安全系統(tǒng)工程3.3

三、事故樹的定量分析

我們先來復(fù)習(xí)一下概率論的一些基本知識(shí)三、事故樹的定量分析一、概率論基本知識(shí)1.相互獨(dú)立事件一個(gè)事件發(fā)生與否不受其他事件的發(fā)生與否的影響。假定有A、B、C、…、N個(gè)事件，其中每一個(gè)事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響，則稱A、B、C、…、N為獨(dú)立事件。定義：對(duì)于任意兩個(gè)事件，如果滿足

P(A·B)＝P(A)·P(B)

則稱事件與事件為相互獨(dú)立事件。在事故樹分析中，遇到的基本事件大多數(shù)是獨(dú)立事件。三、事故樹的定量分析2.互不相容事件（相互排斥事件）不能同時(shí)發(fā)生的事件。一個(gè)事件發(fā)生，其他事件必然不發(fā)生。它們之間互相排斥，互不相容。假定有A、B、C、…、N個(gè)事件，A發(fā)生時(shí)，B、C、…、N必然不發(fā)生；B發(fā)生時(shí)，A、C、…、N事件必須不發(fā)生，則A、B、C、…、N事件稱為互斥事件。三、事故樹的定量分析3．和事件概率對(duì)于2個(gè)相互獨(dú)立事件：

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

或P(A＋B)＝1－[1－P(A)][1－P(B)]

n個(gè)獨(dú)立事件的概率和，其計(jì)算公式是：P(A＋B＋C＋…＋N)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]…[1－P(N)]對(duì)于n個(gè)互不相容事件的概率和，其計(jì)算公式是：P(A＋B＋C＋…＋N)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋…＋P(N)

式中：P為獨(dú)立事件的概率。三、事故樹的定量分析4．積事件概率n個(gè)獨(dú)立事件的概率積，其計(jì)算公式是：

P(A·B·C…N)＝P(A)·P(C)…P(N)n個(gè)互不相容事件的概率積對(duì)于0。三、事故樹的定量分析5．對(duì)立事件及其概率對(duì)于事件A、B，如果有

A∩B＝φ，即A、B不能同時(shí)出現(xiàn)；

A∪B＝Ω，即A、B一定有一個(gè)要出現(xiàn)。則稱A、B為互逆事件或?qū)α⑹录?，?/p>

B＝；若把A看作一個(gè)集合時(shí)，就是A的補(bǔ)集。對(duì)立事件的概率計(jì)算：三、事故樹的定量分析事故樹的定量分析首先是確定基本事件的發(fā)生概率，然后求出事故樹頂事件的發(fā)生概率。求出頂事件的發(fā)生概率之后，可與系統(tǒng)安全目標(biāo)值進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)，當(dāng)計(jì)算值超過目標(biāo)值時(shí)，就需要采取防范措施，使其降至安全目標(biāo)值以下。

Thefirststepofquantitativeanalysis

ofFTistocalculatetheoccurrenceprobabilityofbasicevent;thesecondistocalculatetopevent’soccurrenceprobability.Afterthatcomparetopevent’soccurrenceprobabilitywithsystemsafetytargetvalueandmakeevaluation.Whenthevalueisabovethetargetone,safeguardsneedtakingtodecreasethevaluebelowthetargetone.三、事故樹的定量分析在進(jìn)行事故樹定量計(jì)算時(shí)，一般做以下幾個(gè)假設(shè)：（1）基本事件之間相互獨(dú)立；（2）基本事件和頂事件都只考慮兩種狀態(tài)；（3）假定故障分布為指數(shù)函數(shù)分布。ThefollowingassumptionsareusuallymadeinthequantitativecalculationsofFT:(1)Basiceventisindependent(2)Onlytwostatesareconsideredinbothbasiceventandtopevent.(3)Failuredistributionisinexponentialfunctiondistribution.三、事故樹的定量分析事故樹定量分析，是在已知基本事件發(fā)生概率的前提條件下，定量地計(jì)算出在一定時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故的可能性大小。如果事故樹中不含有重復(fù)的或相同的基本事件，各基本事件又都是相互獨(dú)立的，頂事件發(fā)生概率可采用直接分步法求得。

三、事故樹的定量分析1．直接分步算法這種算法適用于事故樹的規(guī)模不大，又沒有重復(fù)的基本事件，無需布爾代數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)使用。它是從底部的邏輯門聯(lián)接的事件算起，逐次向上推移，直至計(jì)算出頂上事件T的發(fā)生概率。頂上事件的發(fā)生概率用符號(hào)g表示，即g＝P﹛T﹜。三、事故樹的定量分析如果事故樹中不含有重復(fù)的或相同的基本事件，各基本事件又都是相互獨(dú)立的，頂事件發(fā)生概率可根據(jù)事故樹的結(jié)構(gòu),用下列公式求得。

用“與門”連接的頂事件的發(fā)生概率為:用“或門”連接的頂事件的發(fā)生概率為:三、事故樹的定量分析如圖所示的事故樹。已知各基本事件的發(fā)生概率q1=q2=q3=0.1，頂事件的發(fā)生概率為:

P(T)=

q1[1-(1-q2)(1-q3)]

=0.1[1-(1-0.1)(1-0.1)]

=0.019T·A1X1·+X2X3

三、事故樹的定量分析求如圖所示事故樹頂上事件發(fā)生概率。各基本事件的發(fā)生概率如圖示。

三、事故樹的定量分析（1）求A2的概率：

qA2=1-(1-q5)(1-q6)(1-q7)=1-(1-0.05)(1-0.05)(1-0.01)=0.106525（2）求A1的概率：

qA1=q2qA2q3q4=0.8×0.106525×1×0.5=0.04261（3）求頂上事件的發(fā)生概率：

g=qT=1-(1-qA1)(1-q1)=1-(1-0.04261)(1-0.01)=0.05218

三、事故樹的定量分析但當(dāng)事故樹中含有重復(fù)出現(xiàn)的基本事件時(shí)，或基本事件可能在幾個(gè)最小割集中重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，最小割集之間是相交的，這時(shí)，應(yīng)按以下幾種方法計(jì)算。2.最小割集法事故樹可以用其最小割集的等效樹來表示。這時(shí)，頂事件等于最小割集的并集。三、事故樹的定量分析（1）最小割集間無重復(fù)基本事件若各個(gè)最小割集間無重復(fù)基本事件，就可以按照上述直接分步算法的原則，先計(jì)算各個(gè)最小割集內(nèi)各基本事件的概率積，再計(jì)算各個(gè)最小割集的概率和，從而求得頂上事件的發(fā)生概率：

三、事故樹的定量分析【例】某事故樹有3個(gè)最小割集：K1={x1,x3}，K2={x2,x4}，K3={x5,x6}。求頂上事件的發(fā)生概率。解：據(jù)上述公式三、事故樹的定量分析（2）最小割集間有重復(fù)基本事件若各個(gè)最小割集間有重復(fù)基本事件，則上述公式不成立。三、事故樹的定量分析（2）最小割集間有重復(fù)基本事件式中，qk1,qk2是最小割集K1，K2的交集概率，由于K1∩K2＝x1x3·x2x3＝x1x2x3

所以qk1∩qk2＝q1q2q3

所以，這種情況上按(A)式寫出g的計(jì)算式是錯(cuò)誤的。經(jīng)過推導(dǎo)，此時(shí)應(yīng)該由下式計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率值。三、事故樹的定量分析（2）最小割集間有重復(fù)基本事件若各個(gè)最小割集間有重復(fù)基本事件，則上述公式不成立。應(yīng)采用如下算法：三、事故樹的定量分析式中r、s——最小割集的序數(shù)，r<s；

i——基本事件的序號(hào)，Xi∈Er；

k——最小割集數(shù)；

1≤r<s≤k——k個(gè)最小割集中第r、s兩個(gè)最小割集的組合順序；

Xi∈Er——屬于第r個(gè)最小割集的第i個(gè)基本事件；

Xi∈Er∪Es——屬于第r個(gè)或第s個(gè)最小割集的第i個(gè)基本事件。（2）最小割集間有重復(fù)基本事件三、事故樹的定量分析3.最小徑集法根據(jù)最小徑集與最小割集的對(duì)偶性，利用最小徑集同樣可求出頂事件的發(fā)生概率。設(shè)某事故樹有k個(gè)最小徑集：P1、P2、…Pr、…Pk。用Dr（r=1,2,…,k）表示最小徑集不發(fā)生的事件，用T′表示頂事件不發(fā)生。由最小徑集的定義可知，只要k個(gè)最小徑集中有一個(gè)不發(fā)生，頂事件就不會(huì)發(fā)生：

三、事故樹的定量分析（1）最小徑集間無重復(fù)基本事件若各個(gè)最小徑集間無重復(fù)基本事件，就可以按照上述直接分步算法的原則，先計(jì)算各個(gè)最小徑集內(nèi)各基本事件的概率和，再計(jì)算各個(gè)最小徑集的概率積，從而求得頂上事件的發(fā)生概率：式中p——事故樹最小徑集的數(shù)目；

Pr——第r個(gè)最小徑集的數(shù)目。三、事故樹的定量分析（1）最小徑集間無重復(fù)基本事件【例】某事故樹有3個(gè)最小徑集：P1={x1,x4}，P2={x2,x3}，P3={x5,x6}。各基本事件的發(fā)生概率分別為：q1=0.1，q2=0.2，q3=0.03，q4=0.4，q5=0.05，q6=0.16，求頂上事件的發(fā)生概率。三、事故樹的定量分析（2）最小徑集間有重復(fù)基本事件若各個(gè)最小徑集間有重復(fù)基本事件，上式不成立。此時(shí)，可以由下式計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率值。三、事故樹的定量分析（2）最小徑集間有重復(fù)基本事件式中Pr——最小徑集(r=1，2，…，k)；

r、s——最小徑集的序數(shù)，r<s；

k——最小徑集數(shù)；

(1-qi)——第i個(gè)基本事件不發(fā)生的概率；

Xi∈Pr——屬于第r個(gè)最小徑集的i個(gè)基本事件；

Xi∈PrUPs——屬于第r個(gè)或第s個(gè)最小徑集的第i個(gè)基本事件。三、事故樹的定量分析（2）最小徑集間有重復(fù)基本事件式中Pr——最小徑集(r=1，2，…，k)；

r、s——最小徑集的序數(shù)，r<s；

k——最小徑集數(shù)；

(1-qi)——第i個(gè)基本事件不發(fā)生的概率；

Xi∈Pr——屬于第r個(gè)最小徑集的i個(gè)基本事件；

Xi∈PrUPs——屬于第r個(gè)或第s個(gè)最小徑集的第i個(gè)基本事件。三、事故樹的定量分析注意：根據(jù)最小割集計(jì)算頂上事件發(fā)生概率的公式，計(jì)算精度分別高于由最小徑集計(jì)算頂上事件發(fā)生概率的兩個(gè)公式。因此，實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)盡量采用最小割集計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率。三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

按式（3-4）和（3-5）計(jì)算頂事件發(fā)生概率的精確解。當(dāng)事故樹中的最小割集較多時(shí)會(huì)發(fā)生組合爆炸問題，即使用直接不交化算法或不交積之和定理將相交和化為不交和，計(jì)算量也是相當(dāng)大的。此時(shí)，可使用近似的計(jì)算方法。Expression(3-4)and(3-5)calculatetheaccuratesolutionoftheoccurrenceprobabilityoftopevent.IftherearemanyminimalcutsetinFT,combinationexplosionmayoccur.ThecomputationloadisratherlargeevenifthejointsumistransformedintodisjointsumbydirectmeansofdisjointalgorithmorSumofdisjointproductslaw.Hence,approximatecalculationcanbeemployed.三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

（1）最小割集逼近法：在上式中，設(shè)：三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

（1）最小割集逼近法：則得到用最小割集求頂事件發(fā)生概率的逼近公式，即：

P（T）≤F1

P（T）≥F1-F2P（T）≤F1-F2+F3式中的F1，F(xiàn)1-F2，F(xiàn)1-F2+F3，……等，依此給出了頂事件發(fā)生概率P(T)的上限和下限，可根據(jù)需要求出任意精確度的概率上、下限。實(shí)際應(yīng)用中，以F1（稱作首項(xiàng)近似法）或F1-F2作為頂事件發(fā)生概率的近似值，就可達(dá)到基本精度要求。三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

（2）最小徑集逼近法。與最小割集法相似，利用最小徑集也可以求得頂事件發(fā)生概率的上、下限。在式（3-5）中，設(shè)：

則：

P(T)≤1-S1;P(T)≤1-S1

+

S2;……;

即：

1-S1≤P(T)≤1-S1

+

S2；1-S1

+

S2≥P(T)≥1-S1

+

S2–S3；……

(3-9)三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

（2）最小徑集逼近法。式（3-9）中的1-S1，1-S1+S2，1-S1+S2-S3，……等，依次給出了頂事件發(fā)生概率的上、下限。從理論上講，式（3-8）和式（3-9）的上、下限數(shù)列都是單調(diào)無限收斂于P(T)的，但是在實(shí)際應(yīng)用中，因基本事件的發(fā)生概率較小，而應(yīng)當(dāng)采用最小割集逼近法，以得到較精確的計(jì)算結(jié)果。

三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

（3）平均近似法為了使近似算法接近精確值，計(jì)算時(shí)保留式（3-4）中第一、二項(xiàng)，并取第二項(xiàng)的1/2值，即：這種算法，稱為平均近似法。三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

（4）獨(dú)立事件近似法

將事故樹的最小割集作為相互獨(dú)立的事件對(duì)待。即，盡管各最小割集中由重復(fù)基本事件，但仍將它們看作無重復(fù)事件，就可以由下式近似計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率值。三、事故樹的定量分析4.頂事件發(fā)生概率的近似計(jì)算

（4）獨(dú)立事件近似法若最小割集Er(r=1，2，…，k)相互獨(dú)立，可以證明其對(duì)立事件Er′也是獨(dú)立事件，則有：對(duì)于上式，由于Xi=O（不發(fā)生）的概率接近于1，故不適用于最小徑集的計(jì)算，否則誤差較大。

三、事故樹的定量分析5．化相交集為不交集求頂上事件發(fā)生概率

一、化相交集合為不交集合理論化相交集為不交集的依據(jù)，是布爾代數(shù)的如下運(yùn)算定律。③對(duì)合律

(A’)’

＝A④德.摩根律（A+B）’＝A’·B’（A·B）’＝A’+B’①重疊律A＋B＝A＋A’BA’＋B’＝A’＋AB’②互補(bǔ)律A＋A’＝1A’．B’＝0三、事故樹的定量分析5．化相交集為不交集求頂上事件發(fā)生概率

某事故樹有k個(gè)最小割集：El，E2，…，Er，…，Ek，一般情況下它們是相交的，即最小割集之間可能含有相同的基本事件。由文氏圖可以看出，ErUEs為相交集合，Er+Er′Es為不相交集合，如圖3.11所示。5．化相交集為不交集求頂上事件發(fā)生概率

三、事故樹的定量分析三、事故樹的定量分析5．化相交集為不交集求頂上事件發(fā)生概率

亦即

ErUEs=Er+Er′Es(3-6)

式中

U——集合并運(yùn)算；

+——不交和運(yùn)算。

所以有：

P(ErUEs)=P(Er)+P(Er′Es)

由式(3-6)可以推廣到一般式：

(3-7)三、事故樹的定量分析5．化相交集為不交集求頂上事件發(fā)生概率當(dāng)求出一個(gè)事故樹的最小割集后，可直接運(yùn)用布爾代數(shù)的運(yùn)算定律及式(3-7)將相交和化為不交和。但當(dāng)事故樹的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，利用這種直接不交化算法還是相當(dāng)煩瑣。而用以下不交積之和定理可以簡(jiǎn)化計(jì)算，特別是當(dāng)事故樹的最小割集彼此間有重復(fù)事件時(shí)更具