2023人教版新教材A版高中數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)同步練習(xí)-7 .4 二項(xiàng)分布與超幾何分布

第七章隨機(jī)變量及其分布

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布

7.4.1二項(xiàng)分布

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一伯努利試驗(yàn)及其概率計(jì)算

1.H重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：

①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；

②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；

③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；

④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的.

其中正確的是)

A.①②B.②③

C.①②③D.①②④

2.（2022遼寧重點(diǎn)高中協(xié)作體期末）小方每次投籃的命中率為*假設(shè)每次投籃相互

獨(dú)立，則他連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的概率為（）

A.-B.U

4949

C.4-9D.4-9

3.（2020遼寧營(yíng)口期末）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏

一局就獲得冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能獲得冠軍，若甲隊(duì)每局獲勝的概率為也則

甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（）

A.iB.-

99

C.3-D9.-

4.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是|、|.假設(shè)兩人射擊是否擊中目

標(biāo)相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.

（1）若甲連續(xù)射擊，命中為止,求甲恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率；

（2）若乙連續(xù)射擊，直至命中2次為止，求乙恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率.

題組二二項(xiàng)分布的分布列及概率計(jì)算

5.（2022天津楊柳青一中期中）設(shè)隨機(jī)變量X?網(wǎng)保），則P（X=2）等于（）

A.-B,-C.-D.-

54816

6.(2022四川成都一診)已知某籃球運(yùn)動(dòng)員每次罰球命中的概率為0.4,該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)

行罰球練習(xí)(每次罰球互不影響)，則在罰球命中兩次時(shí),罰球次數(shù)恰為4的概率是

625125

7.(2021廣東中山期末)設(shè)隨機(jī)變量。服從二項(xiàng)分布可6,3廁P(史3)等于()

A.iiB,C3D,

32323264

8.(2021江蘇南京金陵中學(xué)月考)在某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者要進(jìn)行三個(gè)

獨(dú)立項(xiàng)目的測(cè)試,通過其中的兩個(gè)或三個(gè)即可被錄用.已知甲、乙、丙三人通過

A,8c每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率都是

⑴求甲恰好通過兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率；

(2)設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為X,求X的分布列.

題組三二項(xiàng)分布的期望與方差

9.(2021河南駐馬店期末)已知X?B(20,p),且E(X)=6,則D(X)=()

A.1.8B.6C.2.1D.4.2

10.(2022山東棗莊三模)已知隨機(jī)變量X?3(6,0.8),若P(X=A)最大，則

D(kX+l)=.

11.(2021湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)某學(xué)校在春天來臨時(shí)開展了以“擁抱春天,播種綠

色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng).已知某種盆栽植物每株成活的概率為P，各株

是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)取了此種盆栽植物10株，設(shè)X為其中成

活的株數(shù)，若Q(X)=2.1,P(X=3)<P(X=7),則p=.

12.(2021福建福州四校期中聯(lián)考)福州紙傘是歷史悠久的中國(guó)傳統(tǒng)手工藝品，屬于

福州三寶之一，紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架，第二步裱傘面，第三

步繪花刷油.一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術(shù)要求,

已知某工藝師在每個(gè)環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為|,房,只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都合格

時(shí)才算一次成功制作，即才算制作了一件優(yōu)秀作品.

(1)求該工藝師進(jìn)行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品的概率；

(2)若該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,求X的分布列及期望.

13.某學(xué)校招聘志愿者，參加應(yīng)聘的學(xué)生要從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行回答,

至少答對(duì)3個(gè)才能通過初試.已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)

6個(gè)，乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率均為*且甲、乙兩人是否答對(duì)每個(gè)試題互不影響.

(1)試通過概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰通過初試的可能性更大；

(2)若答對(duì)一題得5分,答錯(cuò)或不答得0分，記乙所得分?jǐn)?shù)為Y,求丫的分布列、數(shù)學(xué)

期望和方差.

能力提升練

題組一二項(xiàng)分布的概率

1.口袋里放有大小相同的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，定義數(shù)

列｛。"｝：斯=「：；第?貨至J幻了，如果S”為數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和，那么§7=3的概率為

11,第n次摸到白球，

()

AGx(汴$B.C^xg)2x(l)5

CGX(|)鼠0DGX(/X(|)2

2.(2021甘肅白銀靖遠(yuǎn)期末)剪刀石頭布又稱“猜丁殼”，古老而簡(jiǎn)單，游戲規(guī)則中，石

頭克剪刀，剪刀克布，布克石頭,三者相互制約，因此無論平局幾次，總會(huì)有決出勝負(fù)

的時(shí)候.現(xiàn)A,8兩位同學(xué)各有3張卡片，以“剪刀、石頭、布”的形式進(jìn)行游戲:輸方

將給贏方一張卡片，平局互不給卡片，直至某人贏得所有卡片，游戲終止.若4,8在

一局游戲中各自贏的概率都是也平局的概率為3,各局輸贏互不影響，則恰好5局時(shí)

游戲終止的概率是()

AqB.C喧D怖

3.(2021天津北辰第三次聯(lián)考)一個(gè)口袋里有僅顏色不同的4個(gè)小球，其中白色球2

個(gè),黑色球2個(gè).若從中隨機(jī)取球，每次只取1個(gè)球，每次取球后都放回袋中，則事件

“連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球”的概率為；若從中一次取2個(gè)球，只取

一次，記所取球中白球的個(gè)數(shù)為。則隨機(jī)變量4的期望為.

4.(2021湖北武漢質(zhì)量檢測(cè))在一次以“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中,

立德中學(xué)高三某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異,發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到了老師和同學(xué)的一致

好評(píng).設(shè)隨機(jī)變量記〃氏=(：刎(1-〃)"“斤0,1,2,...,九在研究PA.的最大值時(shí)，小

組同學(xué)發(fā)現(xiàn):若（〃+1）〃為正整數(shù)，則k=（n+l）p時(shí)此時(shí)這兩項(xiàng)的概率均為最

大值;若5+1）〃為非整數(shù)，則攵取5+1）〃的整數(shù)部分時(shí)必是唯一的最大值.以此為理

論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投

擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次，若繼續(xù)進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲

到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.

5.（2022廣東深圳福田外國(guó)語學(xué)校月考）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨,春天是

播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的〃個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播種3粒

種子，已知每粒種子發(fā)芽的概率均為也且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑

而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)種，否則要補(bǔ)種.則當(dāng)片

時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大，最大概率為.

題組二二項(xiàng)分布的期望與方差

6.（2022江蘇泰州中學(xué)期中）已知a+p）"=Qo+|x+|%2+…+aW'（p,〃為常數(shù)），若y~B（n,p）,

則（）

A.E（y）=3,n（y）=2

B.E（y）=4,D（y）=2

c.E（y）=2,o（y）=i

D.E（y）=3,￡）（y）=i

7.（2021河南南陽期末）對(duì)于某套數(shù)學(xué)試卷的12個(gè)選擇題（每小題5分，且每小題的

四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的）,我們假定:某考生在做每個(gè)選擇題時(shí)都能排除掉

一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，而對(duì)其他三個(gè)選項(xiàng)都沒有把握,設(shè)該考生選擇題的總得分為X分，

則D（X）=.

8.（2021湖北孝感部分高中協(xié)作體聯(lián)考）人壽保險(xiǎn)很重視某一年齡段投保人的死亡

率.假設(shè)每個(gè)投保人能活到65歲的概率為0.6,能活到75歲的概率為0.2.

（1）現(xiàn)有一位65歲的投保人，求他能活到75歲的概率；

⑵現(xiàn)有3名恰好65歲的投保人，每人投保6萬元，若活不到75歲,則每位將獲得8

萬元賠償（不考慮其他因素），求保險(xiǎn)公司獲得的凈收益X（單位:萬元）的分布列及數(shù)

學(xué)期望（凈收益=收入-賠償）

9.（2021天津?yàn)I海新區(qū)七校聯(lián)考）某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,

制作過程必須經(jīng)過前后兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)行第二次燒制，兩次

燒制過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件

工藝品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4,經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件工藝品

合格的概率依次為0.6,0.5,0.75.

（1）求經(jīng)過第一次燒制后恰有一件工藝品合格的概率；

（2）經(jīng)過前后兩次燒制后，記合格工藝品的件數(shù)為乙求隨機(jī)變量。的分布列及數(shù)學(xué)

期望.

答案與分層梯度式解析

第七章隨機(jī)變量及其分布

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布

7.4.1二項(xiàng)分布

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C由伯努利試驗(yàn)的概念知①②③正確，④錯(cuò)誤.

2.A由題意可知,小方連續(xù)投籃2次，恰有1次命中的概率P=|x(l-1)+(1-

故選A.

3.B由題意知每局甲隊(duì)獲勝的概率為最乙隊(duì)獲勝的概率為|.

甲隊(duì)獲得冠軍分為以下兩種情況：

①接下來的一局甲隊(duì)贏，其概率為小

②接下來的一局甲隊(duì)輸，后一局甲隊(duì)贏，其概率為|xg=|.

.?.甲隊(duì)獲得冠軍的概率為95=*

故選B.

4.解析(1)記“甲恰好射擊3次結(jié)束射擊”為事件4,

則尸(4)=泠修

所以甲恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率為套.

(2)記“乙恰好射擊3次結(jié)束射擊”為事件4,

則rTt.iP?(A42\)=3[1X3?六,1X3?3『豆9，

所以乙恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率為

5.C由二項(xiàng)分布的概率公式可得,P(X=2)=第xQ、。一故選C.

6.C由該籃球運(yùn)動(dòng)員每次罰球命中的概率為0.4,知其每次罰球未命中的概率為0.6,

若在罰球命中兩次時(shí)，罰球次數(shù)恰為4,則第4次命中，前3次命中1次，

.,.所求概率P=C1xO.4xO.62xO.4=&.故選C.

625

7.C因?yàn)殡S機(jī)變量。服從二項(xiàng)分布B(6,1),

666

所以P&3)=P(40)+P(Fl)+P(勺2)+P(G3)=Cg(|)+Cj+髭g)+C3g)=|i.

故選C.

8.解析⑴甲恰好通過兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率為鬣xgf(1_yi]

21.3

(2)因?yàn)榧?、乙、丙三人被錄用的概率均為?3x(l-0+g)三,所以可看作3重伯努利試驗(yàn),

甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X~8(3,》，

所以P(X=0)=(-jW，

P(X=I)=禺(3(1-丁=|，

P(X=2)=髭5(1-步|,

尸的3)=(禧

故X的分布列為

X0123

1331

P

8888

9.D因?yàn)閄~B(20,p),所以E(X)=20p=6,解得片0.3,故D(X)=np(l-p)=20x0.3x0.7=4.2.

故選D.

10.答案24

解析由題意可知,P(X=?=喘0.26氣.8%,

要使P(X=Z)最大，則P(X=A)NP(X=hl)且P(X=k)"(X=k+l),

BPC^0.26-*0.8t>C^-10.27-*0.8fc-1KC^0.26J0.8*>C^+10.25Jr0.8t+1,

即0.8義容0.2且0.2>0,8x^,

kk+1

解得能右拳故65.

易知D(X)=6x0.8x0.2=0.96,

所以D(kX+\)=D(5X+1)=52D(X)=24.

11.答案0.7

解析由題意可知X~B(10,p),

.fl0p(l-p)=2.1,

=3)<P(X=7),

g|J100p2-loop+21=0解得尸07

(CfoP(1-p)<CioP7(l-p)3,

12.解析(1)由題意可知，該工藝師制作一件優(yōu)秀作品的概率為

4535

i2_54

,該工藝師進(jìn)行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品的概率P=Cl

,1.(I)■"125,

⑵由題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,且乂~6(4,|),

P(X=0)=C：(步念

皿尸洸)】(滬舞

Z2\2/3\2216

鬣=

P(X=2)=\5/\5j625'

3

96

尸(X=3)=第

.1.1)625

4

16

,1625

故X的分布列為

X01234

812162169616

P

625625625625625

E(X)=4x|=|.

13.解析⑴由題意得，甲通過初試的概率「產(chǎn)警+||噂

乙通過初試的概率P2=C“/(￡f+第0?瑞

?弋嗡,...甲通過初試的可能性更大.

(2)設(shè)乙答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,4,且X~8(4,》

???P(X=O)=C：?°守嘖

PL??”a

22

327

P(X=2)=鬃

,4.,4.128

尸(X=3)=C4|)3(引塔

易知Y=5X,

.?.y的分布列為

Y05101520

13272781

P

2566412864256

3

E（y）=5x4x-=15,

4

D（y）=25x4x-3xi1=—75.

444

能力提升練

l.B由S尸3知，在前7次摸球中有2次摸到紅球,5次摸到白球，而每次摸到紅球的概率為|,摸到白球的

概率為去所以57=3的概率為第x的(獷故選B.

2.B設(shè)“A或B前3局中贏2局輸1局，后2局都贏”為事件4,2或3前4局中贏2局平2局，最后1局

贏”為事件Ai,

則尸/)=釐x(Jx24,P(A2)=以x({fx2喑，

\o/01\O/ol

二恰好5局時(shí)游戲終止的概率尸=尸(4)+尸處)=|廿白=言4?故選B.

ololol27

3.答案

O

解析由題意可知，每一次取到白球的概率為［=;,

42

所以連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球的概率為鬣xG)2xG)2=(

易知隨機(jī)變量4的可能取值為0,1,2,

且P(C=0)=g=ip(^l)=^||i4

P(勺2)=鼠，故E(c)=0xi+lx|+2xl=l.

4.答案18

解析記繼續(xù)進(jìn)行8()次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)為X,則X~B(8O,0,

由仁(〃+l)p=81x；=§=13.5,結(jié)合題中結(jié)論可知后13時(shí)概率最大,即后面進(jìn)行的80次投擲試驗(yàn)中出現(xiàn)13

62

次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，

加上前面進(jìn)行的20次投擲試驗(yàn)中出現(xiàn)的5次，所以出現(xiàn)18次的概率最大.

5.答案5或6最

16

解析對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)種的概率尸=cg(|)3+C1g)3=i

則有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率為呢聒G)n

要使%G)”最大,

c電工乙(廣

只需用A%(廣

解得5936,所以n=5或n=6.

當(dāng)片5時(shí)值(滬卷

當(dāng)〃=6時(shí)，洸)6=卷,

所以當(dāng)〃=5或n=6時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大，最大概率為告.

16

6.C由二項(xiàng)式定理可得,(x+p)"的展開式的第(什1)項(xiàng)為Trti=C^'y(0</<?,reN),

令n-r=l,得即7"=(雷""」羽

令〃-尸2,得尸〃-2,即T,,.\=C^2pn-2^.

又(1+〃)"=的+1^+^3￥2+…+辦］；

Jcn-lpn-l=l‘解得卜,

■"(cr2pn-2=|

,In=4.

故E(Y)=np=2,D(Y)-np(1-p)=1.

故選C.

200

7.答案

3

解析設(shè)該考生答對(duì)選擇題的個(gè)數(shù)為〃,

???選擇題每小題5分，

：.X=5n.

由題意知,該考生答對(duì)每個(gè)選擇題的概率均為［，且〃服從二項(xiàng)分布，即〃

??.D(n>12xlx(l-1)4

.-.D(X)=52￡>(?)=25X|=222.

8.解析(1)設(shè)事件4="投保人能活到65歲”,8="投保人能活至U75歲”，則P(A)=0.6,P(AB)=0.2,

P(i4B)_0.2_l

：.P(B\A)=

P(4)-0.6-3'

(2)由題意知X的可能取值為-6,2,10,18,

且P(X=-