(shí)際問(wèn)題中，如果橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，則可設(shè)橢圓的方程為A+B=1，這里的A、B必須滿足：A>0，B>0，再根據(jù)條件求出A、B的值即可。（二）橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的yy0xPP0x0Xxx0X圖像橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=1=1x，y的取值范圍a≤x≤a，b≤y≤b，a≤y≤a，b≤x≤b對(duì)稱性既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)（a，0），（a，0），（0，b），（b，0），（b，0），（0，a），（0，b），（c，0），（c，0），（0，a），（0，c），（0，c），離心率e=e=橢圓的準(zhǔn)線方程x=y=焦半徑公式：設(shè)P（，）是橢|P|=a+e，|P|=ae，|P|=a+e，|P|=ae，圓上的任意一點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè)A（，），B|AB|=|AB|=（，）是直線L：y=kx+b與橢圓的兩個(gè)不同交點(diǎn)【探導(dǎo)考點(diǎn)】考點(diǎn)1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程：熱點(diǎn)=1\*GB3①根據(jù)橢圓定義求軌跡方程；熱點(diǎn)=2\*GB3②根據(jù)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；熱點(diǎn)=3\*GB3③根據(jù)橢圓定義解答“焦點(diǎn)三角形”問(wèn)題；考點(diǎn)2橢圓幾何性質(zhì)及運(yùn)用：熱點(diǎn)=1\*GB3①與橢圓相關(guān)的最值問(wèn)題；熱點(diǎn)=2\*GB3②求橢圓離心率的值（或取值范圍）；考點(diǎn)3直線與橢圓：熱點(diǎn)=1\*GB3①求直線斜率（或直線方程）；熱點(diǎn)=2\*GB3②求多邊形的面積（或面積的最值）；熱點(diǎn)=3\*GB3③求直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)。【典例解析】POF【典例1】解答下列問(wèn)題：POF1、如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，MM是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）CA橢圓B雙曲線C拋物線D圓【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②圓的定義與性質(zhì)；③求點(diǎn)的軌跡方程的基本方法?！窘忸}思路】設(shè)點(diǎn)P（x，y），運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件可知點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢圓，從而得出選項(xiàng)?！驹敿?xì)解答】設(shè)點(diǎn)P（x，y），紙片折疊后M與F重合，折痕為CD，CD與OM相交于點(diǎn)P，|PM|=|PF|，|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圓O的半徑為一個(gè)定值，點(diǎn)P的軌跡是以2c=|OF|，2a=|OM|的橢圓，A正確，選A。2、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（2,0）和點(diǎn)（0,1）；（2）焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P（0，10），P到它較近一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2；（3）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別是和，過(guò)P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；（4）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且過(guò)點(diǎn)A（3,0），并且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！窘馕觥俊局R(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法?！窘忸}思路】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），根據(jù)問(wèn)題條件得到關(guān)于，的方程組，求解方程組求出，的值就可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），根據(jù)問(wèn)題條件得到關(guān)于a，c的方程組，求解方程組求出a，c的值，運(yùn)用橢圓的性質(zhì)求出b的值就可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）問(wèn)題沒(méi)有確定橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，應(yīng)該分焦點(diǎn)在X軸上或在Y軸上兩種情況考慮，分別求出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（4）問(wèn)題沒(méi)有確定橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，可設(shè)橢圓的方程為：A+B=1，（A＞0，B＞0，AB），根據(jù)問(wèn)題條件得到關(guān)于A，B的方程組，求解方程組求出A，B的值，代入假設(shè)式得到橢圓的方程，再把方程化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹敿?xì)解答】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），橢圓過(guò)點(diǎn)（2,0）和點(diǎn)（0,1），+0=1①，0+=1②，聯(lián)立①②解得：=4，=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；（2）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P（0，10），P到它較近一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2，a=10，且ac=2，c=8，==10064=36，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；（3）若焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別是和，過(guò)P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，2a=+=2，且4=，a=，c=，==5=，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；若焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；（4）由題意設(shè)橢圓的方程為：A+B=1，（A＞0，B＞0，AB），橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且過(guò)點(diǎn)A（3，0），9A+0=1，A=，①若A>B，則=9=81，B=；②若A<B，則9=，B=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1或+=1。3、已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線的方程為x=2，求橢圓的方程；【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓離心率，準(zhǔn)線的定義與性質(zhì)；②求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓離心率，準(zhǔn)線的定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，c的方程組，求解方程組求出a，c的值，從而求出的值就可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹敿?xì)解答】由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），e==，=2，a=，c=1，==21=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1。4、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，橢圓上各點(diǎn)到直線L：xy++=0的最短距離為1，求橢圓的方程。【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓離心率的定義與性質(zhì)；②求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法；③點(diǎn)到直線的距離公式及運(yùn)用?！窘忸}思路】如圖，運(yùn)用橢圓離心率的定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，b的等式，根據(jù)橢圓上各點(diǎn)到直線l：xy++=0的最短距離為1求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)P在橢圓上得到關(guān)于，的方程，聯(lián)立之前的等式求出，的值就可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹敿?xì)解答】如圖，由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：yBO+=1（a>b>0），點(diǎn)P（acos，bsin）是橢O圓上任意一點(diǎn)，e==，=，Ax==，點(diǎn)P到直線l：xy++=0的最短距離為1，d==（其中tan==2），=1，=，+=5=5或+=5=13+4，=4，=1或=，=，<=7+2，=4，=1，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1。5、若橢圓a+b=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程；【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①直線與橢圓相交的定義與性質(zhì)；②已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線斜率的基本方法?！窘忸}思路】設(shè)A（，），B（，），M（，），由橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合問(wèn)題條件求出，關(guān)于a，b的表達(dá)式，從而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組得出a，b的值就可求出橢圓的方程?！驹敿?xì)解答】設(shè)A（，），B（，），M（，），聯(lián)立橢圓a+b=1，與直線x+y=1得：（a+b）2bx+b1=0，+=，.=，+=2（+）=2=，==，==，M（，），OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，且OA⊥OB，=，.=.+.=2.（+）+1=+1==0，a=2（1），b=2（2），橢圓的方程為：2（1）+2（2）=1，即：+=1·?！核伎碱}1』（1）【典例1】是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題應(yīng)該注意掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用的基本方法：①定義法；②待定系數(shù)法；（2）采用定義法，需要注意2a>2c這一條件，【典例1】中的1是通過(guò)求點(diǎn)的軌跡方程來(lái)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用橢圓的定義，采用定義法會(huì)使解答更簡(jiǎn)捷。（3）【典例1】中的2求橢圓的方法稱為待定系數(shù)，待定系數(shù)法的基本步驟是：①作判斷，判斷橢圓焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②設(shè)方程，=1（a＞b＞0）或=1（a＞b＞0）或A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；③找關(guān)系建立方程或方程組；④解方程或方程組，將結(jié)果代入假設(shè)方程；其中設(shè)橢圓方程時(shí)可以按照如下思路進(jìn)行：①如果明確橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；②如果明確橢圓的焦點(diǎn)在Y軸上，方程設(shè)為=1（a＞b＞0）；③如果橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不確定在X軸上還是在Y軸上，方程設(shè)為A+B=1，（A＞0，B＞0，AB）；（4）【典例1】中的3，4，5是利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)求橢圓方程的問(wèn)題，解答基本方法是：①根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足等式的幾何意義設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②建立關(guān)于a、b、c、e的方程或方程組；③求解方程或方程組求出a，b的值；④將結(jié)果代入假設(shè)方程?！簿毩?xí)1〕解答下列問(wèn)題：1、已知圓A：=36，圓A內(nèi)一點(diǎn)B（2，0），圓P過(guò)點(diǎn)B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程；（答案：圓心P的軌跡方程為+=1（3≤x≤3））2、一動(dòng)圓與已知圓：+=1外切，與圓：+=81內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（答案：動(dòng)圓圓心的軌跡方程為+=1（5≤x≤5））3、⊿ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6,0）、（6,0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點(diǎn)C的軌跡方程；（答案：點(diǎn)C的軌跡方程為+=1（6≤x≤6））4、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩準(zhǔn)線間的距離為，焦距為2；（答案：+=1或+=1）（2）和橢圓=1共準(zhǔn)線，且離心率為；（答案：+=1；）（3）和橢圓+=1共準(zhǔn)線，且離心率為。；（答案：+=1。）已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線方程為x=16求橢圓的方程。（答案：橢圓的方程為+=1。）【典例2】解答下列問(wèn)題：1、橢圓+=1的焦距是（）A4B8C2D與m有關(guān)【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②求橢圓焦距的基本方法?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件求出，從而求出c的值，利用橢圓焦距的定義求出橢圓的焦距就可得出選項(xiàng)。【詳細(xì)解答】橢圓+=1，=+12，=4，==+12（4）=16，c=4，2c=8，B正確，選B。2、已知橢圓+（m+3）=m（m＞0）的離心率是，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與性質(zhì)；③求橢圓長(zhǎng)軸，短軸，焦距和頂點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件求出，，，從而求出a，b，c的值，利用橢圓長(zhǎng)軸，短軸，焦距，頂點(diǎn)坐標(biāo)的定義就可求出橢圓的長(zhǎng)軸，短軸，焦距和頂點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹敿?xì)解答】橢圓+（m+3）=m，+=1，m＞0，=m，=，==m=，橢圓的離心率e==，====，m=1，a=1，b=，c=，橢圓的長(zhǎng)軸為2a=2，短軸為2b=1，焦距為2c=，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（1，0），（1，0），（0，），（0，）。3、已知F是橢圓5+9=45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)。（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求|PA|+|PF|的最大值和最小值。【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與性質(zhì)；③三角形三邊關(guān)系定理及運(yùn)用?！窘忸}思路】（1）如圖，運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，橢圓離心率的定義與性質(zhì)得到|PA|+|PF|=|PA|+=|PA|+|PQ|，就可求出|PA|+|PF|的最小值和P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，取橢圓的右焦點(diǎn)，連接P，A，根據(jù)橢圓的定義得到|P|=6|PF|，利用三角形三邊關(guān)系定理得到關(guān)于|PA|+|PF|的不等式，求解不等式就可求出|PA|+|PF|的最大值和最小值。【詳細(xì)解答】（1）如圖，橢圓5+9=45，yAFO0+=1，=9，=5，==95PAFO0=4，a=3，c=2，e==，|PA|+|PF|x=|PA|+=|PA|+|PQ|，當(dāng)P，A，Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|=|PA|+=|PA|+|PQ|=|AQ|=1+=為|PA|+|PF|的最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1），（2）如圖，取橢圓的右焦點(diǎn)，連接P，A，|PF|+|P|=6，|A|==，|P|=6|PF|，在AP中，||PA||P||=||PA|+|PF|6||A|，6|PA|+|PF|6+，|PA|+|PF|的最大值為6+，最小值為6。4、o0如圖設(shè)曲線C：=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為yPo0，，且P∈C，=2。x求證：的面積?！窘馕觥俊局R(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②余弦定理及運(yùn)用；③三角形面積公式及運(yùn)用?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，余弦定理，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于|P|，||P|的等式，從而求出|P|.||P|關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角形面積公式通過(guò)運(yùn)算就可證明結(jié)論。【詳細(xì)解答】曲線C：=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為，，且P∈C，=2，|P|+||P|2|P|.||P|cos2=||，2|P|.||P|（cos2+1）=4，|P|.||P|===，=|P|.||P|son2=sincos=。『思考題2』（1）【典例2】涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)或準(zhǔn)線距離的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常常可直接利用橢圓的定義與性質(zhì)；（2）運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)解答問(wèn)題時(shí)，需要認(rèn)真理解橢圓的兩個(gè)定義，注意兩個(gè)定義之間的相互關(guān)系；（3）在實(shí)際解答該類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)題給的條件和問(wèn)題的特征正確選擇橢圓兩個(gè)定義中的某一個(gè)或兩個(gè)?！簿毩?xí)2〕解答下列問(wèn)題：MOP1、如圖所示，已知橢圓C：+=1，yDNMOP的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，分別延長(zhǎng)M，M到xP、Q，使得=，=，QD是橢圓C上一點(diǎn)，延長(zhǎng)MD到N，若=+，則|PN|+|QN|=（）（答案：A）A10B5C6D32、設(shè)橢圓=1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足=，則||=；（答案：||=）3、已知P是橢圓=1上的一點(diǎn)，、是兩個(gè)焦點(diǎn)，且，求的面積；【典例3】解答下列問(wèn)題：1、已知、是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若AB是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）ABCD【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②正三角形的定義與性質(zhì)；③勾股定理及運(yùn)用?！窘忸}思路】運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，正三角形的定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到|A|，||A|關(guān)于a的式子，利用勾股定理得到關(guān)于a，c的等式，從而求出橢圓的離心率就可得出選項(xiàng)?！驹敿?xì)解答】如圖，、是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)yo0且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，ABAo0是正三角形，|A|=a，||A|=a，在RtAx中，|A|+||A|=||，+4=，B==，e=，C正確，選C。2、橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P，滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是（）A(0，〕B(0，〕C〔1，1）D〔，1)【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與求法；③線段垂直平分線的定義與性質(zhì)；【解答思路】題中焦點(diǎn)在X軸上已經(jīng)確定，由問(wèn)題條件得到關(guān)于a，c的齊次不等式，進(jìn)一步化為關(guān)于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式，根據(jù)橢圓離心率的取值范圍得出結(jié)果；OF0OF0點(diǎn)F，|PF|=|FA|，|PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|=，AxP是橢圓上一點(diǎn)，ac|PF|a+c，a|PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|a+2c，aa+2c，acac+2，e12+e，e1或e1，橢圓離心率e滿足：0<e<1，e<1，D正確，選D。3、如圖所示從橢圓=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)M00向x軸作垂線恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且它的長(zhǎng)MyBQ00軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB∥OM，（O為橢圓的中心）。（1）求橢圓的離心率；AX（2）設(shè)Q是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)Q⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QP與橢圓交于另一點(diǎn)P，若的面積為20，求此橢圓的方程?！窘馕觥俊局R(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓離心率的定義與求法；③兩線段平行的充分必要條件；④三角形面積公式與計(jì)算的基本方法?！窘獯鹚悸贰浚?）運(yùn)用橢圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件求出點(diǎn)M，A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩線段平行的充分必要條件得到關(guān)于a，c的等式，從而求出橢圓的離心率；（2）根據(jù)問(wèn)題條件求出直線PQ的方程，利用三角形面積公式得到關(guān)于的方程，求解方程求出的值，從而求出的值就可求出橢圓的方程?！驹敿?xì)解答】（1）如圖，M垂直于X軸，點(diǎn)M在橢圓=1（a＞b＞0）上，A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸，短軸的端點(diǎn)，M（c，），A（a，0），B（0，b），AB∥OM，==，b=c，=，==e=；（2）設(shè)P（，），Q（，），由（1）知e=，==，在橢圓=1，+=1，Q⊥AB，延長(zhǎng)Q與橢圓交于另一點(diǎn)P，直線PQ的方程為：y=xa，由y=xa，得54ax+=0，+=a，.，=，|PQ|+=1，==.=a，==，=|PQ|.=a==20，=50，==25，橢圓的方程為：+=1?！核伎碱}3』 （1）【典例3】是求橢圓離心率的問(wèn)題，這類問(wèn)題主要包括兩種題型：①求橢圓離心率的值；②求橢圓離心率的取值范圍；（2）若給定橢圓的方程，可根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置確定，，進(jìn)一步求出a，c，再運(yùn)用公式e=求解；（3）若橢圓方程未知，應(yīng)根據(jù)題給條件與幾何圖形建立a，b，c滿足的等式，進(jìn)一步化為關(guān)于a，c的齊次方程求出a，c的關(guān)系或化為e的方程求解。〔練習(xí)3〕解答下列問(wèn)題：1、已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）（答案：D）ABCD2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若P為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）（答案：D）ABC2D13、橢圓焦點(diǎn)為，，過(guò)的最短弦PQ長(zhǎng)為10，PQ的周長(zhǎng)為36，則此橢圓的離心率為（）（答案：C）ABCD4、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓C左右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PFX軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與Y軸交于點(diǎn)E，若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（）（答案：A）ABCD5、已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足.=0，的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是（）（答案：D）A(0，1〕B(0，〕C（0，〕D〔，1)6、已知P是以，為焦點(diǎn)的橢圓=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，若.=0，tanP=，則此橢圓的離心率為。（答案：此橢圓的離心率為）【典例4】解答下列問(wèn)題：1、已知，是橢圓+2=2的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|+|的最小值是（）A0B1C2D2【解析】【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程互化的基本方法；③求三角函數(shù)最值的基本方法。【解答思路】運(yùn)用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程互化的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到點(diǎn)P含參數(shù)的坐標(biāo)，從而得到|+|關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)式，利用求三角函數(shù)最值的基本方法求出|+|的最小值就可得出選項(xiàng)?！驹敿?xì)解答】設(shè)點(diǎn)P（cos，sin）是橢圓+2=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，+2=2，+=1，，是橢圓+2=2的左右焦點(diǎn)，（1，0），（1，0），=（1cos，sin），=（1cos，sin），+=（2cos，2sin），|+|==，當(dāng)且僅當(dāng)=k+（kZ）時(shí)，|+|=2為最小值，|+|的最小值為2，C正確，選C。O2、如圖已知橢圓=1上兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)yCOA，C，B，D為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且分別在直線ACB的異則，求四邊形ABCD面積的最大值。【解析】Ax【知識(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與幾何性質(zhì)；②橢圓標(biāo)準(zhǔn)D方程與參數(shù)方程互化的基本方法；③求三角函數(shù)最值的基本方法；④三角形面積公式及運(yùn)用?！窘獯鹚悸贰窟\(yùn)用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程互化的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到點(diǎn)B，D分別含參數(shù)，的坐標(biāo)，從而得到，分別關(guān)于，的三角函數(shù)式，利用三角形面積公式得到四邊形ABCD面積關(guān)于，的三角函數(shù)式，根據(jù)求三角函數(shù)最值的基本方法就可求出四邊形ABCD面積的最大值?！驹敿?xì)解答】設(shè)點(diǎn)B（4cos，5sin），D（4cos，5sin）（其中2k<<2k+，2k+<<2k+2），如圖，A，C為橢圓=1上兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，A(4，0)，C(0，5)，|AC|==，直線AC的方程為：5x+4y20=0，==，==，=+=|AC|（+）=（+）=（+），當(dāng)且僅當(dāng)=2k+，=2k+，（kZ）時(shí)，=（2020+20+20）=20為最大值，的最大值為20。NQOM3、如圖P為圓M：+=24上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（，0），線段PQ的垂直平分線交線段MP于點(diǎn)N。yPNQOM（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C，設(shè)圓O：yP+=2的切線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|OA|.|OB|的最大值?！窘馕觥俊局R(shí)點(diǎn)】①橢圓的定義與性質(zhì)；②求點(diǎn)軌跡的基本方法；③圓的定義與性質(zhì)；④求已知圓切線的基本方法；⑤求三角函數(shù)最值的基本方法?！窘獯鹚悸贰浚?）運(yùn)用求點(diǎn)軌跡的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出點(diǎn)N的軌跡方程；（2）由（1）得到曲線C的方程，運(yùn)用求已知圓切線的基本方法求出切線l的方程，根據(jù)設(shè)而不求，整體代入的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合圖形和平面幾何知識(shí)就可求出|OA|.|OB|的最大值?！驹敿?xì)解答】（1）如圖，設(shè)點(diǎn)P（x，y），P為圓M：+=24上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（，0），線段PQ的垂直平分線交線段MP于點(diǎn)N，|PN|=|QN|，|QN|+|NM|=|PN|+|NM|=|PM|=2，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以Q，M為焦點(diǎn)的橢圓，2a=2，2c=2，a=，c=，==63=3，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為：+=1（x）；y（2）如圖，設(shè)切線l與圓+=2的切點(diǎn)為M（cos，AOsin），A（，），B（，），由（1）xO知曲線C的方程為：+=1，切線l的方程為：Bxcos+ysin2=0，聯(lián)立直線l與曲線C的方程得：（1+）4x+6=0，=xcos+ysin2=0，=，+==，直線l與圓O：+=2相切，當(dāng)且僅當(dāng)M為線段AB的中點(diǎn)，即=2cos，2cos(1)=0，cos=0或cos=1，=k+或=k（kZ）時(shí)，直線l的方程為：y=或x=，A（，），B（，），或A（，），B（，），|OA|===2，|OB|===2，|OA|.|OB|=22=4，|OA|.|OB|的最大值為4?！核伎碱}4』（1）【典例4】是求橢圓中的最值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的基本思路是：①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系（標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的取值范圍，離心率的取值范圍），②數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的問(wèn)題；（2）解決橢圓中的最值問(wèn)題的常