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關(guān)注實(shí)驗(yàn)探究提升核心素養(yǎng)——用樣本估計(jì)總體生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞:用樣本估計(jì)總體;實(shí)驗(yàn);信息技術(shù);核心素養(yǎng)引言:初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了幫助學(xué)生理解某個(gè)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí),檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想,的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版》要求數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)思想,實(shí)踐探索發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)。一、實(shí)驗(yàn)原理如圖m瓶子的豆子數(shù)目仍是qmqp數(shù)量為n,此時(shí)帶有標(biāo)記的豆子占豆子總數(shù)的百分比為np標(biāo)記的豆子占豆子數(shù)的百分比是相同的。因此mn,所以可以估計(jì)出原有瓶子qp中原有的豆子數(shù)。圖1二、實(shí)驗(yàn)過(guò)程驗(yàn)分為課前——實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備;課中——實(shí)驗(yàn)初探,實(shí)驗(yàn)再探,實(shí)驗(yàn)深化;課后——拓展延伸五個(gè)環(huán)節(jié)。1.課前——實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備體,故本次實(shí)驗(yàn)的教學(xué)對(duì)象為八年級(jí)學(xué)生。本次實(shí)驗(yàn)必需的實(shí)驗(yàn)器材為大小盡量均勻的黃豆10001000粒黃豆的瓶子111個(gè)。根據(jù)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)方案可能需要提供以組都會(huì)分到1000粒黃豆,但學(xué)生實(shí)驗(yàn)前并不知道豆子的具體數(shù)量,一方面為了足于實(shí)驗(yàn)事實(shí)。2.課中——通過(guò)物理方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)初探學(xué)生通過(guò)以下五種方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)初探:(1)方法一:根據(jù)所估物體數(shù)量與參照物數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系進(jìn)行估計(jì)學(xué)生在小學(xué)就已學(xué)會(huì)根據(jù)所估物體數(shù)量與參照物數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系進(jìn)行初步估計(jì),據(jù)此學(xué)生可數(shù)出一杯豆子的粒數(shù)為116,再量出所有豆子可裝滿(mǎn)8杯還剩34粒,從而得出豆子的數(shù)量為q=116×8+34=962(粒)。(2)方法二:測(cè)豆子的質(zhì)量作為已有物理實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的八年級(jí)學(xué)生而言很容易想到利用測(cè)質(zhì)量的方法去30粒黃豆的質(zhì)量為5.08克以及全體豆子的總質(zhì)量117.8克,通過(guò)5.08÷30計(jì)算出豆子的平均質(zhì)量,再用測(cè)出的全體豆子的質(zhì)量除以平均質(zhì)量得到豆子的數(shù)量q=1085(粒),如圖2。圖2(3)方法三:測(cè)豆子的體積160粒豆子的160體豆子的體積除以豆子的平均體積從而得到豆子的總數(shù)為q=930(粒),如圖3圖3(4)方法四:測(cè)豆子的面積路他們得到豆子的總數(shù)約為997粒,如圖4。圖4(5)方法五:測(cè)豆子的長(zhǎng)度學(xué)生由“測(cè)面積”想到“測(cè)長(zhǎng)度”。學(xué)生像圖中一樣創(chuàng)造性地利用三角尺,測(cè)量出10粒豆子的長(zhǎng)度和所有豆子長(zhǎng)度,同樣按照方法二的計(jì)算思路得到豆子總數(shù)為1018粒,如圖5。圖5體積等進(jìn)行計(jì)算得到豆子的總數(shù)……由此引發(fā)學(xué)生思考:能不能利用樣本其它特征去估計(jì)總體的相應(yīng)特征呢?圖6接著教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合滬科版版教材八年級(jí)下冊(cè)第110頁(yè)例題進(jìn)行思考交流,有學(xué)生受到書(shū)中例題(如圖7)的啟發(fā)想到可以利用樣本的某個(gè)特征的百分比去估計(jì)總體相應(yīng)特征的百分比。圖73.課中——通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)再探(1)實(shí)驗(yàn)再探一——充分搖勻,優(yōu)化處理數(shù)據(jù)方法縮小誤差方法六:用樣本的某個(gè)特征的百分比去估計(jì)總體相應(yīng)特征的百分比通過(guò)學(xué)生討論交流,明確以下實(shí)驗(yàn)步驟,如圖8:①第一步,從瓶子中取出適量的豆子,記錄這些豆子的粒數(shù)m。學(xué)生發(fā)現(xiàn)m不能取得太大,否則會(huì)增加做標(biāo)記的工作量,取得太小不利于實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行,通過(guò)討論學(xué)生根據(jù)瓶子中的豆子的體量選定m為50.②第二步,給這些豆子用記號(hào)筆做上標(biāo)記。再進(jìn)行搖勻,否則會(huì)暈染其他未作標(biāo)記的豆子導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)不準(zhǔn)。③第三步,把這些帶有標(biāo)記的豆子放回瓶中,充分搖勻充分搖勻的目的是在抽樣時(shí)能使瓶中每粒豆子被抽取的可能性盡可能相等,使樣本能夠更好地代表總體。p和其中帶有標(biāo)記的豆子n.④從瓶子中再次取出一些豆子作為樣本,記錄這些豆子的總粒數(shù)p,p就是樣本容量并且數(shù)出樣本中帶有標(biāo)記的豆子粒數(shù)n⑤因?yàn)榭傮w中帶有標(biāo)記的豆子數(shù)與豆子總數(shù)的比例為m,樣本中帶有標(biāo)記q的豆子數(shù)與樣本容量的比例為nmnqpqp⑥數(shù)出豆子的真實(shí)數(shù)量,加以驗(yàn)證這種方法的可行性。圖8圖9。圖9每個(gè)小組都進(jìn)行55次估計(jì)值取其平均值作為該組的結(jié)果,通過(guò)匯總10個(gè)小組的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)平均誤差為337(如圖10)比較大,教師提出問(wèn)題:誤差較大的原因是什么呢?圖10法呢?學(xué)生查閱知網(wǎng)論文發(fā)現(xiàn)有兩種處理數(shù)據(jù)的方法。方法一:將5次估計(jì)值的平均值作為最終的豆子總數(shù)。5次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)合在一起以擴(kuò)大樣本容量,利用總體中標(biāo)記豆子總數(shù):豆子總數(shù)來(lái)計(jì)算=5次樣本中標(biāo)記豆子總數(shù)之和:5次樣本容量之和比發(fā)現(xiàn)多數(shù)情況下確實(shí)方法二誤差更小,如圖11。圖11在充分搖勻和優(yōu)化數(shù)據(jù)處理方法的基礎(chǔ)上每組又進(jìn)行了5組結(jié)果發(fā)現(xiàn)這次的平均誤差為211,相較之前的337明顯減小了,具體各小組數(shù)據(jù)如圖12。圖12才能更好地代表總體,處理數(shù)據(jù)的方法越優(yōu)化,實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確。(2)實(shí)驗(yàn)再探二——擴(kuò)大樣本容量縮小實(shí)驗(yàn)誤差容量p有時(shí)取得太小。于是各組將每次實(shí)驗(yàn)的樣本容量p擴(kuò)大到5次更深入的研究,匯總各小組結(jié)果,發(fā)現(xiàn)這次平均誤差為121,再次明顯減小,具體數(shù)據(jù)如圖13。圖13總體的情況。4.課中——融合信息技術(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)深化總體中標(biāo)記豆子總數(shù)mx次實(shí)驗(yàn)樣本中標(biāo)記豆子總數(shù)之和處理方法二:豆子總數(shù)q的啟發(fā)想到信息老師的幫助下借助計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)出隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn),輸入抽取豆子總數(shù)p=100,標(biāo)記豆子總數(shù)m=50,模擬次數(shù)為10次,通過(guò)方法二計(jì)算出的豆子總數(shù)為876。更改m為14。圖14在這樣的模擬實(shí)驗(yàn)之下,選定標(biāo)記豆子數(shù)為x與估計(jì)值q的關(guān)系呢?學(xué)生利用excel100值為995,誤差縮小到了5,如圖15。圖15隨著實(shí)驗(yàn)的層層深入,誤差在不斷減小,如圖16。5.課后——拓展延伸(1)深刻的體會(huì)圖16在本次實(shí)驗(yàn)的拓展延伸環(huán)節(jié),學(xué)生提到實(shí)驗(yàn)前的一個(gè)猜想:隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)值附近,波動(dòng)性較小,圖象如圖17,由此學(xué)生感受到事件的不確定性。圖17(2)方法的應(yīng)用查報(bào)告。(3)深入的探究通過(guò)實(shí)驗(yàn)學(xué)生知道實(shí)驗(yàn)次數(shù)和樣本容量都會(huì)影響誤差,那標(biāo)記豆子數(shù)m會(huì)對(duì)誤差有影響嗎?隨著m的增大,誤差會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢?實(shí)驗(yàn)沒(méi)有中止,研究沒(méi)有中止,學(xué)生帶著新的問(wèn)題踏上了新的探究之路。(4)素養(yǎng)的提升鼓勵(lì)學(xué)生將實(shí)驗(yàn)心得寫(xiě)成數(shù)學(xué)小論文。三、實(shí)驗(yàn)小結(jié)1.實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新點(diǎn)(1)充分利用網(wǎng)絡(luò)資源教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)查閱知網(wǎng)論文優(yōu)化了處理數(shù)據(jù)的方法。(2)信息技術(shù)的應(yīng)用學(xué)生利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)模擬隨機(jī)實(shí)驗(yàn),利用Excel軟件擬合出函數(shù)圖像(3)學(xué)科融合生通過(guò)所學(xué)應(yīng)用于生物中種群數(shù)量的估計(jì)。2.實(shí)驗(yàn)效果評(píng)價(jià)學(xué)核心素養(yǎng)。3.實(shí)驗(yàn)教學(xué)反思物理實(shí)驗(yàn)意義就不大了。故教師可根據(jù)實(shí)際情況選取實(shí)驗(yàn)器材師的有效教學(xué)和學(xué)生的智慧生成,從而立足新課標(biāo),落實(shí)核心素養(yǎng)。參考文獻(xiàn)[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)[M].北京師范大學(xué)出版社,2022:3.[2]郭立凡.
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