電磁場與電磁波第二章

2.1電荷守恒定律2.1.1電荷及電荷密度自然界中存在兩種電荷，正電荷和負(fù)電荷。帶電體所帶的電量的多少稱為電荷量。迄今為止能檢測到的最小電荷量是質(zhì)子和電子的電荷量，稱為基本電荷的電量，其值為(庫侖)任何帶電體的電荷量都只能是一個基本電荷量的整數(shù)倍電荷宏觀描述1.電荷體密度電荷連續(xù)分布于體積內(nèi)，用電荷體密度描述其分布。設(shè)體積元內(nèi)的電荷量為，則該體積內(nèi)任一源點處的電荷體密度為：2.電荷面密度設(shè)電荷連續(xù)分布于厚度可以忽略的曲面上，用電荷面密度描述其分布設(shè)面積元上的電荷量為，則該曲面上任一源點處的電荷面密度為：3.電荷線密度電荷連續(xù)分布于橫截面積可以忽略的細(xì)線上，用電荷線密度描述其分布設(shè)長度元上的電荷量為，則該細(xì)線上任一源點處的電荷線密度為：4.點電荷點電荷是電荷分布的一種極限情況，可將其視為一個體積很小而電荷密度很大的帶電小球的極限。當(dāng)帶電體的尺寸遠(yuǎn)小于觀察點至帶電體的距離時，帶電體的形狀及其中的電荷分布已經(jīng)無關(guān)緊要，可以將帶電體所帶電荷看成集中在帶電體中心上，此模型稱為點電荷。若點電荷q的位置矢量為,其電荷密度則為：2.1.2電流及電流密度電荷的定向運動形成電流，通常使用電流強(qiáng)度為描述其大小。設(shè)在時間內(nèi)通過某一截面S的電荷量為，則通過該截面S的電流強(qiáng)度定義為：電流強(qiáng)度一般簡稱為電流，其單位為安培1.體電流電荷在某一體積內(nèi)定向運動所形成的電流稱為體電流。一般情況下，在導(dǎo)體內(nèi)某一截面上不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。為了描述該截面上電流的分布，引入電流密度矢量，其定義為：空間任一點的方向是該點上正電荷運動的方向，其大小等于在該點與垂直的單位面積的電流，即:通過任意截面S的電流則為：2.面電流電荷在一個厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布。通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線l的電流為：其中為薄導(dǎo)體層的法向單位矢量上式的理解需要記住線段L，是薄層的厚度趨于零時的極限，這個趨于零的面元S，其方向符合右手法則的定義，這個右手方向也定義了有向曲線的方向3.線電流電荷在一個橫截面積可以忽略的細(xì)線中做定向流動所形成的電流稱為線電流?？梢哉J(rèn)為線電流是集中在細(xì)導(dǎo)線的軸線上。長度元中流過電流，將稱為電流元。2.1.3電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程實驗表明，電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一物體。根據(jù)電荷守恒定律，單位時間內(nèi)從閉合面S內(nèi)流出的電荷量應(yīng)等于閉合面S所限定的體積V內(nèi)的電荷減少量，即：微分形式上式為電流連續(xù)性方程的積分形式。設(shè)定閉合面S所限定的體積V不隨時間變化，則將全導(dǎo)數(shù)寫成偏導(dǎo)數(shù)，上式為：由散度定理：此式為電流連續(xù)性方程的微分形式2.2真空中靜電場的基本規(guī)律空間位置固定、電量不隨時間變化的電荷產(chǎn)生的電場，稱為靜電場。描述電場的基本物理量是電場強(qiáng)度矢量。2.2.1庫侖定律電場強(qiáng)度庫侖定律是關(guān)于兩個“點電荷”之間的作用力的定量描述.如果表示點電荷對點電荷的作用力,表示由指向的單位矢量疊加原理若真空中有N個點電荷，分別位于，則位于處的點電荷q受到的作用力為其余每個點電荷對q的作用力的疊加，表示為：點電荷的電場設(shè)點電荷位于處，其在位置的場點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：電場也滿足疊加原理，極限情況下就是積分例2.2.1計算電偶極子的電場強(qiáng)度電偶極子是相距很小距離d的兩個等值異號的點電荷組成的電荷系統(tǒng)。采用球坐標(biāo)系，使電偶極子的中心與坐標(biāo)系的原點O重合，并使電偶極子軸與z軸重合。場點的電場強(qiáng)度就是兩個點電荷的生的電場強(qiáng)度的矢量和在球坐標(biāo)系中，場點P的位置矢量是兩個源點的位置矢量為：電偶極子的場根據(jù)疊加原理：在電磁理論中，常常感興趣的是遠(yuǎn)離電偶極子區(qū)域內(nèi)的場，此時：續(xù)將上式使用二項式展開近似，得：從而遠(yuǎn)場近似為：續(xù)引入電偶極矩則上式變?yōu)椋涸谇蜃鴺?biāo)中：最終有：2.2.2靜電場的散度和旋度1.靜電場的散度和高斯定理利用關(guān)系式：兩邊取散度：靜電場的散度利用關(guān)系式：上式為：根據(jù)廣義函數(shù)的篩選性：因已經(jīng)假設(shè)場點位于V內(nèi)，故得高斯定理微分形式高斯定理積分形式對微分形式兩邊求體積積分運用散度定理：此為高斯定理積分形式2.靜電場旋度上式兩邊取旋度：運用斯托克斯定理：說明靜電場是無旋場真空中恒定磁場的基本規(guī)律恒定電流產(chǎn)生的磁場稱為恒定磁場，或稱為靜磁場描述磁場的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度1.安培力定律真空中的靜止細(xì)導(dǎo)線回路和，它們分別載有恒定電流，回路對的作用力為：安培力定律電流元的位置矢量為，電流元的位置矢量為，兩電流元之間距離為，表示為矢量2.磁感應(yīng)強(qiáng)度宏觀電磁場理論認(rèn)為，電流要產(chǎn)生磁場，從而對電流回路有作用力任意電流回路C，回路上任一電流元所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為：回路C總磁場：2.3.2恒定磁場的散度與旋度1.恒定磁場的散度和磁通連續(xù)性原理利用得再利用恒等式：續(xù)上式兩端取散度，肯定有：2.恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定律對前頁的最終式子兩邊取旋度：而在上式中求導(dǎo)變量已經(jīng)由場點變成了源點，然后再變回哈密頓算符的作用函數(shù)之內(nèi)故:根據(jù)電流連續(xù)性方程，對于靜磁場：所以：另外，將此結(jié)果代入磁感應(yīng)強(qiáng)的旋度的表達(dá)式上式運用了電流分布在有限體積V內(nèi)，在邊界上無值安培環(huán)路定理兩端取面積分：運用斯托克斯公式：所以有：2.4媒質(zhì)的電磁特性2.4.1電介質(zhì)的極化電位移矢量1電介質(zhì)的極化電介質(zhì)中的束縛電荷在外電場作用下發(fā)生位移的現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化，束縛電荷也稱為極化電荷。將電介質(zhì)的分子分為無極分子和有極分子兩類。無極分子的正、負(fù)電荷中心重合，因此對外產(chǎn)生的合成電場為0，不顯示電特性。有極分子的正、負(fù)電荷中心不重合，構(gòu)成一個電偶極子。但由于許許多多電偶極子雜亂無章地排列，對外不顯示電性。電介質(zhì)極化的結(jié)果是電介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)許許多多順著外電場方向排列的電偶極子，這些電偶極子產(chǎn)生的電場將改變原來的電場分布。電介質(zhì)對電場的影響可歸結(jié)為極化電荷產(chǎn)生的附加電場的影響附加電場電介質(zhì)內(nèi)電場強(qiáng)度為自由電荷產(chǎn)生的外電場與極化電荷產(chǎn)生的附加電場的疊加引入極化強(qiáng)度來描述電介質(zhì)的極化程度單位體積中電偶極矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度電極化率對于線性和各向同性電介質(zhì)，其極化強(qiáng)度與電介質(zhì)中的合成電場強(qiáng)度成正比，表示：式中，稱為電介質(zhì)電極化率，是一個正實數(shù)極化電荷與極化強(qiáng)度的關(guān)系若表示體積V內(nèi)的極化電荷體密度，則：對于電極化均勻的媒質(zhì)，將沒有體極化電荷密度，但電介質(zhì)表面上可能出現(xiàn)極化電荷密度，其面密度為：根據(jù)電偶極子產(chǎn)生電勢的公式，可知電偶極子微元產(chǎn)生的電位為：整個電介質(zhì)內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)該為：上兩式一個公式化的推導(dǎo)：根據(jù)矢量恒等式，有上式第一項使用散度定理：對比體電荷和面電荷產(chǎn)生電位的公式，可得到等效的極化電荷體密度和面密度：2.電位移矢量和電介質(zhì)中的高斯定律將真空中的高斯定律推廣到電介質(zhì)中將電極化強(qiáng)度與電極化密度的關(guān)系代入：定義電位移矢量為：高斯定律高斯定律的微分形式為：由散度定理給出積分形式：3.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系對于線性各向同性介質(zhì)其中，稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱為電介質(zhì)的相對介電常數(shù)，無量綱2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化分子電流的磁偶極矩稱為分子磁矩，表示為：其中i為分子電流，為分子電流所圍成的面積元矢量，其方向與i成右手螺旋關(guān)系磁介質(zhì)中磁感應(yīng)強(qiáng)度是真空中傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加，即磁化強(qiáng)度引入磁化強(qiáng)度M，用它來描述磁介質(zhì)磁化的程度單位體積中的分子磁矩的矢量和稱為磁化強(qiáng)度，表示為：磁化電流與磁化強(qiáng)度關(guān)系磁化電流表示為磁化電流密度的積分，即而：磁化電流面密度：2.磁場強(qiáng)度和磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理將真空中的安培環(huán)路定理推廣到磁介質(zhì)中即：引入磁場強(qiáng)度矢量：得：積分形式為：3.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系對于各向同性磁介質(zhì)，磁化強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度成正比，表示為：其中，是無量綱的常數(shù)，稱為磁化率2.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部有許許多多能自由運動的帶電粒子，它們在外電場的作用下可以做宏觀定向運動而形成電流對于線性和各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任意一點的電流密度矢量和電場強(qiáng)度成正比，表示為：此為歐姆定理的微分形式。比例系數(shù)稱為電導(dǎo)率焦耳定律的微分形式設(shè)在導(dǎo)電媒質(zhì)中，體密度為的電荷在電場力的作用下以平均速度運動，則作用于體積元內(nèi)的電荷的電場力為若在時間內(nèi)，電荷的移動距離為，則電場力作的功為：故電場對體積元dV提供的功率為：電場對單位體積提供的功率為：電場提供的功率以熱的形式作為焦耳熱消耗在導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻上。上式稱為焦耳定律的微分形式整個體積V內(nèi)導(dǎo)電媒質(zhì)消耗的功率為：對于各向同性和線性媒質(zhì)為什么實際上只要考察一下如果設(shè)想一個單位時間dt，乘到里面去，是不是單位時間內(nèi)通過的電荷量？vdt是長度，長乘面積等于體積，體積乘密度等于電量2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.5.1法拉弟電磁感應(yīng)定律法拉弟等人發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應(yīng)電動勢，并引起感應(yīng)電流感應(yīng)電動勢與穿過回路所圍面積的磁通量的時間變化率成正比。若規(guī)定回路中感應(yīng)電動勢的參考方向與穿過該回路所圍面積的磁通量符合右手螺旋關(guān)系，則感應(yīng)電動勢為：電磁感應(yīng)定律數(shù)學(xué)式此為法拉弟電磁感應(yīng)定律若，表明感應(yīng)電動勢的實際方向與規(guī)定的參考方向相反；反之，則相同。因此，感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁通總是對原磁通的變化起阻礙作用推廣對于導(dǎo)體回路，導(dǎo)體內(nèi)存在感應(yīng)電流表明導(dǎo)體內(nèi)必然存在感應(yīng)電場，即這樣，一般情況下，空間的總電場等于庫侖電場與感應(yīng)電場的疊加，即，，由于法拉弟電磁感應(yīng)定理的微分形式如果回路是靜止的，則：利用斯托克斯定理，有：2.5.2位移電流法拉弟電磁感應(yīng)定律提示了隨時間變化的磁場會激發(fā)產(chǎn)生電場，那么隨時間變化的電場是否也會激發(fā)產(chǎn)生磁場呢？由恒定磁場的安培環(huán)路定理的微分形式：上式兩邊取散度，與電流守恒定律矛盾,說明安培環(huán)路定律對于時變電磁場不成立位移電流的引出假定靜電場中的高斯定律對時變場仍然成立，將其代入電荷守恒方程：式中的是電位移矢量隨時間的變化率，與電流密度同量綱,被稱為位移電流密度位移電流密度記：安培環(huán)路定律中增加位移電流密度，即可消除電荷守恒定律不用應(yīng)用于變化電磁場的情況修正后的安培環(huán)路定律：2.6麥克斯韋方程組麥克斯韋在前人得到的實驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，考慮隨時間變化這一因素，于一八六四年總結(jié)出了麥克斯韋方程組2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式第一方程：第二方程：第三方程：第四方程：2.6.3麥克斯韋方程組的微分形式按前順序：麥克斯韋方程預(yù)言了電磁波的存在2.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系當(dāng)有媒質(zhì)存在時，前述方程組尚不夠完備，需要補(bǔ)充描述媒質(zhì)特性的方程對于線性各向同性媒質(zhì)，這些方程是：僅由場矢量表示的麥克斯韋方程2.7電磁場邊界條件在電磁問題中總要涉及由不同本征參數(shù)的媒質(zhì)所構(gòu)成的相鄰區(qū)域。為了求解這種情況下各個區(qū)域中的電磁場問題，一定要知道兩種不同媒質(zhì)分界面上電磁場量的關(guān)系將電磁場在不同媒質(zhì)分界面各自滿足的關(guān)系稱為電磁場的邊界條件電磁場邊界條件由麥克斯韋方程組導(dǎo)出2.7.1邊界條件的一般形式1.磁場強(qiáng)度H的邊界條件兩種媒質(zhì)的參數(shù)分別是：和設(shè)分界面的法向單位矢量為（設(shè)其離開分界面指向媒質(zhì)1），是沿分界面的切向單位矢量，如圖示在分界面上取矩形閉合回路，其寬邊，高，平行于分界面。磁場強(qiáng)度的邊界條件將積分形式的麥克斯韋第一方程應(yīng)用于矩形回路：當(dāng)時，上式中極限項的第二項在極限下為零，因為被積函數(shù)為有限值，而面積趨于零。式中，是