復(fù)變函數(shù)與積分變換課件

傅里葉變換

(TheFouriertransformation

)

第一講§8.1傅里葉變換的概念8.1.1傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

8.1.2傅里葉積分積分變換，就是通過積分運算,把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的一種變換,這類積分一般是含參變量積分，具體形式可寫為

是要變換的函數(shù)，原像函數(shù)；是變換后的函數(shù)，像函數(shù)；是一個二元函數(shù)，稱為積分變換核，它的不同可以得到不同的積分變換.

8.1.1傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

1829年,狄利克雷證明了如下定理，為傅里葉級數(shù)建立了理論基礎(chǔ).1804年，傅里葉研究熱傳導(dǎo)時提出有限區(qū)間上任意函數(shù)可以表示為正弦和余弦的和;§8.1傅里葉變換的概念(TheconceptionoftheFouriertransformation)51、連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2、只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).

在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)時知道，研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上6因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)

,可表示為三角級數(shù)的形式如下:7而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:其中8如圖所示:1-1otf(t)191-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則10

定理8.1

設(shè)是以為周期的實函數(shù)，且在上滿足狄氏條件，即在一個周期上滿足:（1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；（2）只有有限個極值點.

則在連續(xù)點處，有

根據(jù)工程上的習(xí)慣,引進(jìn)復(fù)數(shù)形式：其中

在間斷點處

令則可以得到其中稱為傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

傅里葉級數(shù)的物理意義則，

如果代表信號,

那么一個周期為可以分解成簡諧波的和.

的信號反映了頻率為的諧波在份額，稱為振幅

中所占的反映了頻率為的諧波沿時間軸移動的大小，稱為相位

稱為的離散頻譜稱為離散振幅譜

稱為離散相位譜

例8.1求以為周期的函數(shù)

的離散頻譜和它的傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式.解令，當(dāng)時，

當(dāng)時，

所以的傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式為

離散振幅譜

離散相位譜

任何一個非周期函數(shù),都可看成是由某個8.1.2傅里葉積分當(dāng)時轉(zhuǎn)化而來的，即周期函數(shù)由是周期函數(shù)，可知，0<t<Tt為其它值可以得到

令則

令由定積分定義的積分定理8.2若在絕對可積是指收斂，則上述定理稱為傅氏積分定理.

在(-∞,+∞)上滿足條件:(1)

在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件；(2)在無限區(qū)間(-∞,+∞)上絕對可積,t為連續(xù)點t為間斷點t例8.2求函數(shù)

的

積分表達(dá)式,

其中

解

f(t)o這就是函數(shù)的積分表達(dá)式．因此此表達(dá)式可以用來計算一些廣義積分

例8.3求矩形脈沖函數(shù)的Fourier積分表達(dá)式.

解根據(jù)定義,有

時課后作業(yè)習(xí)題八1-3

§8.2傅里葉積分變換和單位沖激函數(shù)一、傅里葉積分變換二、單位沖激函數(shù)的概念和性質(zhì)三、單位沖激函數(shù)的傅里葉變換第二講(TheFouriertransformationandtheunitpulsefunctions)一、

傅里葉積分變換已知稱為的傅里葉積分變換記為稱為傅里葉積分逆變換記為

Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.在一定條件下,成立若則若則稱為原像函數(shù)稱為像函數(shù)

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)f(t)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)f(t)的頻譜.解：求，其中例8.4已知的頻譜為我們知道，傅里葉積分變換就是建立以時間為自變量的信號與以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的某種變換關(guān)系。所以，當(dāng)自變量時間或頻率取連續(xù)值或離散值的時候，就形成了不同的傅里葉變換形式，列表如下：時域信號特性頻譜特性變換名稱非周期連續(xù)信號連續(xù)頻譜傅里葉變換周期連續(xù)信號離散頻譜傅里葉級數(shù)非周期離散信號連續(xù)頻譜序列傅里葉變換周期離散信號周期離散性頻譜離散傅里葉級數(shù)離散信號周期離散性頻譜離散傅里葉變換二、單位沖激函數(shù)的概念和性質(zhì)傅里葉級數(shù)與傅里葉變換以不同的形式反映了周期函數(shù)與非周期函數(shù)的頻譜特性，是否可以借助某種手段將它們統(tǒng)一起來呢？更具體地說，是否能夠?qū)㈦x散頻譜以連續(xù)頻譜的方式表現(xiàn)出來呢？這就需要介紹和引入單位脈沖函數(shù)和廣義傅里葉積分變換，其中單位脈沖函數(shù)有很多實際背景，比如瞬時沖擊力、脈沖電流、質(zhì)點的質(zhì)量等，這些物理量都不能用通常的函數(shù)形式表示和描述。研究質(zhì)點的質(zhì)量，可以假設(shè)長度為的均勻桿放在軸的上，其質(zhì)量為，則有質(zhì)點的密度函數(shù)為必須附加一個條件引入新的單位脈沖函數(shù)或狄拉克函數(shù)。再比如:在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則當(dāng)t

0時,i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的.如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成-函數(shù):有了這種函數(shù),對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.2.對于無窮次可微函數(shù)，如果滿足其中則稱的弱極限為狄拉克函數(shù)。,函數(shù)稱為單位脈函數(shù)：時當(dāng)和定義單位脈沖函數(shù)：滿足如下連個條件的de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。3.用函數(shù)序列定義tO

(t)1

-函數(shù)有性質(zhì)：可將-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示-函數(shù)的積分值,稱為-函數(shù)的強(qiáng)度.是定義在實數(shù)域上的有界函數(shù)，且在處連續(xù)，則

一般地，有篩選性質(zhì)設(shè)證明：同理2.偶函數(shù)

故3.相似性質(zhì)設(shè)為實常數(shù)，則

這說明，如果將的尺度擴(kuò)大倍，則倍。沖擊脈沖的沖擊強(qiáng)度相應(yīng)的縮小為實常數(shù)，則證明：而由篩選性質(zhì)可以知道，故成立。4、其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有.Otu(t)5、狄拉克函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

所以時，當(dāng)時，故證明：，其中為單位階躍函數(shù)。三、單位沖激函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)篩選性質(zhì)，，其中可以知道單位脈沖函數(shù)的傅里葉積分變換為1，，同理有故1和狄拉克函數(shù)是一對傅里葉變換。即所以-函數(shù)的傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對.證2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例8.7(1)證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對.證1：由上面兩個函數(shù)的變換可得例8.7(3)分別求函數(shù)和的傅里葉積分變換。解：例8.8試證明單位階躍函數(shù)的傅里葉變換為證明：

例8.9求的傅里葉積分變換。

。解：這一點與傅里葉級數(shù)展開時一致的，所不同的是，用沖激強(qiáng)度來表示各頻率分量的幅值的相對大小。周期函數(shù)也可進(jìn)行傅氏變換，其頻譜是離散的，對于周期函數(shù)有如下的定理定理8.3設(shè)是以為周期的實值函數(shù)，且在上滿足狄氏條件，則和是一組傅氏變換，其中是的離散頻譜。證明：按傅里葉級數(shù)展開有因此

8.2.3傅里葉積分變換的基本性質(zhì)

1、線性性質(zhì)，為實數(shù)，則；課后作業(yè)習(xí)題八4-7§8.3傅氏變換的性質(zhì)

一、傅里葉積分變換的基本性質(zhì)二、卷積定理三、綜合舉例第三講ThepropertyoftheFouriertransformation

一、傅里葉積分變換的基本性質(zhì)

1、線性性質(zhì)，為實數(shù)，則；2、位移性質(zhì)，為實數(shù)，則證明：做變量代換3、相似性質(zhì)，為非零實數(shù)，則證明：令，則當(dāng)時，當(dāng)時，總之可以得到4、微分性質(zhì)若，則；證明：，可以得到因而根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可以得到同理可以證明。5、積分性質(zhì)設(shè)，若，則證明：由于根據(jù)微分性質(zhì)，可以得到因此可以得到因此可以得到6、帕塞瓦爾等式設(shè)，則證明：由，所以7、對稱性證明：因為，所以所以解：為實常數(shù)，求例8.10已知解：因為的傅里葉積分變換為令，則，被積函數(shù)是偶函數(shù)，例8.12求積分的值。所以的頻譜為例8.11已知抽樣信號求信號的頻譜二、卷積定理

1、卷積定義：設(shè)它們定義了一個函數(shù)，稱為與卷積，卷積的基本性質(zhì)如下：都收斂，與在實數(shù)集上定義，若反常積分對任何實數(shù)例8.13求下列函數(shù)的卷積解：由定義當(dāng)時，當(dāng)時，其中，

所以2.卷積定理設(shè)，則有

例8.14求下列函數(shù)的卷積解：由定義當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，總之

例8.14求下列函數(shù)的卷積例8.15求下列函數(shù)的卷積其中，解：設(shè)，則根據(jù)卷積定理，可以得到其中，例8.15求下列函數(shù)的卷積其中，例8.16設(shè)，求解：由于

8.2.5綜合舉例例8.17設(shè)上滿足狄利克雷條件，證明證明：由題意有所以

。其中為的離散頻譜。的實值函數(shù)，且在是以周期為的實值函數(shù)，且在是以周期為的實值函數(shù)，且在是以周期為的實值函數(shù)，且在是以周期為例8.18設(shè)是定義在上的實值函數(shù)，且存在傅里葉積分變換證明證明：，77f(t)單個矩形脈沖的頻譜函數(shù)為:tE-t/2t/2例8.19作如圖所示的單個矩形脈沖的頻譜圖78wEt|F(w)|O矩形脈沖的頻譜圖為

解析函數(shù)

(Analyticfunction)§2.1解析函數(shù)的概念§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系§2.3初等函數(shù)

第一講§2.1解析函數(shù)的概念§2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系§2.1解析函數(shù)的概念

(Theconceptionofanalyticfunction)一、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分二、解析函數(shù)的概念與求導(dǎo)法則三、函數(shù)解析的一個充分必要條件一、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分定義2.1說明：例1二、解析函數(shù)的概念與求導(dǎo)法則定義2.21、解析函數(shù)的概念注1、“解析”有時也稱“全純”、“正則”.注2、若函數(shù)在一點解析，則一定在這個點可導(dǎo)，反之，在一個點的可導(dǎo)不能得到在這個點解析.但函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)是等價的。注3、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個閉區(qū)域的一個更大的區(qū)域內(nèi)解析.（1）四則運算法則2、求導(dǎo)法則（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

（3）反函數(shù)求導(dǎo)法則

三、函數(shù)解析的一個充分必要條件定理2.1證明（必要性）（充分性）.說明:（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式：（2）C-R條件是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件而非充分條件.例296Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France97RiemannBorn:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,Italy.定理2.2推論例3討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性（學(xué)生課堂討論）例4證明：

例5（學(xué)生課堂討論）本節(jié)重點掌握:

（1）復(fù)變函數(shù)解析與可導(dǎo)的關(guān)系。

（2）解析函數(shù)的實部和虛部不是完全獨立的，它們是C-R方程的一組解.

（3）函數(shù)在哪一點不滿足C-R方程，函數(shù)在那一點不可微。函數(shù)在哪個區(qū)域不滿足C-R方程，函數(shù)在那個區(qū)域不解析。

§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

(Therelationofanalyticfunctionandharmonicfunction)二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)的概念定義2.3一、調(diào)和函數(shù)的概念定理2.3證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則即u及v

在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系現(xiàn)在研究反過來的問題：例如然后兩端積分得:例1、驗證

是

平面上的調(diào)和函數(shù),并求以

為實部的解析函數(shù)

使合

解：故

在

平面上為調(diào)和函數(shù).得要合，必

故

例2解1:解2:解3:

課后作業(yè)一、思考題：1、2、二、習(xí)題二：1-12

§2.3初等函數(shù)

(Elementaryfunction)一、指數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù)三、冪函數(shù)四、三角函數(shù)五、反三角函數(shù)六、反雙曲函數(shù)第二講一、指數(shù)函數(shù)我們也重新得到歐拉公式

對于任意實數(shù)，定義2.5指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)二、對數(shù)函數(shù)定義2.6指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即故記作特別

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：因為131例1解三、冪函數(shù)定義2.7

設(shè)

是任何復(fù)數(shù)，則稱當(dāng)

為正實數(shù)，且z=0時，還規(guī)定為的

次冪函數(shù)為冪函數(shù)的基本性質(zhì)....在區(qū)域G內(nèi)，由于Lnz的各個是解析的，因而相應(yīng)分支地在G內(nèi)解析，并且其中應(yīng)當(dāng)理解為對它求導(dǎo)數(shù)的那個分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。在區(qū)域G內(nèi)，由于Lnz的各個是解析的，因而相應(yīng)分支地在G內(nèi)解析，并且四、三角函數(shù)

由于Euler公式，對任何實數(shù)x，我們有：因此，對任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下：余弦函數(shù)和正弦函數(shù)性質(zhì)對任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：有下面的基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):.

3、cosz和sinz是以為周期的周期函數(shù);

.注解：未必成立。例如z=2i時，有.6、cosz和sinz在整個復(fù)平面解析，并且有：證明：.8、同理可以定義其他三角函數(shù)：7、cosz和sinz在復(fù)平面的零點：cosz在復(fù)平面的零點是，sinz在復(fù)平面的零點是.反正切函數(shù)：由函數(shù)所定義的函數(shù)w稱為z的反正切函數(shù)，記作由于

五、反三角函數(shù).所以同樣方法可定義其它反三角函數(shù)，并且有如下關(guān)系

六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)復(fù)變數(shù)的雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)的定義如下：雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)具有下述性質(zhì)：（1）反雙曲正弦函數(shù)（2）反雙曲余弦函數(shù)（3）反雙曲正切函數(shù)（4）反雙曲余切函數(shù)拉普拉斯變換（TheLaplacetransformation）

§9.1拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)

(TheconceptionandpropertyoftheLaplacetransformation)9.1.1拉普拉斯變換的定義9.1.2拉普拉斯變換存在條件9.1.3拉普拉斯變換的性質(zhì)第一講Fourier變換的兩個限制：因此傅里葉積分變換在處理這樣的問題時，有一定的局限性。下面介紹一種新的積分變換拉普拉斯積分變換。9.1.1拉普拉斯變換的定義tf(t)Otf(t)u(t)e-btO1.定義：例9.1求單位階躍函數(shù)根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有例9.2求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換.這個積分在Re(s)>k時收斂,而且有其實k為復(fù)數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)根據(jù)拉氏變換的定義,有9.1.2拉氏變換的存在定理

若函數(shù)f(t)滿足:

(1)在t

0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);

(2)當(dāng)t

時,f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c

0,使得

|f(t)|

Mect,0

t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).MMectf(t)tO說明：由條件2可知,對于任何t值(0

t<

),

有

|f(t)est|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-c

e>0(即b

c+e=c1>c),則

|f(t)e-st|

Me-et.注1:大部分常用函數(shù)的Laplace變換都存在注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.9.1.3拉普拉斯變換的性質(zhì)本講介紹拉氏變換的幾個性質(zhì),它們在拉氏變換的實際應(yīng)用中都是很有用的.為方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中的條件,并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為c.在證明性質(zhì)時不再重述這些條件.例9.3求f(t)=sinkt(k為實數(shù))的拉氏變換同理可得，例9.4已知求2、相似性質(zhì)設(shè)，則對任意常數(shù)，有證明：令，則

3.微分性質(zhì):此性質(zhì)可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.特別當(dāng)時，有例9.5

求的拉氏變換（m為正整數(shù)）。象函數(shù)的微分性質(zhì):證明：可以用來求的拉普拉斯積分變換。例9.6求解微分方程解：對方程的兩邊做拉普拉斯積分變換，得到得到

例9.7求函數(shù)的拉普拉斯積分變換。解：例9.8求函數(shù)的拉普拉斯積分變換。3.積分性質(zhì):證明：設(shè)則，且利用微分性質(zhì)可以得到所以用數(shù)學(xué)歸納法可以得到象函數(shù)積分性質(zhì):,則例9.9求函數(shù)的拉普拉斯積分變換。令，有，則解：由于由此可以知道利用拉普拉斯積分變換，可以計算一些反常積分。例9.10計算下列積分（1）（2）解：（1），（2）令，則函數(shù)f(t-t)與f(t)相比,f(t)從t=0開始有非零數(shù)值.而f(t-t)是從t=t開始才有非零數(shù)值.即延遲了一個時間t.從它的圖象講,f(t-t)是由f(t)沿t軸向右平移t而得,其拉氏變換也多一個因子e-st.Ottf(t)f(t-t)，求例9.11設(shè)解：例9.12求解：因為所以。§9.2拉普拉斯逆變換和綜合應(yīng)用（一）9.2.1周期函數(shù)的像函數(shù)9.2.2卷積和卷積定理9.2.3反演積分公式9.2.4利用留數(shù)計算拉普拉斯逆變換第二講（TheLaplaceinversetransformationandcomprehensiveapplicationI）9.2.1周期函數(shù)的像函數(shù)是內(nèi)以為周期的函數(shù)，且在一個周期內(nèi)逐段光滑，則證明：由定義有為周期的函數(shù)，則故。對第二個積分令由于是內(nèi)以9.2.2卷積和卷積定理卷積的定義:卷積定理：設(shè)，則有證明：由定義然后交換二重積分的次序，令結(jié)合率、交換律和分配率仍然成立。解：例9.15已知，求解：由于所以例9.14求函數(shù)與的卷積。例9.13求全波整流后的正弦波的像函數(shù)。解：的周期是，故9.2.3反演積分公式前面主要討論了由已知函數(shù)f(t)求它的象數(shù)F(s),但在實際應(yīng)用中常會碰到與此相反的問題,即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t).本節(jié)就來解決這個問題.由拉氏變換的概念可知,函數(shù)f(t)的拉氏變換,實際上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏變換.因此,按傅氏積分公式,在f(t)的連續(xù)點就有等式兩邊同乘以ebt,則積分路線中的實部b有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂.計算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難,但是可以用留數(shù)方法計算.右端的積分稱為拉氏反演積分.9.2.4利用留數(shù)計算拉普拉斯逆變換RO實軸虛軸LCRb+jRb-jR為奇點b解析證明：令曲線在半平面內(nèi)，是半徑為的半圓狐，當(dāng)充分大，可以使都在內(nèi)。由于除孤立奇點外是解析的，故由留數(shù)定理有即根據(jù)約當(dāng)定理，可以知道因此有。例9.16已知，求解：由于是像函數(shù)的簡單極點和二階極點，所以另外還可以用部分分式和卷積的方法解答。課后作業(yè)習(xí)題九8-119.3拉普拉斯逆變換和綜合應(yīng)用(二)9.3.1利用拉普拉斯變換求微分方程9.3.2綜合舉例第三講（TheLaplaceinversetransformationandcomprehensiveapplicationII）9.3.1利用拉普拉斯積分變換求微分方程許多工程實際問題可以用微分方程來描述，下面舉例說明它在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：用拉氏變換求解微分方程、積分方程.而拉普拉斯變換對于求解微分方程非常有效,首先通過拉普拉斯變換將微分方程化為像函數(shù)代數(shù)方程，由代數(shù)方程求出像函數(shù)，然后再用拉普拉斯逆變換，就得到微分方程的解。利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問題,其基本步驟如下:

（1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程;

（2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù);

（3）對象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.例9.17求解微分方程解：令方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，得解此方程得求拉普拉斯逆變換，可以得到例9.18求解微分方程組解：令對方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，求解方程組可以得到因此并利用初始條件，得到例9.19質(zhì)量為的物體靜止在原點，在時受到解：運動的微分方程初值問題為令在方程兩邊取拉普拉斯積分變換，可以得到即故物體的運動方程為軸方向的沖擊力，求物體的運動方程。9.3.2綜合舉例解：將函數(shù)寫為則例9.20求函數(shù)的像函數(shù)。例9.21已知，求解：由于是像函數(shù)的簡單極點和三階極點，所以例9.22求解微分方程組解：令對方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，并利用初始條件，可以得到解得所以，取拉普拉斯變換的逆變換，可以得到例9.23求解積分方程解：由于所以原方程可以化為令，因而對原方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，可以得到故取拉普拉斯逆變換，可以得到例9.24在RLC電路中。串接直流電源E(如圖).求回路電流解：根據(jù)基爾霍夫定律，有其中即電路問題的拉普拉斯變換解法而將它們代入上式可得兩邊取拉普拉斯變換，設(shè)，則有解出，得求的拉普拉斯逆變換，得??特別地，若則查表得

共形映射§6.1共形映射的概念§6.2分式線性映射§6.3幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射第一講§6.1共形映射的概念一.曲線的切線二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義三.共形映射的概念

§6.1共形映射的概念(Theconceptionofconformalmapping)一.曲線的切線設(shè)連續(xù)曲線(z)(z)

切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動的有向曲線稱為有向光滑曲線.(z)二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義則即(1)即(z)(w)~~~~~~~x(z)(w)——保角性由上述討論我們有(z)(w)三.共形映射的概念定義6.1定理6.1

若上述共形映射定義中，僅保持角度絕對值不變，而旋轉(zhuǎn)方向相反，此時稱第二類共形映射。課后作業(yè)習(xí)題六1-4一.分式線性映射的定義二.分式線性映射的性質(zhì)

§6.2分式線性映射（Thefractionlinearitymapping）第二講一.分式線性映射的定義定義

分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的復(fù)合：

事實上:定義roxyP

規(guī)定無窮遠(yuǎn)點的對稱點為圓心ooTP1ox,uy,vzw二.分式線性映射的性質(zhì)（詳見P195）~~~~~~~~~定理1~~~~~~~定理2定理3在分式線性映射下，圓周或直線上沒有點趨于無窮點，則它映射成半徑為有限的圓周；若有一點映射成無窮遠(yuǎn)點，它映射成直線。一.冪函數(shù)二.指數(shù)函數(shù)§6.3幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射

(Conformalmappingcomposedofseveralelementaryfunctions)一.冪函數(shù)冪函數(shù)：xy(z)uv(w)xy(z)上岸下岸uv(w)冪函數(shù)所構(gòu)成的映射特點：把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域，但張角變成了原來的n倍，因此，xy(z)uv(w)i例1解:-ixy(z)i11uv(w)例2二.指數(shù)函數(shù)帶形區(qū)域角形區(qū)域xy(z)iauv(w)x

y(z)

上岸下岸u

v

(w)xy(z)u

v(w)i例3解xy(z)ab1例4解uv(w)xy(z)uv(w)EABDC例5解答：xy(z)uv(w)xy(z)-11例6uv(w)解例7課后作業(yè)習(xí)題六:5-9解析函數(shù)在平面場中的應(yīng)用Analysisfunctionapplyingintheplanefield第一講§7.1復(fù)勢的概念§7.2復(fù)勢的應(yīng)用§7.3用共形映射方法研究平面場§7.1復(fù)勢的概念

(TheConceptionofthecomplexpotential)

物理中有許多不同的穩(wěn)定平面場，都可以用解析函數(shù)來描述，這種平面場的物理現(xiàn)象，可以用相應(yīng)的解析函數(shù)的性質(zhì)來描述。如果平面平行向量場不隨時間變化，我們稱為平面定常向量場。我們設(shè)，對平面上的任意點，可以用一個解析函數(shù)來表示

例如：一個平面定常流速場可以用復(fù)變函數(shù)表示為定義7.1曲線積分如果，則存在函數(shù)，使那么稱為向量場的流函數(shù)。其中稱為向量場通過曲線的流量。定義7.2曲線積分如果，則存在函數(shù)使那么稱為向量場的勢函數(shù)。稱為向量場沿曲線的環(huán)量?！?.2復(fù)勢的應(yīng)用(Theapplicationofthecomplexpotential)例7.1試研究一平面流速場的復(fù)勢為解：在整個復(fù)平面上解析，，說明場中任意點的流速方向為勢函數(shù)為，所以等勢線為的速度、流函數(shù)和勢函數(shù)。流函數(shù)為，所以流線為軸正向；可以得到例7.2試研究以解：在任意處，流函數(shù)是所以流線為勢函數(shù)為等勢線為。為復(fù)勢的平面定常流速場。在熱力學(xué)的熱傳導(dǎo)理論中，已經(jīng)證明，介質(zhì)的熱量與溫度梯度稱正比，我們也可以構(gòu)造熱流場的復(fù)勢：稱為溫度函數(shù)（或勢函數(shù)），稱為等溫線；稱為熱流函數(shù)，是熱量流動所沿的曲線。熱流場可以用復(fù)變函數(shù)。在空間靜電場中，我們也可以構(gòu)造復(fù)勢，其中稱為力函數(shù)，稱為靜電場的復(fù)勢，是一個解析函數(shù)?！?.3用共形映射方法研究平面場在速度場、熱流場和靜電場等平面場中，常用共形映

射的方法求得復(fù)勢函數(shù)，方法是將已給的平面區(qū)域映照為典型區(qū)域。而這些典型區(qū)域各自對應(yīng)著所考慮問題的類型。如速度場映射為上半平面或帶形

區(qū)域，靜電場映射為圓形區(qū)域或帶形區(qū)域等。(TostudytheplanefieldinConformalmapping)例7.3求解：等勢線是，電力線方程為為。它們都是雙曲線組。表示的電場?！?.3用共形映射方法研究平面場在速度場、熱流場和靜電場等平面場中，常用共形映

射的方法求得復(fù)勢函數(shù)，方法是將已給的平面區(qū)域映照為典型區(qū)域。而這些典型區(qū)域各自對應(yīng)著所考慮問題的類型。如速度場映射為上半平面或帶形

區(qū)域，靜電場映射為圓形區(qū)域或帶形區(qū)域等。例7.4設(shè)曲線由射線，中心在點半徑為上的半圓周以及射線所組成，不可壓縮流體（無源也無匯）在域內(nèi)作無旋流動，又設(shè)無窮遠(yuǎn)點的速度為給定的，解：求流速場的復(fù)勢，就要把區(qū)域的邊界映射為實軸，把區(qū)域映射為上半平面，可通過下述映射方法來完成。由于，，可以知道，所以

令，可以知道故流線方程為。，求所產(chǎn)生的流速場。例7.5設(shè)在射線上的電勢為解：求靜電場的復(fù)勢，就是找函數(shù)，使已知區(qū)域共形映射為平面上的帶形區(qū)域，而使射線、實軸分別與對應(yīng)，所以為所求的復(fù)勢，它是區(qū)域內(nèi)的單值函數(shù)，用它可以求出靜電場中的各量。而在實軸上為零，求所產(chǎn)生的靜電勢。

復(fù)變函數(shù)的積分

(Lntegrationoffunctionofthecomplexvariable)§3.1復(fù)積分的概念§3.2柯西積分定理§3.3柯西積分公式§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

§3.1復(fù)積分的概念第一講§3.2柯西積分定理§3.1復(fù)積分的概念(Theconceptionofcomplexintegration)一、復(fù)變函數(shù)積分的定義二、復(fù)變函數(shù)積分的計算三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)一、復(fù)變函數(shù)積分的定義定義3.1DBxyo.二、復(fù)變函數(shù)積分的計算定理3.1證明:復(fù)變函數(shù)積分由曲線積分的計算法得oxyoxyrC

解：此直線方程可寫作例3、計算其中為從原點到點的直線段.或由積分公式得：三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)設(shè)f(z)及g(z)在簡單曲線C上連續(xù)，則有（1）（2）（3）其中曲線C是由光滑的曲線連接而成；（4）.如果C是一條簡單閉曲線，那么可取C上任意一點作為取積分的起點，而且積分當(dāng)沿C取積分的方向改變時，所得積分相應(yīng)變號。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲線C的長度，其中M及L都是有限的正數(shù)，那么有，證明：因為兩邊取極限即可得結(jié)論。276例4解根據(jù)估值不等式知解277學(xué)生課堂練習(xí)§3.2柯西積分定理

（Cauchyintegraltheorem)柯西積分定理定理3.2設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，

C是D內(nèi)任一條簡單閉曲線，那么其中，沿曲線C的積分是按反時針方向取的。證明定理3.3設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對任意兩點z0,z∈D,積分不依賴于連接起點z0與終點z的曲線，即積分與路徑無關(guān)。284例6解根據(jù)柯西定理,有由柯西定理,285由柯西定理,由上節(jié)例2可知,286根據(jù)柯西定理得287288根據(jù)本章第一節(jié)例2可知,將基本定理推廣到多連連通域中.289

定理3.4（閉路變形原理）290︵︵︵︵︵︵︵︵291得︵︵︵︵此式說明：解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.。292推論(復(fù)合閉路定理).解顯然函數(shù)

在復(fù)平面有兩個奇點0和1,例9計算積分其中C為包含0與1在內(nèi)的簡單閉曲線.其中均取逆時針方向

在C內(nèi)部作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1和C2,使得C1只包含奇點0,C2

只包含奇點1.據(jù)復(fù)合閉路定理有295例10解:圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,296解：例11求，其中為含的任意簡單閉曲線，為整數(shù)由復(fù)合閉路定理原函數(shù)與不定積分的概念定理3.5

設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則F(z)在D內(nèi)解析，且設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D中任意曲線C,只與起點和終點有關(guān)。

當(dāng)起點固定在z0,終點z在D內(nèi)變動,在B內(nèi)就定義了一個的單值函數(shù)，記作定義3.2若函數(shù)F(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)

，即

,稱F(z)為f(z)在D內(nèi)的原函數(shù).設(shè)H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。

設(shè)F(z)是f(z)的一個原函數(shù)，稱F(z)+C(C為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理3.6設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個原函數(shù)，則例12計算積分解:

第二講

§3.3柯西積分公式§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)§3.3柯西積分公式

（Cauchyintegralformula）其中曲線C是按逆時針方向取的，我們稱它為柯西公式。.定理3.7設(shè)f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域D內(nèi)解析，是D內(nèi)任一點，則有柯西積分公式.在滿足的點處解析。在上，挖去以Cr為邊界的圓盤，余下的點集是一個閉區(qū)域。證明：函數(shù)以為心，作一個包含在D內(nèi)的圓盤，設(shè)其半徑為r，邊界為圓Cr。.其中，沿曲線C的積分是按關(guān)于D的正向取的，沿Cr的積分是按反時針方向取的。如下圖在上，應(yīng)用定理3.4有?.由于由f(z)在點z0的連續(xù)性，所以使得當(dāng).因此即當(dāng)r趨近于0時，(*)右邊的有第二個積分趨近于0；而因此，結(jié)論成立。說明:1、有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。2、柯西公式是解析函數(shù)的最基本的性質(zhì)之一，可以幫助我們研究解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)。推論1（平均值公式）設(shè)

說明：一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.證明推論2設(shè)在由簡單閉曲線圍成的二連通區(qū)域并在曲線的內(nèi)部，例1、求下列積分的值由平均值公式還可以推出解析函數(shù)的一個重要性質(zhì)，即解析函數(shù)的最大模原理。解析函數(shù)的最大模原理，是解析函數(shù)的一個非常重要的原理，它說明了一個解析函數(shù)的模，在區(qū)域內(nèi)部的任何一點都達(dá)不到最大值，除非這個函數(shù)恒等于常數(shù)。定理3.8(最大模原理)設(shè)則在區(qū)域推論1在區(qū)域若其模在區(qū)域內(nèi)達(dá)到最大值，則此函數(shù)必恒等于常數(shù).推論2設(shè)在有界區(qū)域連續(xù)，則必在區(qū)域的邊界上達(dá)到最大值。證明：若顯然成立，若有連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及本定理即可得證。

§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

(Thehigherorderderivativeofanalyticfunction)一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點和實變函數(shù)完全不同.一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了..定理3.9設(shè)f(z)在以簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域D內(nèi)解析。在上連續(xù)，則f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且.證明：先證明結(jié)論關(guān)于n=1時成立。設(shè)是D內(nèi)另一點。只需證明，當(dāng)h趨近于0時，下式也趨近于0

?，F(xiàn)在估計上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以2d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個圓盤內(nèi)取z+h，使得0<|h|<d，那么當(dāng)時設(shè)|f(z)|在C上的一個上界是M，并且設(shè)C的長度是L，于是我們有因此當(dāng)h趨近于0時，要證的積分趨于0。.現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明。設(shè)n=k時，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有.由此證明，當(dāng)h趨近于0時，上式的右邊趨于0，于是定理的結(jié)論當(dāng)n=k+1時成立。證畢例13求下列積分的值,C為正向圓周:|z|=r>1.解:1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cosлz在C內(nèi)卻是處處解析的.柯西不等式與劉維爾定理定理3.10設(shè)函數(shù)f(z)在以內(nèi)解析，又,則此式稱為柯西不等式.證明由導(dǎo)數(shù)公式，有其中，n=1,2,…

。說明:（1）此不等式稱為柯西不等式。（2）在C上解析的函數(shù)，我們稱它為一個整函數(shù)，例如都是整函數(shù)，關(guān)于整函數(shù)我們有下面重要的劉維爾定理劉維爾定理定理3.11有界整函數(shù)一定恒等常數(shù)證明

f(z)是有界整函數(shù)，即存在使得f(z)在上解析。由柯西公式，有令，可見從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。

應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，莫勒拉定理：如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對于D內(nèi)的任一條簡單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。解析函數(shù)的級數(shù)表示(Therepresentationofpowerseriesofanalyticfunction)

§4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)§4.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)§4.3泰勒（Taylor）級數(shù)§4.4洛朗(Laurent)級數(shù)第一講§4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)§4.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)§4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)一、復(fù)數(shù)序列的極限二、復(fù)數(shù)項級數(shù)(Seriesofcomplexnumber）記作就能找到一個正數(shù)N,從而有所以同理定理4.1那末對于任意給定證明反之,如果從而有[證畢]稱為復(fù)數(shù)項級數(shù).稱為級數(shù)的部分和.若{sn}(n=1,2,…,)以有限復(fù)數(shù)s為極限,二、復(fù)數(shù)項級數(shù)即則稱復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)(4.1)收斂于s,且稱s為(4.1)的和,寫成否則稱級數(shù)(4.1)為發(fā)散.

定理4.2復(fù)級數(shù)(4.1)收斂于s=a+ib(a,b為實數(shù))的充要條件為:

證明（留給學(xué)生課堂討論）解（1）（2）例3

解

定理4.3級數(shù)收斂的必要條件是證明因為級數(shù)收斂的充分必要條件是都收斂，再由實級數(shù)收斂的必要條件是定理4.4若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂。若級數(shù)收斂,則稱絕對收斂.若級數(shù)收斂,發(fā)散，則稱為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。例4故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.所以由正項級數(shù)的比值判別法知:因為解故原級數(shù)收斂.所以原級數(shù)條件收斂。例5解§4.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)

(Seriesoffunctionofcomplexvariable)設(shè)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)

f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各項均在區(qū)域D內(nèi)有定義,且在D內(nèi)存在一個函數(shù)f(z),對于D內(nèi)的每一點z,級數(shù)（4.2）均收斂于f(z),則稱f(z)為級數(shù)(4.2)的和函數(shù),記為:一、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的復(fù)函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中a,c0,c1,c2,…,

都是復(fù)常數(shù).二、冪級數(shù)形如：以上冪級數(shù)還可以寫成如下形式定理4.5(阿貝爾)如果冪級數(shù)(4.3)在某點z1(≠a)收斂,則它必在圓K:|z-a|<|z1-a|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內(nèi)絕對收斂.

a?收斂,它的各項必然有界,即有正數(shù)M,使(n=0,1,2,…),因為|z-a|<|z1-a|,故級數(shù)收斂證明設(shè)z是所述圓內(nèi)任意點.因為在圓K內(nèi)絕對收斂.

推論

若冪級數(shù)(4.3)在某點z2(≠a)發(fā)散,則滿足|z-a|>|z2-a|的點z都是冪級數(shù)(4.3)發(fā)散.

az1z2當(dāng)

z≠a有以下三種情況:(1)對所有的復(fù)數(shù)z冪級數(shù)（4.3）均收斂.冪級數(shù),首先它在z=a點處總是收斂的，例如,級數(shù)對任意固定的z,從某個n開始,總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.(2)對于任意z≠a冪級數(shù)（4.3）都發(fā)散.例如,級數(shù)通項不趨于零,故級數(shù)發(fā)散.

(3)存在一點z1≠a,使級數(shù)收斂(此時,根據(jù)定理4.5的第一部分知,它必在圓周|z-a|=|z1-a|內(nèi)部絕對收斂),另外又存在一點z2,使冪級數(shù)（4.3）發(fā)散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根據(jù)推論知,它必在圓周|z-a|=|z2-a|外部發(fā)散.)在這種情況下,可以證明,存在一個有限正數(shù)R,使得級數(shù)(4.3)在圓周|z-a|=R內(nèi)部絕對收斂,在圓周|z-a|=R外部發(fā)散.R稱為此冪級數(shù)的收斂半徑;圓|z-a|<R和圓周|z-a|=R分別稱為它的收斂圓和收斂圓周.在第一情形約定R=+∞;在第二情形,約定,并也稱它們?yōu)槭諗堪霃?R=0..收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以a點為中心的圓域.收斂圓周

一個冪級數(shù)在其圓周上的斂散性有三種可能:(1)處處發(fā)散.(2)處處收斂.(2)既有收斂點,又有發(fā)散點.

冪級數(shù)的收斂半徑的求法則冪級數(shù)的收斂半徑為:R=1/l(l≠0,l≠+∞);0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4)

冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性:例1求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時的情形)解(1)因為所以收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,

在圓周上,級數(shù)所以例2求的收斂半徑.解例3求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).利用逐項積分,得:解所以例4計算解

(1)冪級數(shù)的和函數(shù)f(z)在其收斂圓K:|z-a|<R(0<R≤+∞)內(nèi)解析.說明：同實變函數(shù)冪級數(shù)一樣，我們有可以逐項求導(dǎo)至任意階?？梢灾痦椙蠓e分。

(2)在收斂圓K內(nèi),冪級數(shù)

(3)在收斂圓K內(nèi),冪級數(shù)

課后作業(yè)

一、思考題：1、2

二、習(xí)題四：1-5

第二講§4.3泰勒（Taylor）級數(shù)§4.4洛朗(Laurent)級數(shù)一、解析函數(shù)泰勒定理二、一些初等函數(shù)的泰勒展式

§4.3泰勒（Taylor）級數(shù)

(Taylor’sseries)

一、解析函數(shù)泰勒定理冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù).反過來，解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?定理4.6此式稱為在

的泰勒展開式,它右端的級數(shù)稱為在

處的泰勒級數(shù).二、一些初等函數(shù)的泰勒展式例2、把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù)(3)解：因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,

它的展開式的收斂范圍為

z

<1.因為§4.4洛朗(Laurent)級數(shù)

(Laurent’sseries)一、雙邊冪級數(shù)二、解析函數(shù)的洛朗展式一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示.本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.形如一、雙邊冪級數(shù)

只有正冪項和負(fù)冪項都收斂才認(rèn)為原級數(shù)收斂于它們的和.正冪項是一冪級數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：的級數(shù)稱為雙邊冪級數(shù)，考慮如下兩部分：對負(fù)冪項,如果令,就得到：則當(dāng)|z-z0|>R1時,即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級數(shù)才收斂.這是

的冪級數(shù),設(shè)收斂半徑為Rz0R1R2在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?

定理4.7設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)解析,則C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線..二、解析函數(shù)的洛朗展式Cz0R1R2稱為函數(shù)f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域:

R1<|z-z0|<R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式,它右端的級數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù).

一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的,這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù).

分別在圓環(huán)域（1）0<|z|<1;（2）1<|z|<2;

（3）2<|z|<+

內(nèi)展開成洛朗級數(shù).xyO1xyO12xyO2yxo12解:(1)在(最大的)去心鄰域

(2)在(最大的)去心鄰域留數(shù)及其應(yīng)用(Residueandapplication)§5.1孤立奇點§5.2留數(shù)§5.3留數(shù)在定積分中的應(yīng)用§5.4對數(shù)留數(shù)與輻角原理第一講§5.1孤立奇點

(Isolatedsingularpoint)一、孤立奇點的分類二、各類奇點的特征三、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系四、解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)一、孤立奇點的分類定義5.1如果函數(shù)雖在不解析,但在

的某一個去心鄰域

內(nèi)處處解析,則稱為

的孤立奇點.

但是奇點而不是孤立奇點。換句話說,在不論怎樣小的去心領(lǐng)域內(nèi)總有

的奇點存在.將函數(shù)

在它的孤立奇點

的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).（1）可去奇點如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負(fù)冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.有

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,則|z-z0|<d內(nèi)就有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點.（3）本性奇點如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負(fù)冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.（2）極點如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負(fù)冪項,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m

1,c-m

0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m階極點.二、各類奇點的特征定理5.1函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點的必要與充分條件是存在著極限：其中是一個復(fù)數(shù)。證明：（必要性）由假設(shè)，在內(nèi)，f(z)有洛朗級數(shù)展式：.因為上式右邊的冪級數(shù)的收斂半徑至少是R，所以它的和函數(shù)在內(nèi)解析，于是顯然存在著：（充分性）設(shè)在內(nèi)，f(z)的洛朗級數(shù)展式是由假設(shè)，存在著兩個正數(shù)M及，使得在內(nèi)，.于是是f(z)的可去奇點。那么取,使得,我們有當(dāng)n<0時，在上式中令趨近于0，就得到.下面研究極點的特征。設(shè)函數(shù)f(z)在下面研究極點的特征。設(shè)函數(shù)f(z)在定理5.1′設(shè)f(z)在內(nèi)解析，則是f(z)的可去奇點的充分必要條件是：f(z)在內(nèi)有界。內(nèi)解析,是f(z)的階極點，那么，f(z)有洛朗展式：.在這里。于是在內(nèi).在這里是一個在內(nèi)解析的函數(shù)，并且反之，如果函數(shù)f(z)在內(nèi)可以表示成為上面的形狀，而是一個在內(nèi)解析的函數(shù)，并且，那么可以推出是f(z)的m階極點。于是我們就得到：是f(z)的m階極點的充分必要條件是其中在處解析且由此可以證明：.定理5.2設(shè)函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么是f(z)的極點的充分必要條件是：是f(z)的m階極點的充分必要條件是：.關(guān)于解析函數(shù)的本性奇點，我們有下面的結(jié)論：定理5.3函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么是f(z)的本性奇點的充分必要條件是：不存在也不為綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.例4研究函數(shù)的孤立奇點的類型。所以z=0是函數(shù)的可取奇點。例5研究函數(shù)的孤立奇點的類型。例6研究函數(shù)的孤立奇點的類型。三、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系

定義5.2若f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)

0,m為某一正整數(shù),則稱z0為f(z)的m階零點.例7當(dāng)f(z)=z(z-1)3時,z=0與z=1是它的一階與三階零點.根據(jù)這個定義,我們可以得到以下結(jié)論:

定理5.4若f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m階零點的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)

0.證明：如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，

易證（學(xué)生自己證明）

z0是f(z)的m級零點的充要條件是前m項系數(shù)

c0=c1=...=cm-1=0,cm

0,這等價于

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)

0。

由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且(z0)

0,因而它在z0的鄰域內(nèi)恒不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續(xù),即例8z=1是f(z)=z3-1的零點,由于

從而知z=1是f(z)的一階零點.所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,只在z0等于零。即不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.定理5.5

如果z0是f(z)的m階極點,則z0就是的m階零點,反過來也成立.證明:“

”若z0為?(z)的m階極點證畢例9函數(shù)1/sinz

有些什么奇點?如果是極點,指出它的階.

解:函數(shù)1/sinz的奇點顯然是使sinz=0的點.這些奇點是z=kπ(k=0,

1,

2,…).由于

(sinz)'|z=kπ

=cosz|z=kπ

=,所以z=kπ

是sinz的一階零點,也就是1/sinz的一階極點.例10課外練習(xí)題四、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)

定義5.3

設(shè)函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點區(qū)域內(nèi)解析，那么無窮遠(yuǎn)點稱為f(z)的孤立奇點。在這個區(qū)域內(nèi)，f(z)有洛朗級數(shù)展式：令,按照R>0或R=0，我們得到在.或內(nèi)解析的函數(shù)根據(jù)w=0是的可去奇點、（m階）極點或本性奇點，定義是f(z)的可去奇點、（m階）極點或本性奇點。（2）、如果只有有限個（至少一個）整數(shù)n，使得，那么是f(z)的極點。.（1）、如果當(dāng)n=1,2,3,…，時，，那么是f(z)的可去奇點。設(shè)對于正整數(shù)m，，而當(dāng)n>m時，那么我們稱是f(z)的m階極點。按照m=1或m>1，我們也稱是f(z)的單極點或m重極點。（3、如果有無限個整數(shù)n>0，使得，那么我們說是f(z)的本性奇點。.定