2023-2024學(xué)年福建省莆田錦江中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題及答案

莆田錦江中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)一、單選題7xAxx2Bxx4AB1.已知集合，，則（）7D.4A.B.C.p:x2x0p的2.已知，那么命題一個必要不充分條件是（）1231A.0x1B.1x1C.xD.x2223.命題“x1sinxx2，1”的否定是（）A.x1，sinxx211B.x1，sinxx12C.x1，sinxx2D.x1sinxx2，1x12fx4.函數(shù)的圖象大致為（）xA.B.D.C.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為fx21x，若，則）f（）fxfx2A.1B.1C.D.2π6.已知,π，且3cos24sin1，則tan2（21342A.B.7第1頁/共7頁13427D.C.7.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳?射擊?體操三個場地進行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（A.12種B.18種）C.24種D.36種8.3000中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種”，26可表示為“3可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）135712A.B.C.D.二、多選題1x1xfx9.關(guān)于函數(shù)，下列選項中正確的有（）A.的定義域為fx,1UB.為奇函數(shù)fxC.在定義域上是增函數(shù)fxD.函數(shù)與y1x1x是同一個函數(shù)fxπ10.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)y2sinxx的圖象向右平移個單位得到，則（6）fxA.的最小正周期為πfxππ,B.在區(qū)間fx上單調(diào)遞增63π的圖象關(guān)于直線對稱fxxC.D.3π的圖象關(guān)于點fx,0對稱611.如圖，在底面為正方形的四棱錐P中，PA平面ABCD，APAB1，則下列說法正確第2頁/共7頁的是（）A.異面直線PB與AC所成的角為60B.直線PD與平面所成的角為C.平面與平面PAB的夾角為3D.點C到面的距離為312.已知偶函數(shù)對xR，都有fx，且時，，下列fx2fx20,20xfxx1結(jié)論正確的是（A.函數(shù)的圖象關(guān)于點0中心對稱fxfxB.C.是周期為4的函數(shù)ff20135D.22三、填空題yx13.某工廠月產(chǎn)品的總成本y與線性相關(guān)．如果回歸方程是yx3.5，那么表格中數(shù)據(jù)a的值為______．x知xy/萬件/萬件12343.85.6a8.210114.x的二項展開式中，x2項的系數(shù)為__________．x3π35π4π且sinθtan______．15若，則2第3頁/共7頁16.我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率Y~Bn,p，當(dāng)n充分大論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗—拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機變量時，二項隨機變量Y可以由正態(tài)隨機變量X來近似，且正態(tài)隨機變量X的期望和方差與二項隨機變量Y1P的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯對一般的P進行了證明.2現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)不超過60次的概率為______.PX0.683，PX0.954，，則XN,2（附：若PX）0.997四、解答題π3π3fxsin2x17.已知函數(shù)sin2x3cos2.（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；πx（2）當(dāng)時，求函數(shù)2f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域.18.如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PAAB2，4，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.（1）求三棱錐EPAD的體積；AFPE.（2）證明：y19.某地級市受臨近省會城市的影響，近幾年高考生人數(shù)逐年下降，下面是最近五年該市參加高考人數(shù)x與年份代號之間的關(guān)系統(tǒng)計表.x年份代號12345y高考人數(shù)（千人）3533282925（其中2018年代號為1，2019年代號為2，…2022年代號為5）yx（1）求關(guān)于的線性回歸方程；第4頁/共7頁（2）根據(jù)（1）的結(jié)果預(yù)測該市2023年參加高考的人數(shù)；（3）試分析該市參加高考人數(shù)逐年減少的原因.nxxyyii（參考公式：bi1,aybx）n2ixi120.如圖，在四棱錐P中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E,F分別為,BC的中點.（1）求證：EF平面//；（2）若,2，求直線與平面所成角的正弦值.21.數(shù)學(xué)奧林匹克競賽是一項傳統(tǒng)的智力競賽項目，旨在通過競賽選拔優(yōu)秀人才，促進青少年智力發(fā)展，很多優(yōu)秀的大學(xué)在強基計劃中都設(shè)置了對中學(xué)生奧林匹克競賽成績的要求，因此各中學(xué)學(xué)校對此十分重視．某中學(xué)通過考試一共選拔出15名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊，其中高一學(xué)生有7名、高二學(xué)生有6名、高三學(xué)生有2名．（1）若學(xué)校隨機從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一的概率；（2）現(xiàn)學(xué)校欲通過考試對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進行考核，考試一共3道題，在測試中．3道題中至少答對212道題記作合格．現(xiàn)已知張同學(xué)每道試題答對的概率均為，王同學(xué)每道試題答對的概率均為，并且每23位同學(xué)回答每道試題之間互不影響，記X為兩名同學(xué)在考試過程中合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．22.已知函數(shù)fxx2exm,mR．（1）當(dāng)m1時，求在點處切線方程．A1,e1fx的fx（2）若gxxmx1的圖象恒在軸上方，求實數(shù)的取值范圍．x第5頁/共7頁莆田錦江中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)一、單選題7xAxx2Bxx4AB1.已知集合，，則（）7B.D.4A.C.【答案】C【解析】【分析】先將集合A化簡，再根據(jù)集合的并集運算得解.Axx27x0x0x7Bxx4【詳解】因為，，）AB.故故選：C．2x0，那么命題p的一個必要不充分條件是（2.已知p:x1231A.0x1B.1x1C.xD.x222【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要條件的定義對每個選擇進行分析即可求解．xx00x1，2【詳解】根據(jù)充分條件、必要條件的定義可知：對于A，0x1是p的充要條件,A錯誤；對于B，1x1是p的必要不充分條件，B正確；1223xp的充分不必要條件，C錯誤；對于C，是12x2是p的既不充分也不必要條件，D錯誤．對于D，故選:B．3.命題“x1，sinxx21”的否定是（）A.x1，sinxx21B.x1，sinxx12第1頁/共20頁C.x1，sinxx21D.x1，sinxx12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題得出結(jié)果.【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故“x1，sinxx21”的否定是“x1，sinxx21”，故選：B．x12fx4.函數(shù)的圖象大致為（）xA.B.D.C.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BC,根據(jù)單調(diào)性可判斷A，即可求解.x21(x)21x12fxxx0fxf(x)【詳解】的定義域是xxx是偶函數(shù)，排除B，C；fxx211f(x)x當(dāng)x0時，在上是增函數(shù)，排除A．fx，易知xx故選：D5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為fxfx21x，若f，則（）fx2A.1B.1C.D.2【答案】A第2頁/共20頁【解析】1fx2f1x1，即可求解.【分析】求得，令x1fx21x【詳解】由函數(shù)fx2f1，可得，xx1，可得f12f11，解得f11.令故選：A.π26.已知,π，且3cos24sin1，則tan2（）1342A.C.B.D.713427【答案】D【解析】13sin10，結(jié)合角的范圍得tan，【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin應(yīng)用倍角正切公式求值即可.22sin4sin，進而求【詳解】由3cos24sin36sin21，即3sin22sin1(3sin0，1π21所以sin或sin1，又,π，則sin，331223tan所以cos，則，222tan42由tan故選：D.1tan277.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳?射擊?體操三個場地進行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（）A.12種B.18種C.24種D.36種【答案】C第3頁/共20頁【解析】【分析】本題只需考慮游泳場有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.C23A226【詳解】①游泳場地安排2人，則不同的安排方法有種，C13C23A2218種，②游泳場地只安排1人，則不同的安排方法有6所以不同的安排方法有種.故選：C8.3000中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種”，26可表示為“3可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）135712A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個數(shù)作答.【詳解】1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6，3根算籌可表示3和7，4根算籌可表示4和8，5根算籌可表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12個，其中個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14，41，23，32，共4個，413所以所求概率為P．故選：A二、多選題1x1xfx9.關(guān)于函數(shù)，下列選項中正確的有（）A.的定義域為fx,1UB.為奇函數(shù)fxC.在定義域上是增函數(shù)fx第4頁/共20頁D.函數(shù)與y1x1x是同一個函數(shù)fx【答案】BD【解析】1x1x【分析】①求函數(shù)的定義域,可令0,解出此不等式的解集即可得到所求函數(shù)的定義域；fxfx②判斷函數(shù)的奇偶性,要用定義法,由函數(shù)解析式研究與的關(guān)系,即可證明出函數(shù)的性質(zhì)；fxxx,再兩函數(shù)值作差,判斷差的符號,再由定義得12③此函數(shù)是一個減函數(shù),由定義法證明要先任取x,x且12出結(jié)論.④判斷函數(shù)事都是同一函數(shù),首先看定義域,定義域相同,然后看解析式,解析式也相同,即為同一函數(shù).1x1x0,解得1x1,所以數(shù)定義域是【詳解】①由題意令的(,A錯誤；1+x1-x1-x(f(-x)==-=-f(x)②由A知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,且函數(shù)是奇函數(shù),B正1+x確；(x1x,2③此函數(shù)在定義域上是減函數(shù),證明如下：任取x,x屬于且121-x1)(1+x1-2)(1+12))1-11+11-21+2f(x1)-f(x2)=-=,(x且1x,2由于x,x屬于121x1x01x1x0,1221111x21可得所以121x11-x1)(1+x)(1+x2))>0,1-x21fxfx0即有2,fxfx12,即1故函數(shù)在定義域是減函數(shù),C錯誤；1x01x0y1x1x定義域：(,④函數(shù),即1x1xy1x1xfx,第5頁/共20頁故函數(shù)與y1x1x是同一個函數(shù),D正確.fx故選BD【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)：定義域、奇偶性、單調(diào)性,只需按照定義判斷即可.π10.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)y2sinxx的圖象向右平移個單位得到，則（6）fxA.的最小正周期為πfxππ,B.在區(qū)間fx上單調(diào)遞增63π的圖象關(guān)于直線對稱fxxC.D.3π的圖象關(guān)于點fx,0對稱6【答案】AD【解析】π3y2sinxxfxsin2x調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心分別對四個選項判斷即可.πππy2sinxxsin2xfxsin2xsin2x【詳解】因為，向右平移個單位得6，則632π最小正周期為Tπ，故A選項正確；2ππππ5π2π2x2ππxπ，所以單調(diào)遞增區(qū)間為令，解得2321212π125ππ,π,kZ，故B選項錯誤；12ππ5ππ2x,解得x,kZ，故C選項錯誤；令令32122πππ6x,kZfx的對稱中心為π,0,kZ，故D選項正確.2x,解得所以函數(shù)36故選：AD11.如圖，在底面為正方形的四棱錐P中，PA平面ABCD，APAB1，則下列說法正確的是（）第6頁/共20頁A.異面直線PB與AC所成的角為60B.直線PD與平面所成的角為C.平面與平面PAB的夾角為3D.點C到面的距離為3【答案】ABD【解析】【分析】A選項，證明AB,AD,PA兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用異面直線夾角余弦公式進行求解；B選項，證明BD⊥平面，故可取BD0為平面的法向量，利用線面角的向量求解公式進行求解；C選項，求出兩平面的法向量，利用相關(guān)公式求出兩平面夾角；D選項，利用點到平面的距離公式求出答案.【詳解】A選項，因為PA平面ABCD，AB,ABCD平面，所以PAAB，PAAD，ABCD為正方形，故AB,AD,PA兩兩垂直，又四邊形x,y,z以A為坐標原點，AB,AD,所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，P0,1,B1,0,0,A0,0,0,C0,D01,0，則PBAC0112AC所成的角大小為PB,AC設(shè)直線PB與，則，1111PBAC故，A正確；B選項，因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，故，PABD，ACPAA，AC,PA平面因為第7頁/共20頁所以BD⊥平面，故可取BD0為平面的法向量，設(shè)直線PD與平面所成角大小為的，PDBDsinPD,BD0112則，1111PDBD所成的角為故直線PD與平面，B正確；，nx,y,zC選項，設(shè)平面的法向量為nx,y,z0xy0y1z1，則，令得xn1yz0x,y,z故n1，m0，平面PAB的法向量為,nmn013故，1113mn故平面與平面PAB的夾角不為，C錯誤；D選項，由C選項知，平面的法向量為n1，nCB11,03故點C到面的距離d，D正確.33n故選：ABD12.已知偶函數(shù)對xR，都有fx，且時，，下列fx2fx20x0,2fxx1結(jié)論正確的是（A.函數(shù)的圖象關(guān)于點0中心對稱fxB.是周期為4的函數(shù)fx第8頁/共20頁ff20C.D.13522【答案】ACD【解析】fx2fx20fx的對稱中心即可判斷A為偶函數(shù)及fx可推出函數(shù)可推出函數(shù)的周期可判斷fxfx2fx0BC項、D項.fx2fx20fx的圖象關(guān)于0中心對稱，故A正確；【詳解】對于A項，由得對于B項，因為為偶函數(shù)，所以，fxfx2fx2fx2fx20又因為，fx2fx2，所以fxfx4，所以fx8fx4fx，即所以是周期為8的函數(shù)，故B項錯誤；fxfx2fx2對于C項，因為，f2f2，即f20，x0所以令，則又因為為偶函數(shù)，所以，故C項正確；f2fxf20x2fxx1，fxfx的周期為8，為偶函數(shù)，對于D項，因為時，13232352fff所以2，故D項正確．故選：ACD．三、填空題yx13.某工廠月產(chǎn)品的總成本y與線性相關(guān)．如果回歸方程是yx3.5，那么表格中數(shù)據(jù)a的值為______．x知xy/萬件/萬件12343.85.6a8.2第9頁/共20頁325【答案】6.4##【解析】a【分析】分別求出工廠總成本和月長量的平均值，代入回歸方程，即可求出表格中數(shù)據(jù)的值.【詳解】由題意及表知，123452117.6axy，3.85.6a8.2，444∵回歸方程是yx3.5，17.6a2.53.5∴∴，4a6.4．故答案為：6.4.10114.x的二項展開式中，x2項的系數(shù)為__________．x【答案】210【解析】xr【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為2，求出，代入通項公式中可求得結(jié)果.10r1110rC102r，r【詳解】x的二項展開式的通項公式為r1Crxx令2r2，得r4，所以x2項的系數(shù)為C4210，故答案為：2103π3π4π且sinθtan______．15.若，則2517【答案】【解析】【分析】先根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求出cos,tan，再利用兩角差的正切公式即可得解.3π354π且sinθcos1sin2【詳解】因為，所以，253tan所以，4第10頁/共20頁π34tantan1π4174πtan則.31tantan1441故答案為：.716.我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率Y~Bn,p，當(dāng)n充分大論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗—拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機變量時，二項隨機變量Y可以由正態(tài)隨機變量X來近似，且正態(tài)隨機變量X的期望和方差與二項隨機變量Y1P的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯對一般的P進行了證明.2現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)不超過60次的概率為______.PX0.683，PX0.954，，則XN,2（附：若PX）0.997【答案】0.977【解析】【分析】利用二項分布的期望和方差的公式以及正態(tài)分布的原則求解即可.1XB【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)硬幣正面朝上次數(shù)為X,則,2111EX100DX10050125故，，222EX50DX25，且,XN,22由已知得,P40X600.954，因為P40X601PX40PX6012PX所以60解得PX600.023，PX601PX6010.0230.977所以,故答案為：0.977.四、解答題π3π3fxsin2x17.已知函數(shù)sin2x3cos2.（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；第11頁/共20頁πx（2）當(dāng)時，求函數(shù)2f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域.π【答案】（1）ππ122,3,2（2）f(x)的減區(qū)間為；函數(shù)f(x)的值域為【解析】π1）化簡得f(x)2sin(2x)，從而利用周期公式即可求解；3ππ3ππ22π2x2,kZx，求解并結(jié)合（2）令即可求得單調(diào)減區(qū)間；由于232ππ4π33π2x2x,，可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.3【小問1詳解】π13π13因為sin(2x)sin2xcos2x，sin(2x)sin2xcos2x，322322πf(x)sin2x3cos2x2sin(2x)所以，32π所以f(x)的最小正周期是【小問2詳解】=π；2ππ3ππ7π2π2x2,kZπx,kZ，令令，解得2327π1212πk0x，則1212ππ122πx,由于因為所以，所以2f(x)的減區(qū)間為.ππ4π33π33πx2x,sin2x，則2，所以，32π3,2.2sin2x3,2，即函數(shù)f(x)的值域為318.如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PAAB2，4，點是PB的中點，點FE在邊BC上移動.第12頁/共20頁（1）求三棱錐EPAD的體積；AFPE.（2）證明：83【答案】（1）（2）證明見解析【解析】12）線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理相結(jié)合解決即可.【小問1詳解】PAABCDABCD平面，四邊形為矩形，1△EADADAB4，218EPADPEADSPA.△EAD33【小問2詳解】證明：PA平面ABCD，，又2，且點F是PB的中點，AFPB，PABCPAABA，又，，平面PAB，又平面PAB，BCAF，，AFBC，PBBCB，由AFQPE平面平面，，.y19.某地級市受臨近省會城市的影響，近幾年高考生人數(shù)逐年下降，下面是最近五年該市參加高考人數(shù)第13頁/共20頁x與年份代號之間的關(guān)系統(tǒng)計表.x年份代號12345y高考人數(shù)（千人）3533282925（其中2018年代號為1，2019年代號為2，…2022年代號為5）yx（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果預(yù)測該市2023年參加高考的人數(shù)；（3）試分析該市參加高考人數(shù)逐年減少的原因.nxxyyii（參考公式：bi1,aybx）n2ixi1y2.4x37.2【答案】（1）（2）22.8千人【解析】（3）答案見解析1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)計算得ba37.22）根據(jù)（13）言之有理，客觀分析即可.【小問1詳解】ybxa設(shè)回歸方程為，由表中數(shù)據(jù)知，x3，y30.25(30(2)1(2(122.4，所以b41415aybx302.4337.2，所以yxy2.4x37.2所以關(guān)于的回歸方程.【小問2詳解】yxy2.4x37.2由（1）得關(guān)于的回歸方程.x6y2.4637.222.8令，所以預(yù)測該市2023年參加高考的人數(shù)為22.8千人.【小問3詳解】①該市經(jīng)濟發(fā)展速度慢；②該市人口數(shù)量減少；第14頁/共20頁③到省會城市求學(xué)人數(shù)增多.20.如圖，在四棱錐P中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E,F分別為,BC的中點.（1）求證：EF平面//；（2）若,2【答案】（1）證明見解析435，求直線與平面所成角的正弦值.（2）35【解析】1）取PD的中點Q，連接QC,，證明四邊形為平行四邊形，可得CQ//EF，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）先證明【小問1詳解】取PD的中點Q，連接QC,，以點D為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.，1因為E為的中點，所以//且，21BC的中點，所以CF//且CFAD，因為F為2所以//CF且CF，所以四邊形為平行四邊形，所以CQ//EF，又CQ平面，平面，所以EF平面【小問2詳解】連接BD，//；第15頁/共20頁12060，ABCD在菱形所以△ABD和△CBD中，，則都是等邊三角形，BC,3，因為F為BC的中點，所以，AD//BC因為，所以如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，3,0，則A2,0,D0,0,0,E2,F3,0，2,3,0,0,AF所以，設(shè)平面的法向量為nx,y,zny2z0，n0,2,1則有，可取n3x0nAF4435n,AF則，nAF573543535所成角的正弦值為.所以直線與平面21.數(shù)學(xué)奧林匹克競賽是一項傳統(tǒng)的智力競賽項目，旨在通過競賽選拔優(yōu)秀人才，促進青少年智力發(fā)展，很多優(yōu)秀的大學(xué)在強基計劃中都設(shè)置了對中學(xué)生奧林匹克競賽成績的要求，因此各中學(xué)學(xué)校對此十分重視．某中學(xué)通過考試一共選拔出15名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊，其中高一學(xué)生有7名、高二學(xué)生有6名、高三學(xué)生有2名．（1）若學(xué)校隨機從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一的概率；（2）現(xiàn)學(xué)校欲通過考試對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進行考核，考試一共3道題，在測試中．3道題中至少答對212道題記作合格．現(xiàn)已知張同學(xué)每道試題答對的概率均為，王同學(xué)每道試題答對的概率均為，并且每23位同學(xué)回答每道試題之間互不影響，記X為兩名同學(xué)在考試過程中合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期第16頁/共20頁望．2465【答案】（1）6754EX（2）分布列見解析，【解析】1）利用組合數(shù)及古典概型求解；（2）分別計算兩位同學(xué)合格的概率，再計算合格人數(shù)的概率，列出分布列，計算期望即可.【小問1詳解】設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有