第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院-

第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,2023/12/28第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,這兩種方法都使用了隨機(jī)的方法，而且樣本并不重復(fù)，那么這兩種方法是否都算是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣呢？要檢驗(yàn)一下這兩種方法中每一單元的入樣概率是否相等。只要驗(yàn)證第二種方法中總體的每n個(gè)單元一組的樣本入樣的可能性等于第一種方法中的即可。利用條件概率即可得到驗(yàn)證。也就是說(shuō)，兩種操作方法是等價(jià)的。都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣但由于N、n一般都很大，第二種操作方案較方便。現(xiàn)在介紹一下具體實(shí)施簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的做法：首先將N個(gè)總體元素編號(hào)為：1，2，，N，每一單元對(duì)應(yīng)一個(gè)號(hào)碼，若抽到某號(hào)，則相應(yīng)單元入樣。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,（1）抽簽法：實(shí)際上就是一個(gè)盒子模型，將編號(hào)為1～N的N個(gè)形狀與質(zhì)地完全相同的紙簽放在盒子里，用上述兩種方法之一從盒子中摸出n張簽。（2）隨機(jī)數(shù)法：設(shè)想N相當(dāng)大，你會(huì)做那么多的簽放在盒子里以供抽取嗎？隨機(jī)數(shù)法用來(lái)解決這個(gè)困難。利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)可以獲得隨機(jī)數(shù)。①隨機(jī)數(shù)表：本書(shū)最后附有隨機(jī)數(shù)表，它應(yīng)當(dāng)被看成0～9數(shù)字隨機(jī)地橫豎排列，我們可以隨機(jī)地從某行某列的數(shù)字開(kāi)始如果需要一至二位數(shù)字，則從該數(shù)字開(kāi)始從左向右接連地截取，該行不夠則換下一行開(kāi)始；如果需要三位或三位以上數(shù)字，則從開(kāi)頭數(shù)字開(kāi)始向右取三位或三位以上的數(shù)從該數(shù)縱向往下接連獲取其它隨機(jī)數(shù)，不夠可另?yè)Q列執(zhí)行，直到取到我們所需要的個(gè)數(shù)n，當(dāng)然這中間應(yīng)該去掉可能發(fā)生重復(fù)的數(shù)以及超出N的數(shù)字。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,③利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)：不少現(xiàn)成的統(tǒng)計(jì)軟件都可提供此類服務(wù)。但必須指出，這樣產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)一般不能保證其隨機(jī)性，稱為“偽隨機(jī)數(shù)”。因此，提倡前述方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。②隨機(jī)數(shù)骰子：隨機(jī)數(shù)骰子是由均質(zhì)材料制成的正二十面體面上標(biāo)有0～9數(shù)字各兩個(gè)。如圖所示。通常用3～6個(gè)隨機(jī)骰子，視所需要的隨機(jī)數(shù)的位數(shù)而定。骰子用不同的顏色染成可事先規(guī)定好哪種顏色的骰子產(chǎn)生個(gè)位數(shù)，哪種顏色的骰子產(chǎn)生十位數(shù)，依次下去。將所需骰子在盒內(nèi)搖勻等穩(wěn)定后揭蓋讀取朝上面的數(shù)字，即獲取一組隨機(jī)數(shù)。所搖的骰子數(shù)m通常取決于總體單元個(gè)數(shù)N，滿足。記m個(gè)骰子按約定顏色而確定的順序讀得隨機(jī)數(shù)，若，則此即為一次合格的隨機(jī)數(shù)；否則予以放棄，重新?lián)u取，直到取到n個(gè)合格的隨機(jī)數(shù)為止。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,§2總體平均數(shù)與總和的估計(jì)設(shè)總體元素為，為來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，有時(shí)也記樣本為為中的某個(gè)組合。在后者的表示中隨機(jī)性體現(xiàn)在下標(biāo)上。樣本是總體的一個(gè)有代表性的剖面。

總體平均數(shù)的估計(jì)為：總體總和的估計(jì)自然為：由于這兩個(gè)估計(jì)之間僅差一個(gè)常數(shù)因子N，因而只要重點(diǎn)研究的估計(jì)量的若干性質(zhì)即可。是樣本平均數(shù)，由于樣本的隨機(jī)性，樣本平均值也是隨機(jī)變量，理論上的平均值第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,即數(shù)學(xué)期望為：其中表示對(duì)中所有組合求和對(duì)于中的每個(gè)元素，比如，它與其它元素構(gòu)成樣本的可能次數(shù)顯然為，因此，乃至在中出現(xiàn)的次數(shù)均為，于是第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,即是的無(wú)偏估計(jì)。同樣也是總體總量的無(wú)偏估計(jì)例3.1某班第一小組10人的數(shù)學(xué)考試成績(jī)分別為：100，95，92，88，83，75，71，62，60，50平均分為77.6。先從中任選3個(gè)為一組樣本，其選法共有120種每種選法都有概率1/120。以4組樣本為例(100,95,92)，(100,83,50)，(88,83,62)，(62,60,50)它們的樣本平均數(shù)分別為95.67，77.67，77.67，57.33。從抽樣調(diào)查的角度來(lái)看，我們希望抽到第二或第三組樣本，根據(jù)它們來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)相當(dāng)準(zhǔn)確。而第一和第四組樣本的估計(jì)相當(dāng)糟糕。但它們?nèi)霕优c第二第三組具有同樣的可能性，這是否與的無(wú)偏性相矛盾呢？第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,其實(shí)并不相矛盾。我們關(guān)心的是，盡管每一組樣本入樣的概率相同，像第二第三組這樣的“良好”情況就大體而言是否會(huì)多于像第一第四那樣的“糟糕”情況呢？如果肯定的話，那么就能指望在一次隨機(jī)抽樣中發(fā)生的估計(jì)誤差較小。該問(wèn)題的解決將由下一節(jié)的討論給出?！?估計(jì)量的方差及其估計(jì)下面求的無(wú)偏估計(jì)的方差其中表示對(duì)中所有組合求和第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,（或）(3.6)第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,對(duì)隨機(jī)有放回抽樣，由于各次抽取是相互獨(dú)立的，由概率論的知識(shí)可以求得，此時(shí)：（或）(3.7)比較(3.6)式與(3.7)式，發(fā)現(xiàn)同樣用樣本平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)，它們都是無(wú)偏估計(jì)，但隨機(jī)無(wú)放回時(shí)的方差小于隨機(jī)有放回時(shí)的方差。的方差表示新盒子的離散程度，也就是表示了取值范圍的大小，方差小表明取值遠(yuǎn)離中心的可能性較小，這樣隨機(jī)的一組樣本得到的實(shí)現(xiàn)值距很近的可能性就較大，這正是我們所期望的。因此，在實(shí)際抽樣中我們采用無(wú)放回抽樣方式。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,(3.6)式中的因子(N－n)/(N－1)，稱為隨機(jī)無(wú)放回的校正系數(shù)，它是對(duì)隨機(jī)有放回情況的校正。如果N相當(dāng)?shù)拇?，則總體可視為無(wú)限總體，由(3.7)式，即為的方差，這是無(wú)限總體情況樣本平均數(shù)的方差。而有限總體的的方差為：因此稱1－f為有限總體校正系數(shù)，其中f=n/N，稱為抽樣比抽樣比就是樣本所占總體的比例。f越大，越接近1，則樣本越接近總體，與的隨機(jī)誤差就越小；當(dāng)f=1時(shí)，抽樣變成全面普查，此時(shí)誤差消失。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,一般情況下f比較小，由于N是固定的，也就意味著n相當(dāng)小，此時(shí)(3.6)式告訴我們的方差將隨著n的減少而增大，此時(shí)1－f在1附近，對(duì)的影響不大。事實(shí)上，抽取樣本越少，抽樣誤差越大。當(dāng)然，影響的方差的另一個(gè)重要因素是或。設(shè)想，當(dāng)相當(dāng)大時(shí)，原盒子中的數(shù)據(jù)相當(dāng)?shù)胤稚ⅲ瑥囊粋€(gè)很分散的盒子中隨機(jī)取一樣本來(lái)代替總體，你不可能指望誤差很小。對(duì)于的方差，n的影響是可以由人們主觀控制的，只要多花費(fèi)一些，多抽取一些就能適當(dāng)降低誤差，當(dāng)然這只能控制在一定范圍內(nèi)。可見(jiàn)實(shí)際抽樣調(diào)查中用估計(jì)所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，也即的方差，主要受到樣本容量n的影響，因子1－f的影響幾乎可以忽略。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,的影響是客觀存在的，盒子中數(shù)據(jù)越分散，總體就變得越難捉摸。實(shí)際上，本身就是一個(gè)待估參數(shù)，必須對(duì)的大小給出估計(jì)，不估計(jì)就無(wú)法評(píng)價(jià)所產(chǎn)生的誤差可能有多大。設(shè)為來(lái)自總體的樣本，既然它是總體的一個(gè)縮影，那么這些值的離散程度應(yīng)該反映了盒子的離散程度，因此采用統(tǒng)計(jì)量（樣本方差）：來(lái)估計(jì)。為了研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，將改寫(xiě)為：第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,可以證明：即是的無(wú)偏估計(jì)用作為的估計(jì)，利用正態(tài)近似理論可以建立的置信區(qū)間當(dāng)N，n，N－n相當(dāng)大時(shí)，的分布近似可用正態(tài)曲線表示，由于所以取置信水平為（）第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,注意到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于0點(diǎn)的對(duì)稱性，我們有其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的分位點(diǎn)，任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書(shū)上都提供有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表以供查取分位點(diǎn)。這樣，的置信區(qū)間為：其中為未知參數(shù)，用其無(wú)偏估計(jì)來(lái)代替，則得置信區(qū)間或第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,例3.2某鎮(zhèn)有3250名職工，為調(diào)查該鎮(zhèn)職工收入情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從中抽取30名，調(diào)查結(jié)果如教材53頁(yè)表3－1。試估計(jì)該鎮(zhèn)職工的平均月收入，并求置信水平為95％的近似置信區(qū)間。解：N＝3250，n＝30第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得分位點(diǎn)：于是該鎮(zhèn)職工月平均收入的估計(jì)值為672.23元，它的95％近似置信區(qū)間為：本節(jié)主要介紹了估計(jì)的隨機(jī)誤差以及置信區(qū)間的估計(jì)，對(duì)于總體總和的情況，從平均數(shù)的情況很容易導(dǎo)出有關(guān)結(jié)果。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,§4百分?jǐn)?shù)的估計(jì)及其誤差在介紹盒子模型時(shí)已經(jīng)指出，對(duì)于總體中具有某種特性的單元所占比例的抽樣調(diào)查，可建立0－1盒子模型。即個(gè)具有某種特性的單元相應(yīng)的票上全標(biāo)上1，其余全標(biāo)上0。10是未知數(shù)。盒子中1所占的比例是待估參數(shù)：。由于該參數(shù)恰為0－1盒子的平均數(shù)，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣理論中自然地采用這個(gè)無(wú)偏估計(jì)。為與參數(shù)記號(hào)相配，記：由第二章第七節(jié)的討論可知，盒子的方差為：第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,因此：其中PQ為未知參數(shù)的乘積，只有對(duì)進(jìn)行估計(jì)才有可能獲得P的置信區(qū)間。盡管P，Q各有它們的無(wú)偏估計(jì)但它們的乘積并非PQ的無(wú)偏估計(jì)。這里需要借助于的無(wú)偏估計(jì)，并且容易計(jì)算得：這樣可得的無(wú)偏估計(jì)為：（或?qū)憺椋┑谌潞?jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,其實(shí)當(dāng)N比較大時(shí)，樣本中1的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，因此當(dāng)n不是很大時(shí)，近似置信區(qū)間(3.26)會(huì)發(fā)生一定差錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)考慮必要的修正。p的修正置信區(qū)間為：現(xiàn)在可以構(gòu)造百分?jǐn)?shù)或比例p的置信度為的置信區(qū)間當(dāng)N，n，N－n都比較大時(shí)，置信區(qū)間為：(3.26)(3.27)第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,例3.4某地區(qū)有30587人，為調(diào)查其中吸煙者所占比例而從中隨機(jī)無(wú)放回抽取2000人進(jìn)行訪問(wèn)，得知其中煙民785人。試估計(jì)該地區(qū)吸煙者比例，并給出吸煙比例的置信水平為90％的近似置信區(qū)間。解：N＝30587，n＝2000置信水平為90％，則，查表得又故置近似信區(qū)間為＝(37.52％，40.98％)第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,§5樣本容量n的確定抽樣調(diào)查理論中，樣本容量n的確定具有實(shí)實(shí)在在的意義。n過(guò)大，違背抽樣調(diào)查的宗旨，n過(guò)小，則抽樣誤差偏大，無(wú)法作出精確的估計(jì)。一般情況，總費(fèi)用是固定的，在固定的費(fèi)用下盡量提高精度或在必需的精度下使費(fèi)用盡可能減少，是我們確定n的基本原則。下面主要研究簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下如何確定n。設(shè)選取n個(gè)樣本，訪問(wèn)每個(gè)單元所需的平均費(fèi)用為，另外除了樣本調(diào)查所需的費(fèi)用以外，還需要一筆基本費(fèi)用，例如辦公費(fèi)、設(shè)計(jì)問(wèn)卷的費(fèi)用等，用表示。這樣總費(fèi)用為我們主要考慮n與精度的關(guān)系：第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,精度要求主要涉及到估計(jì)的方差（或相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差），或估計(jì)量與參數(shù)的絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差。若記為基于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的關(guān)于參數(shù)的估計(jì)量。是一個(gè)隨機(jī)變量，要使此絕對(duì)誤差控制在一定數(shù)之內(nèi)，只能以概率加以描述，假設(shè)置信水平為，那么：同樣，若以相對(duì)誤差r作為標(biāo)準(zhǔn),則有假設(shè)n相當(dāng)大時(shí)，可以利用正態(tài)近似，我們有這樣：或(3.31)第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,再利用正態(tài)近似的手段，得:這里我們定義：我們稱之為統(tǒng)計(jì)量的變異系數(shù)，它在抽樣調(diào)查中也是一個(gè)比較重要的量，尤其是在評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的精度時(shí)常常用到。將(3.31)式中的取為為例，，如果調(diào)查時(shí)有一定要求，那么由(3.31)式以及額定的，只要已知，我們完全可以求得n的值。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,如果是未知的，我們可以先作少量抽樣以估計(jì)，然后再確定n，當(dāng)然這個(gè)確定的n比少量抽樣的容量通常要大。如果問(wèn)題是估計(jì)總體的具有某種特征的子總體所占的百分?jǐn)?shù)P，那么代入(3.31)式，并解得：(3.35)由于P未知，仍然必須事先利用少量抽樣加以估計(jì)。但在實(shí)際操作中，當(dāng)時(shí)，PQ很接近P=0.5時(shí)的最大值，第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,以P=0.5代入，此時(shí)得到n約為如果調(diào)查對(duì)有一定要求，自然也能得到n的大約數(shù)值。(3.36)以(3.36)式確定n，建立在P不大不小的基礎(chǔ)之上。這種信息有時(shí)在抽樣之前事先感覺(jué)得到。有時(shí)事先也可能感覺(jué)P相當(dāng)小（或Q相當(dāng)?。＠?，要估計(jì)流水線上生產(chǎn)一批精密元件的廢品率，此時(shí)廢品率往往很小，P<0.1是最起碼的。對(duì)此廢品率的抽樣調(diào)查所需的n就不能用(3.36)式了。第三章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽樣調(diào)查理論與方法北京商學(xué)院,這種場(chǎng)合下如何確定n呢？一個(gè)可供選擇的方法就是逆抽樣。思路很簡(jiǎn)單，我們事先估計(jì)P很小，此時(shí)確定的n次抽樣中必須含有廢品，否則很難估計(jì)P。于是逆抽樣方法建議我們事先確定一個(gè)大于1的整數(shù)m，從總體中隨機(jī)逐次抽取樣本，直到出現(xiàn)第m個(gè)“廢品”（或具有某種特征的單元）為止。此時(shí)，我們實(shí)際抽取的樣本容量n是一個(gè)隨機(jī)變量，我們使用：來(lái)估計(jì)P。逆抽樣的特點(diǎn)是n為隨機(jī)變量，與P及m有相當(dāng)?shù)年P(guān)系，的精度就與m有密切的關(guān)系。我們的問(wèn)題是根據(jù)調(diào)查的需要去確定事先指定的“廢品”數(shù)m。(3.37)一般地，由于欲估計(jì)的P相當(dāng)小，因此可以認(rèn)為Q幾乎為1。運(yùn)用概率論知識(shí)可求得的變異系數(shù)的一個(gè)上界