2022年安徽省黃山市高考理科數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷及答案解析

2022年安徽省黃山市高考理科數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題）

1.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=^,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

7777

A.-/B.-C.一百D.一看

5555

2.（5分）命題：3AGR,奴為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.（-8,0）B.[-8,0]

C.（-8,0JD.（-8,-8]U[0,+8）

3.（5分）設(shè)集合4={x|禺W0},8={x[-l<x<3},則AC（CRB）=（）

A.{x|3WxW4或x=-1}B.*|3WxW4}

C.{x|3Wx<4或x=-1}D.{x|3WxV4}

4.（5分）連續(xù)函數(shù)/（x）是定義在（-1,1）上的偶函數(shù)，當(dāng)x#0時(shí)，xf（x）>0.若f

（a+i）-f（2a）>0,則a的取值范圍是（）

11I1

A.（―>1）B.（―>0）C.（-2>1）D.（―>0）

5.（5分）在長(zhǎng)方體48CD-A1BC1D1中，4。和C5與底面所成的角分別為30°和45°,

異面直線4。和CG所成角的余弦值為（）

V3V2V6V10

A.—B.—C.—D.---

4434

6.（5分）現(xiàn)將5人安排到3個(gè)不同的小區(qū)從事防控防疫志愿者服務(wù)，要求每人只能在一個(gè)

小區(qū)服務(wù)，每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，則不同的安排方案有（）

A.60種B.90種C.150種D.180種

7.（5分）已知函數(shù)/（?=2\/3sina）x+acos3x（3>0）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到相鄰對(duì)稱軸的

距離為g且/（0）+鹿）=6,則函數(shù)/（x）在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是（）

A.（T，J）B.（-7T,-沿C.（兀，粵）D.（竽，27T）

8.（5分）一個(gè)平面封閉圖形的周長(zhǎng)與面積之比為“周積率”，如圖是由三個(gè)半圓構(gòu)成的圖

-4

形最大半圓的直徑為6,若在最大的半圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為k

9

則陰影部分圖形的“周積率”為（）

第1頁(yè)共25頁(yè)

A.2B.3C.4D.5

9.（5分）“斐波那契數(shù)列”又稱“兔子”數(shù)列，是由意大利數(shù)學(xué)家里昂那多斐波那契發(fā)現(xiàn)

的，該數(shù)列滿足：m=l,。2=1，an=an-\+an-2（〃23,正N*）,若Q2024=G,則其前

2022項(xiàng)和為（）

A.GB.G+lC.-GD.G-1

10.（5分）已知f（x）-2丁，曲線y=/（x）在不同的三點(diǎn)（jq,/（xi））,（X2,/（X2））,

（X3,f（X3））處的切線均平行于X軸，則機(jī)的取值范圍是（）

A.（―^/+oo）B.（0,-J2）C.（―^-/+oo）D.（0,—^）

X2V2ttq

11.（5分）已知橢圓C：丁+77=1的焦點(diǎn)為22,第一象限點(diǎn)P在。上，且尸&.PF2=，，

43，

則△PQF2的內(nèi)切圓半徑為（）

5

C.1D.-

8

c=g，則它們的大小關(guān)系正確的是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

二、填空題（本題共4小題每小題5分，共20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）

13.（5分）已知向量3=（-1,1）,b=（2,3）,a±（2a+kb\則實(shí)數(shù)左的值為.

14.（5分）已知雙曲線E：b/+y2=-2b的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C：X2=4述、的焦點(diǎn)相同，

則雙曲線￡的漸近線方程為.

2021

15.（5分）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足?i=2,an+1=Q則--------------=.

九+1a1+a2+a3+-+a2o2o-------

16.（5分）如圖，在四棱錐尸-A6CO的平面展開圖中，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,/\ADE

是以AD為斜邊的等腰直角三角形，N/7DC=NE43=90°,則該四棱錐外接球被平面

P8C所截的圓面的面積為.

第2頁(yè)共25頁(yè)

三、解答題(本大題共5小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)?jiān)?/p>

答題卷的相應(yīng)區(qū)域答題.)

17.(12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,已知sin(A+C)=8sin2-.

2

(1)求cosB；

(2)若o+c=6,△ABC的面積為2,求b.

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18.（12分）如圖1在梯形A3CZ）中，AD//BC,ZBAD=J,AB=8C=2,AO=4,E是

A。的中點(diǎn)，。是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△AiBE的位置，如圖2.

(I)求證：CZ)_L平面AiOC；

(II)若平面A18EL平面8CDE,求二面角B-AC-E的余弦值.

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19.（12分）在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”過(guò)程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的

了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過(guò)隨機(jī)抽樣，得

到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:

組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻/p>

（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分？?198）…近似為這100

人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表）.

①求H的值；

②利用該正態(tài)分布，求P（y19或947）；

（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

①得分不低于H的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于四的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：

贈(zèng)送話費(fèi)的金額（單位：元）3050

概率32

55

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：V198?14.若X?N卬，o2）,貝I」O<XWR+。）=0.6826,

P（n-2o<X^|i+2o）=0.9544,P（四-3o<X〈|i+3。）=0.9974.

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Xv1

20.(12分)設(shè)橢圓C：—+yr=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為人、F2,拋物線y=-j%2

的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合，又橢圓的離心率與拋物線的離心率之比為匚V3.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)斜率為正數(shù)的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，作MGLx軸于點(diǎn)G,。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若(4盛一9左)1而V,求△OMN面積的取值范圍.

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1

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=xlrvc-x-Zg（x）=--^ax24-ex~€4-a（a67?）.

（1）求函數(shù)（P（X）=f（x）+/e的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)/（X）=f（X）+g（X）的兩個(gè)不同極值點(diǎn)分別為XI，X2（%1<X2）.

（i）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

PAyA

（/7）若不等式一V二?恒成立，求正數(shù)人的取值范圍（這里e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的

%!e

底數(shù)）.

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考生注意：請(qǐng)?jiān)诘?2、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)，

請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.（10分）己知曲線C的極坐標(biāo)方程為p=J】言荔,直線/的參數(shù)方程為Z

（f為參數(shù)）.

（1）當(dāng)直線/的傾斜角為爭(zhēng)寸，求出該直線的參數(shù)方程并寫出曲線C普通方程；

（2）直線/交曲線C于A、B兩點(diǎn),若|AB|=|&,求直線/的斜率.

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［選修4-5：不等式選講1

23.已知函數(shù)/(X)=\x-a\+2\x+\\.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式/(x)W4的解集；

(2)設(shè)不等式/(x)W|2x+4|的解集為M,若［0,3］CM,求”的取值范圍.

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2022年安徽省黃山市高考理科數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題)

1.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=磊，則復(fù)數(shù)z的虛部是()

7777

A.-iB.-C.一左D.一看

5555

俗7有獨(dú)-3T_(3—i)(l—2i)_3—6i—i—2_17.

解：復(fù)數(shù)z_不由_(l+2i)(l-2i)-5~3~5l>

則復(fù)數(shù)z的虛部是-春

故選：D.

2.(5分)命題：BA-GR,a?-or-2>0為假命題的一個(gè)充分不必要條件是()

A.(-8,0)B.[-8,0]

C.(-8,0]D.(-8,-8]U[0,+8)

解：-ar-2>0為假命題-ar-2<0為真命題，

①當(dāng)〃=0時(shí)，則-2W0符合題意，

②當(dāng)(aVO時(shí)，-8Wa<0,

121=a2+8a<0

，”的取值范圍為L(zhǎng)8,0J,

(-8,0)0-8,0],

...IreR,以2-ar-2>0為假命題的一個(gè)充分不必要條件是(-8,0),

故選：A.

3.(5分)設(shè)集合A={x|禺S0},B={x\-l<x<3},則ACI(CR8)=()

A.{x|3WxW4或x=-1}B.*|3WxW4}

C.{x|3Wx<4或x=-1}D.{x|3Wx<4}

解：因?yàn)?={x|若W0}={x|-lWx<4},S={x|-l<x<3},

所以CR3={X|XW-1或x23},

貝ijAC(CRB)={X|3WX<4或X=1}.

故選：C.

4.(5分)連續(xù)函數(shù)/(x)是定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，xf(x)>0.若f

第10頁(yè)共25頁(yè)

(〃+l)-/(2a)>0,則。的取值范圍是()

1111

A.(―>1)B.(―>0)C.(-2>1)D.(―>0)

解：連續(xù)函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，當(dāng)x￥0時(shí)，xf(x)>0.

x>0?fx<0

所以

r(x)>o-ir(x)<o

所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以/Q+1)-f(2a)>0等價(jià)于/(|a+l|)>f(|2a|),

pa+l|>|2a|

所以lVa+lVl,解得一，<b<0,

所以a的取值范圍是（—東0）.

故選：D.

5.（5分）在長(zhǎng)方體48。。-48|。。中，4。和?！辏?與底面所成的角分別為30°和45°,

異面直線和CDi所成角的余弦值為（）

V3V2V10

A.一B.一D.一

4434

所以NB4。為異面直線4。和CDi所成角,

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體A8CZ）-AIBICIQI中，4。和CQi與底面所成的角分別為30°和45°,

所以/AiD4=30°,ZDiCD=45°,

設(shè)A4i=a,貝iL4D=ga,CD=a,所以BD=2a,ArB=y[2a,ArD=2a,

在△408中，由余弦定理得,

占嚴(yán)+公方一^^2a2+4a2-4a2一&

cosZ-BA1D

2A1B-A1D2-42a-2a4'

第11頁(yè)共25頁(yè)

所以異面直線4。和Cd所成角的余弦值為一，

4

故選：B.

6.（5分）現(xiàn)將5人安排到3個(gè)不同的小區(qū)從事防控防疫志愿者服務(wù)，要求每人只能在一個(gè)

小區(qū)服務(wù)，每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，則不同的安排方案有（）

A.60種B.90種C.150種D.180種

解：現(xiàn)將5人安排到3個(gè)不同的小區(qū)從事防控防疫志愿者服務(wù)，要求每人只能在一個(gè)小

區(qū)服務(wù)，每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者,

①這3個(gè)小區(qū)分別有1人，1人，3人的情況，則有底題=60種不同的安排方法,

則有若W

②這3個(gè)小區(qū)分別有1人，2人，2人的情況,=90種不同的安排方法,

故不同的安排方案共有60+90=150種.

故選：C.

7.（5分）已知函數(shù)/（x）=2y/3sina）x+acos3x（3>0）圖象的一，個(gè)對(duì)稱中心到相鄰對(duì)稱軸的

距離為,且/（0）+既=6,則函數(shù)/G）在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是（）

A.（T，J）B.（-7T,一部C.（兀，舞）D.（岑，27T）

解：由題意可知，函數(shù)f（x）的最小正周期為7=4x*=zr,所以，3=竿=2,

則f（%）=2y/3sin2x+acos2x,所以f（0）=a,f電=2V3sin^+acos^=3+

故—。）+黑）=3+,a=6,可得。=2,

所以，/（%）=2y[3stn2x+2cos2x=4sin（2x+5）,

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)％6（―稱，*）時(shí)，一*V2x+1

故函數(shù)/（X）在區(qū)間（一?分上不單調(diào);

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)％6（—〃，一泊時(shí)，一等V2x+1V-等

故函數(shù),?。┰趨^(qū)間（一兀，-普）上單調(diào)遞增；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)％6（兀，萼）時(shí)，——<2%+—

故函數(shù)/（X）在區(qū)間（兀，等）上不單調(diào)；

第12頁(yè)共25頁(yè)

，一，一，47r,19TTn257r

對(duì)于。選項(xiàng)，當(dāng)（方2乃）時(shí)，---<2x4--<----,

乙666

故函數(shù),f（x）在區(qū)間（等，2兀）上不單調(diào).

故選：B.

8.（5分）一個(gè)平面封閉圖形的周長(zhǎng)與面積之比為“周積率”，如圖是由三個(gè)半圓構(gòu)成的圖

4

形最大半圓的直徑為6,若在最大的半圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為二,

9

則陰影部分圖形的“周積率”為（）

A.2B.3C.4D.5

解：依題意，設(shè)較小的白色半圓的半徑為r,則較大的白色半圓的半徑為史上=3-r,

2

7TX32nr27r（3-r）2

4----------------

所以3=——九22-,解得'=1或r=2（舍），

-2~

所以陰影部分圖形的“周積率”為：1兀x：+：x2+：l_=3.

-X7TX32一一7TX22--71X1

222

故選：B.

9.（5分）“斐波那契數(shù)列”又稱“兔子”數(shù)列，是由意大利數(shù)學(xué)家里昂那多斐波那契發(fā)現(xiàn)

的，該數(shù)列滿足：ai=L02=ban=an-{+an-2（n^3,n€N*）,若Q2024=G,則其前

2022項(xiàng)和為（）

A.GB.G+lC.-GD.G-1

解：由即=Cln-1+斯-2可得，

〃1+。3+。5+…+。2（）23=〃2+（。4-。2）+（〃6-3）+…+（。2024一。2022）=〃2024=G,①

。2+。4+〃6+…+〃2022=（。3一）+（〃5一〃3）+（〃7一〃5）+…+（42023一。2021）=42023-1，

②

①+②得，a\+〃2+。3+〃4+…+。2022+〃2023=G+42023-1，

化簡(jiǎn)得〃1+〃2+〃3+〃4+…+Q2022=G-1.

故選：D.

10.（5分）已知/（x）=mex-2X3,曲線y=/（x）在不同的三點(diǎn)（制，［（xi））,（必/'（我）），

（X3,/（如））處的切線均平行于X軸，則機(jī)的取值范圍是（)

第13頁(yè)共25頁(yè)

A.啰,+8）B.（0,導(dǎo)C.W，+oo）D.（0,|1）

解：函數(shù)/（x）-29，導(dǎo)數(shù)為f'（x）=mex-6X2,

由題意可得mex-6，=0有3個(gè)不同的解，即m=除有3個(gè)不同的解.

設(shè)g（X）=譬，則g'（X）=與舞=筆①，

當(dāng)x<0或x>2時(shí)，g'（x）<0,當(dāng)0Vx<2時(shí)，g'G）>0,

所以g（x）在（-8,0）,（2,+8）上單調(diào)遞減，在（0,2）上單調(diào)遞增，

所以g（x）的極小值為g（0）=0,極大值為g⑵=空，

作出g（X）的大致圖象如圖所示，

故選：D.

久2y2TTQ

11.（5分）已知橢圓。：丁++=1的焦點(diǎn)為門,22,第一象限點(diǎn)?在（?上，且PF14尸2=1,

43*

則△PFiF'2的內(nèi)切圓半徑為（）

155

A.-B.-C.1D.—

248

解：由已知條件得“2=4,h2=3,c1=a2--=1,則尸1（-1,0）,尸2（1，0）,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（刖功），則雨=（-1一”-yp）,PF2=（1-Xp，-yp），

X-1

PFi-PF22=P+7P=|>即琮+W=苧①，

???第一象限點(diǎn)尸在C上，.?.則子+”=1,即瑞=4—孚②，

聯(lián)立解得yp=|,

由橢圓的定義得|PFi|+|PF2l=2a=4,

第14頁(yè)共25頁(yè)

1

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r,則SNRF2=勺(伊”|+\PF2\+尸國(guó))=3r,

13

又S"學(xué)?=2,2c??=2，

:.3r=5，即r=

故選：A.

12.(5分)已知a=e°L8=竽+1,c=g,則它們的大小關(guān)系正確的是()

A.h>a>cB.c>h>aC.a>c>hD.a>b>c

11_Y

解：設(shè)/(x)=lnx+\-X,則/(x)=*-1=1，

：.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且/(I)=0,

______1__

：.f(VL2)<0,.,.//ZVL2+1-VL2<0,/.-/?1.2+1<<L2,：.c>b,

Vc=VL2<1.1,：.lnV12+l<VL2<1.1,

：.W2<e0A,：.a>c,

*.a>c>h,

故選：C.

二、填空題(本題共4小題每小題5分，共20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題.)

13.(5分)已知向量2=(-1,1),1=(2,3),a±(2a+kb),則實(shí)數(shù)k的值為-4.

解：因?yàn)閍=(-1,1),b=(2,3),

所以2日+Ze?=(2^-2,3)1+2),

因?yàn)樽頮L(2a+kb),

所以/(2或+4)=2-2k+3k+2=0,

解得k=-4.

故答案為：_4.

14.(5分)已知雙曲線E：/+夕=-2%的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C：/=“gy的焦點(diǎn)相同,

則雙曲線E的漸近線方程為_v=±V2x_.

解：拋物線C：M=4V^y的焦點(diǎn)(0,V6),

所以雙曲線E：b/+y2=-2b的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,V6),

所以72-2b=粕,解得人=-2,

第15頁(yè)共25頁(yè)

所以雙曲線E的漸近線方程為y=土魚x,

故答案為：y=+V2x.

15.（5分）已知數(shù)列｛“”｝滿足0=2,cin+i=竺畢斯，則-----也以-------1011

九十10]+@2+03+.''+。2020——1010—

解：由即+1=當(dāng)苧即,

r-i2（n+2）zHan+i,an、

所G以ran+1=千『斯’得苗=Q2（—））

所以數(shù)列｛署｝是以含=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,

所以出=2”T,

n+1

n

所以0n=（九+1）?2t.

設(shè)｛〃”｝的前n項(xiàng)和為Sn，則匕=2x2°+3x21+4x22+……+(n+1)-2f

所以2S”=2x21+3x22+……+n-2n+(n+1)?2”,

兩個(gè)式子相減得，-Sn=2x2。+(2】+22++2n-1)-(n+1)-2n=2+若當(dāng)二一

(n+1)-2n=-n-2n,

所以%=n-2",

2020

a20212O22X21011

所以

20201010,

a1+a2+a3+.........+a20202O2OX2

1011

故答案為:

1010

16.（5分）如圖，在四棱錐P-ABC。的平面展開圖中，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為4,/\ADE

是以AD為斜邊的等腰直角三角形，/HDC=NFAB=90°,則該四棱錐外接球被平面

367r

PBC所截的圓面的面積為—.

-5-

解：該幾何體的直觀圖如下圖所示，

分別取AO,BC的中點(diǎn)O,M,連接OM,PM,

"：P0=2,0M=4,PM=\lPB2-BM2=,24—4=2瓜

：.OP2+OM2=PM2,J.OPVOM,

第16頁(yè)共25頁(yè)

又所以由線面垂直的判定定理得出PO_L平面488,

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

4(2,0,0),8(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,2),

設(shè)四棱錐P-ABCQ外接球的球心N(0,2,a),

,:PN=NA,；.4+(2-“)2=4+4+/,解得a=0,

設(shè)平面PBC的法向量為蔡=(x,y,z),

PB=(2,4,-2),PC=(-2,4,一2),NP=(Q,-2,2),

PB?幾=x+2y—z=0

則

PC-n=-x+2y—z=0

取z=2,貝格=(0,1,2),

四棱錐P-ABCD外接球的球心到面PBC的距離為:

—>n-NP.22左

d=\NP\?\cos{n.NP)\=\NP\?|

\n\\NP\3

—>—>

又|NP|=2V2,所以平面PBC所截的圓的半徑r=J|NP|2—d2=6

而‘

所以平面PBC所截的圓面的面積為兀內(nèi)=半.

367T

故答案為：—

三、解答題(本大題共5小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)?jiān)?/p>

答題卷的相應(yīng)區(qū)域答題.)

B

17.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為mb,c,已知sin(A+C)=8sin2-.

2

(1)求cosB；

第17頁(yè)共25頁(yè)

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求瓦

解：(Dsin(A+C)=8sin2-,

2

AsinB=4(1-cosB),

Vsin2B+cos2B=l,

16(1-cosB)2+COS2B=1,

A16(1-cosB)2+COS2B-1=0,

16(cosB-1)2+(cosB-1)(cosB+1)=0,

J(17cosB-15)(cosB-1)=0,

.15

??COSD=yy;

p

(2)由(1)可知sinB=jy,

S^ABC=%c?sinB=2,

?-?etc_~-*2~f

.'.b2=a2+c2'-2accosB=a1+c2-2x孝x

=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,

：.b=2.

18.(12分)如圖1在梯形ABC。中，AD//BC,ZBAD=AB=BC^2,AO=4,E是

AO的中點(diǎn)，。是4c與BE的交點(diǎn).將△ABE沿8E折起到△4BE的位置，如圖2.

(I)求證：CZ)_L平面AiOC；

(II)若平面4BE_L平面8CDE,求二面角B-AiC-E的余弦值.

(I)證明：在圖①中，因?yàn)锳B=BC=2,AD=4,E是AO的中點(diǎn)，^BAD=

第18頁(yè)共25頁(yè)

E

D

圖①圖②

故四邊形A8CE為正方形，所以BE_L4C,

即在圖②中，BElOAi，BEVOC,又OAiCOC=O,

所以BE_L平面40C.

又BC//DE,BC=DE,所以四邊形BCDE是平行四邊形，

所以CD〃BE,所以CZ)_L平面AiOC.

(II)解：由已知，平面4BE_L平面BCQE,又由(1)知，BElOAi，BE1OC,

所以/AiOC為二面角4-BE-C的平面角，所以O(shè)CLO4，

如圖所示，以。為原點(diǎn)，分別以08,0C,04所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系.

4(0,0,V2),B(魚，0,0),C(0,V2,0),D(-2V2,VL0E(-V2,0,0),

設(shè)平面AiBC的一個(gè)法向量為扇=(x,y,z),4；B=(&,0,-V2),A；C=(0,夜,

—V2),

-AB=V2x—V2z—0

r令z=1,??%—1,y—1,

叫?&C=V2y—V2z—0

故平面AiBC的一個(gè)法向量為A=(1,1,1),

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為A=Qi，乃，zQ,EC=(y[2,0),4；C=(0,五,

一加),

第19頁(yè)共25頁(yè)

丫]

(n2?EC=^2x1+6=0

令zi=l,Axi=1，＞1=1，

\n2,ArC=y/2y1—=0

平面4CE的一個(gè)法向量為A=（-1，L1），

設(shè)二面角B-AC-E的平面角為仇

1_1

從而|cos6|=\cos{nn)\=|反而二子

lf2扇卜曲

由圖得二面角為鈍角,

故二面角B-AtC-E的余弦值為一最

19.（12分）在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”過(guò)程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的

了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過(guò)隨機(jī)抽樣，得

到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻/p>

（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分J?N（p,198）,n近似為這100

人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表）.

①求H的值；

②利用該正態(tài)分布，求P（1W19或？N47）：

（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

①得分不低于H的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于H的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：

贈(zèng)送話費(fèi)的金額（單位：元）3050

概率32

55

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：＞4198?14.若X?N(2。2),則P⑺-。VXWu+o)=0.6826,

P卬-2。＜XWu+2。)=0.9544,P(p-3。＜XW"+3。)=0.9974.

解:(1)①4=40x+50x+60x+70x+80x+90x=61；

②5=14,

第20頁(yè)共25頁(yè)

P(19<^<103)=0.9974,P(47<^<75)=0.6826,

1-0.9974,八0.6826、

P(gW19或,》47)-2+(1----2~>=0.8426,

(2)P(fV〃)=P(f")=}1

X=30,50,60,80,100,

133111339

P(X=30)=*x]=擊，P(X=50)=*x=亍P(X=60)=//1寬，

P(X=80)=*x(|x|+1x|)=￡P(guān)(X=100)=|x|x|=^

X30506080100

p3—1962

105502525

EX=30x得+50x/+60x'+80x盤+100x微=57.

XV1

20.（12分）設(shè)橢圓C：—+~=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為為、尸2,拋物線）=-j%2

的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合，又橢圓的離心率與拋物線的離心率之比為手.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)斜率為正數(shù)的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，作MGLx軸于點(diǎn)G,O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若（4。漏-9左）1國(guó)，求△OMN面積的取值范圍.

解：（1）由已知得拋物線的方程為/=-4y,則其焦點(diǎn)為（0,-1）,

?.?焦點(diǎn)就是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，，b=l.

???橢圓的離心率與拋物線的離心率之比為虛，.?.橢圓的離心率e=《=卓，

2Q，

即-2—=1-^7=2，解得J=4,《2=3,

x2

則橢圓C的方程為+y2=1.

4

（2）設(shè)M（xi,y\）,N（12，）2），G（xi，0）,直線/的方程為（Z>0）,

x2

代入橢圓方程一+y2=1并化簡(jiǎn)得：（4F+1）/+8knx+4m2-4=0,

4

依題意得△=16（4^+1-w2）>0,化簡(jiǎn)得混V44+1①,

8kM47n2-4

且X1+x=—XtX=

24k2+124k2+1

2m2

yxy2=(k4+m)(kx2+m)=kxrx2+km。1+%2)+-

第21頁(yè)共25頁(yè)

TT—>

由(40M—90G)?ON=0得(-5xi，4yi)?(12，>2)=-5xiX2+4yiy2=0,

2

RP4/CX1X2+4fcm(x1+x2)+4m2—5x^2=0,

l、4m2—4..,-8km,.八

B|J(4fc2—5)x―------F4kmx—----F4m27=0,

4r+l4r+l

即(4A?-5)(TH2-1)-8M機(jī)2+機(jī)2(4斤+1)=o,

化簡(jiǎn)得m2+/=*②，

由①②可得工<k2<

204

22

V|M/V|=Vfc+1|%1-x2l=V/c+1x'6(;]:吧

16(5/420k2-1

-V/c2+1x—V/c2+1x

4fc2+l4fc2+l

又原點(diǎn)O到直線/的距離d=普=,

庖

22

11「2上0/-1||1(20/c-l)(5-4fc)

,'MN=2MMPE*七丁X篇m=I,7I'

,c6,115

令4k24-1=tE(5/6],則￡6[-/—

即SAOMN==IJ-36(1)2+36xI-5=3^-(1-1)24-i,

則當(dāng)二==,即時(shí)，(SAOMN)max='，又.：S&OMN>0.

t2乙

.?.△OMN面積的取值范圍是（0,1].

_1

21.（12分）已知函數(shù)/（%）=xlnx-x-exe,g（x）=-2ax24-ex-e+a（a6/?）.

（1）求函數(shù)（p（X）=f（X）的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)尸（X）=/（X）+g（X）的兩個(gè)不同極值點(diǎn)分別為元1，X2（X]<X2）.

（/）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（〃）若不等式紅恒成立，求正數(shù)人的取值范圍（這里e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的

%1e

底數(shù)）.

(12分)

解：(1)由題可知：<p(x)=xlwc-x-e+exe=xlnx-x,.二。(x)=\+lnx-\=lnx

由。(x)>0=>x>l,(p'(x)<0=>0<x<l,

第22頁(yè)共25頁(yè)

???(P(x)在(0,1)為減函數(shù)，在(1,+8)增函數(shù),

*,*<p(x)的最小值為(P(1)=-

1.(4分)

(2)(/)由題F(x)=/(%)+g(X)=%%+必定義域?yàn)?0,+°°).

則F(x)=l+lnx-1-ax=lnx